初中數(shù)學(xué)幾何模型大全 經(jīng)典題型(含答案)

初中數(shù)學(xué)幾何模型大全+經(jīng)典題型（含答案）

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對稱：角平分線或垂直或半角

旋轉(zhuǎn)：相鄰等線段繞公共頂點旋轉(zhuǎn)

角分線模型

過角分板某點作Mi

邊作酬代

說明：以角平分線為軸在角兩邊進(jìn)行截長補短或者作邊的垂線,

形成對稱全等。兩邊進(jìn)行邊或者角的等量代換，產(chǎn)生聯(lián)系。垂直

也可以做為軸進(jìn)行對稱全等。

A

說明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個角是30°

直角三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、

等邊三角形、對稱全等。

半角：有一個角含1/2角及相鄰線段

自旋轉(zhuǎn)：有一對相鄰等線段，需要構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

共旋轉(zhuǎn)：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉(zhuǎn)全等

中點旋轉(zhuǎn)：倍長中點相關(guān)線段轉(zhuǎn)換成旋轉(zhuǎn)全等問題

說明：旋轉(zhuǎn)半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角,

通過旋轉(zhuǎn)將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全

構(gòu)造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點，造旋轉(zhuǎn)全等

遇中點旋180度，造中心對稱

B

說明：旋轉(zhuǎn)中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經(jīng)?？?/p>

察的內(nèi)容。通過“8”字模型可以證明。

說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變

化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。

當(dāng)遇到復(fù)雜圖形找不到旋轉(zhuǎn)全等時,先找兩個正多邊形或者等腰

三角形的公共頂點，圍繞公共頂點找到兩組相鄰等線段，分組組

成三角形證全等。

說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等

腰直角三角形及兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與

中點所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直

角三角形的一直角邊,轉(zhuǎn)化成要證明的等腰直角三角形和已知的

等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉(zhuǎn)頂點，通過證明旋轉(zhuǎn)全等

三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

中點模型

AA4

*/\???????：,?！?U

倍長中蛾連中點稅造中位竣倍長一邊*9造中位錢樹三修合一構(gòu)造斜邊中線

對稱最值（兩點間線段最短）

線段和差模型

MMHR，■

4

HInu

MSIM

同側(cè)、異側(cè)兩線段之和最短模型同側(cè)、異側(cè)兩線段之夢最小模型

軸對稱模型

N/4

4\八▲/

/，、N

u\X*-----X-----

、二r，

、3”/?

三線段之和過橋模型四邊形周長三角形周長

最短模型最小模型最小模型

說明：通過對稱進(jìn)行等量代換，轉(zhuǎn)換成兩點間距離及點到直線距

離。

說明：找到與所要求最值相關(guān)成三角形的兩個定長線段，定長線

段的和為最大值，定長線段的差為最小值。

三角形f四邊形

F

H

說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉(zhuǎn)完成形

狀改變

E

說明：兩個等腰直角三角形成旋轉(zhuǎn)全等，兩個有一個角是300

角的直角三角形成旋轉(zhuǎn)相似。

推廣：兩個任意相似三角形旋轉(zhuǎn)成一定角度，成旋轉(zhuǎn)相似。第三

邊所成夾角符合旋轉(zhuǎn)“8”字的規(guī)律。

說明：注意邊和角的對應(yīng)，相等線段或者相等比值在證明相似中

起到通過等量代換來構(gòu)造相似三角形的作用。

說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45

度、60度形式出現(xiàn)的居多。

（2）內(nèi)外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與

不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓

嘉定理）之間的比值可以轉(zhuǎn)換成乘積，通過等線段、等比值、等

乘積進(jìn)行代換，進(jìn)行證明得到需要的結(jié)論。

說明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據(jù)題目的條件或

者結(jié)論的比值來做相應(yīng)的平行線。

A模型一：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型全等

a條件：AO48Axe均為等邊三角形

a給論：①A(〃C?SOBD?②LAEB-60°,?()/:?平分LAED,

<2>等原"7人

?條件：A"".A"(7)均為等11fli第三角形

a結(jié)論：①M)AC■ACBD1②LAKH-90°；

>③平分乙"D.

<3>任意等腰三角第

a條件：A0/8.AOm均為等腰三角形

a結(jié)論：①AO/C■AOBD.②LAEB,L.AOB.

a③平分乙IE。。

>模型二：手拉手模型-旋轉(zhuǎn)型相似

<1>TRtt況

A條件：將AOCZ)旋轉(zhuǎn)至右圖位岸

A結(jié)論：

?右圖中①A(N8ASIChOBD)

a②延長/C交8D于點E,必有UEC。LBOA

<2>特域悔況

>條件：CD//AH,乙108?90°,將MX。旋轉(zhuǎn)至右圖

位用

?轉(zhuǎn)論：右圖中①A"CCsAO/8eAQ4CArM/),②

迤長”交BD于點E,必有乙BEC-LBOA,

tanLOCD

,@BDlACf

1ACnBD

?iS接Q8C,必有AD：+8C：=(爐+CO"⑥"(對角線互相垂直的四邊形)

A模型三:對角互補模型

(1)全等型”

a條件：①LAOS-LDCE-90\②0C平分LAOB

a結(jié)論：?CD=C￡,②OD+OE-41OCf③

S?MK2■Sg.0+Sy.■—0(-

A證明提示：

。(乍垂宜，如圖，證明ACaV?AC￡N,

②it點,C作CF，℃,如上圖(右)，證明AOZX,-M-EC,

*當(dāng)4/乂/的一邊交A0的延長線于點。時：

以上H釗5論：CDCD^CE(不變”

I-S-SMK“■-OC,

②OE-OD-GOC)③U"MXr'-2

誦論證明方法與腐1橢況致，可自行嘗試.

(2)全等型12。。

a條件：①乙〃)8-2ZJX力?1201

>②OC平分乙”)8；

給論：①(力)?(

?-C￡?OD?OEX,H

A證明提示：①可繪至“全等型3。.證法一I

②如圖：在。3上取一點F,使OF=OC,證明ArXF

為等邊三角形。

<3>全等型任意角”

>^ff.：①。。8-2a/乂￡-18O-2a,②CQ.CE,

A恬論：①a'平分乙4CBJ②()1)■￥OE-20C?cos”3

}

A③SMLS.?S1MLOC?sina?cosa

a當(dāng)LIKE的一邊交AO的延長線于點。時(如右上圖)：

原結(jié)論變成：①,

②?

③?

可參考上述第②種方法進(jìn)行證明?謫把考嘀條件的變化對模型的影晌.

A對角互*橫型*S：

①常見初始條件：四邊形對角互補I注意兩點、：四點共圓及亶角三角形斜邊中線I

②初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別,

③兩種常見的鈾牌副乍法I

④注意依'平分408時，乙CDE-LCED-LCOA-4co相等如何推導(dǎo)？

A模型四：角含半角模型90,

（1）角含半角模型90°-1

AFIID

?條件：①正方形J②LEAF?45\

?第論：①￡尸?。尸+日￡,②&CEF的周長為正方形48（7）閹長的一半,

也可以這徉：

＞條件：①正方形而叫②杯?//?HE

a特論：Z.￡^-45e

＜2＞角含半角模型00--2

＞條件：①正方形ABCD（②LEAF-45°,

?常論：EF■DF-BE

a$1?蛙示：

（3）角含半角模型W-3

a條件.①ATAJ8J@〃U￡-45°,

?結(jié)論：BD:+CE-?DE2

若，/ME面鋤Z8C外部時，結(jié)論BD+CE:-DE'仍然成立.

＜4）角含半角饃型90?變形

汪不：441AC（方通不4一）

■:Za^<-Z￡O-45.A〃）.〃/■，（：隹

VZ.4/V7,N"E?45????AI"/s,VK￡

.mIC

??1'"''\I/X

AHAE

a條件：①正方形ABCD；②4EI"=45。

A結(jié)論：A"〃:為等腰直用二角形。

A模型五二倍長中線類模型

慢型IS?。孩儆衅叫芯€ADHBE，②平行線間線段有中點DF-EF,

可以構(gòu)造“8”字全等-A//AF.

<2>&K*P*i??l?35-2

a條件：①平行四邊形.4BCD，②&C-2/%?AM-DM,?CEXAD.

a結(jié)論：LEMD-iLMEA

M*?n：<4-H-AH//CD.J.W-//V

4ft/A/.44it2M4\1)MF.i(MCM構(gòu)

it^W\ESfC.X\f(F

通壯構(gòu)遣8字￡笥恭領(lǐng)他~*見3/*.4.偌的大

小的化

A模49/,、：相1以三用形360"旃轉(zhuǎn)樓小

<i>SHTCI二KdH(WHH0i>seo-薩抻忤取WK中纜去2HMX/>/'KA，『?f*rw,通

44<X?.Hfi、BZ>HFXM^iA

?條件：＜X＞、4Q￡.A48C均

力等段25向二仍脛，＜&AMA：A3/—由，

上，■O

e/、；“1xTZLW-xrZKTG

A結(jié)坨8①，〃一"》，②

Z）產(chǎn)XBF

＜1＞槍械=禽附《等e白西》360-皿幡型T0法

“穌件，mdfOE、dl3c均為等旗亙角二箱彤J出〉右尸?仁尸】

a結(jié)論:CDD廣-6".QD尸XBF

4H榆MA4EC、XU'U

QSEWm：，&/"鼻Hl匕的。?，弓/.//

“"2：MRW*"?<t\tK?/*'.N”

?條件:0ZMBS&CDC〕，(2)乙QAB-4O/M'-000③gg一上事令“化"MSA，Q"A，A?方C.此

BE-CE0中中*?WAU,，〃4-4?4"，，?幢”億々TF

?巖論?①4生-DE)②Z-AEH-工乙ARC

,4/MQr八a?”、力冏-4oen<m?

A模型七：最短路程模型

(1)?蛆路程根型一（將軍飲至）

“?，?='*/；馬結(jié)：以上B08為常義的“時傳更最加處久問理.

念一,/X：'，景后IP”化時：??㈣.&之ML伐履《V”-2

,HA：①-1■一上:②十.*.片京里當(dāng)

\...*/,

…3,9天i

P、u*wa

（3）a如路程模型二（點￥置髏1）

/輔助我：將作0美于84《點0.4?牝

P（P（r~PQ,itJKMnMH￡（U

限線-Ui,短O0wHAfP，PR,\fP，PNhlH

>條1牛：①G.平分乙〃）%②M為（加上一定點，③P為儀、上f點,?。為08上一動點?

尸最小時，/>.的?

A求m0Q15g

晶

<3）膽闔甥理Z(疑的1改2)|rA.

不冏0,4).8(-20),P(0.”)J'太

>條］

PB^PA0…T，

A佛曲：”為何值時，5最小

_sinA.OAC---

C(20)

A求1昉法:①i軸上取，使5,②過8作8〃'/C,交)’軸于點%即為所求,

tanLEBO-tanLOAC--,.

③2,即￡(o」).

A模型九：相似三角形模型

?卜

(1)砌(2)才眼三角形模型制港

4兇nM

甲M2P*文*4■事

?許；如左■一小na//<￡/，■/?力-wr

?任“他?<c

一/?餐小圍JCE?乙W

“論；-AE<AB

?Mt>fli￡4.IH0EC-BC*dC

ZWu-W*BA.■RExAE

<3）相忙角形模型一線三角型(4)相IttEft影崛Tm^9^

務(wù)件；在用：乙的（?4伏，=/C7M-9（尸

?1,?:Z^lBC?Z.If'E-^CDE-60）條件：中用.PA為BB的切人

方圍:ZJZTC-ZrlCT-ZCOf-45-”論：左圍：PAKPB?PC'KPI）

”地：所/圉?，?奇A的結(jié)論

中陽：PA：■PCxPB

1'，故"八（7M'：②.4"x/￥?僅*《八

右圖：PAxPB?PCxPD

一城三號跳幔支禮修翕用■在3方式起4代美

以上”均1T以通過恰似三角的遺竹迎明

初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何題（附答案）

經(jīng)典難題（一）

1、已知：如圖，。是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD1AB,

EF±AB,EG±CO.

求證：CD=GF.（初二）

2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點，ZPAD=ZPDA=15°.

求證：APBC是正三角形.（初二）

3、如圖，已知四邊形ABCD、ABCD都是正方形,A2>B2>C2>

D2分別是AAi、BBi、CCi、DDi的中點.

求證：四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）

4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、

CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F.

求證：ZDEN=ZF.

經(jīng)典難題（二）

1、已知：AABC中，H為垂心（各邊高線的交點），0為外心,

且OM±BC于M.

（1）求證：AH=20M；

（2）若NBAC=60°,求證：AH=AO.（初二）

2、設(shè)MN是圓。外一直線，過0作OA_LMN于A,自A引圓的兩

條直線，交圓于B、C及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、

Q.

求證：AP=AQ.（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題:

設(shè)MN是圓0的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE,設(shè)

CD、EB分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

4、如圖，分別以4ABC的AC和BC為一邊，在AABC的外側(cè)作正

方形ACDE和正方形CBFG,點P是EF的中點.

求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半.（初二）

經(jīng)典難題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,AE=AC,AE與CD相

交于F.

求證：CE=CF.（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,且CE=CA,直線EC

交DA延長線于F.

求證:AE=AF.（初二）

3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF_LAP,CF平分N

DCE.

求證:PA=PF.（初二）D

4、如圖，PC切圓0于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、

AF與直線P0相交于B、D.求證：AB=DC,BC=AD.（初三）

經(jīng)典難題（四）

1、已知：ZkABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點，PA=3,PB=4,

PC=5.

求：NAPB的度數(shù).（初二）

2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點，且NPBA=NPDA.

求證：ZPAB=ZPCB.（初二）

3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形,求證:AB<D+AD?BC=AC?BD.（初

三）

4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點，AE

與CF相交于P,且

AE=CF.求證：ZDPA=ZDPC.（初二）

經(jīng)典難題（五）

1、設(shè)P是邊長為1的正4ABC內(nèi)任一點，L=PA+PB+PC,求證:

后/LV2.

2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內(nèi)的一點，求PA+PB+PC

的最小值.

3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,

求正方形的邊長.

4、如圖，AABC中，ZABC=ZACB=80°,D、E分別是AB、AC

上的點，ZDCA=30°,ZEBA=20°,求/BED的度數(shù).

經(jīng)典難題（一）

1.如下圖做GHJ_AB,連接EOo由于GOFE四點共圓，所以NGFH

=Z0EG,

即△GHFS^OGE,可得殷=空=能，又CO=EO,所以CD=GF得

GFGHCD

證。

2.如下圖做aDGC使與4ADP全等，可得aPDC為等邊△,從而

可得

△DGC^AAPD^ACGP,得出PC=AD=DC,和NDCG=NPCG=15°

所以NDCP=30°,從而得出APBC是正三角形

3.如下圖連接BG和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并延長

相交于Q點，

連接EB2并延長交CzQ于H點，連接FB2并延長交A2Q于G點，

由A2E=1AiB1=iB1C1=FB2,EB2=3AB==BC=FG,又NGFQ+NQ=90°

ZGEB+ZQ=90°,所以NGEB2=NGFQ

2XZB2FC2=ZA2EB2,

可得ABzFC2g△A2EB2,所以AzBz=B2c2,

又NGFQ+NHB2F=90°和NGFQ=NEB2A2,

從而可得NA2B2C2=90°,

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

BC

4.如下圖連接AC并取其中點Q,連接QN和QM,所以可得NQMF=

ZF,NQNM=NDEN和NQMN=NQNM,從而得出NDEN=NF。

經(jīng)典難題(二)

1.(1)延長AD到F連BF,做0G1AF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,從而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=20M

(2)連接OB,0C,既得NB0C=120°,

從而可得NB0M=60°,

所以可得0B=20M=AH=A0,

得證。

A

3.作OF_LCD,OG±BE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQo

由干包ACCD2FDFD

AB~~AE~BE~2BG~BG

由此可得△ADFg^ABG,從而可得NAFC=NAGE。

又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得NAFC=NA0P和NAGE=N

AOQ,

NA0P=NA0Q,從而可得AP=AQ。

c

4.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG,CI,FHo可得

PQ=EG+FH。

2

由△EGAgAAIC,可得EG=AI,由△BFHgZkCBI,可得FH=BI。

從而可得PQ=8F=箏從而得證。

經(jīng)典難題（三）

1.順時針旋轉(zhuǎn)AADE,到△ABG,連接CG.

由于ZABG=NADE=90°+45°=135°

從而可得B,G,D在一條直線上，可得△AGBgACGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得4AGC為等邊三角形。

NAGB=30°,既得NEAC=30°,從而可得NAEC=75°。

又NEFC=NDFA=45°+30°=75°.

可證：CE=CFo

2.連接BD作CH_LDE,可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得NCEH=30°,所以NCAE=NCEA=NAED=15°,

又NFAE=90°+45°+15°=150°,

從而可知道NF=15°,從而得出AE=AFo

3.作FG_LCD,FE_LBE,可以得出GFEC為正方形。

令A(yù)B=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。

tanZBAP=tanZEPF=-=—--,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z（Y-X）=X（Y-X），既得X=Z，得出△ABPgAPEF,

得到PA=PF,得證。

經(jīng)典難題（四）

1.順時針旋轉(zhuǎn)4ABP60°,連接PQ,則APBO是正三角形。

可得APQC是直角三角形。

所以NAPB=150°。

A

p

2.作過P點平行于AD的直線，并選一點E,使AE〃DC,BE〃PC.

可以得出NABP=