四川省樂山市2024屆第三次調(diào)查研究考試文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

機密★啟用前樂山市高中2024屆第三次調(diào)查研究考試文科數(shù)學(xué)（本試卷共4頁，滿分150分.考試時間120分鐘）[考試時間：2024年5月7日下午3：00—5：00]注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則集合的元素個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的定義與運算法則，進行計算即可.【詳解】由題意知，，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，所以，所以集合中的元素個數(shù)為4.故選：C.2.若復(fù)數(shù)滿足是的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算計算即可.【詳解】依題意，所以，的虛部為.故選：B.3.為了解某中學(xué)三個年級的學(xué)生對食堂飯菜的滿意程度，用分層隨機抽樣的方法抽取30%的學(xué)生進行調(diào)查，已知該中學(xué)學(xué)生人數(shù)和各年級學(xué)生的滿意率分別如圖1和圖2所示，則樣本容量和抽取的二年級學(xué)生中滿意的人數(shù)分別為（）A.800，360 B.600，108 C.800，108 D.600，360【答案】B【解析】【分析】由扇形圖求出三個年級的學(xué)生總?cè)藬?shù)，進而求出樣本容量，求出抽取的二年級學(xué)生人數(shù)，再結(jié)合二年級學(xué)生的滿意率求解.【詳解】由扇形圖可知，三個年級的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人，所以樣本容量為人，因為抽取的二年級學(xué)生人數(shù)為人，所以抽取的二年級學(xué)生中滿意的人數(shù)為人.故選：B4.已知，且為第二象限角，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用同角的平方關(guān)系與商數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，又為第二象限角，所以.故選：A.5.設(shè)雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得橢圓的離心率，進而可求得雙曲線的離心率，可求的值.【詳解】由橢圓，可得，所以，所以橢圓的離心率，又，所以雙曲線的離心率為，又雙曲線，所以，所以，解得.故選：B.6.一個多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為（）A.20 B.24 C.28 D.32【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的三視圖，作出原幾何體，再求出表面積即可得解.【詳解】原三視圖對應(yīng)的幾何體是棱長為2的正方體，挖去角上一個棱長為1的正方體，如圖，該多面體的表面積為.故選：B7.在區(qū)間上任取一個整數(shù)，則使函數(shù)存在兩個不同零點概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用，可求有兩個零點的的范圍，進而可求概率.【詳解】因為函數(shù)存在兩個不同零點，所以有兩個不同的根，所以，解得或，在區(qū)間上任取一個整數(shù)，共有16種取法，能使使函數(shù)存在兩個不同零點的取法有13種，所以使函數(shù)存在兩個不同零點的概率為.故選：C.8.已知，若存在常數(shù)，使得為奇函數(shù)，則的可能值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義，結(jié)合余弦型函數(shù)的奇偶性求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域為R，由為奇函數(shù)，得是奇函數(shù)，則必有函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，此時，因此，當(dāng)時，，不存在整數(shù)，使得值為BCD，當(dāng)時，是奇函數(shù).故選：A9.在中，點是邊上靠近點的三等分點，若，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由勾股定理求出，由余弦定理求出可得，再由可得答案.【詳解】設(shè)，則，，由余弦定理得，，解得，，所以，，.故選：C.10.若，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用放縮法可得，利用作商比較法可得，進而可得，可得結(jié)論.【詳解】，所以則，又，所以，所以.故選：D.11.在三棱柱中，點在棱上，且，點在棱上，且為的中點，點在直線上，若平面，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件及線面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)即可求解.【詳解】依題意，作出圖形如圖所示設(shè)為的中點，因為為的中點，所以,又平面，平面，所以平面，過點作，交于,則易知平面，又因為平面，平面，所以平面平面又平面,所以平面.因為,所以四邊形為平行四邊形，所以,因為，所以,,所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，求出四邊形為平行四邊形即可.12.已知圓，點是上的動點，過作圓的切線，切點分別為，直線與交于點，則的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及三角形相似，利用向量的關(guān)系及點在直線上，結(jié)合圓上的點到定點的距離的最值即可求解.【詳解】由題意作出圖形如圖所示設(shè)Mx,y，，由∽,可得，所以，即，即，所以，所以，所以點，將點的坐標代入直線中，化簡可得（不同時為），所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，所以的最大值為故選：B.二?填空題：本大題共4小題；每小題5分，共20分.13.已知向量，若，則實數(shù)的值是__________.【答案】##【解析】【分析】利用向量的坐標運算及兩向量垂直的條件即可求解.【詳解】因為，所以.又因為，所以，解得.所以實數(shù)的值是.故答案為：.14.若關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形，則的值為__________.【答案】0或【解析】【分析】如圖，分類討論，當(dāng)直線與y軸垂直時符合題意，解得；當(dāng)直線與直線垂直時符合題意，解得.【詳解】作出直線，且直線經(jīng)過定點，若直線與y軸垂直，則，不等式組表示的平面區(qū)域為，為等腰直角三角形，此時；若直線與直線垂直，則，不等式組表示的平面區(qū)域為，為等腰直角三角形，此時.故答案為：0或.15.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有3個零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先利用三角函數(shù)恒等變換公式把函數(shù)化成，可求出的系列正根，根據(jù)函數(shù)在上根的個數(shù)，可確定的取值范圍.【詳解】因為，由（）令可得.因為在上有且僅有3個零點，所以，故的取值范圍是：.故答案為：16.峨眉山是一個著名的旅游和朝圣地，以其壯麗的自然風(fēng)光和宗教文化遺址而聞名.其中“九十九道拐”景點約有2000級臺階，某游客一次上1個或2個臺階，設(shè)爬上第個臺階的方法數(shù)為，給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根據(jù)題意可以得到,再對每一個進行判斷即可.【詳解】由于到第級階梯有兩種方法：從第級階梯上一級臺階或者從第級階梯上兩級臺階，因此由題意有，可得,當(dāng)時，,所以②正確;所以,所以①正確,所以，③錯誤;,所以④正確.故答案為：①②④三?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或推演步驟.17.已知是等差數(shù)列的前項和.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為，然后由等差數(shù)列的定義證明即可；（2）由（1）可知數(shù)列是等差數(shù)列，由求出其首項和第四項，然后求出公差，利用等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【小問1詳解】證明：設(shè)等差數(shù)列an的公差為，，．．是等差數(shù)列．【小問2詳解】，數(shù)列的首項為2，第四項為．?dāng)?shù)列的公差．．18.某學(xué)校舉辦了一次主題為“科技興國，強國有我”的知識競賽，并從所有參賽學(xué)生中隨機抽取了男?女生各50人，統(tǒng)計他們的競賽成績（滿分100分，每名參賽學(xué)生至少得60分），并將成績分成4組：（單位：分），得到頻率分布直方圖.（1）試用樣本估計總體的思想，估計這次競賽中參賽學(xué)生成績的眾數(shù)及平均數(shù)；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的區(qū)間中點值作代表）（2）現(xiàn)將競賽成績不低于90分的學(xué)生稱為“科技知識達人”，成績低于90分的學(xué)生稱為“非科技知識達人”.把隨機抽取的參賽學(xué)生數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下，請將下列列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為能否獲得“科技知識達人”稱號與性別有關(guān).

科技知識達人非科技知識達人合計男生15

女生

合計

附：（其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）85，81；（2）有.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖估計參賽學(xué)生成績的眾數(shù)的平均數(shù).（2）完善列聯(lián)表，計算的觀測值并回答問題.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得，這次競賽中參賽學(xué)生成績的眾數(shù)為85；成績在的頻率依次為，這次競賽中參賽學(xué)生成績的平均數(shù).【小問2詳解】競賽成績不低于90分的學(xué)生數(shù)為，完善列聯(lián)表，如下：

科技知識達人非科技知識達人合計男生153550女生54550合計2080100零假設(shè)為能否獲得“科技知識達人”稱號與性別獨立，，所以有的把握認為能否獲得“科技知識達人”稱號與性別有關(guān).19.如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，且與交于.（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，利用等腰三角形的三線合一和余弦定理的推理，結(jié)合勾股定理的逆定理和線面垂直的判定定理即可求證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，利用矩形的性質(zhì)及勾股定理，結(jié)合棱錐的體積公式即可求解.【小問1詳解】因為底面是邊長為2的菱形，所以.因為，所以，所以.因為點為線段中點，所以.在中，，所以，解得.所以即，所以又，平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，，又四邊形為菱形，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，又是平行六面體，所以，所以四邊形為矩形，由（1）知，，所以，從而，連接，交于，連接，如圖所示在中，，為的中點，所以，同理，又，平面，平面，所以平面，線段的長為到平面的距離.由，可得，直角三角形中，，20.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)，對分情況討論函數(shù)的單調(diào)性，進而可得函數(shù)最值情況，即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，，，則，令，解得或（舍），當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，綜上所述，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】由題可知，令當(dāng)時，由可知，即，所以在為增函數(shù).對任意都有，符合題意.由解得或.，下面討論與1的大小:②當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增.存在，使得.③當(dāng)時，，對任意都有，即在上為減函數(shù)，恒成立，不符合題意.綜上所述，時，存在，使得.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是引入的分子作為新函數(shù)，再對進行合理地分類討論.21.已知橢圓的左?右焦點分別為分別是橢圓的上下頂點，分別是橢圓的左右頂點，點在橢圓上，且的面積為.（1）求橢圓的方程；（2）點是橢圓上的動點（不與重合），是在點處的切線，直線交于點，直線交于點，求證：直線的斜率為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求的值，確定橢圓的標準方程.（2）因為直線的斜率不為0，可設(shè)直線方程為：，與直線方程聯(lián)立可得點坐標，與橢圓方程聯(lián)立，可得點坐標，進一步寫出直線的方程，令得點坐標，列出直線的斜率，化簡即可.【小問1詳解】．點在橢圓上，，解得或（舍）．橢圓的方程為．【小問2詳解】如圖：易知直線斜率不為0，設(shè)直線方程為直線方程為：，聯(lián)立，得．由，得，．直線的斜率為：．直線方程為：．令，得．．所以直線的斜率為定值.請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.在直角坐標系中，曲線的方程為的方程為是一條經(jīng)過原點且斜率為正的直線.（1）以坐標原點為極點，軸正方向為極軸建立極坐標系，求的極坐標方程；（2）若與分別相交于異于原點的兩點，當(dāng)時，求的直角坐標方程.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)即可求解；（2）設(shè)曲線的極坐標方程為，分別聯(lián)立與和的極坐標方程，求出，再根據(jù)即可得解.【小問1