初中數(shù)學(xué)試題大全（八十一）圖形的旋轉(zhuǎn)難題

81初中數(shù)學(xué)組卷：圖形的旋轉(zhuǎn)難題

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，。是正aABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)

中心逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段80',下列結(jié)論：①△BCTA可以由△BOC繞點(diǎn)B逆

時針旋轉(zhuǎn)60。得到；②點(diǎn)。與0,的距離為4；③NAOB=150。；@S四邊形AOBO=6+3?；

⑤SMOC+SMOB=6+2^.其中正確的結(jié)論是（）

二

B-------------------------C

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

2.如圖，△ABC,AEFG均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn),

‘直冬線AG、FC相交于。點(diǎn)M.當(dāng)4EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，線段BM長的最小值是（）

F

A.2-73B.后1C.&D.V3-1

3.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=8,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，若直角

MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則下列說法正確的有（）

①AE=CF；②EC+CF=M；③DE=DF；④若^ECF的面積為一個定值，則EF的長

也是一個定值.

月LNx

CB

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）,ZAOB=90°,ZB=30°.將

△AOB繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△AOB，，并且點(diǎn)A恰好好落到線段AB

上，則點(diǎn)ZV的坐標(biāo)為（）

A.B.(-X2&)

5.如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分別為2、3,則PC所能

達(dá)到的最大值為（

A.75B.7I3C.5D.6

6.如圖，將4ABC繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60。后，得至U△ABe,且C為BC的中點(diǎn),

則CD：DB'=（）

7.一個機(jī)器人從Ao點(diǎn)出發(fā)朝正東方向走了2米到達(dá)Ai點(diǎn)，記為第1次行走；

接著，在Ai處沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。后向前走2米到達(dá)A2點(diǎn)，記為第2次行走;

再在A2處沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。后向前走2米到達(dá)A3點(diǎn)，記為第3次行走；依

此類推，若點(diǎn)Ao的坐標(biāo)是（1,0）,則該機(jī)器人第2012次行走后的坐標(biāo)是（）

A.（0,73）B.（3,0）C.（1,273）D.（4,我）

8.如圖，正方形ABCD的邊長是3cm,一個邊長為1cm的小正方形沿著正方形

ABCD的邊AB玲BC玲CDfDA玲AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個小正方形第一次回到起

始位置時，它的方向是（）

9.如圖，把一個斜邊長為2且含有30。角的直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時

針旋轉(zhuǎn)90。到aAiBiC,則在旋轉(zhuǎn)過程中這個三角板掃過的圖形的面積是（）

10.等邊三角形繞它的一個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。后與原來的等邊三角形組成一個新的圖

形，那么這個新的圖形（）

A.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

B.是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形

二.填空題（共10小題）

11.如圖，在Rt^ABC中，NABC=90。，AB=BC=&,將^ABC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)

60°,得到△MNC,連接BM,則BM的長是

Xf

c

N

B^------------\

12.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,將aABC繞點(diǎn)B順

時針旋轉(zhuǎn)60。，得到ABDE,連接DC交AB于點(diǎn)F,則4ACF與4BDF的周長之和

為cm.

13.如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)30。后得到正方形BEFG,EF與AD相

交于點(diǎn)H,延長DA交GF于點(diǎn)K.若正方形ABCD邊長為聲，則AK=.

14.如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上的一個動點(diǎn)，連接

EC,將線段EC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到FC,連接DF.則在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，

15.如圖,4ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45。得到△ABC,若NBAC=90。，AB=AC飛歷,

則圖中陰影部分的面積等于

16.如圖，在矩形ABCD中，AB=4遍，AD=10.連接BD,NDBC的角平分線BE

交DC于點(diǎn)E,現(xiàn)把a(bǔ)BCE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的aBCE為△BCE.當(dāng)射

線BE，和射線BU都與線段AD相交時，設(shè)交點(diǎn)分別為F,G.若4BFD為等腰三角

形，則線段DG長為.

17.如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°,得到正方形ABCD,

則圖中陰影部分的面積為.

Dr

18.如圖，在^ABC中，ZA=70°,AC=BC,以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把^ABC按順時針

旋轉(zhuǎn)a度，得到△A，BU,點(diǎn)ZV恰好落在AC上，連接CU,則NACC=.

Cf

19.如圖，AAOB中，ZAOB=90°,AO=3,BO=6,4AOB繞頂點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)

到△A'OB，處，此時線段AB與B0的交點(diǎn)E為B0的中點(diǎn)，則線段B乍的長度

20.如圖，在ZXABC中,AB=2,BC=3.6,ZB=60",將^ABC繞點(diǎn)A按順時針旋

轉(zhuǎn)一定角度得到aADE,當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時，則CD的長

為.

三.解答題（共10小題）

21.已知，在△ABC中，AB=AC.過A點(diǎn)的直線a從與邊AC重合的位置開始繞

點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角0,直線a交BC邊于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合）,

△BMN的邊MN始終在直線a上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且BM=BN,連接CN.

（1）當(dāng)NBAC=NMBN=90°時，

①如圖a,當(dāng)0=45。時，NANC的度數(shù)為；

②如圖b,當(dāng)6W45。時，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說明理由；

（2）如圖c,當(dāng)NBAC=NMBNW90。時，請直接寫出NANC與NBAC之間的數(shù)量

關(guān)系，不必證明.

22.(1)如圖1,在AABC中，BA=BC,D,E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿足NDBE=L

2

ZABC(O°<ZCBE<Z1T\BC).以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將ABEC按逆時針旋轉(zhuǎn)NABC,

2

得到ABETk(點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)E到點(diǎn)E，處)連接DE\

求證：DE'=DE.

(2)如圖2,在AABC中，BA=BC,ZABC=90°,D,E是AC邊上的兩點(diǎn)，且滿

足NDBE=L/ABC(0°<ZCBE<45").

2

23.已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB=5,AD="_,AE1BD,垂足是E.點(diǎn)F

3

（2）若將4ABF沿著射線BD方向平移，設(shè)平移的距離為m（平移距離指點(diǎn)B

沿BD方向所經(jīng)過的線段長度）.當(dāng)點(diǎn)F分別平移到線段AB、AD上時，直接寫出

相應(yīng)的m的值.

（3）如圖②，將4ABF繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)一個角a（00<a<180°）,記旋轉(zhuǎn)中的

△ABF為△ABF,在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)AF所在的直線與直線AD交于點(diǎn)P,與直線

BD交于點(diǎn)Q.是否存在這樣的P、Q兩點(diǎn)，使ADPCi為等腰三角形？若存在，求

出此時DQ的長；若不存在，請說明理由.

24.已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFJ_BD交BC于F,

連接DF,G為DF中點(diǎn)，連接EG,CG.

（1）求證:EG=CG；

（2）將圖①中aBEF繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45°,如圖②所示，取DF中點(diǎn)G,連接

EG,CG.問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請

說明理由；

（3）將圖①中aBEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖③所示，再連接相應(yīng)的線段，

問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論（均不要求證明）.

圖①圖②圖⑤

25.如圖1,在RtZ\ABC中，ZB=90°,BC=2AB=8,點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的

中點(diǎn)，連接DE,將aEDC繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當(dāng)a=0°時，?；②當(dāng)a=180°時，必

BDBD

（2）拓展探究

試判斷：當(dāng)(TWa＜360。時，嶇的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明.

BD

(3)問題解決

當(dāng)△￡口(：旋轉(zhuǎn)至A,D,E三點(diǎn)共線時，直接寫出線段BD的長.

26.在平面直角坐標(biāo)系中，0為原點(diǎn)，點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,2),點(diǎn)E,點(diǎn)F

分別為OA,OB的中點(diǎn).若正方形。EDF繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE'DF,

記旋轉(zhuǎn)角為a.

(I)如圖①，當(dāng)a=90。時，求AE',BFZ的長；

(II)如圖②，當(dāng)a=135°時，求證AE'=BF',且AE」BF'；

(DI)若直線AE，與直線BF相交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值(直接寫出結(jié)

果即可).

27.如圖1,點(diǎn)。是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，分別延長OD到點(diǎn)G,OC到

點(diǎn)E,使。G=2OD,0E=20C,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG,連接AG,

DE.

(1)求證：DE1AG；

(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0。＜。＜360。)

得到正方形OEFG,如圖2.

①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NOAG，是直角時，求a的度數(shù)；

②若正方形ABCD的邊長為1,在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF長的最大值和此時a的度數(shù),

直接寫出結(jié)果不必說明理由.

圖2

28.如圖1,在4ABC中，ZA=36°,AB=AC,ZABC的平分線BE交AC于E.

(1)求證：AE=BC；

(2)如圖(2),過點(diǎn)E作EF〃BC交AB于F,將aAEF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)角a

(0°<a<144°)得到△AE'F',連結(jié)CE',BF',求證：CE'=BF'；

(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中是否存在CE，〃AB?若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角a；

若不存在，請說明理由.

29.如圖，將邊長為a的正方形OABC繞頂點(diǎn)0按順時針方向旋轉(zhuǎn)角a((TVa

<45°),得到正方形OAiBiCi.設(shè)邊BiCi與0C的延長線交于點(diǎn)M,邊BiAi與0B

交于點(diǎn)N,邊BiAi與0A的延長線交于點(diǎn)E,連接MN.

(1)求證：△OCiMgZ\OAiE；

(2)試說明：△OMN的邊MN上的高為定值；

(3)4MNBi的周長p是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，試說明理由；若不發(fā)生變化，

請給予證明，并求出p的值.

30.在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動，將邊長為2的正方形ABCD

與邊長為2&的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與

AG在同一直線上.

(1)小明發(fā)現(xiàn)DG_LBE,請你幫他說明理由.

(2)如圖2,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在線段DG

上時，請你幫他求出此時BE的長.

(3)如圖3,小明將正方形ABCD繞點(diǎn)A繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE

將相交，交點(diǎn)為H,寫出aGHE與aBHD面積之和的最大值，并簡要說明理由.

81初中數(shù)學(xué)組卷：圖形的旋轉(zhuǎn)難題

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2012?十堰）如圖，。是正^ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO

以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段B。，，下列結(jié)論：①△BCTA可以由△

BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到；②點(diǎn)。與。'的距離為4；③NAOB=150。；@S

四邊形AOBO，=6+3仃；⑤SAAOC+SAAOB=6+&年.其中正確的結(jié)論是（）

。二,

B---------------------------C

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

【分析】證明△BO'A之△BOC,又NOBO'=60°,所以△BO'A可以由△BOC繞點(diǎn)B

逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到，故結(jié)論①正確；

由△0B。，是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；

在△AOO,中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù)，故△AOO,是直角三角形；進(jìn)

而求得NAOB=150。，故結(jié)論③正確；

S、,=SMOO，+SMBO，=6+4向，故結(jié)論④錯誤；

四邊形A3B0

如圖②，將aAOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至0"

點(diǎn).利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將SAAOC+SAAOB轉(zhuǎn)化為SMOO"+S

△A00”，計算可得結(jié)論⑤正確.

【解答】解：由題意可知，Zl+Z2=Z3+Z2=60°,/.Z1=Z3,

又?.?OB=O，B,AB=BC,

.,.△BO'A^ABOC,又,.?/OBO‘=6O°,

.?.△BO，A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到，

故結(jié)論①正確；

如圖①，連接00，，

?.?0B=0'B,且NOBO'=60°,

.?.△OB。，是等邊三角形，

00z=0B=4.

故結(jié)論②正確；

VABO'A^ABOC,.?.O'A=5.

在△A。。，中，三邊長為3,4,5,這是一組勾股數(shù),

，△AO。，是直角三角形，NAOO，=90。，

AZAOB=ZAOO,+ZBOO,=90o+60°=150°,

故結(jié)論③正確；

S=SAAOO，+SAOBO'=-X3X4+X^-X42=6+4^/3，

四邊形給B024

故結(jié)論④錯誤；

如圖②所示，將AAOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，使得AB與AC重合，點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)至

0"點(diǎn).

易知△A0?！笔沁呴L為3的等邊三角形，△C00”是邊長為3、4、5的直角三角形,

貝SAAOC+SMOB=S四邊形AOCO"=SACOO"+SAAOO"=LX3X4+

2

故結(jié)論⑤正確.

綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤.

故選:A.

BC

圖②

圖①

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì).利用勾股定理

的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn).在

判定結(jié)論⑤時，將^AOB向不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①-結(jié)論④解題思路的拓

展應(yīng)用.

2.（2015?武漢）如圖，AABC,AEFG均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊

BC、EF的中點(diǎn)，直線AG、FC相交于點(diǎn)M.當(dāng)4EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，線段BM長

【分析】取AC的中點(diǎn)0,連接AD、DG、BO、OM,如圖，易證△DAGs^DCF,

則有NDAG=NDCF,從而可得A、D、C、M四點(diǎn)共圓，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可

得BOWBM+OM,即BM'BO-OM,當(dāng)M在線段B0與該圓的交點(diǎn)處時，線段

BM最小，只需求出B。、0M的值，就可解決問題.

【解答】解：AC的中點(diǎn)0,連接AD、DG、BO、0M,如圖.

'.?△ABC,AEFG均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn),

/.AD±BC,GD±EF,DA=DG,DC=DF,

/.ZADG=90°-ZCDG=ZFDC,里國

DCDF

/.△DAG^ADCF,

AZDAG=ZDCF.

:.A、D、C、M四點(diǎn)共圓.

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：BOWBM+OM,即BM2B0-0M,

當(dāng)M在線段B0與該圓的交點(diǎn)處時，線段BM最小，

止匕時，BO=VBC2-0C2=V22-12=^0M

則BM=BO-0M=V3-1.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的

判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識，求出動點(diǎn)

M的運(yùn)動軌跡是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2011?老河口市模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=8,點(diǎn)D

為AB的中點(diǎn)，若直角MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,則下

列說法正確的有（）

①AE=CF；②EC+CF=4A/^；③DE=DF；④若aECF的面積為一個定值，則EF的長

也是一個定值.

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

【分析】①如果連接CD,可證△ADEgACDF,得出AE=CF；

②由①知，EC+CF=EC+AE=AC,而AC為等腰直角4ABC的直角邊，由于斜邊AB=8,

由勾股定理可求出AC=BC=4&；

③由①知DE=DF；

?VAECF的面積=LXCEXCF,如果這是一個定值，則CE-CF是一個定值，又

2

EC+CF=4&,從而可唯一確定EC與EF的值，由勾股定理知EF的長也是一個定

值.

【解答】解：①連接CD.

?.?在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，

ACD1AB,CD=AD=DB,

在aADE與4CDF中，ZA=DCF=45°,AD=CD,NADE=NCDF,

/.△ADE^ACDF,

/.AE=CF.說法正確;

②?.,在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=8,

AC=BC=4-\/2-

由①知AE=CF,

，EC+CF=EC+AE=AC=4&.說法正確；

③由①知AADE之ACDF,

，DE=DF.說法正確；

④?..△ECF的面積=LXCEXCF,如果這是一個定值，則CE?CF是一個定值，

2

又?.?EC+CF=啦,

可唯一確定EC與EF的值，

再由勾股定理知EF的長也是一個定值，說法正確.

故選D.

【點(diǎn)評】本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及方程的思

想，有一定難度.

4.（2012?河南模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,3）,Z

AOB=90°,ZB=30°.將^AOB繞點(diǎn)0順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△A，OB，，并且

點(diǎn)A恰好好落到線段AB上，則點(diǎn)/V的坐標(biāo)為()

（_3_,2^.B?食，與C.（一事|）小-喙,2)

22

【分析】解直角三角形求出A0=畬，NBAO=60。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置

不改變圖形的形狀與大小可得AO=AO,然后判斷出△AOA是等邊三角形，過點(diǎn)

A，作A，CJ_AO于點(diǎn)C,然后解直角三角形求出A，C,0C,再根據(jù)點(diǎn)A，在第二象限

寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

【解答】解：???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,3),

，B0=3,

VZAOB=90°,ZB=30°,

AAO=BO*tan30°=3XJ3,ZBAO=90°-30°=60°,

3

?.?△A9B，是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A，在AB上，

.?.A'O=AO,

.'.△AOA，是等邊三角形，

Z.NAOA'=60。，

過點(diǎn)A作ArC±AO于點(diǎn)C,

則人（=人6皿60。=我又冬OC=A'Ocos60°=我X手喙,

?.?點(diǎn)A在第二象限，

.?.點(diǎn)A'（-返，旦）.

22

【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，主要利用了解直角三角形的知識,

等邊三角形的判定與性質(zhì)，判定出△AOA，是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

5.（2011?鄂州校級模擬）如圖，設(shè)P到等邊三角形ABC兩頂點(diǎn)A、B的距離分

別為2、3,則PC所能達(dá)到的最大值為（

A.遙B.V13c-5D.6

【分析】把PA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得AD,則DA=PA,連CD,DP,CP,由

△ABC為等邊三角形ABC,得至UNDAC=NBAP,AC=AB,于是有二4DAC義^PAB,

則DC=PB,所以PCWDP+DC,即可得到PC所能達(dá)到的最大值.

【解答】解：把PA繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得AD,則DA=PA,連CD,DP,CP,

如圖，

VAABC為等邊三角形ABC,

/.ZBAC=60°,AC=AB

/.ZDAC=ZBAP,

/.△DAC^APAB,

/.DC=PB,

而PB=3,PA=2,

.*.DC=3,

?.,PCWDP+DC,

，PCW5,

所以PC所能達(dá)到的最大值為5.

故選C.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心

的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.也考查了等邊三角

形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì).

6.（2006?綿陽）如圖，將AABC繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60。后，得到△ABC,且C

為BC的中點(diǎn)，則C，D：DB，=（）

BC1C

A.1：2B.1：272C.1：V3D.1：3

【分析】旋轉(zhuǎn)60。后，AC=AU,旋轉(zhuǎn)角NUAC=60。，可證△ACU為等邊三角形；再

根據(jù)BU=CU=AC,證明△BUD為30。的直角三角形，尋找線段UD與DB，之間的

數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知:AC=AC,NACB=NC=60。，

,旋轉(zhuǎn)角是60。，即NUAC=60。，

...△ACU為等邊三角形，

，BC'=CC'=AC,

.,.ZB=ZC,AB=30°,

二NBDC'=NC'AB+NAC'B'=90°,

即B'C'_LAB,

，BC'=2C'D,

，BC=B'C'=4C'D,

/.CD：DBS3.故選D.

【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)兩相等的性質(zhì)，即對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一

對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等.

7.（2012?晉江市校級模擬）一個機(jī)器人從Ao點(diǎn)出發(fā)朝正東方向走了2米到達(dá)

Ai點(diǎn)，記為第1次行走；接著，在Ai處沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。后向前走2米到達(dá)

A2點(diǎn)，記為第2次行走；再在A2處沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。后向前走2米到達(dá)A3

點(diǎn)，記為第3次行走；依此類推，若點(diǎn)Ao的坐標(biāo)是（1,0）,則該機(jī)器人第2012

次行走后的坐標(biāo)是（）

A.（0,V3）B.（3,0）C.（1,2A/3）D.（4,我）

【分析】先判斷出旋轉(zhuǎn)6次所走過的路線正好是正六邊形，然后用2012除以6,

根據(jù)余數(shù)是停留在處，然后過點(diǎn)作于點(diǎn)然后求出、

2,A2A2B_LAOAIB,AiBA2B

的長度，再根據(jù)點(diǎn)Ao的坐標(biāo)是（1,0）解答即可.

【解答】解：根據(jù)題意，每次都是逆時針旋轉(zhuǎn)60。，

360°+60°=6,

所以，旋轉(zhuǎn)6次所走過的路線正好是正六邊形，

V20124-6=335...2,

.?.第2012次行走后與第2次行走到達(dá)的點(diǎn)相同，在點(diǎn)A2處,

過點(diǎn)作A2B_LAOAI于點(diǎn)B,

???每次前走2米，

乂匹?,

AIB=AIA2?COS60°=2xl.=l,A2B=AiA2?sin60°=2X

22

???點(diǎn)Ao的坐標(biāo)是（1,0）,

，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

A21+2+1=4,

點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（4,?）,

即第2012次行走后的坐標(biāo)是（4,b）.

故選D.

4A.B

【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，根據(jù)題意判斷出每旋轉(zhuǎn)6次所走

過的路線正好是正六邊形，然后求出第2012次行走后的點(diǎn)與點(diǎn)A2重合是解題的

關(guān)鍵.

8.（2014?白云區(qū)三模）如圖，正方形ABCD的邊長是3cm,一個邊長為1cm的

小正方形沿著正方形ABCD的邊AB玲BC玲CD玲DA玲AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個小

正方形第一次回到起始位置時，它的方向是（）

【分析】由正方形ABCD的邊長是3cm,小正方形的邊長為1cm,則小正方形在

正方形ABCD每條邊上翻轉(zhuǎn)兩次，每個直角處翻轉(zhuǎn)一次，小正方形共翻轉(zhuǎn)12次

回到原來的位置，即可得到它的方向.

【解答】解：???正方形ABCD的邊長是3cm,小正方形的邊長為1cm,

...小正方形在正方形ABCD每條邊上翻轉(zhuǎn)兩次，每個直角處翻轉(zhuǎn)一次，小正方形

翻轉(zhuǎn)12次回到原來的位置，

,它的方向?yàn)锽選項(xiàng)所指的方向.

故選B.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線

段相等;對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了正方形的性質(zhì).

9.（2012?佛山）如圖，把一個斜邊長為2且含有30。角的直角三角板ABC繞直

角頂點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90。到△AiBiC,則在旋轉(zhuǎn)過程中這個三角板掃過的圖形的面

積是（）

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC、AC的長度，設(shè)點(diǎn)B掃過的路線與AB

的交點(diǎn)為D,連接CD,可以證明ABCD是等邊三角形，然后求出點(diǎn)D是AB的中

點(diǎn)，所以^ACD的面積等于^ABC的面積的一半，然后根據(jù)^ABC掃過的面積=s

fflff5ACAl+SJWBCD+S,'ACD,然后根據(jù)扇形的面積公式與三角形的面積公式列式計算即

可得解.

【解答】解:在^ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=2,

，BC=1AB=1,ZB=90°-ZBAC=60°,

2

?20=、福2-8,2=愿，

SAABC=LXBCXAC=返，

22

設(shè)點(diǎn)B掃過的路線與AB的交點(diǎn)為D,連接CD,

VBC=DC,

.二△BCD是等邊三角形，

.*.BD=CD=1,

...點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

SAACD=-^SAABC=—X

2224

??AABC掃過的面積二S扇形ACAI+S扇形BCD+S/\ACD，

=90義兀乂（?）2+60義兀><12+返,

3603604

464

必+返.

124

故選：D.

【點(diǎn)評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，注

意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想把掃過的面積分成兩個扇形

的面積與一個三角形面積是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

10.（2016?丹東模擬）等邊三角形繞它的一個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。后與原來的等邊三角

形組成一個新的圖形，那么這個新的圖形（）

A.是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

B.是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

D.既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：等邊三角形繞它的一個頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。后與原來的等邊三角形組成一

個新的圖形，

沿著一條直線對折后兩部分完全重合，故是軸對稱圖形；

找不到一點(diǎn)把圖形繞該點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，故不

是中心對稱圖形.

故選A.

【點(diǎn)評】掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.

在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形

完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.這個旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，就叫做中心對稱點(diǎn).

如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖

形.這條直線叫做對稱軸.

二.填空題（共10小題）

11.（2015?福州）如圖,在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=BC=&,將Z\ABC繞點(diǎn)

C逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得到△MNC,連接BM,則BM的長是叵1.

M

DA

【分析】如圖，連接AM,由題意得：CA=CM,ZACM=60°,得到△ACM為等邊

三角形根據(jù)AB=BC,CM=AM,得出BM垂直平分AC,于是求出BO=1AC=1,

2

0M=CM?sin6(T=y,最終得到答案BM=BO+OM=1+J^.

【解答】解：如圖，連接AM,

由題意得：CA=CM,ZACM=60°,

.".△ACM為等邊三角形，

，AM=CM,ZMAC=ZMCA=ZAMC=60°；

VZABC=90°,AB=BC=&,

AC=2=CM=2,

VAB=BC,CM=AM,

ABM垂直平分AC,

ABO=17\C=1,OM=CM?sin60°=歷

2

BM=BO+OM=l+"\/^,

故答案為：1+愿.

【點(diǎn)評】本題考查了圖形的變換-旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的

判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2015?吉林）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,將4

ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到aBDE,連接DC交AB于點(diǎn)F,則Z\ACF與Z\BDF

的周長之和為42cm.

【分析】根據(jù)將4ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到aBDE,可得△ABCgZ\BDE,

ZCBD=60°,BD=BC=12cm,從而得到aBCD為等邊三角形，得到CD=BC=CD=12cm,

在RtAACB中，利用勾股定理得到AB=13,所以4ACF與4BDF的周長之和

=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD,即可解答.

【解答】解：???將aABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到ABDE,

.,.△ABC^ABDE,ZCBD=60°,

/.BD=BC=12cm,

...△BCD為等邊三角形，

/.CD=BC=CD=12cm,

2222=13

在Rt^ACB中，AB=7AC+BC=75+12J

△ACF^ABDF的周長之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42

(cm),

故答案為:42.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是由旋轉(zhuǎn)得到相等的邊.

13.(2015?沈陽)如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)30。后得到正方形BEFG,

EF與AD相交于點(diǎn)H,延長DA交GF于點(diǎn)K.若正方形ABCD邊長為則AK=

273-3.

【分析】連接BH,由正方形的性質(zhì)得出NBAH=NABC=NBEH=NF=90。，由旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)得：AB=EB,ZCBE=30°,得出NABE=60°,由HL證明Rt4ABHgRtZ\EBH,

得出/ABH=/EBH=L/ABE=30°,AH=EH,由三角函數(shù)求出AH,得出EH、FH,

2

再求出KH=2FH,即可求出AK.

【解答】解：連接BH,如圖所示：

,/四邊形ABCD和四邊形BEFG是正方形，

二NBAH=NABC=NBEH=NF=90°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=EB,ZCBE=30°,

/.ZABE=60°,

在RtAABH和RtAEBH中，

[BH二BH,

lAB=EB，

RtAABH^ARtAEBH（HL）,

...NABH=NEBH=L/ABE=30。，AH=EH,

2_

AH=AB?tanNABH=、/§X2^1,

3

，EH=1,

AFH=V3-1,

在Rt^FKH中，NFKH=30°,

/.KH=2FH=2（V3-1），

，AK=KH-AH=2（遙-1）-1=2b-3；

故答案為：2a-3.

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三

角函數(shù)；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的

關(guān)鍵.

14.（2015?莆田模擬）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC中，E是對稱軸AD上

的一個動點(diǎn)，連接EC,將線段EC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到FC,連接DF.則在

點(diǎn)E運(yùn)動過程中，DF的最小值是1.5.

【分析】取AC的中點(diǎn)G,連接EG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CD=CG,再求出

ZDCF=ZGCE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE=CF,然后利用“邊角邊"證明4DCF和4

GCE全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=EG,然后根據(jù)垂線段最短可得

EGJ_AD時最短，再根據(jù)/CAD=30。求解即可.

【解答】解：如圖，取AC的中點(diǎn)G,連接EG,

???旋轉(zhuǎn)角為60。，

.,.ZECD+ZDCF=60°,

又ZECD+ZGCE=ZACB=60°,

/.ZDCF=ZGCE,

VAD是等邊4ABC的對稱軸，

.?.CDJBC,

2

；.CD=CG,

又YCE旋轉(zhuǎn)到CF,

；.CE=CF,

在4DCF和4GCE中，

"CE=CF

<NDCF=/GCE，

,CD=CG

.".△DCF^AGCE(SAS),

，DF=EG,

根據(jù)垂線段最短，EGLAD時，EG最短，即DF最短，

止匕時ZCAD=J_X60°=30°,AG=1T\C=LX6=3,

222

.?.EG』G="3=1.5,

22

.?.DF=1.5.

故答案為：15

A

5

F

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì),

垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

15.（2014?廣東）如圖，△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45。得到△ABC,若NBAC=90。,

AB=AC=&,則圖中陰影部分的面積等于_叵」.

【分析】根據(jù)題意結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=1BC=1,

2

,,

AF=FC=sin45°AC=2Z2AC=i,進(jìn)而求出陰影部分的面積.

2

【解答】解：:△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45°得至UZSABC,ZBAC=90",AB=AC=&,

，BC=2,ZC=ZB=ZCAC'=ZC'=45°,

/.AD±BC,B'C'_LAB,

,,

/.AD=1BC=1,AF=FC=sin45°AC=2Z2AC-=i,

22

2

，圖中陰影部分的面積等于：SAAFC-SADEC=^X1X1-Lx(a-1)=^~1.

22

故答案為：V2-1-

【點(diǎn)評】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，得出

AD,AF,DU的長是解題關(guān)鍵.

16.（2015?重慶）如圖，在矩形ABCD中，AB=4遍，AD=10.連接BD,ZDBC

的角平分線BE交DC于點(diǎn)E,現(xiàn)把4BCE繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的ABCE

為△BCE.當(dāng)射線BE，和射線BU都與線段AD相交時，設(shè)交點(diǎn)分別為F,G.常X

BFD為等腰三角形，則線段DG長為_絲_.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，尋找等角，等角對等邊，構(gòu)造相似三角形，利用

對應(yīng)線段成比例，即可得答案.

【解答】解：在Rt^ABD中，由勾股定理，得

BD=VAB2+AD2=7

在RtAABF中，由勾股定理，得：

BF2=（4加）2+（10-BF）2,

解得BF=il

AF=10-

55

過G作GH〃BF,交BD于H,

/.ZFBD=ZGHD,NBGH=NFBG,

VFB=FD,

，NFBD=NFDB,

/.ZFDB=ZGHD,

，GH=GD,

：NFBG=NEBCJ/DBCJ/ADBJ/FBD,

222

又；NFBG=NBGH,NFBG=NGBH,

；.BH=GH,

設(shè)DG=GH=BH=x,則FG=FD-GD=ii-x,HD=14-x,

5

49

?FD_BDin5_14

GD-HDx-14-x

解得x=il

17

故答案為：箜.

17

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正切函數(shù)的定

義是解題關(guān)鍵.

17.（2015?徐州模擬）如圖,邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)30°,

得到正方形ABCD，，則圖中陰影部分的面積為.

-3一

ADr

【分析】設(shè)BC與CD交于點(diǎn)E.由于陰影部分的面積=S正方形ABCD-S四邊形AB'ED，又

因?yàn)镾正方形ABCD=1，所以關(guān)鍵是求S四邊形AB，ED.為此，連接AE.根據(jù)HL易證^AB'E

^^ADE,得出NB，AE=/DAE=30。.在直角AADE中，由正切的定義得出DE=AD*tan

NDAE=返.再利用三角形的面積公式求出S四邊彩AB'ED=2S/、ADE?

3

【解答】解：設(shè)BC與CD交于點(diǎn)E,連接AE.

在aAB'E與4ADE中，NAB'E=NADE=90°,

(AE=AE

,lAB7=AD?

.'.△AB^^AADE(HL),

/.ZB,AE=ZDAE.

?.,NBAB'=30°,ZBAD=90°,

.?.NB'AE=NDAE=30°,

，DE=AD?tanNDAE=返.

3_

?'?S四邊;BAB'ED=2SAADE=2XLX1又^~=^-.

233__

陰影部分的面積=5MfgABCD-S四邊形ABTD=1-.

33

D'

【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的判定及性質(zhì)，圖形

的面積以及三角函數(shù)等知識，綜合性較強(qiáng)，有一定難度.

18.(2015?梧州)如圖，在Z\ABC中,ZA=70°,AC=BC,以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△

ABC按順時針旋轉(zhuǎn)a度，得到△A，BU,點(diǎn)A恰好落在AC上，連接CU,則NACU=

【分析】由NA=70°,AC=BC,可知NACB=40°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AB=BA',BC=BC',

ZCBC,=Za=40°,NBCC'=70°,于是NACC'=NACB+NBCC=110°.

【解答】解：VZA=70°,AC=BC,

/.ZBCA=40o,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),AB=BA',BC=BC',

/.Za=180°-2X70°=40°,

VZZCBC,=Za=40°,

，NBCC'=70°,

NACC'=NACB+NBCC'=110°；

故答案為：110。.

【點(diǎn)評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后的

圖形對應(yīng)邊相等、旋轉(zhuǎn)角相等是解決問題的關(guān)鍵.

19.（2013?鄂州）如圖,Z^AOB中，ZAOB=90°,A0=3,B0=6,△AOB繞頂點(diǎn)0

逆時針旋轉(zhuǎn)到△A9B，處，此時線段AB與B0的交點(diǎn)E為B。的中點(diǎn)，則線段B，E

的長度為運(yùn).

【分析】利用勾股定理列式求出AB,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A0=A，0,AB=AB,再

求出0E,從而得到OE=A9,過點(diǎn)0作OF，A，B^-F,利用三角形的面積求出OF,

利用勾股定理列式求出EF,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得A，E=2EF,然

后根據(jù)B，E=AB-AE代入數(shù)據(jù)計算即可得解.

【解答】解：VZAOB=90°,A0=3,B0=6,

AB=7A02+B02=V32+62=3^

VAAOB繞頂點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)到OB，處，

，A0=A'0=3,A'B'=AB=3代，

?.?點(diǎn)E為B。的中點(diǎn)，

，OE=1BO=LX6=3,

22

.?.OE=A'O,

過點(diǎn)0作OF_LAB于F,

SNOB4X3代?0F=/3X6,

解得OF=0ZE,

.?.A'E=2EF=2X_^叵?G（等腰三角形三線合一）,

55

B'E=A'B'-A'E=3娓-6區(qū).9但

55

故答案為：里

【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，

以及三角形面積，熟練掌握旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小

是解題的關(guān)鍵.

20.（2013?鐵嶺）如圖，在^ABC中，AB=2,BC=3.6,ZB=60°,將^ABC繞點(diǎn)A

按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到aADE,當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在BC邊上時，則

CD的長為1.6.

【分析】由將aABC繞點(diǎn)A按順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到aADE,當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)

D恰好落在BC邊上，可得AD=AB,又由NB=60。，可證得aABD是等邊三角形，

繼而可得BD=AB=2,則可求得答案.

【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AD=AB,

VZB=60°,

.'.△ABD是等邊三角形，

，BD=AB,

VAB=2,BC=3.6,

.\CD=BC-BD=3.6-2=1.6.

故答案為：1.6.

【點(diǎn)評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).此題比較簡單，

注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三.解答題（共10小題）

21.（2012?本溪）已知，在aABC中，AB=AC.過A點(diǎn)的直線a從與邊AC重合

的位置開始繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角0,直線a交BC邊于點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、

點(diǎn)C重合），ABMN的邊MN始終在直線a上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方），且BM=BN,

連接CN.

（1）當(dāng)NBAC=NMBN=90°時，

①如圖a,當(dāng)8=45。時，NANC的度數(shù)為45。；

②如圖b,當(dāng)6#45。時，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？說明理由；

（2）如圖c,當(dāng)NBAC=NMBNf90。時，請直接寫出NANC與NBAC之間的數(shù)量

關(guān)系，不必證明.

【分析】（1）①證明四邊形ABNC是正方形，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角

線即可求解；

②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得NBNP=NACB,然后證明aRNP和4ACP相似,

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得里旦L再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例夾角相等可

APPC

得4ABP和aCNP相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得NANC=NABC,從

而得解;

（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出NBNP=/ACB,然后證明ARNP和AACP

相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得巴里，再根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例夾角

APPC

相等可得4ABP和4CNP相似，然后根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等可得NANC=N

ABC,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

【解答】解:（1）?VZBAC=90°,0=45°,

AAP1BC,BP=CP（等腰三角形三線合一），

，AP=BP（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

XVZMBN=90°,BM=BN,

，AP=PN（等腰三角形三線合一）,

.?.AP=PN=BP=PC,且ANLBC,

，四邊形ABNC是正方形，

,ZANC=45°；

②連接CN,當(dāng)6W45。時，①中的結(jié)論不發(fā)生變化.

理由如下：VZBAC=ZMBN=90°,AB=AC,BM=BN,

ZABC=ZACB=ZBNP=45°,

XVZBPN=ZAPC,

.,.△BNP^AACP,

???BP_一PN,

APPC

XVNAPB=NCPN,

.,.△ABP^ACNP,

，ZANC=ZABC=45°；

(2)ZANC=90°-iZBAC.