黑龍江省哈爾濱市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試

Page3數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．從1,2,3,4,5這5個數(shù)中任取2個，則這2個數(shù)字之積大于5的概率為（

）A． B． C． D．2．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列前項和為，且成等差數(shù)列，若，則（

）A．15 B． C．或15 D．或3．進入8月份后，我市持續(xù)高溫，氣象局一般會提前發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號（高溫橙色預(yù)警標(biāo)準(zhǔn)為24小時內(nèi)最高氣溫將升至37攝氏度以上），在今后的3天中，每一天最高氣溫在37攝氏度以上的概率是.用計算機生成了20組隨機數(shù)，結(jié)果如下:116

785

812

730

134

452

125

689

024

169

334

217

109

361

908

284

044

147

318

027若用0，1，2，3，4，5表示高溫橙色預(yù)警，用6，7，8，9表示非高溫橙色預(yù)警，則今后的3天中恰有2天發(fā)布高溫橙色預(yù)警信號的概率估計是（

）A． B． C． D．4．一組數(shù)據(jù)的均值為，第25百分位數(shù)為，方差為，則（

）A．B．C．?dāng)?shù)據(jù)的均值為D．?dāng)?shù)據(jù)的方差為5．雙曲線：的漸近線與圓相切，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．46．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（

）A． B． C． D．7．已知點是拋物線上的一點，若以拋物線的焦點為圓心，以為半徑的圓交拋物線的準(zhǔn)線于兩點，，當(dāng)?shù)拿娣e為時，的值為（

）A．2 B． C．4 D．8．已知數(shù)列滿足，，且，若，數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．已知雙曲線：的實軸長是虛軸長的3倍，則下列關(guān)于雙曲線的說法正確的是（

）A．實軸長為6B．虛軸長為2C．焦距為 D．離心率為10．下列說法正確的是（

）A．“”是“直線與直線互相平行”的充要條件B．已知點，，直線過且與線段相交，則其傾斜角的范圍是C．圓：與：恰有四條公切線，則D．圓上有且僅有2個點到直線：的距離等于11．記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知,則（

）A．B．C． D．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列12．雙曲線的左、右焦點分別為，與有公共焦點的橢圓在第一象限的交點為，雙曲線和橢圓的離心率分別為的內(nèi)切圓的圓心為，的面積分別是,過作直線的垂線，垂足為，則（

）A．I到y(tǒng)軸的距離為a B．點的軌跡是雙曲線C．若，則 D．若，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．某高中學(xué)生總?cè)藬?shù)為1000人，其中高三人數(shù)為300人，現(xiàn)采用按比例分配的分層抽樣方法從全校學(xué)生中抽取20人參加一項活動，則高一與高二參加活動的總?cè)藬?shù)為.14．已知動點在橢圓上，過點P作圓的切線，切點為M，則的最小值是.15．已知拋物線的焦點為，第一象限的兩點在拋物線上，且滿足，．若線段中點的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.16．已知數(shù)列{}滿足，若對任意正整數(shù)都有恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列的首項為3，且滿足.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.18．（本小題滿分12分）過點作直線與拋物線相交于兩點.(1)若直線的斜率是1，求弦的長度；(2)若，求直線的方程．19．（本小題滿分12分）已知為等差數(shù)列，是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．20．（本小題滿分12分）某學(xué)校后勤服務(wù)中心為監(jiān)控學(xué)校食堂的服務(wù)質(zhì)量情況，每學(xué)期會定期進行兩次食堂服務(wù)質(zhì)量抽樣調(diào)查，每次調(diào)查的具體做法是：隨機調(diào)查50名就餐的教師和學(xué)生，請他們?yōu)槭程梅?wù)質(zhì)量進行評分，師生根據(jù)自己的感受從0到100分選取一個分?jǐn)?shù)打分，根據(jù)這50名師生對食堂服務(wù)質(zhì)量的評分繪制頻率分布直方圖．下圖是根據(jù)本學(xué)期第二次抽樣調(diào)查師生打分結(jié)果繪制的頻率分布直方圖，其中樣本數(shù)據(jù)分組為[40，50），[50，60），…，[90，100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)；(2)學(xué)校規(guī)定：師生對食堂服務(wù)質(zhì)量的評分平均分不得低于75分，否則將進行內(nèi)部整頓．用每組數(shù)據(jù)的中點值代替該組數(shù)據(jù)，試估計該校師生對食堂服務(wù)質(zhì)量評分的平均分，并據(jù)此回答食堂是否需要進行內(nèi)部整頓；(3)學(xué)校每周都會隨機抽取3名學(xué)生和校長共進午餐，每次校長都會通過這3名學(xué)生了解食堂服務(wù)質(zhì)量，校長的做法是讓學(xué)生在“差評、中評、好評”中選擇一個作答，如果出現(xiàn)“差評”或者“沒有出現(xiàn)好評”，校長會立即責(zé)成后勤分管副校長親自檢查食堂服務(wù)情況．若以本次抽取的50名學(xué)生樣本頻率分布直方圖作為總體估計的依據(jù)，并假定學(xué)生評分在[40，60）之間的會給“差評”，評分在[60，80）之間的會給“中評”，評分在[80，100]之間的會給“好評”，已知本周和校長共進午餐的3名學(xué)生都會根據(jù)自己的感受獨立地作答，不會受到另外兩人的影響，試估計本周校長會責(zé)成后勤分管副校長親自檢查食堂服務(wù)質(zhì)量的概率．21．（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，，P是圓上的一個動點，線段的垂直平分線l與直線交于點M．記點M的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點作與x軸不垂直的任意直線交曲線C于A,B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點H，求證：為定值．22．（本小題滿分12分）橢圓與雙曲線有相同的焦點，且過點.(1)求橢圓的方程；(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為A,B,設(shè)為直線上不同于點的任意一點，連接線段交橢圓于點，連接線段并延長交橢圓于點.（i）證明：點B在以為直徑的圓內(nèi)；（ii）求四邊形面積的最大值．?dāng)?shù)學(xué)答案一單選題1.C2.A3.B4.D5.B6.C7.C8.D二、多選題9.AB10.BC11.ACD12.ACD三、填空題13.1414.

15.16.三、解答題17.【解】（1）由數(shù)列的首項為，且滿足，可得，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，可得，所以數(shù)列的前項和.18【解】（1）直線的方程為，由消去得，設(shè)，解得，，即，所以.（2）由于直線過且與拋物線相交于兩點，所以可設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，，，，由得，所以，由解得或，所以的值為，所以直線的方程為或，即或.19．【解】（1）設(shè)公差為，公比為，則，又，解得，所以，；（2），，，兩式相減得，故.20．【解】（1）由，解得.該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)在分?jǐn)?shù)為[70,80]這一組，取中點值為75分，即眾數(shù)為75（2）由題中數(shù)據(jù)可得對食堂服務(wù)質(zhì)量評分的平均分為因為76.2>75，所以食堂不需要內(nèi)部整頓.（3）由圖可知，[40，60）、[60，80）、[80，100]這三組的頻率分別為0.1、0.5、0.4；用頻率估計概率，即差評、中評、好評的概率分別為0.1、0.5、0.4；以本次抽取的3名學(xué)生，讓學(xué)生在“差評、中評、好評”中選擇一個作答，已知學(xué)生都會根據(jù)自己的感受獨立地給出評價不會受到其它因素的影響，記3名學(xué)生分別為甲、乙、丙；設(shè)本周校長不會責(zé)成后勤分管副校長親自檢查食堂服務(wù)質(zhì)量的事件記為A，則A事件即為：甲好評乙丙中評、甲乙好評丙中評、甲丙好評乙中評、乙好評甲丙中評、乙丙好評甲中評、丙好評甲乙中評、甲乙丙都好評；即.即本周校長會責(zé)成后勤分管副校長親自檢查食堂服務(wù)質(zhì)量的概率為0.396.21.【解】（1）如圖所示，

連結(jié)，根據(jù)題意，，則，點的軌跡是以，為焦點的雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，其中，，，，，故所求的方程為．（2）證明：

設(shè)直線的方程為，，，所以，則，所以中點為，當(dāng)時，，此時;當(dāng)時，則垂直平分線方程為，令得，即，所以，又，綜上可得為定值1．22.【解】（1）由題知，橢圓的焦點為，，故可設(shè)橢圓的方程為，將點代入可得，解得，所以橢圓得方程為.

（2）（i）易知，由橢圓對稱性可知，不妨設(shè)，；根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且，；所以直線的方程