全國統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第9章直線和圓的方程第1講直線方程與兩直線的位置關(guān)系1備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第九章直線和圓的方程第一講直線方程與兩直線的位置關(guān)系練好題·考點自測1.〖改編題〗下列說法正確的是()A.直線的傾斜角越大,其斜率越大B.若直線的斜率為tanα,則其傾斜角為αC.經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示D.直線的截距即是直線與坐標(biāo)軸的交點到原點的距離2.〖2020全國卷Ⅱ,8,5分〗〖文〗若過點(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為()A.55 B.255 C.33.〖2021安徽示范高中聯(lián)考〗已知點(1,-1)關(guān)于直線l1:y=x的對稱點為A,設(shè)直線l2經(jīng)過點A,則當(dāng)點B(2,-1)到直線l2的距離最大時,直線l2的方程為()A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=04.〖2016浙江,4,5分〗若平面區(qū)域x+y-3≥0,2xA.355 B.2 C.35.〖2016四川,10,5分〗〖文〗設(shè)直線l1,l2分別是函數(shù)f(x)=-lnx,0<x<1,lnx,x>1圖象上點P1,P2處的切線,l1與l2垂直相交于點P,且l1,l2分別與yA.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)6.〖2020四川五校聯(lián)考〗過直線x+y=0上一點P作圓(x+1)2+(y-5)2=2的兩條切線l1,l2,A,B為切點,當(dāng)直線l1,l2關(guān)于直線x+y=0對稱時,∠APB=()A.30° B.45° C.60° D.90°7.〖2021上海模擬〗過點(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為.

8.〖2021山西摸底測試〗已知a>0,b>0,若直線(a-1)x+2y-1=0與直線x+by=0互相垂直,則ab的最大值是.

拓展變式1.(1)已知直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,當(dāng)0<a<2時,直線l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形,當(dāng)四邊形的面積最小時,實數(shù)a=.

(2)過直線2x+7y-4=0與7x-21y-1=0的交點,且和A(-3,1),B(5,7)等距離的直線方程為.

2.已知直線l的方程為3x+4y-12=0,(1)求過點(-1,3),且與l平行的直線l'的方程;(2)求過點(-1,3),且與l垂直的直線l'的方程;(3)若直線l'與l垂直,且l'與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,求直線l'的方程.3.(1)〖2020全國卷Ⅲ,8,5分〗〖文〗點(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.2(2)〖2020黑龍江哈爾濱模擬〗若直線y=-33x+1和x軸、y軸分別交于點A,B,以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC.若在第一象限內(nèi)有一點P(m,12),使得△ABP和△ABC的面積相等,則m的值為(A.332 B.23 C.5答案第九章直線和圓的方程第一講直線方程與兩直線的位置關(guān)系1.C對于選項A,當(dāng)直線的傾斜角α1=135°,α2=45°時,α1>α2,但其對應(yīng)斜率k1<k2,故選項A錯誤;對于選項B,tanα中的α不一定在〖0,π)內(nèi),傾斜角α必在〖0,π)內(nèi),故選項B錯誤;對于選項D,截距不是距離,截距可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零,而距離只能是零或正數(shù),選C.2.B因為圓與兩坐標(biāo)軸都相切,點(2,1)在該圓上,所以可設(shè)該圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5),所以圓心到直線2x-y-3=0的距離為|2×1-1-3|22+(-1)3.B易知A(-1,1).設(shè)點B(2,-1)到直線l2的距離為d,當(dāng)d=|AB|時取得最大值,此時直線l2垂直于直線AB,又-1kAB=32,所以直線l2的方程為y-1=32(x+1),即34.B不等式組x+y-3≥0,2x-y-3≤0,x-2y+3≥0表示的平面區(qū)域如圖D9-1-1中陰影部分所示,其中A(1,2),B(2,1),當(dāng)兩條平行直線間的距離最小時,兩平行直線分別過點A,點B,又兩平行直線的斜率為1,直線AB的斜率為-1,所以線段AB圖D9-1-15.A不妨設(shè)P1(x1,lnx1),P2(x2,-lnx2),P(xP,yP),由于l1⊥l2,所以1x1×(-1x2)=-1,則x1=1x2.又切線l1:y-lnx1=1x1(x-x1),l2:y+lnx2=-1x2(x-x2),于是A(0,lnx1-1),B(0,1+lnx1),所以|AB|=2.由y-lnx1=1x1(x-x1),y+lnx2=-16.C解法一如圖D9-1-2,設(shè)圓(x+1)2+(y-5)2=2的圓心為C,則C(-1,5),則點C不在直線y=-x上,要滿足l1,l2關(guān)于直線y=-x對稱,則PC必然垂直于直線y=-x,所以線段PC所在直線的斜率kPC=1,則線段PC所在的直線l:y-5=x+1,即y=x+6,與y=-x聯(lián)立,得P(-3,3).所以|PC|=(-1+3)2+(5-3)2=22.設(shè)∠APC=α,則∠APB=2α,在△APC中,sinα=|AC||PC|=2圖D9-1-2解法二如圖D9-1-2,設(shè)圓(x+1)2+(y-5)2=2的圓心為C,則C(-1,5),則點C不在直線y=-x上,要滿足l1,l2關(guān)于直線y=-x對稱,則PC必然垂直于直線y=-x,所以|PC|=412+12=22,易知圓的半徑r=2,sin∠APC=|AC||PC|7.3x-2y=0或x-y+1=0當(dāng)直線過原點時,直線的斜率為k=3-02-0=32,此時直線方程為y=32x,即3x-2y=0.當(dāng)直線不過原點時,設(shè)直線方程為xa+y-a=1,把(2,3)代入可得a=-1,此時直線方程為x-y+1=0.8.18由兩條直線互相垂直得(a-1)×1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以ab=12(a·2b)≤12(a+2b2)2=18,當(dāng)且僅當(dāng)a=12,b=1.(1)12由題意知直線l1,l2恒過定點P(2,2),直線l1的縱截距為2-a,因為0<a<2,所以2-a>0,直線l2的橫截距為a2+2,所以四邊形的面積S=12×2(2-a)+12×2(a2+2)=a2-a+4=(a-12)2+154(2)21x-28y-13=0或x=1因為A,B到直線7x-21y-1=0的距離不相等,所以可設(shè)所求直線方程為2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,由點A(-3,1),B(5,7)到所求直線的距離相等,可得|(2+7λ|(2+7λ整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=13,所以所求的直線方程為21x-28y-13=0或x2.(1)解法一直線l的方程可化為y=-34x+3,可知l的斜率為-34,因為l'與l平行,所以直線又l'過點(-1,3),所以由點斜式得直線l'的方程為y-3=-34(x+1),即3x+4y解法二由l'與l平行,可設(shè)l'的方程為3x+4y+m=0(m≠-12),將(-1,3)代入,得m=-9,于是所求直線方程為3x+4y-9=0.(2)解法一直線l的方程可化為y=-34x+3,可知l的斜率為-34,因為l'與l垂直,所以直線又l'過點(-1,3),所以由點斜式得直線方程為y-3=43(x即4x-3y+13=0.解法二由l'與l垂直,可設(shè)l'的方程為4x-3y+n=0,將(-1,3)代入,得n=13,于是所求直線方程為4x-3y+13=0.(3)由l'與l垂直,可設(shè)直線l'的方程為4x-3y+p=0,則l'在x軸上的截距為-p4,在y軸上的截距為由題意可知,l'與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=12·|p3|·|-p4|=4,求得所以直線l'的方程為4x-3y+46=0或4x-3y-46=0.3.(1)B記點A(0,-1),直線y=k(x+1)恒過點B(-1,0),當(dāng)AB垂直于直線y=k(x+1)時,點A(0,-1)到直線y=k(x+1)的距離最大,且最大值為|AB|=2,故選B.(2)C過點C作直線l,使l∥AB,則點P在直線l上.由題意易知,A(3,0),B(0,1),則|AB|=2,所以點C到直線AB的距離d=22-12=3.直線AB的方程可化為3x+3y-3=0,由△ABP和△ABC的面積相等,可知點P到直線AB的距離等于點C到直線AB的距離,即|3m+3×12-3|(3)2+第九章直線和圓的方程第一講直線方程與兩直線的位置關(guān)系練好題·考點自測1.〖改編題〗下列說法正確的是()A.直線的傾斜角越大,其斜率越大B.若直線的斜率為tanα,則其傾斜角為αC.經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示D.直線的截距即是直線與坐標(biāo)軸的交點到原點的距離2.〖2020全國卷Ⅱ,8,5分〗〖文〗若過點(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為()A.55 B.255 C.33.〖2021安徽示范高中聯(lián)考〗已知點(1,-1)關(guān)于直線l1:y=x的對稱點為A,設(shè)直線l2經(jīng)過點A,則當(dāng)點B(2,-1)到直線l2的距離最大時,直線l2的方程為()A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=04.〖2016浙江,4,5分〗若平面區(qū)域x+y-3≥0,2xA.355 B.2 C.35.〖2016四川,10,5分〗〖文〗設(shè)直線l1,l2分別是函數(shù)f(x)=-lnx,0<x<1,lnx,x>1圖象上點P1,P2處的切線,l1與l2垂直相交于點P,且l1,l2分別與yA.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)6.〖2020四川五校聯(lián)考〗過直線x+y=0上一點P作圓(x+1)2+(y-5)2=2的兩條切線l1,l2,A,B為切點,當(dāng)直線l1,l2關(guān)于直線x+y=0對稱時,∠APB=()A.30° B.45° C.60° D.90°7.〖2021上海模擬〗過點(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為.

8.〖2021山西摸底測試〗已知a>0,b>0,若直線(a-1)x+2y-1=0與直線x+by=0互相垂直,則ab的最大值是.

拓展變式1.(1)已知直線l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,當(dāng)0<a<2時,直線l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形,當(dāng)四邊形的面積最小時,實數(shù)a=.

(2)過直線2x+7y-4=0與7x-21y-1=0的交點,且和A(-3,1),B(5,7)等距離的直線方程為.

2.已知直線l的方程為3x+4y-12=0,(1)求過點(-1,3),且與l平行的直線l'的方程;(2)求過點(-1,3),且與l垂直的直線l'的方程;(3)若直線l'與l垂直,且l'與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,求直線l'的方程.3.(1)〖2020全國卷Ⅲ,8,5分〗〖文〗點(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.2(2)〖2020黑龍江哈爾濱模擬〗若直線y=-33x+1和x軸、y軸分別交于點A,B,以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC.若在第一象限內(nèi)有一點P(m,12),使得△ABP和△ABC的面積相等,則m的值為(A.332 B.23 C.5答案第九章直線和圓的方程第一講直線方程與兩直線的位置關(guān)系1.C對于選項A,當(dāng)直線的傾斜角α1=135°,α2=45°時,α1>α2,但其對應(yīng)斜率k1<k2,故選項A錯誤;對于選項B,tanα中的α不一定在〖0,π)內(nèi),傾斜角α必在〖0,π)內(nèi),故選項B錯誤;對于選項D,截距不是距離,截距可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零,而距離只能是零或正數(shù),選C.2.B因為圓與兩坐標(biāo)軸都相切,點(2,1)在該圓上,所以可設(shè)該圓的方程為(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0),所以(2-a)2+(1-a)2=a2,即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,所以圓心的坐標(biāo)為(1,1)或(5,5),所以圓心到直線2x-y-3=0的距離為|2×1-1-3|22+(-1)3.B易知A(-1,1).設(shè)點B(2,-1)到直線l2的距離為d,當(dāng)d=|AB|時取得最大值,此時直線l2垂直于直線AB,又-1kAB=32,所以直線l2的方程為y-1=32(x+1),即34.B不等式組x+y-3≥0,2x-y-3≤0,x-2y+3≥0表示的平面區(qū)域如圖D9-1-1中陰影部分所示,其中A(1,2),B(2,1),當(dāng)兩條平行直線間的距離最小時,兩平行直線分別過點A,點B,又兩平行直線的斜率為1,直線AB的斜率為-1,所以線段AB圖D9-1-15.A不妨設(shè)P1(x1,lnx1),P2(x2,-lnx2),P(xP,yP),由于l1⊥l2,所以1x1×(-1x2)=-1,則x1=1x2.又切線l1:y-lnx1=1x1(x-x1),l2:y+lnx2=-1x2(x-x2),于是A(0,lnx1-1),B(0,1+lnx1),所以|AB|=2.由y-lnx1=1x1(x-x1),y+lnx2=-16.C解法一如圖D9-1-2,設(shè)圓(x+1)2+(y-5)2=2的圓心為C,則C(-1,5),則點C不在直線y=-x上,要滿足l1,l2關(guān)于直線y=-x對稱,則PC必然垂直于直線y=-x,所以線段PC所在直線的斜率kPC=1,則線段PC所在的直線l:y-5=x+1,即y=x+6,與y=-x聯(lián)立,得P(-3,3).所以|PC|=(-1+3)2+(5-3)2=22.設(shè)∠APC=α,則∠APB=2α,在△APC中,sinα=|AC||PC|=2圖D9-1-2解法二如圖D9-1-2,設(shè)圓(x+1)2+(y-5)2=2的圓心為C,則C(-1,5),則點C不在直線y=-x上,要滿足l1,l2關(guān)于直線y=-x對稱,則PC必然垂直于直線y=-x,所以|PC|=412+12=22,易知圓的半徑r=2,sin∠APC=|AC||PC|7.3x-2y=0或x-y+1=0當(dāng)直線過原點時,直線的斜率為k=3-02-0=32,此時直線方程為y=32x,即3x-2y=0.當(dāng)直線不過原點時,設(shè)直線方程為xa+y-a=1,把(2,3)代入可得a=-1,此時直線方程為x-y+1=0.8.18由兩條直線互相垂直得(a-1)×1+2b=0,即a+2b=1,又a>0,b>0,所以ab=12(a·2b)≤12(a+2b2)2=18,當(dāng)且僅當(dāng)a=12,b=1.(1)12由題意知直線l1,l2恒過定點P(2,2),直線l1的縱截距為2-a,因為0<a<2,所以2-a>0,直線l2的橫截距為a2+2,所以四邊形的面積S=12×2(2-a)+12×2(a2+2)=a2-a+4=(a-12)2+154(2)21x-28y-13=0或x=1因為A,B到直線7x-21y-1=0的距離不相等,所以可設(shè)所求直線方程為2x+7y-4+λ(7x-21y-1)=0,即(2+7λ)x+(7-21λ)y+(-4-λ)=0,由點A(-3,1),B(5,7)到所求直線的距離相等,可得|(2+7λ|(2+7λ整理可得|43λ+3|=|113λ-55|,解得λ=2935或λ=13,所以所求的直線方程為