2022屆湖南省湘潭市重點中學高三最后一模數(shù)學試題含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設，，則當時，的最大值是（）A．8 B．9 C．10 D．112．由曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為()A．1 B． C． D．3．2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為A．96 B．84 C．120 D．3604．已知集合，，則集合的真子集的個數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．35．已知復數(shù)滿足，則=（）A． B．C． D．6．函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位7．已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則（）A．5 B．10 C．15 D．208．以下三個命題：①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標檢測，這樣的抽樣是分層抽樣；②若兩個變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，判斷“與有關系”的把握越大；其中真命題的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．09．一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉過的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域為C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于點對稱11．命題：存在實數(shù)，對任意實數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（）A． B． C． D．12．已知的內角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設復數(shù)滿足,則_________.14．若復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，是的共軛復數(shù)，則________.15．的展開式中，的系數(shù)為_______（用數(shù)字作答）.16．在中，內角所對的邊分別為，若，的面積為，則_______，_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知，函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若函數(shù)，且存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）等差數(shù)列的前項和為，已知，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列{}的前項和為，求使成立的的最小值．19．（12分）設函數(shù)（其中），且函數(shù)在處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）若函數(shù)，求證：恒成立.20．（12分）設函數(shù).（1）若，時，在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當時，．21．（12分）已知的三個內角所對的邊分別為，向量，，且.（1）求角的大??；（2）若，求的值22．（10分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)題意計算，，，解不等式得到答案.【詳解】∵是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，∴.∵是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴.∴.∵，∴，解得.則當時，的最大值是9.故選：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.2．B【解析】

首先求得兩曲線的交點坐標，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程：可得：，，結合定積分的幾何意義可知曲線y＝x2與曲線y2＝x所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查定積分的概念與計算，屬于中等題.3．B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開頭的排列數(shù)共個，其中含有2個10的排列數(shù)共個，所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為.故選B．4．D【解析】

轉化條件得，利用元素個數(shù)為n的集合真子集個數(shù)為個即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個數(shù)為個.故選：D.【點睛】本題考查了集合的化簡和運算，考查了集合真子集個數(shù)問題，屬于基礎題.5．B【解析】

利用復數(shù)的代數(shù)運算法則化簡即可得到結論.【詳解】由，得，所以，.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.6．A【解析】依題意有的周期為.而，故應左移.7．C【解析】

利用等差通項，設出和，然后，直接求解即可【詳解】令，則，，∴，，∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和問題，屬于基礎題8．C【解析】

根據(jù)抽樣方式的特征，可判斷①；根據(jù)相關系數(shù)的性質，可判斷②；根據(jù)獨立性檢驗的方法和步驟，可判斷③．【詳解】①根據(jù)抽樣是間隔相同，且樣本間無明顯差異，故①應是系統(tǒng)抽樣，即①為假命題；②兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近于1；兩個隨機變量相關性越弱，則相關系數(shù)的絕對值越接近于0；故②為真命題；③對分類變量與的隨機變量的觀測值來說，越小，“與有關系”的把握程度越小，故③為假命題．故選：．【點睛】本題以命題的真假判斷為載體考查了抽樣方法、相關系數(shù)、獨立性檢驗等知識點，屬于基礎題．9．B【解析】

因為時針經(jīng)過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經(jīng)過2小時，時針所轉過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.10．D【解析】

先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數(shù)對稱軸可得：解得：，當，，故C正確；對于D，正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標為：解得：若圖象關于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.11．A【解析】

分別判斷命題和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結詞命題的真假性判斷出正確選項.【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題.、、都是假命題.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結詞命題真假性的判斷，屬于基礎題.12．C【解析】

由，化簡得到的值，根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當且僅當時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】

利用復數(shù)的運算法則首先可得出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念可得結果.【詳解】∵復數(shù)滿足，∴，∴，故而可得，故答案為.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則，共軛復數(shù)的概念，屬于基礎題．14．【解析】

設，代入已知條件進行化簡，根據(jù)復數(shù)相等的條件，求得的值.【詳解】設，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復數(shù)，考查復數(shù)相等的條件，屬于基礎題.15．60【解析】

根據(jù)二項式定理展開式通項，即可求得的系數(shù).【詳解】因為，所以，則所求項的系數(shù)為.故答案為：60【點睛】本題考查了二項展開式通項公式的應用，指定項系數(shù)的求法，屬于基礎題.16．【解析】

由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用可得，從而求得，結合范圍，即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式，結合完全平方公式，即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得，可得：解得，即，由面積公式可得：，即由余弦定理可得：即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形，題目較為基礎，只要按照題意運用公式即可求出答案三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

（1）零點分段解不等式即可（2）等價于，由，得不等式即可求解【詳解】（1）當時，，當時，由，解得；當時，由，解得；當時，由，解得.綜上可知，原不等式的解集為.（2）.存在使得成立，等價于.又因為，所以，即.解得，結合，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查轉化思想，是中檔題18．（1）；（2）的最小值為19.【解析】

（1）根據(jù)條件列方程組求出首項、公差，即可寫出等差數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和化簡，利用裂項相消法求和，解不等式即可求解.【詳解】(1)等差數(shù)列的公差設為，，，可得，，解得，，則；(2)，，前n項和為，即，可得，即，則的最小值為19.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的前n項和，裂項相消法求和，屬于中檔題19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導得到，解得答案.（2）變形得到，令函數(shù)，求導得到函數(shù)單調區(qū)間得到，，得到證明.【詳解】（1），，解得.（2）得，變形得，令函數(shù)，，令解得，當時，時.函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，，，即，即，恒成立.【點睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，證明不等式，意在考查學生的計算能力和轉化能力，綜合應用能力.20．（1）（2）見解析【解析】

(1)在上單調遞減等價于在恒成立，分離參數(shù)即可解決.(2)先對求導，化簡后根據(jù)零點存在性定理判斷唯一零點所在區(qū)間，構造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【詳解】（1），時，，，∵在上單調遞減．∴，．令，，時，；時，，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．∴，∴．∴的取值范圍為．（2）若，，時，，，令，顯然在上為增函數(shù)．又，，∴有唯一零點．且，時，，；時，，，∴在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．∴．又，∴，，．∴．，．∴當時，．【點睛】此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調，和零點存在性定理等知識點，難點為找到最值后的構造函數(shù)求值域，屬于較難題目.21．（1）（2）【解析】

利用平面向量數(shù)量積的坐標表示和二倍角的余弦公式得到關于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到關于的方程,與方程聯(lián)立求出,進而求出,利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】由題意得，,由二倍角的余弦公式可得,,又因為，所以，解得或，∵，∴.在中,由余弦定理得,即①又因為,把代入①整理得，，解得，，所以為等邊三角形，，∴,即.【點睛】本題考查利用平面向量數(shù)量積的坐標表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟練掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.22．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質得出，由平面得出，進而可推導出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論；（Ⅱ）取的中點，連接、，以、、所在直線分別為、、