2022屆上海市師范大學(xué)附屬中學(xué)高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且A、B兩點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影分別是M，N，若，則的值是（）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位3．已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．4．已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，拋物線上任意一點(diǎn)P，且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q，則的最小值為（）A． B． C．l D．15．若集合，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．6．已知集合，則元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．47．方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和等于()A．4 B．6 C．8 D．108．百年雙中的校訓(xùn)是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)中有這樣的一個(gè)小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球，分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個(gè)字，有放回地從中任意摸出一個(gè)小球，直到“仁”、“智”兩個(gè)字都摸到就停止摸球.小明同學(xué)用隨機(jī)模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生1到4之間（含1和4）取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個(gè)字，以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，表示摸球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下20組隨機(jī)數(shù)：141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估計(jì)，恰好第三次就停止摸球的概率為（）A． B． C． D．9．已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)，若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知，則（）A．2 B． C． D．311．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．電影《厲害了，我的國(guó)》于2018年3月正式登陸全國(guó)院線，網(wǎng)友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國(guó)家驕傲，我為我是中國(guó)人驕傲！”《厲害了，我的國(guó)》正在召喚我們每一個(gè)人，不忘初心，用奮斗書寫無悔人生，小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國(guó)》，并把標(biāo)識(shí)為的四張電影票放在編號(hào)分別為1，2，3，4的四個(gè)不同的盒子里，讓四位好朋友進(jìn)行猜測(cè)：甲說：第1個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是乙說：第2個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是丙說：第4個(gè)盒子里放的是，第2個(gè)盒子里放的是丁說：第4個(gè)盒子里放的是，第3個(gè)盒子里放的是小明說：“四位朋友你們都只說對(duì)了一半”可以預(yù)測(cè)，第4個(gè)盒子里放的電影票為_________14．函數(shù)的定義域?yàn)開___.15．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、，其中為左焦點(diǎn).點(diǎn)為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，、分別為曲線、的離心率，若是以為底邊的等腰三角形，則的取值范圍為________.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為2的直線與的交點(diǎn)為，若，則直線的方程為___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動(dòng)，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開展，參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)越來越多，該商店經(jīng)理對(duì)春節(jié)前天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：123456758810141517（1）經(jīng)過進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)與具有線性相關(guān)關(guān)系．請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）該商店規(guī)定：若抽中“一等獎(jiǎng)”，可領(lǐng)取600元購(gòu)物券；抽中“二等獎(jiǎng)”可領(lǐng)取300元購(gòu)物券；抽中“謝謝惠顧”，則沒有購(gòu)物券．已知一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)獲得“一等獎(jiǎng)”的概率為，獲得“二等獎(jiǎng)”的概率為．現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動(dòng)，且他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求此二人所獲購(gòu)物券總金額的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，，，．18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）為增強(qiáng)學(xué)生的法治觀念，營(yíng)造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動(dòng)，并組織全校學(xué)生進(jìn)行法律知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)賽成績(jī)，已知這50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)均在[50，100]內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)51515123（1）將競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)定義為“合格”，競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)定義為“不合格”．請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)？合格不合格合計(jì)高一新生12非高一新生6合計(jì)（2）在（1）的前提下，按“競(jìng)賽成績(jī)合格與否”進(jìn)行分層抽樣，從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．20．（12分）如圖，是正方形，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.（1）證明：平面.（2）三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，且平面平面.（1）求證：平面.（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知中，角所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為，且（1）求角的大?。唬?）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

直線恒過定點(diǎn)，由此推導(dǎo)出，由此能求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而能求出的值．【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，直線恒過定點(diǎn)，如圖過A、B分別作于M，于N，由，則，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，則，∴，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，把代入直線，解得，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法，考查拋物線的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題.2．A【解析】依題意有的周期為.而，故應(yīng)左移.3．D【解析】

化簡(jiǎn)集合，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)集合，按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項(xiàng)判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．A【解析】

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.5．D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關(guān)系，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6．B【解析】

作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象，可得選項(xiàng).【詳解】由題意得，集合A表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示，得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B，所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素，所以元素個(gè)數(shù)為2，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

畫出函數(shù)和的圖像，和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，計(jì)算得到答案.【詳解】，驗(yàn)證知不成立，故，畫出函數(shù)和的圖像，易知：和均關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，圖像共有8個(gè)交點(diǎn)，故所有解之和等于.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了方程解的問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，確定函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱是解題的關(guān)鍵.8．A【解析】

由題意找出滿足恰好第三次就停止摸球的情況，用滿足恰好第三次就停止摸球的情況數(shù)比20即可得解.【詳解】由題意可知當(dāng)1，2同時(shí)出現(xiàn)時(shí)即停止摸球，則滿足恰好第三次就停止摸球的情況共有五種：142，112，241，142，412.則恰好第三次就停止摸球的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用和古典概型概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9．A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設(shè)過點(diǎn)F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（，﹣），∵點(diǎn)M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.10．A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的求法，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的合理應(yīng)用．11．C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào)，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A，B；當(dāng)時(shí)，，，排除選項(xiàng)D，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，屬于中檔題.12．A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．A或D【解析】

分別假設(shè)每一個(gè)人一半是對(duì)的，然后分別進(jìn)行驗(yàn)證即可．【詳解】解：假設(shè)甲說：第1個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，則乙說：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丙說：第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丁說：第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是；假設(shè)甲說：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，則丙說：第4個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，乙說：第2個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，丁說：第3個(gè)盒子里面放的是是對(duì)的，由此可知第4個(gè)盒子里面放的是．故第4個(gè)盒子里面放的電影票為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的合情推理，考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結(jié)能力，屬于中檔題．14．【解析】由題意得，解得定義域?yàn)椋?5．【解析】

設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義得到，根據(jù)是以為底邊的等腰三角形，得到，從而有，根據(jù)，得到，再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè)，由橢圓的定義得，由雙曲線的定義得，所以，因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切?，所以，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，即，而，因?yàn)?，所以在上遞增，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16．【解析】

設(shè)直線l的方程為，，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，得到A，B點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系式，代入到中，解出t的值，即可求得直線l的方程【詳解】設(shè)直線．由題設(shè)得，故，由題設(shè)可得．

由可得，

則，從而，得，所以l的方程為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程，拋物線的定義，拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（I）由題意可得，，則，，關(guān)于的線性回歸方程為．（II）由題意可知二人所獲購(gòu)物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為：，，，．據(jù)此可得分布列，計(jì)算相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望為元．試題解析：（I）依題意：，，，，，，則關(guān)于的線性回歸方程為．（II）二人所獲購(gòu)物券總金額的可能取值有、、、、元，它們所對(duì)應(yīng)的概率分別為：，，，，．所以，總金額的分布列如下表：03006009001200總金額的數(shù)學(xué)期望為元．18．（1）或；（2）【解析】

（1）使用零點(diǎn)分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.（2）利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式可化為.①當(dāng)時(shí)，則，所以；②當(dāng)時(shí)，則，所以；⑧當(dāng)時(shí)，則，所以.綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為或.（2）由，則，由題可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)分段求解含絕對(duì)值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識(shí)的交叉應(yīng)用，同時(shí)掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題.19．（1）見解析；（2）【解析】

（1）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：合格不合格合計(jì)高一新生121426非高一新生18624合計(jì)302050則的觀測(cè)值，所以有的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)．（2）抽取的5名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)合格的有名學(xué)生，記為，競(jìng)賽成績(jī)不合格的有名學(xué)生，記為，從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的基本事件有：，共10種，這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的基本事件有：，共3種，所以這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的概率為．20．（1）見解析（2）【解析】

（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證得平面，由此證得，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)證得，由此證得平面.（2）判斷出三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)的位置.建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫媸钦叫危云矫?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)辄c(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，所以.又，所以平面.（2）解：顯然，當(dāng)點(diǎn)位于的