湖南省衡陽(yáng)2023-2024高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試題

湖南省衡陽(yáng)2023-2024高三上學(xué)期暑期檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：本試卷滿分150分，時(shí)量為120分鐘第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分）1．若，則（

）A． B． C． D．2．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．4．已知，則（

）A． B． C．D．5．若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．八卦是中國(guó)古老文化的深?yuàn)W概念，下圖示意太極八卦圖.現(xiàn)將一副八卦簡(jiǎn)化為正八邊形，設(shè)其邊長(zhǎng)為，中心為，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．B．C．和是一對(duì)相反向量D．7．黎曼函數(shù)是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其定義為:時(shí)，.若數(shù)列，則下列結(jié)論:①的函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱；②；③；④；⑤.其中正確的是（

）A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤8．已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分）9．根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)顯示，我國(guó)2010~2019年研究生在校女生人數(shù)及所占比重如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．2010~2019年，我國(guó)研究生在校女生人數(shù)逐漸增加B．可以預(yù)測(cè)2020年，我國(guó)研究生在校女生人數(shù)將不低于144萬(wàn)C．2017年我國(guó)研究生在校女生人數(shù)少于男生人數(shù)D．2019年我國(guó)研究生在?？?cè)藬?shù)不超過(guò)285萬(wàn)10．函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．函數(shù)的零點(diǎn)為C．函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線D．若在區(qū)間上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為11．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱的中點(diǎn)，則（

）A．直線為異面直線 B．C．直線與平面所成角的正切值為 D．過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為912．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則雙曲線的離心率B．若是面積為的正三角形，則C．若為雙曲線的右頂點(diǎn)，軸，則D．若射線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)Q，則第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．已知展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則．（用數(shù)字作答）14．已知，為單位向量，且在方向上的投影為，則．15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，且滿足，設(shè)弦的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為d，則的最小值為．16．若函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分）17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.18．如圖，已知平面四邊形存在外接圓，且，，．

(1)求的面積；(2)求的周長(zhǎng)的最大值．19．在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形，．（1）求證：平面PBD：（2）設(shè)E為側(cè)棱PC上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，，試確定的值，使得二面角E-BD-P的余弦值為．20．甲?乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)若，求甲學(xué)員恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率；(2)當(dāng)時(shí)，若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)的分布列及期望的最大值.21．已知橢圓左焦點(diǎn)為，離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑作圓使之與直線相切.(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，交于另一點(diǎn)，求的內(nèi)切圓半徑的范圍.22．已知函數(shù)，且，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，試比較與2的大小，并說(shuō)明理由．答案第=page88頁(yè)，共=sectionpages88頁(yè)高三暑期檢測(cè)數(shù)學(xué)參考答案一、單選題12345678DACBACDD1．D2．A3．C4．B【詳解】由，有，得，可得，所以.故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.5．A【詳解】雙曲線的漸近線方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以，圓心到直線的距離為，解得，因此，雙曲線的離心率的值為.故選：A.6．C【詳解】A項(xiàng)，由于，明顯有，故正確；B項(xiàng)，因?yàn)槊總€(gè)邊對(duì)應(yīng)的中心角為，則，所以，又，且，所以，B正確；C項(xiàng)，和方向相反，但長(zhǎng)度不等，因此不是一對(duì)相反向量，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，因?yàn)?，所以，D正確.故選：C.7．D【詳解】對(duì)于①：若，則，，關(guān)于對(duì)稱，若為無(wú)理數(shù)，則也是無(wú)理數(shù)，，也關(guān)于對(duì)稱，若，并且是既約的真分?jǐn)?shù)，則，并且是互質(zhì)的，，也是真分?jǐn)?shù)，若不是既約分?jǐn)?shù)，則與必定存在公約數(shù)，不妨假設(shè)，則有，即存在大于1的公約數(shù)，與題設(shè)矛盾，故也是既約分?jǐn)?shù)，，即關(guān)于對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，時(shí)，，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，有，，但當(dāng)時(shí)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，，構(gòu)造函數(shù)，，則，單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，故④正確；對(duì)于⑤，，故⑤正確；故選：D.8．D【詳解】不等式可整理為，令，定義域?yàn)?，則原不等式可看成，，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，令，則，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，所以，即，即，當(dāng)時(shí)，，，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，，所以，不成立；綜上可得，不等式的解集為.故選：D.二、多選題9101112ABCACDBCAB9．ABC【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，從2010-2019年，我國(guó)研究生在校女生人數(shù)逐漸增加，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，由于2010-2019年，我國(guó)研究生在校女生人數(shù)逐年增加，且2019年人數(shù)為144.8萬(wàn)，故B正確；對(duì)選項(xiàng)C，2017年我國(guó)研究生在校女生人數(shù)所占比重為48.4%，不足一半，故C正確；對(duì)選項(xiàng)D，，故2019年我國(guó)研究生在校總?cè)藬?shù)超過(guò)285萬(wàn)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC10．ACD【詳解】由函數(shù)的圖象可知，，，則，，由，解得，因?yàn)?，所以，，所以A正確.令，解得，故B錯(cuò)誤.令,解得，所以C正確.對(duì)于D，，則，值域?yàn)?，所以，解得，即?shí)數(shù)的取值范圍為，故D正確.11．BC【詳解】對(duì)于A，連接，由題意可知，因?yàn)?，所以，所以共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接，由題意可知，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，連接，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成的角，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得，且，所以平面即為過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該四邊形為梯形，其上底，下底為，高為，所以截面面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；12．AB【詳解】由題意，對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以的中垂線與雙曲線有交點(diǎn)，即有，解得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，解得，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意可得顯然不等，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若為右頂點(diǎn)時(shí)，則為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.三、填空題13．【詳解】由已知條件可知二項(xiàng)式系數(shù)和為，可得，令，則.故答案為：.14．【詳解】由題得在方向上的投影為，又因?yàn)?，為單位向量，則，所以，所以，即．故答案為：．15．1【詳解】由拋物線可得準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由余弦定理可得,由拋物線定義可得P到準(zhǔn)線的距離等于，Q到準(zhǔn)線的距離等于，M為的中點(diǎn)，由梯形的中位線定理可得M到準(zhǔn)線的距離為，則弦的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離，故，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1，故答案為：116．．【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則，即；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，則，即；當(dāng)時(shí)，，，因此在是單調(diào)遞增，不合題意；綜上，的范圍是．故答案為：．四、解答題17．(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t化為，即，所以，所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以.（2）結(jié)合（1）得，，所以，因?yàn)?，所以?8．(1)3(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫠倪呅未嬖谕饨訄A，所以，，又，所以，所以的面積．（2）在中，由余弦定理得，解得．在中，由余弦定理得，即．由此得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的周長(zhǎng)．19．（1）證明見(jiàn)解析

（2）【詳解】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，，所以底面ABCD，所以．又因?yàn)?，即，因此可以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，所以．由底面ABCD，可得，又因?yàn)椋云矫妫?）因?yàn)?，又，設(shè)，則，所以．設(shè)平面EBD的法向量為，因?yàn)?，由，得，令，則可得平面EBD的一個(gè)法向量為，，，，代入，化簡(jiǎn)得，解得或，又由題意知，故．20．(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【詳解】（1）用事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”或“平局”，則，記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件，則事件包括事件共5種，所以.（2）因?yàn)?，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得的所有可能取值為，則，，.所以的分布列為245所以的期望，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故的最大值為.21．(1)(2).【詳解】（1）依題意，解得，所以的方程為.（2）因?yàn)椴慌c軸重合，所以設(shè)的方程為，設(shè)點(diǎn)，則聯(lián)立，得，則因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線且斜率一定存在，所以，所以，將代入化簡(jiǎn)可得，故，解得，滿足所以直線過(guò)定點(diǎn)，且為橢圓右焦點(diǎn)設(shè)所求內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)?，所以令，則，所以，因?yàn)?，?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，則.所以內(nèi)切圓半徑的范圍為.22．(1)答案見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）由，得