2021-2022學(xué)年新教材湘教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第一章集合與邏輯知識點考點重點題型歸納總結(jié)

第一章集合與邏輯

1.1集合....................................................................1

1.1.1集合...............................................................1

第i課時集合與元素................................................1

第二課時表示集合的方法...........................................5

1.1.2子集和補集........................................................9

1.1.3集合的交與并.....................................................14

1.2常用邏輯用語..........................................................19

1.2.1命題..............................................................19

1.2.2充分條件和必要條件...............................................22

1.2.3全稱量詞和存在量詞...............................................27

1.1集合

1.1.1集合

第一課時集合與元素

知識點一元素與集合的相關(guān)概念

1.集合：把一些對象放在一起考慮時，這些對象組成了一個集合或集.通

常用大寫拉丁字母表示，如48,…表示集合.

2.元素：這些對象中的每一個，都叫作這個集合的一個元素.通常用小寫

拉丁字母表示，如mb…表示元素.

3.集合中元素的三個基本屬性

互異性同一集合中的元素是互不相同的

集合中的元素是確定的，亦即給定一個集合，任何一個元素屬于或不屬

確定性

于這個集合是確定的

無序性集合中的元素沒有順序

1.集合是一個原始的、不加定義的概念，就像幾何中點、線的概念一樣,

只作描述性說明.

2.集合是一個整體，已暗含“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對

象一旦組成了集合，那么這個集合就是這些對象的全體，而非個別對象.

。想一想］

1.集合中的元素只能是數(shù)、點、代數(shù)式嗎？

提示：集合中的元素可以是數(shù)學(xué)中的數(shù)、點、代數(shù)式，也可以是現(xiàn)實生活中

的各種各樣的事物或人等.

2.某班所有的高個子男生能否構(gòu)成一個集合？

提示：某班所有的高個子男生不能構(gòu)成集合，因為高個子男生沒有明確的標(biāo)

準(zhǔn).

知識點二元素與集合的關(guān)系

表達集合和它的元素之間的歸屬關(guān)系的符號是

(1)屬于：若5是一個集合，。是5的一個元素，記作“。豆S”，讀作：“。屬

王5”；

(2)不屬于：若。不是S的元素，記作潑S(或aS)讀作不屬于S”.

。想一想1

1.元素與集合之間有第三種關(guān)系嗎？

提示：對于一個元素a與一個集合A而言，只有與“渡4”這兩種

關(guān)系.

2.符號““住”的左邊可以是集合嗎？

提示：和“住”具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，所以左邊不

可以是集合.

知識點三常見的數(shù)集及符號表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN,ZQR

。想一想I

N與N+有何區(qū)別？

提示：N+是所有正整數(shù)組成的集合，而N是由0和所有的正整數(shù)組成的集

合，所以N比N+多一個元素0.

知識點四集合的分類

1.有限集：元素個數(shù)有限的集合（或有窮集）.

2.無限集：元素?zé)o限多的集合叫無限集（或無窮集）.

3.空集：沒有元素的集合叫空集.記作。，空集也是有限集.

題型一

［例1］（多選）判斷下列每組對象，能組成一個集合的是（）

A.某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生

B.直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點

C.不小于3的自然數(shù)

D.2018年第23屆冬季契運會金牌獲得者

［解析］A中“成績優(yōu)秀”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能組成一個集合；B、C、

D中的對象都滿足確定性，所以能組成集合.

［答案］BCD

判斷一組對象能否組成集合的標(biāo)準(zhǔn)

判斷一組對象能否組成集合，關(guān)鍵看該組對象是否滿足確定性，如果此組對

象滿足確定性，就可以組成集合；否則，不能組成集合.同肘還要注意集合中元

素的互異性、無序性.

題型二

［例2］（1）（多選）由不超過5的實數(shù)組成集合A.〃=也+小，貝IJ（）

A.a^AB./《A

C.-eAD.

a

（2）若集合4中的元素x滿足三￡N,N,則集合4中的元素為.

［解析］（1）。=啦+小<也+也=4<5,所以

a+1〈幣+木+1=5,所以a+1々2=（地門+2啦X、/§+（鎘尸=5+2%

>5所以層弧臺南T（啦+新浣=斤也<5,所以為

A.

(2)由題意可得：x為自然數(shù)，所以士可以為2,3,6,因此x的值為2,1,

0.因此A中元素有2,1,0.

［答案］(l)ACD(2)2,1,0

判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法

(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接給出的；

②判斷方法：首先明確集合由哪些元素構(gòu)成，然后再判斷該元素在已知集合

中是否出現(xiàn)即可；

(2)推理法：①使用前提：對于某些不便直接表示的集合；

②判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否

滿足集合中元素所具有的特價即可.

題型三元素特性的應(yīng)用

[例3]已知集合A含有兩個元素。和若1則實數(shù)〃的值為

［解析］若1￡A,則〃=1或蘇=1,即。=±1.

當(dāng)〃=1時，集合A有重復(fù)元素，不符合元素的互異性,

???〃羊1;

當(dāng)。=—1時，集合A含有兩個元素1,—1,符合元素的互異性..*.a=—

1.

［答案］T

［母題探究］

1.(變條件)本例若將條件“1WA”改為“2￡A”，其他條件不變，求實數(shù)。

的值.

解：因為2仁4,所以〃=2或/=2,即〃=2或〃=&或〃=一啦.經(jīng)檢驗符

合元素的互異性.

2.(變條件)本例若去掉條件“1￡A”，其他條件不變，則實數(shù)。的取值范圍

是什么？

解：因為A中有兩個元素。和片,所以。工，，解得。手0且々21.

3.(變條件)已知集合A含有兩個元素1和層，若求實數(shù)。的值.

解：由可知，

當(dāng)。=1時，此時。2=1,與集合元素的互異性矛盾，

所以

當(dāng)〃=/時，〃=0或〃=[(舍去).

綜上可知，a=0.

根據(jù)集合中元素的特性求值的三個步驟

/求解廂據(jù)集合中元素的確定性,解出字母的所有取值|

1,,

/檢驗夕葆據(jù)集合中元素的互異性，對解出的值進行檢驗|

,I一，

/作答方■回出所有符合同意的字母的取值|

第二課時表示集合的方法

知識點一列舉法

把集合中的元素一一列舉出來,并用大括號“{}”括起來表示集合的方法叫

作列舉法.

用列舉法表示集合的注意點

(1)元素與元素之間需用“，”隔開；

(2)集合中的元素必須是確定的；

(3)不必考慮元素出現(xiàn)的前后順序，但不能重復(fù).

知識點二描述法

把集合中元素共有的，也只有該集合中元素才有的屋性描述出來，以確定這

個集合，這種表示方法叫作描述法.

用描述法表示集合的注意點

(1)寫清楚集合中的代表元素，如數(shù)或點等；

(2)說明該集合中元素的共同屬性，如滿足的方程、不等式、函數(shù)或幾何圖形

(3)所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號內(nèi)，用于描述內(nèi)容的語言力求簡潔、準(zhǔn)確;

⑷“｛｝”有“所有”“全體”的含義，因此自然數(shù)集可以表示為｛也為自然數(shù)｝

或N,但不能表示為為所有自然數(shù)｝或｛N｝.

知識點三區(qū)間的相關(guān)概念

1.區(qū)間的概念及記法

設(shè)小匕是兩個實數(shù)，且。＜兒我們規(guī)定：

定義名稱符號數(shù)軸表示

{x\a<x<b}開區(qū)間(。，b)abx

閉區(qū)間[〃，blab?

左閉右開區(qū)間?。?

b)abx

o??

左開右閉區(qū)間3abx

2.無窮大

實數(shù)集R可以表示為(-8,+8),符號“8”讀作“無窮大”，“一8”

讀作“負無窮大”，“+8”讀作“正無窮大”.

3.特殊區(qū)間的表示

定義區(qū)間數(shù)軸表示

[x\x^a\[〃，+8)

{x\x>a}(a,+8)

{x\x^b}(.8,加

{x|x<Z?}(-8,力

理解區(qū)間概念時的注意點

(1)區(qū)間符號里面的兩個字母(或數(shù)字)之間用隔開；

(2)區(qū)間表示實數(shù)集的三個原則：連續(xù)的數(shù)集，左端點必須小于右端點，開或

閉不能混淆；

(3)“8”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數(shù)，以“一8”或“+8”為

區(qū)間的一端時，這一端必須用小括號.

題型一"用列舉法表示集合

▼

［例1］用列舉法表示下列集合：

(1)方程X2—1=0的解組成的集合；

(2)單詞“see”中的字母組成的集合；

⑶所有正整數(shù)組成的集合；

(4)直線y=x與y=2x—l的交點組成的集合.

［解］(1)方程f-1=0的解為工=-1或x=l,所求集合用列舉法表示為{一

1,1).

(2)單詞“see”中有兩個互不相同的字母，分別為“s”“e”，所求集合用列舉法

表示為{s,e}.

(3)正整數(shù)有1,2,3,…,所求集合用列舉法表示為{1,2,3,…}.

y=x,fx=1,

(4)方程組彳c，的解是，所求集合用列舉法表示為{(1,1)}.

［y=2x-\［y=1,

列舉法表示集合的步驟及注意點

列舉法表示集合,要分清是數(shù)集還是點

分清元素

集

書寫集合列元素時要做到不重復(fù)、不遺漏

［提醒］二元方程組的解集、函數(shù)的圖象、點形成的集合都是點的集合，一

定要寫成實數(shù)對的形式，元素與元素之間用“，”隔開.如{(2,3),(5,-1)}.

題型二用描述法表示集合

［例2］用描述法表示下列集合:

(1)函數(shù)y=-x的圖象上的點組成的集合;

(2)數(shù)軸上離原點的距離大于3的點組成的集合;

(3)不等式X—2V3的解組成的集合.

［解］(1){(號y)\y=-x}.

(2)數(shù)軸上離原點的距離大于3的點組成的集合等于絕對值大于3的實數(shù)組成

的集合，則數(shù)軸上離原點的距離大于3的點組成的集合用描述法表示為{x￡R||x|

>3}.

(3)不等式4一2<3的解是xV5,則不等式X-2V3的解組成的集合用描述法

表示為{MxV5}.

描述法表示集合的2個步驟

分清楚集合中的元素是點逐是數(shù)或是其

寫代表元素

他的元素

明確元素將集合中元素所具有的公共特征，寫在聶

的侍征線的后面

用區(qū)間表示集合

［例3］(鏈接教科書第5無例5)用區(qū)間表示下列集合：

(I){x|x>-1}=；

(2){x|2〈xW5}=；

(3){x|xW—3}=；

(4){x|2WxW4}=.

［解析］(1)集合{小>一1}可用開區(qū)間表示為(-1,+8)；⑵集合{x|2VxW5}

可用半開半閉區(qū)間表示為(2,5］：(3)集合{4rW—3}可用半開半閉區(qū)間表示為(一

8,-3］：(4)集合{x|2WxW4}可用閉區(qū)間表示為［2,4J.

［答案］(1)(-1,+8)(2)(2,5］(3)(—8，-3］(4)［2,4］

用區(qū)間表示數(shù)集的方法

(1)區(qū)間左端點值小于右端點值；

(2)區(qū)間兩端點之間用“，”隔開；

(3)含端點值的一端用中括號，不含端點值的一端用小括號；

(4)以“一8”，“+8”為區(qū)間的一端時，這端必須用小括號.

1.1.2子集和補集

知識點一子集

1.韋恩圖(Venn圖)

用平面上封閉曲線的內(nèi)部表示集合.如圖這類表示兩集合間關(guān)系的

示意圖叫作韋恩圖(即Venn圖).

2.子集

定義：如果集合A的每個元素都是集合B的元素，就說A

包含于見或者說8包含A,則稱4是8的一個子集.

-Venn圖：

A是8的

一個子集

1—符號表示或者KM.

3.兩個集合相等

定義:如果AU8并且8UA,就說集合A,8相等.

A與B

相等

—符號表示:若AqB且紇弓，則A=8.

4.真子集

定義：如果但4W8,就說A是8的真子集.

-Venn圖：

4是8的

真子集

一符號表示:也.

集合間關(guān)系的性質(zhì)

(1)空集包含于任一集合，是任一集合的子集；

(2)任何一個集合都是它本身的子集，即4巨A；

(3)對于集合4,B,C,若A1B,且BGC,則AGC；若AB,BJC,則

4C.

1.符號與“三”有什么區(qū)別？

提示：①是表示元素與集合之間的關(guān)系，比如1￡N,—14N.

②“工”是表示集合與集合之間的關(guān)系，比如NGR,｛I,2,3｝旦｛3,2,

③的左邊是元素，右邊是集合，而“三”的兩邊均為集合.

2.。與0,｛0｝,｛。｝有何區(qū)別？

提示：

0與0。與｛0｝0與{0}

相同點都表示無的意思都是集合都是集合

不同點0是集合；

0不含任何元素；｛0｝含一個0不含任何元素；｛0卜含一個

0是實數(shù)

元素0元素，該元素是。

關(guān)系0^0。{0}0{0}

知識點二補集

1.全集：如果在某個特定的場合，要討論的對象都是集合U的元素和子集,

就可以約定集合U叫作全集(或基本集).

2.補集

若A是全集U的子集，U中丕虹A的元素組成的子集，叫作A的

定義

補集，記作［以

符號語言[uA={x-UU,且—

u__

圖形語言

［注意］且KA｝

1.補集是相對于全集而言的，它與全集不可分割.一方面，若沒有定義全

集，則不存在補集的說法；另一方面，補集的元素逃不出全集的范圍.

2,補集的性質(zhì)

(1)若A7U,則①［以7。；②［y(［u4)=A；③(［心)=0;④［W=U.

(2)已知ANU,BWU,相關(guān)結(jié)論如下：

①若AG8,貝此②若則AG3.

特別地，若A=3,則［uA=(u&反之，若［uA=［u8,則A=B.

題型一"集合間關(guān)系的判斷

［例1］指出下列各對集合之間的關(guān)系：

(1)A={-1,1},3={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}；

(2)A={x|-14<4},B={x|x-5<0}；

(3)A={x|x是等邊三角形},B={x|x是等腰三角形};

(4)M={x|x=2〃-1,〃￡N+},N={x|x=2〃+1,〃￡N+}；

(5)A={x|x=2〃+3Z?,〃wZ,b￡Z},B=(x\x=4m—3”，，九WZ,〃eZ}.

［解］(1)集合A的代表元素是數(shù)，集合8的代表元素是有序?qū)崝?shù)對，故A與

B之間無包含關(guān)系.

(2)集合B={x|x<5},用數(shù)軸表示集合4,B如圖所示，由困可知4B.

______B

.!.A.!［.

-2-1012345x

(3)等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故A

B.

(4)兩個集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于〃WN+,因此集合M含有元

素“1”，而集合N不含元素“「'，故NM.

(5)A={戈|x=2a+3/?,〃￡Z,b^Z］,因為任意〃eZ,〃=2X(一〃)+3〃￡A,

所以4={x|x=2a+3b,〃eZ,b^Z］=Z,因為任意〃￡Z,〃=4〃-3〃￡B,所

以8={x|x=4m—3〃，m￡Z,〃￡Z}=Z,所以4=B=Z.

判斷集合間關(guān)系的常用方法

(1)列舉觀察法：當(dāng)集合中元素較少時，可列舉出集合中的全部元素，通過定

義得出集合之間的關(guān)系；

(2)集合元素特征法：先確定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，

再利用集合元素的特征判斷得出集合之間的關(guān)系.

一般地，設(shè)4={川〃伏)},B={x\q(x)}f①若由p(x)可推出如r),則AGB；②

若由q(x)可推出p(x),則BNA；③若p(x)，q(x)可互相推出，則A=B；④若由

p(x)推不出q(x),由式x)也推不出p(x),則集合A,B無包含關(guān)系；

(3)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖可清晰、明了地判斷集合間的關(guān)系，其

中不等式的解集之間的關(guān)系，適合用數(shù)軸法.

題型二確定有限集合的子集、真子集及其個數(shù)

［例2］(1)集合M={1,2,3}的真子集個數(shù)是()

A.6B.7

C.8D.9

(2)滿足{1,2}M1{1,2,3,4,5}的集合M有個.

［解析］(1)集合M的算子集所含有的元素的個數(shù)可以有。個，1個或2個，

含有0個元素的真子集為。，含有1個元素的真子集有3個{1},{2},{3},含有

2個元素的真子集有{1,2},{1,3}和{2,3},共有7個真子集，故選B.

(2)由題意可得{1,2}MJ{1,2,3,4,5},可以確定集合M必含有元素

1,2,且含有元素3,4,5中的至少一個，因此依據(jù)集合M的元素個數(shù)分類如

下：

含有三個元素：{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};

含有四個元素：{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5);

含有五個元素：{1,2,3,4,5).

故滿足題意的集合M共有7個.

［答案］(1)B(2)7

求集合子集、真子集個數(shù)的3個步驟

［例3］(1)設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},則［uM=()

A.UB.［1,3,5}

C.{3,5,6)D.(2,4,6)

(2)已知全集。=曰集合4=口枕<-2或x>2},則［必=.

［解析］(1)因為U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4),由補集的定義,

可知［uM={3,5,6).

(2)如圖，在數(shù)軸上表示出集合A,可知［以={川-2《冗<2}.

__

-22?

［答案］(1)C(2)3—2WxW2}

求集合補集的2種方法

(1)當(dāng)集合用列舉法表示時，直接用定義或借助Venn圖求解；

(2)當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析求解.

題型四由集合間的關(guān)系求參數(shù)值(范圍)

[例4]已知集合A={M-3WxW4},B={x\\<x<m](m>\]f且則實數(shù)

的取值范圍是.

［解析］由于B7A,結(jié)合數(shù)軸分析可知，加W4,

又加>1,所以l</nW4.

-3-2-10123m4%

［答案］(1,4］

［母題探究］

1.(變條件)本例若將改為“8={川0〈機}”，其他

條件不變，則實數(shù)機的取值范圍是什么？

解：若mW1,則8=0,滿足

若m>\,則由例題解析可知1<〃ZW4.

綜上可知實數(shù)〃z的取值范圍是(-8,4］.

2.(變條件)本例若將aB={x\\<x<m］(nt>lY，改為aB={x\2m-\<x<m+

1}”，其他條件不變，則實數(shù)機的取值范圍是什么？

解：因為

①當(dāng)B=0時，m+lW2/n—1,解得加22.

,3＜2加一1,

②當(dāng)時，有＜〃z+lW4,

、2機-1＜m+1,

解得一1W機＜2.

綜上得實數(shù)6的取值范圍為［-1,4-oo).

3.(變條件)本例若將集合A,B分別改為4={-1,3,2/n-l},8={3,,n2},

其他條件不變，則實數(shù)機的值又是什么？

解：因為BGA,所以＞=2加一1,即(加-1)2=0,所以加=1,當(dāng)機=1時，

A={-1,3,1),8={3,1}滿足B7A.所以〃2的值為1.

由集合間的包含關(guān)系求參數(shù)的方法

(1)當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時，常根據(jù)集合間包含關(guān)系的意義，建立方程(組)求

解，此時應(yīng)注意分類討論；

(2)當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時，常借助數(shù)軸來建立不等關(guān)系求解，應(yīng)注意端點處是

實點還是虛點.

［注意］(1)不能忽視集合為。的情形；

(2)當(dāng)集合中含有字母參數(shù)時，一般要分類討論.

1.1.3集合的交與并

知識點一兩個集合的交

兩個集合交運算的性質(zhì)

AGB=BGA；AGA=A；AC0=。；AC\B=A^A^B.

知識點二兩個集合的并

兩個集合并運算的性質(zhì)

AUB=BUA；AUA=A；AU0=A；AUB=A^>B^A.

對并集、交集概念的再理解

(l)AUB.都是一個集合；

(2)并集概念中的“或”指的是只要滿足其中一個條件即可，符號語言

或包含三種情況：“xWA,但依8"；“工但KA“；

且；

(3)交集概念中的“且”即“同時”的意思，兩個集合交集中的元素必須同時

是兩個集合中的元素.

集合AU8的元素個數(shù)是否等于集合A與集合B的元素個數(shù)之和？

提示：不一定，AU3的元素個數(shù)小于或等于集合A與集合3的元素個數(shù)之

和.

題型一交集的運算

[例1](1)已知集合4={-2,0,3},B={Mf-x-2=0}：則AA8=()

A.0B.{2}

C.(0)D.{-2}

(2)設(shè)集合A="|—8={x［0Wx<4},則AH8=()

A.{x|0WxW2}B.{x|lWx<2}

C.{x|0WxW4}D.{和近xW4}

［解析］(1)

,4一

-2-101234人

方程f-x-2=0的解為工=-1或2,：.B={-lt2),???408=。.故選A.

(2)在數(shù)軸上表示出集合A與B,如圖所示，則由交集的定義知，AQB=

304W2}.

［答案］(1)A(2)A

求兩個集合的交集的方法

(1)對于元素個數(shù)有限的集合，逐個挑出兩個集合的公共元素即可；

(2)對于元素是連續(xù)實數(shù)的集合，一般借助數(shù)軸求交集，兩個集合的交集等于

兩個集合在數(shù)軸上的相應(yīng)圖形所覆蓋的公共范圍，要注意端點值的取舍.

題型二

［例2］(鏈接效科書第10頁例12)(1)已知集合M={x\-3<x^5}fN={x\x

V-5或x>5},則MUN=()

A.{HrV—5或x>—3}B.{x|-5<x<5}

C.(x|-3<x<5}D.{冰V-3或x>5}

(2)已知集合加={0,1},則滿足MUN={0,1,2}的集合N的個數(shù)是()

A.2B.3

C.4D.8

f解析］(1)在數(shù)軸上表示出集合M,M圖略)，可知MUN={HrV—5或

—3}.故選A.

(2)依題意，可知滿足MUN={0,1,2}的集合N有{2},{0,2},{1,2),

{0,1,2),共4個.故選C.

［答案］(DA(2)C

求集合并集的2種基本方法

(1)定義法：若集合是用列舉法表示的，可以直接利用并集的定義求解；

(2)數(shù)形結(jié)合法：若集合是用描述法表示的由實數(shù)組成的數(shù)集，則可以借助數(shù)

軸分析法求解.

題型三交集、并集、補集的綜合運算

[例3](1)若全集U={1,2,3,4},集合M={x|f—41+3=0},N={x\^

一51+6=0},貝iJ(u(Mn7V)=()

A.{4}B.{1,2)C.{1,2,4)D.{1,3,4)

(2)已知全集U=R,集合A={x|xW0},8={x|x》l},則集合[u(AUB)=()

A.{小20}B.{x|xWl}

C.{x|O?l}D.{x|O<x<l)

［解析］(1)???M={1,3},N={2,3},???MnN={3},2,

4),故選故

(2)由已知,得4UB={x|xW0或x?l},故CU(AU8)=304<1},故選D.

［答案］(1)C(2)D

解決集合交、并、補運算的技巧

(1)如果所紿集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結(jié)合交

集、并集、補集的定義來求解.在解答過程中常常借助于Venn圖來求解；

(2)如果所給集合是無限集，則常借助數(shù)軸，把已知集合及全集分別表示在數(shù)

軸上，然后進行交、并、補集的運算.解答過程中要注意邊界問題.

題型四V由集合的并集、交集求參數(shù)

［例4］已知集合A={x|-3aW4},集合8={AU+1WXW2Z-1},且AU8

=A,試求上的取值范圍.

[ft?](1)當(dāng)B=0,即hH>2左一1時，辰2,滿足AUB=A

(2)當(dāng)時，要使AUB=A,

f-3<Ar+l,

只需，422Z—1,解得2WZW|.

限+1印一1,

5

綜合(1)(2)可知，2的取值范圍是［—8,2

［母題探究］

1.(變條件)把本例條件“AU3=A”改為"AnB=A”,試求A的取值范圍.

解：由AAB=A可知A1A

kW—4,

—32%+1,

所以，即《

⑵:一124,k*,

所以k￡0.

所以上的取值范圍為包

2.(變條件)把本例條件“AU8=A”改為"AUB={x|—3<xW5}”，求Z的

值.

—3<k+lW4,

解:由題意可知<解得％=3.

⑵:-1=5,

所以2的值為3.

利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法

(1)在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時，常常會遇到AQB=A9AUB=B

等這類問題，解答時常借助于交、并集的定義及上節(jié)學(xué)習(xí)的集合間的關(guān)系去分析,

如AU8=BU>4G8等，解答時應(yīng)靈活處理；

(2)當(dāng)集合514時，如果集合4是一個確定的集合，而集合8不確定，運算

時一定要考慮8=。的情況，切不可漏掉.

1.2常用邏輯用語

1.2.1命題

知識點一命題的定義及分類

1.邏輯用語：在數(shù)學(xué)乃至科學(xué)中常用于引入概念、表述規(guī)律、推導(dǎo)定理法

則或交流信息的詞語，經(jīng)過規(guī)范化使之意義更為清楚嚴(yán)謹(jǐn),這類詞語叫做邏輯用

2.命題的定義：可判斷真假的陳述句叫做命題.

3.命題的分類：判斷為真(成立)的命題叫作真命題，判斷為假(不成立)的命

題叫作假命題.

4.猜想：數(shù)學(xué)中暫時不知道真假的命題可以叫作猜想.

知識點二命題及其否定的結(jié)構(gòu)形式

1.數(shù)學(xué)中，許多命題可表示為“如果p,那么夕”或“若p,則4”的形式,

其中區(qū)叫作命題的條件，4叫作命題的結(jié)論.

2.命題的否定：如果〃是一個命題，則“〃不成立”也是一個命題，叫作〃

的否定,記作定p,讀作“非p”.

對一般命題若p,則q的否定為若0則，q

3.

［例

(1)3是有理數(shù);

(2)3fW5；

(3)梯形是不是平面圖形呢？

(4)一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負數(shù).

［解］(1)”■^是有理數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是命題.

(2)因為無法判斷“3fW5”的真假，所以它不是命題.

(3)“梯形是不是平面圖形呢？”是疑問句，所以它不是命題.

(4)“一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是負數(shù)”是陳述句，并且它是假的，所以它是

命題.

判斷語句是否是命題的策略

(1)命題是可以判斷真假的陳述句，因此，疑問句、祈使句、感嘆句等都不是

命題；

(2)對于含變量的語句，要注意根據(jù)變量的取值范圍，看能否判斷其真假，若

能，就是命題；若不能，就不是命題.

題型二

［例2］(鏈接教科書第14頁例1)判斷下列命題的真假，并說明理由.

(1)正方形既是矩形又是菱形；

(2)當(dāng)x=4時,2x+l<0；

(3)若x=3或x=7,則(x—3)(x—7)=0.

［解］(1)是真命題，由正方形的定義知，正方形既是矩形又是菱形.

(2)是假命題，x=4不滿足2x+l<0.

(3)是真命題，x=3或x=7能得到。-3)。-7)=0.

命題真假的判定方法

(1)真命題的判斷方法：要判斷一個命題是真命題，一般要有嚴(yán)格的證明或有

事實依據(jù)，比如根據(jù)已學(xué)過的定義、公理、定理證明或根據(jù)已知的正確結(jié)論推證;

(2)假命題的判斷方法：通過構(gòu)造一個反例否定命題的正確性，這是判斷一個

命題為假命題的常用方法.

題型三命題的結(jié)構(gòu)形式

［例3］將下列命題改寫成“若p,則g”的形式，并判斷命題的真假：

(1)6是12和18的公約數(shù)的否定；

(2)當(dāng)〃>—1時，方程加+公一1=0有兩個不等實根；

⑶平行四邊形的對角線互相平分；

(4)已知My為非零自然數(shù)，當(dāng)y-x=2時，y=4,x=2.

［解］(1)若一個數(shù)是6,則它不是12和18的公約數(shù)，是假命題.

⑵若〃>一1,則方程加+〃-1=0有兩個不等實根，是假命題.

(3)若一個四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分，是真命題.

(4)已知x,y為非零自然數(shù)，若y-x=2,則y=4,x=2f是假命題.

將命題改寫為“若P,則形式的方法及原則

［注意］若判斷一個命題的真假性時，從原命題入手不易判斷時，可以考慮

判斷該命題的否定的真假性，根據(jù)〃與的真假關(guān)系得出結(jié)論.

題型四由命題的真假求參數(shù)的范圍

［例4］(2021?蘇州檢測)已知集合4=［-3,6),3=(—8,㈤，若

是假命題，則實數(shù)。的取值范圍是.

［解析］法一：若AGB=0是真命題，則々W—3,

???AnB=0是假命題時，a>-3.

法二：若403=0是假命題，則AGBW0是真命題，即集合A,3有公共元

素，在數(shù)軸上表示出兩個集合，

t<U-4—>1，4

-30a6與-306ax

(1)(2)

易得a>—3.

［答案］(-3,+8)

由命題的真假求參數(shù)的取值范圍的基本步驟

第一步，明確命題的條件和結(jié)論；

第二步，根據(jù)所學(xué)知識寫出命題為真時參數(shù)所滿足的條件；

第三步，化簡相應(yīng)的條件，求出參數(shù)的取值范圍.

［注意］若求命題為假時參數(shù)的取值范圍，可求命題為真時參數(shù)取值范圍對

應(yīng)的補集.

1.2.2充分條件和必要條件

知識點一充分條件和必要條件

“若P，則4”是假命

命題真假“若P，貝iJg”是真命題

題

推出關(guān)系p0qp#q

〃叫作q的充分條件;q叫作p不是q的充分條件；

條件關(guān)系

p的必要條件g不是〃的必要條件

1.判定定理和性質(zhì)定理與充分條件、必要條件的關(guān)系

(1)數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件；

(2)數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件.

2.充分條件、必要條件的理解

〃04可以理解為若p成立，則q一定也成立，即p對于0的成立是充分的;

反過來，若夕不成立，則p必不成立，即4對于p的成立是必要的.

。想一想

LP是q的充分條件與q是p的必要條件所表示的推出關(guān)系是否相同？

提示：相同，都是pnq.

2.以下五種表述形式：①p=q；②p是g的充分條件；③4的充分條件是p；

④夕是p的必要條件；⑤p的必要條件是夕.這五種表述形式等價嗎？

提示：這五種表述形式是等價的.

知識點二充分必要條件(充要條件)

1.定義：如果既有又有心，就記作即〃既是q的充分條件,

又是g的必要條件，此時我們稱〃是夕的充分必要條件，簡稱充要條件.當(dāng)然，

此時。也是〃的充分必要條件.

2.記法：如果〃是q的充要條件，就記作，今小稱為“〃與4等價”，或

“p等價于q”.

3.傳遞性：和“o”都具有傳遞性，即

(1)如果pOq,q，s,那么〃弓

(2)如果〃今夕，q0s,那么〃合$.

對充分必要條件的再理解

(1)如果一個命題和它的逆命題都成立，則此命題的條件和結(jié)論互為充分必要

條件；

(2)p是q的充分必要條件op成立當(dāng)且僅當(dāng)q成立.

。想一想I

1.若p是夕的充要條件，則命題p和q是兩個相互等價的命題，這種說法

對嗎？

提示：正確.若〃是q的充要條件，則〃即〃等價于4

2.“p是q的充要條件”與的充要條件是，'的區(qū)別在哪里？

提示：〃是q的充要條件說明〃是條件，q是結(jié)論；〃的充要條件是q說明夕

是條件，〃是結(jié)論.

題型一充分、必要、充要條件的判斷

［例1］下列各題中，〃是夕的什么條件?

(l)p：x=l或x=2,q：X—1=yjx—1；

(2)p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直平分;

(3)p：xy>0,q：x>0,y>0；

(4)p：四邊形的對角線相等，q：四邊形是平行四邊形.

I解］(1)因為工=1或x=20工一1=4—1,X—1=yjx—\^x=1或x=2,所

以P是4的充要條件.

(2)若一個四邊形是正方形，則它的對角線互相垂直平分，即p=q.反之,若

四邊形的對角線互相垂直平分，該四邊形不一定是正方形，即q合p.

所以〃是q的充分不必要條件.

(3)因為xy>0時，x>0,y>0或x<0,y<0.

故p#4,但qOp.

所以p是夕的必要不充分條件.

’四邊彩的對角線用等0/四邊彩是平行四邊形，

⑷因為，

''［四邊形是平行四邊形o/四邊形的對角線相等，

所以p是q的既不充分也不必要條件.

充分、必要、充要條件的判斷方法

⑴定義法

若p0q,夕#P，則p是1的充分不必要條件；

若〃今夕，q—p，則〃是夕的必要不充分條件；

若pOq,q今p,則〃是q的充要條件；

若p今q,q#p、則p是q的既不充分又不必要條件.

(2)集合法

對于集合A={x|x滿足條件〃},3={工僅滿足條件夕},具體情況如下:

若A38,則〃是q的充分條件；

若A33,則〃是4的必要條件；

若A=3,則p是4的充要條件；

若AB,則p是q的充分不必要條件；

若A從則p是4的必要不充分條件.

題型二充分條件與必要條件的應(yīng)用

［例2］已知p：—2WxWl(),q：1—AMWXW1+〃2(/H>0),若〃是夕的必要不

充分條件，求實數(shù)〃2的取值范圍.

［解］p:—2WxW10,q:1—znWxW1+m(〃?>0).

因為〃是q的必要不充分條件，

所以4是〃的充分不必要條件，

即{x|l-mWxW1+/%}{川一2WxW10},

1—2,11—wi>—2,

故有V,或I.

[+〃2<101l+wiWlO,

解得mW3.

又加>0,所以實數(shù)的取值范圍為{詞0<mW3}.

［母題探究］

1.(變條件)若本例中“p是q的必要不充分條件”改為“p是q的充分不必

要條件”，其他條件不變，求實數(shù)機的取值范圍.

解：p:-2WxW10,q:1—mWxW1+機（加>0）.

因為p是q的充分不必要條件,

1-mW—2,1—m<-2,

所以，或.

1+心1011+團210.

解得m>9,

故實數(shù)m的取值范圍是{陽依29}.

2.(變設(shè)問)本例中p,夕不變，是否存在實數(shù)加使〃是q的充要條件？若存

在，求出機的值；若不存在，說明理由.

解：p:-2Wx<10,q*.1—mWxW1+m(m>0).

-2=1-m,

若〃是q的充要條件，則,方程組無解.

,10=l+w,

故不存在實數(shù)小，使得〃是q的充要條件.

充分條件與必要條件的應(yīng)用技巧及求解步驟

(1)應(yīng)用技巧：可利用充分性與必要性進行相關(guān)問題的求解，特別是求參數(shù)的

值或取值范圍問題；

(2)求解步驟：先把p,夕等價轉(zhuǎn)化，利用充分條件、必要條件與集合間的包

含關(guān)系，建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進行求解.

題型三v充要條件的證明

［例3］(鏈接數(shù)科書第17頁例4)求證：方程W—2x-3〃?=0有兩個同號且不

相等實根的充要條件是一；<小<0.

［證明］(1)充分性：???一*m<0,

/,方程x2—2x—36=()的判別式/=4+12〃z＞0,

且一3加＞0,

方程X2—2x—3/n=0有兩個同號且不相等的實根.

(2)必要性：若方程f-Zx-3m=0有兩個同號且不相等的實根，

4=4+12m＞0,I

則有彳解得一可＜加＜0.

RX2=-3"2＞O,J

綜合(1)(2)知，方程％2一"一3"2=0有兩個同號且不相