全國統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)解三角形第2講三角恒等變換2備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第四章三角函數(shù)、解三角形第二講三角恒等變換1.〖2021四省八校聯(lián)考〗若tan(θ-π4)=2,則sin2θ的值為()A.-35 B.-45 C.32.〖2021江西紅色七校第一次聯(lián)考〗若sin(α+π6)=13,則sin(2α+5π6)=(A.79 B.89 C.13.〖2021河南省名校第一次聯(lián)考〗已知sin(α-π3)=-3cos(α-π6),則tan2α=(A.-43 B.-32 C.43 D.4.〖2020石家莊二檢〗若cosα(1+3tan10°)=1,則α的一個可能值為()A.70° B.50° C.40° D.10°5.〖條件創(chuàng)新〗已知角α為第一象限角,sinα=23,角β的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱,則cos(β-2α)=()A.73 B.-73 C.76.〖2021晉南高中聯(lián)考〗已知α∈(π2,3π2),sinα=45,則tan(α+π7.〖2021晉南高中聯(lián)考〗對任意兩實數(shù)a,b,定義運算“*”:a*b=2a-2b,a≥b,2b8.〖2020江蘇,8,5分〗已知sin2(π4+α)=23,則sin2α的值是9.〖2021浙江杭州二中、學(xué)軍中學(xué)等五校聯(lián)考〗已知2+5cos2α=cosα,cos(2α+β)=45,α∈(0,π2),β∈(3π2,2π),則cosβ的值為(A.-45 B.44125 C.-4410.若3sin2α-2sin2α=0,則cos(2α+π4)=()A.-7210 B.22C.-210或2211.〖角度創(chuàng)新〗已知平面直角坐標(biāo)系中,點A(1,3),B(a,b),其中點B在第一象限.若∠AOB=α,且cos2α=2sin(α-π4),則ba的值為(A.2 B.1 C.12 D.12.〖2020廣東廣州天河區(qū)一模〗已知函數(shù)f(x)=sin(2x-π6),x∈(0,π),若方程f(x)=35的解為x1,x2(0<x1<x2<π),則sin(x1-x2)=(A.-45 B.-35 C.-213.〖2020太原市模擬〗已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),且sin2α(1+sinβ)=cosβ(1-cos2α),則下列結(jié)論正確的是(A.2α-β=π2 B.2α+β=C.α+β=π2 D.α-β=14.〖2021黑龍江省六校聯(lián)考〗已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),則2α-β=15.〖2020合肥模擬〗已知函數(shù)f(x)=2cos(x+π4)cos(x-π4)+sinx,若對任意的實數(shù)x,恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2),則cos(α1-α2)=16.〖角度創(chuàng)新〗若sin78°=m,則sin6°=()A.m+12 B.1-m17.〖向量與三角函數(shù)綜合〗已知向量a=(sin2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,0<α<π2,則α=答案第四章三角函數(shù)、解三角形第二講三角恒等變換1.A∵tan(θ-π4)=tanθ-11+tanθ=2,∴tanθ=-3,∴sin2θ2.Asin(2α+5π6)=sin〖2(α+π6)+π2〗=cos〖2(α+π6)〗=1-2sin2(α+π6)=1-2×(133.A因為sin(α-π3)=-3cos(α-π6),所以12sinα-32cosα=-3×32cosα-3×12sinα,則2sinα=-3cosα,即tanα4.Ccosα(1+3tan10°)=cosα(1+3sin10°cos10°)=cosα·cos10°+3sin10°cos10°=cosα·2sin(10°+30°)cos10°=1,即2sin40°cosα5.C因為角α為第一象限角,sinα=23,所以cosα=1-sin2α=73,所以cos2α=2cos2α-1=59,sin2α=2sinαcosα=2149.又角β的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱,所以角β為第四象限角,sinβ=-23,cosβ=73,由兩角差的余弦公式可得cos(β-2α)=cosβ6.-17由題知,cosα=-1-sin2α=-35,∴tanα=sinαcos7.〖0,22〗由題知a*b=2|a-b|,則f(x)=sinx*cosx=2|sinx-cosx|=22|sin(x-π4)|∈〖0,228.13因為sin2(π4+α)=23,所以1-cos(π9.B由2+5cos2α=cosα結(jié)合二倍角公式可得,10cos2α-cosα-3=0,解得cosα=35或cosα=-12,因為α∈(0,π2),所以cosα=35,sinα=45,所以cos2α=cosα-25=-725,sin2α=2sinαcosα=2425,所以π2<2α<π.因為β∈(3π2,2π),所以2α+β∈(2π,3π),又cos(2α+β)=45,所以2α+β∈(2π,5π2),所以sin(2α+β)=35,所以cosβ=cos〖(2α+β)-2α10.B由題可得3sinαcosα-sin2α=0,即sinα(3cosα-sinα)=0,所以sinα=0或tanα=3.又cos(2α+π4)=cos2αcosπ4-sin2α·sinπ4=22(cos2α-sin2α),所以當(dāng)sinα=0時,即α=kπ,k∈Z,則cos(2α+π4)=cosπ4=22.當(dāng)tanα=3時,cos(211.C由cos2α=2sin(α-π4),得cos2α-sin2α=sinα-cosα,即(cosα+sinα+1)(sinα-cosα)=0.由于點B在第一象限,因而cosα+sinα+1≠0,故sinα-cosα=0,即tanα=1.如圖D4-2-1,設(shè)∠AOx=β,則tanβ=3,所以ba=tan(β-α)=tan圖D4-2-1〖易錯警示〗本題的易錯點是考生忽略已知條件“點B在第一象限”,從而不能確定cosα+sinα+1≠0,還有部分考生不能在平面直角坐標(biāo)系中確定點B在點A的下方,導(dǎo)致考生可能會分兩種情況求解ba的值12.A因為0<x<π,所以2x-π6∈(-π6,11π6).令2x-π6=π2+kπ(k∈Z),可得f(x)對稱軸方程為x=π3+kπ2(k∈Z).因為方程f(x)=35的解為x1,x2(0<x1<x2<π),所以x1+x22=π3,所以x2=2π3-x1,所以sin(x1-x2)=sin(2x1-2π3)=-cos(2x1-π6).因為x1<x2,x2=2π3-x1,所以0<x1<π3,所以2x1-π13.A由題可知,2sinαcosα(1+sinβ)=cosβ·2sin2α,因為α,β∈(0,π2),所以sinα≠0,所以cosα(1+sinβ)=cosβsinα,即cosα=sin(α-β),因為cosα=sin(π2+α)=sin(π2-α),所以α-β=π2+α(舍)或α-β=π2-α14.-3π4易知tan(2α-β)=tan〖2(α-β)+β〗.因為tan(α-β)=12,所以tan2(α-β)=2tan(α-β)1-tan2(α-β)=43,故tan(2α-β)=tan2(α-β)+tanβ1-tan2(α-β)tanβ=1.由tanβ=-15.-14因為f(x)=2(22cosx-22sinx)(22cosx+22sinx)+sinx=2(12cos2x-12sin2x)+sinx=1-2sin2x+sinx=-2(sinx-14)2+98,且f(x)對任意實數(shù)x恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2),所以sinα1=-1,sinα2=14.則cosα1=0,cos(α1-α2)=cosα1cos16.D因為sin78°=m,所以cos12°=m,則sin26°=1-cos12°2=1-m17.π6若a∥b,則sin2α-cosα=0,即2sinαcosα=cosα.又0<α<π2,∴cosα≠0,∴sinα=12,∴α第四章三角函數(shù)、解三角形第二講三角恒等變換1.〖2021四省八校聯(lián)考〗若tan(θ-π4)=2,則sin2θ的值為()A.-35 B.-45 C.32.〖2021江西紅色七校第一次聯(lián)考〗若sin(α+π6)=13,則sin(2α+5π6)=(A.79 B.89 C.13.〖2021河南省名校第一次聯(lián)考〗已知sin(α-π3)=-3cos(α-π6),則tan2α=(A.-43 B.-32 C.43 D.4.〖2020石家莊二檢〗若cosα(1+3tan10°)=1,則α的一個可能值為()A.70° B.50° C.40° D.10°5.〖條件創(chuàng)新〗已知角α為第一象限角,sinα=23,角β的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱,則cos(β-2α)=()A.73 B.-73 C.76.〖2021晉南高中聯(lián)考〗已知α∈(π2,3π2),sinα=45,則tan(α+π7.〖2021晉南高中聯(lián)考〗對任意兩實數(shù)a,b,定義運算“*”:a*b=2a-2b,a≥b,2b8.〖2020江蘇,8,5分〗已知sin2(π4+α)=23,則sin2α的值是9.〖2021浙江杭州二中、學(xué)軍中學(xué)等五校聯(lián)考〗已知2+5cos2α=cosα,cos(2α+β)=45,α∈(0,π2),β∈(3π2,2π),則cosβ的值為(A.-45 B.44125 C.-4410.若3sin2α-2sin2α=0,則cos(2α+π4)=()A.-7210 B.22C.-210或2211.〖角度創(chuàng)新〗已知平面直角坐標(biāo)系中,點A(1,3),B(a,b),其中點B在第一象限.若∠AOB=α,且cos2α=2sin(α-π4),則ba的值為(A.2 B.1 C.12 D.12.〖2020廣東廣州天河區(qū)一?！揭阎瘮?shù)f(x)=sin(2x-π6),x∈(0,π),若方程f(x)=35的解為x1,x2(0<x1<x2<π),則sin(x1-x2)=(A.-45 B.-35 C.-213.〖2020太原市模擬〗已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),且sin2α(1+sinβ)=cosβ(1-cos2α),則下列結(jié)論正確的是(A.2α-β=π2 B.2α+β=C.α+β=π2 D.α-β=14.〖2021黑龍江省六校聯(lián)考〗已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),則2α-β=15.〖2020合肥模擬〗已知函數(shù)f(x)=2cos(x+π4)cos(x-π4)+sinx,若對任意的實數(shù)x,恒有f(α1)≤f(x)≤f(α2),則cos(α1-α2)=16.〖角度創(chuàng)新〗若sin78°=m,則sin6°=()A.m+12 B.1-m17.〖向量與三角函數(shù)綜合〗已知向量a=(sin2α,1),b=(cosα,1),若a∥b,0<α<π2,則α=答案第四章三角函數(shù)、解三角形第二講三角恒等變換1.A∵tan(θ-π4)=tanθ-11+tanθ=2,∴tanθ=-3,∴sin2θ2.Asin(2α+5π6)=sin〖2(α+π6)+π2〗=cos〖2(α+π6)〗=1-2sin2(α+π6)=1-2×(133.A因為sin(α-π3)=-3cos(α-π6),所以12sinα-32cosα=-3×32cosα-3×12sinα,則2sinα=-3cosα,即tanα4.Ccosα(1+3tan10°)=cosα(1+3sin10°cos10°)=cosα·cos10°+3sin10°cos10°=cosα·2sin(10°+30°)cos10°=1,即2sin40°cosα5.C因為角α為第一象限角,sinα=23,所以cosα=1-sin2α=73,所以cos2α=2cos2α-1=59,sin2α=2sinαcosα=2149.又角β的終邊與角α的終邊關(guān)于x軸對稱,所以角β為第四象限角,sinβ=-23,cosβ=73,由兩角差的余弦公式可得cos(β-2α)=cosβ6.-17由題知,cosα=-1-sin2α=-35,∴tanα=sinαcos7.〖0,22〗由題知a*b=2|a-b|,則f(x)=sinx*cosx=2|sinx-cosx|=22|sin(x-π4)|∈〖0,228.13因為sin2(π4+α)=23,所以1-cos(π9.B由2+5cos2α=cosα結(jié)合二倍角公式可得,10cos2α-cosα-3=0,解得cosα=35或cosα=-12,因為α∈(0,π2),所以cosα=35,sinα=45,所以cos2α=cosα-25=-725,sin2α=2sinαcosα=2425,所以π2<2α<π.因為β∈(3π2,2π),所以2α+β∈(2π,3π),又cos(2α+β)=45,所以2α+β∈(2π,5π2),所以sin(2α+β)=35,所以cosβ=cos〖(2α+β)-2α10.B由題可得3sinαcosα-sin2α=0,即sinα(3cosα-sinα)=0,所以sinα=0或tanα=3.又cos(2α+π4)=cos2αcosπ4-sin2α·sinπ4=22(cos2α-sin2α),所以當(dāng)sinα=0時,即α=kπ,k∈Z,則cos(2α+π4)=cosπ4=22.當(dāng)tanα=3時,cos(211.C由cos2α=2sin(α-π4),得cos2α-sin2α=sinα-cosα,即(cosα+sinα+1)(sinα-cosα)=0.由于點B在第一象限,因而cosα+sinα+1≠0,故sinα-cosα=0,即tanα=1.如圖D4-2-1,設(shè)∠AOx=β,則tanβ=3,所以ba=tan(β-α)=tan圖D4-2-1〖易錯警示〗本題的易錯點是考生忽略已知條件“點B在第一象限”,從而不能確定cosα+sinα+1≠0,還有部分考生不能在平面直角坐標(biāo)系中確定點B在點A的下方,導(dǎo)致考生可能會分兩種情況求解ba的值12.A因為0<x<π,所以2x-π6∈(-π6,11π6).令2x-π6=π2+kπ(k∈Z),可得f(x)對稱軸方程為x=π3+kπ2(k∈Z).因為方程f(x)=35的解為x1,x2(0<x1<x2<π),所以x1+x22=π3,所以x2=2π3-x1,所以sin(x