2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何單元綜合測(cè)試含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE12單元綜合測(cè)試三(第三章)時(shí)間：90分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(每小題5分，共60分)1．與向量a＝(1，－3,2)平行的一個(gè)向量的坐標(biāo)可以是(C)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1，1)) B．(－1，－3,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，－1)) D．(eq\r(2)，－3，－2eq\r(2))解析：a＝(1，－3,2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)，－1)).2．如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則用向量a，b，c表示向量eq\o(BD1,\s\up6(→))為(D)A．a(chǎn)＋b＋cB．a(chǎn)－b＋cC．a(chǎn)＋b－cD．－a＋b＋c解析：eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.3．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，則x等于(B)A．4 B．－4C.eq\f(1,2) D．－6解析：a＋b＝(－2,1,3＋x)，∵(a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝0，∴－2－x＋2(3＋x)＝0，得x＝－4.4．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a，b的夾角的余弦值為eq\f(8,9)，則λ等于(C)A．2 B．－2C．－2或eq\f(2,55) D．2或－eq\f(2,55)解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝eq\r(5＋λ2)×3×eq\f(8,9).解得λ＝－2或eq\f(2,55).5．已知空間四邊形ABCD每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E、F、G分別是AB、AD、DC的中點(diǎn)，則a2是下列哪個(gè)選項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果(C)A．2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→)) B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)) D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))解析：2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a2，A錯(cuò)；2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝－a2，B錯(cuò)；2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2，D錯(cuò)；只有C對(duì)．6．若A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，當(dāng)|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，x的值等于(C)A．19 B．－eq\f(8,7)C.eq\f(8,7)D.eq\f(19,14)解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－x,2x－3，－3x＋3)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(1－x2＋2x－32＋－3x＋32)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14x－\f(8,7)2＋\f(5,7))，故當(dāng)x＝eq\f(8,7)時(shí)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值，故選C.7．已知ABCD，ABEF是邊長(zhǎng)為1的正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，則異面直線AC與EF所成的角為(B)A．30° B．45°C．60° D．90°解析：∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，四邊形ABCD，ABEF均為正方形，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→)))2＝1.∴|cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(FE,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(FE,\s\up6(→))|))))＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴AC與EF所成角為45°.8．如圖所示，正方體ABCD-A′B′C′D′中，M是AB的中點(diǎn)，則sin〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉的值為(B)A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(210),15)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(11),15)解析：以DA，DC，DD′所在的直線分別為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，B′(1,1,1)，C(0,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，則eq\o(DB′,\s\up6(→))＝(1,1,1)，eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，0))，cos〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(15),15)，則sin〈eq\o(DB′,\s\up6(→))，eq\o(CM,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(210),15).9.如圖所示，AB＝AC＝BD＝1，AB?平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD與平面α成30°角，則C、D間的距離為(C)A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2).10．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，則MN與平面BB1C1A．斜交 B．平行C．垂直 D．不能確定解析：如下圖所示，∵A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，∴A1M＝eq\f(1,3)A1B，AN＝eq\f(1,3)AC.∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(A1B,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→)).∴eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(B1B,\s\up6(→))，eq\o(B1C1,\s\up6(→))共面．∵M(jìn)N?平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.11．在三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，則二面角A-PB-C的平面角的正切值為(A)A.eq\r(6)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(6),6)D.eq\f(\r(6),2)解析：設(shè)PA＝AB＝2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，平面PAB的一個(gè)法向量是m＝(1,0,0)，平面PBC的一個(gè)法向量是n＝(eq\f(\r(3),3)，1,1)．則cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(\f(\r(3),3),|m||n|)＝eq\f(\f(\r(3),3),1×\f(\r(21),3))＝eq\f(\r(7),7).∴正切值tan〈m，n〉＝eq\r(6).12．如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是正三角形，四邊形ABCD是矩形，M是AB的中點(diǎn)，PC與平面ABCD成30°角，則eq\f(AB,AD)的值等于(C)A．1 B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析：取AD的中點(diǎn)O，則由OP⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD推出OP⊥平面ABCD，從而建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，OD在x軸上，OP在z軸上，如右圖所示，并設(shè)AD＝2a，AB＝2b，則P(0,0，eq\r(3)a)，C(a,2b,0)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a,2b,0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(a,2b，－eq\r(3)a)．易得eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝30°，得cos30°＝eq\f(\o(OC,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OC,\s\up6(→))||\o(PC,\s\up6(→))|))＝eq\f(a2＋4b2,\r(a2＋4b2)·\r(4a2＋4b2))＝eq\f(\r(3),2)，解得b＝eq\r(2)a，所以eq\f(AB,AD)＝eq\f(2b,2a)＝eq\r(2).第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題(每小題5分，共20分)13．若a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(2a－3b)·(a＋2b)＝－200解析：∵2a－3b＝2(4，－2，－4)－3(6，－3,2)＝(－10,5，－14)，a＋2b＝(4，－2，－4)＋2(6，－3,2)＝(16，－8，0)，∴(2a－3b)·(a＋214．平面α的法向量為m＝(1,0，－1)，平面β的法向量為n＝(0，－1,1)，則平面α與平面β所成二面角的大小為60°或120°.解析：cosm，n＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(－1,\r(2)·\r(2))＝－eq\f(1,2)，∴m，n＝120°，即平面α與β所成二面角的大小為60°或120°.15.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，則PA與底面ABC所成的角為60°.解析：由于PA＝PB＝PC，故P在底面ABC上的射影為△ABC外心，由于△ABC為直角三角形，不妨設(shè)OB＝OC，所以O(shè)P⊥平面ABC，∠PAO為所求角，不妨設(shè)BC＝1，則OA＝eq\f(1,2)，cos∠PAO＝eq\f(1,2)，所以∠PAO＝60°.16．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，EF∥BC且AE＝2EB，G為BC的中點(diǎn)，K為AF的中點(diǎn)．沿EF將矩形折成120°的二面角A-EF-B，此時(shí)KG的長(zhǎng)為eq\r(3).解析：如圖所示，過(guò)K作KM⊥EF，垂足為M為EF的中點(diǎn)，則向量eq\o(MK,\s\up6(→))與eq\o(FC,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(KM,\s\up6(→))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝60°.又eq\o(KG,\s\up6(→))＝eq\o(KM,\s\up6(→))＋eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(KM,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))，∴eq\a\vs4\al(\o(KG,\s\up6(→)))2＝eq\a\vs4\al(\o(KM,\s\up6(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(FC,\s\up6(→)))2＋2eq\o(KM,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝1＋1＋2×1×1×cos60°＝3.∴|eq\o(KG,\s\up6(→))|＝eq\r(3).三、解答題(寫出必要的計(jì)算步驟，只寫最終結(jié)果不得分，共70分)17．(10分)設(shè)空間兩個(gè)不同的單位向量a＝(x1，y1,0)，b＝(x2，y2,0)，a，b與向量c＝(1,1,1)的夾角都等于45°.(1)求x1＋y1和x1·y1的值；(2)求a，b的大小．解：(1)依題意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝1，,\f(x1＋y1,\r(3))＝\f(\r(2),2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝1，,x1＋y1＝\f(\r(6),2)，))∴x1＋y1＝eq\f(\r(6),2)，易得x1·y1＝eq\f(1,4).(2)∵單位向量a＝(x1，y1,0)，b＝(x2，y2,0)與向量c＝(1,1,1)的夾角都等于45°，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋y1＝\f(\r(6),2)，,x1·y1＝\f(1,4)，))有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(\r(6)＋\r(2),4)，,y1＝\f(\r(6)－\r(2),4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(\r(6)－\r(2),4)，,y1＝\f(\r(6)＋\r(2),4).))∴可取a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),4)，\f(\r(6)－\r(2),4)，0))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),4)，\f(\r(6)＋\r(2),4)，0))，∴cosa，b＝eq\f(x1x2＋y1y2,|a||b|)＝eq\f(1,2).∴a，b＝eq\f(π,3).18．(12分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，點(diǎn)A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b(2)在直線AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b？(O為原點(diǎn))解：(1)2a＋b故|2a＋b|＝eq\r(02＋－52＋52)＝5eq\r(2).(2)假設(shè)存在點(diǎn)E，設(shè)eq\o(AE,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，若eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，則eq\o(OE,\s\up6(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此存在點(diǎn)E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為E(－eq\f(6,5)，－eq\f(14,5)，eq\f(2,5))．19．(12分)如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)證明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值．解：如圖，連接BD，設(shè)BD∩AC＝G，連接EG，F(xiàn)G，EF.在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\r(3).由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝eq\r(3)，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝eq\r(2)，故DF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△FDG中，可得FG＝eq\f(\r(6),2).在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝eq\r(2)，DF＝eq\f(\r(2),2)，可得EF＝eq\f(3\r(2),2).從而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因?yàn)镋G?平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq\o(GB,\s\up6(→))，eq\o(GC,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Gxyz.由(1)可得A(0，－eq\r(3)，0)，E(1,0，eq\r(2))，F(xiàn)(－1,0，eq\f(\r(2),2))，C(0，eq\r(3)，0)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，eq\r(2))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，eq\f(\r(2),2))．故cos〈eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up6(→))·\o(CF,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AE,\s\up6(→))||\o(CF,\s\up6(→))|))＝－eq\f(\r(3),3).所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3).20．(12分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面相互垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．(1)求證AM∥平面BDE；(2)求證AM⊥平面BDF.證明：取AC，BD的交點(diǎn)O為原點(diǎn)，OD，OA，OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，連接OE，則各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(－1,0,0)，C(0，－1，0，)，D(1,0,0，)，E(0，－1,1)，F(xiàn)(0,1,1)，M(0,0,1)．(1)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝(0，－1,1)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))，即AM∥OE，又∵AM?平面BDE，OE?平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,0,0)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝0，∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF.21．(12分)如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD⊥平面PAB.(1)求證：AB⊥平面PCB；(2)求異面直線AP與BC所成角的大??；(3)求二面角C-PA-B的余弦值．解：(1)證明：∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB.∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB.又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB.(2)由(1)知AB⊥平面PCB，∵BC?平面PCB，∴AB⊥BC.∵PC＝AC＝2，AB＝BC，∴BC＝eq\r(2).如圖所示，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A(0，eq\r(2)，0)，B(0,0,0)，C(eq\r(2)，0,0)，P(eq\r(2)，0,2)．∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(2)，2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，0,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)＋0＋0＝2，coseq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(AP,\s\up6(→))||\o(BC,\s\up6(→))|))＝eq\f(2,2\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).∴異面直線AP與BC所成的角為60°.(3)設(shè)平面PAB的法向量為m＝(x，y，z)．eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(2)，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(2)，2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))·m＝0，,\o(AP,\s\up6(→))·m＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(2)y＝0，,\r(2)x－\r(2)y＋2z＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＝－\r(2)z.))令z＝－1，得x＝eq\r(2)，則平面PAB的一個(gè)法向量為m＝(eq\r(2)，0，－1)．設(shè)平面PAC的法向量為n＝(x′，y′，z′).eq\o(PC,\s\up6(→))＝(0,0，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，－eq\r(2)，0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(PC,\s\up6(→))·n＝0，,\o(AC,\s\up6(→))·n＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2z′＝0，,\r(2)x′－\r(2)y′＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(z′＝0，,x′＝y(tǒng)′.))令x′＝1，得y′＝1，則平面PAC的一個(gè)法向量為n＝(1,1,0)．cosm，n＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(\r(2),\r(3)×\r(2))＝eq\f(\r(3),3).∴二面角C-PA-B的余弦值為eq\f(\r(3),3).22．(12分)如圖(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD(1)求證A1C⊥平面BCDE(2)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；(3)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直