高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八篇 第2講 面積與體積公式 理 湘教版

第2講面積與體積公式A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．(·大渡口一模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則左視圖的面積為()．A．2＋eq\r(3) B．1＋eq\r(3)C．2＋2eq\r(3) D．4＋eq\r(3)解析依題意得，該幾何體的左視圖的面積等于22＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝4＋eq\r(3).答案D2．(·湖南)設(shè)右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 ()．A.eq\f(9,2)π＋12B.eq\f(9,2)π＋18C．9π＋42D．36π＋18解析該幾何體是由一個(gè)球與一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體，球的直徑為3，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，高為2，故所求體積為2×32＋eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π＋18.答案B3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側(cè)面積(單位：cm2)為()．A．48 B．64 C．80 D．120解析據(jù)三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱錐(底面邊長(zhǎng)為8)，直觀圖如圖，PE為側(cè)面△PAB的邊AB上的高，且PE＝5.∴此幾何體的側(cè)面積是S＝4S△PAB＝4×eq\f(1,2)×8×5＝80(cm2)．答案C4．(·新課標(biāo)全國(guó))已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()．A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6) C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)解析在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)；同理SB＝eq\r(3).過A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn)，連接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(\r(3),2)，則△ABD的面積為eq\f(1,2)×1×eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),4)，則三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),6).答案A二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知S、A、B、C是球O表面上的點(diǎn)，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，則球O的表面積等于________．解析將三棱錐S－ABC補(bǔ)形成以SA、AB、BC為棱的長(zhǎng)方體，其對(duì)角線SC為球O的直徑，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面積為4πR2＝4π.答案4π6．(·天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.解析由三視圖可知，該幾何體是組合體，上面是長(zhǎng)、寬、高分別是6,3,1的長(zhǎng)方體，下面是兩個(gè)半徑均為eq\f(3,2)的球，其體積為6×3×1＋2×eq\f(4,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝18＋9π(m3)．答案18＋9π三、解答題(共25分)7．(12分)如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)：(1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)；(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積．解(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示．(2)這個(gè)幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，體積V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．8．(13分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，求CP＋PA1的最小值．解PA1在平面A1BC1內(nèi)，PC在平面BCC1內(nèi)，將其鋪平后轉(zhuǎn)化為平面上的問題解決．鋪平平面A1BC1、平面BCC1，如圖所示．計(jì)算A1B＝AB1＝eq\r(40)，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理，得A1C＝eq\r(62＋\r(2)2－2·6·\r(2)·cos135°)＝eq\r(50)＝5eq\r(2)，故(CP＋PA1)min＝5eq\r(2).B級(jí)能力突破(時(shí)間：30分鐘滿分：45分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．(·哈爾濱模擬)某品牌香水瓶的三視圖如下(單位：cm)，則該幾何體的表面積為 ()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95－\f(π,2)))cm2 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94－\f(π,2)))cm2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(94＋\f(π,2)))cm2 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(95＋\f(π,2)))cm2解析該幾何體的上下為長(zhǎng)方體，中間為圓柱．S表面積＝S下長(zhǎng)方體＋S上長(zhǎng)方體＋S圓柱側(cè)－2S圓柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×eq\f(1,2)×1－2×πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝94＋eq\f(π,2).答案C2．(·福州模擬)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為 ()．A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).答案A二、填空題(每小題5分，共10分)3．(·江西盟校二聯(lián))已知某幾何體的直觀圖及三視圖如圖所示，三視圖的輪廓均為正方形，則該幾何體的表面積為________．解析借助常見的正方體模型解決．由三視圖知，該幾何體由正方體沿面AB1D1與面CB1D1截去兩個(gè)角所得，其表面由兩個(gè)等邊三角形、四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形組成．計(jì)算得其表面積為12＋4eq\r(3).答案12＋4eq\r(3)4．(·秀山二模)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6，則以正方體ABCD－A1B1C1D1的中心為頂點(diǎn)，以平面AB1D1截正方體外接球所得的圓為底面的圓錐的全面積為________．解析設(shè)O為正方體外接球的球心，則O也是正方體的中心，O到平面AB1D1的距離是體對(duì)角線長(zhǎng)的eq\f(1,6)，即為eq\r(3).又球的半徑是正方體對(duì)角線長(zhǎng)的一半，即為3eq\r(3)，由勾股定理可知，截面圓的半徑為eq\r(3\r(3)2－\r(3)2)＝2eq\r(6)，圓錐底面面積為S1＝π·(2eq\r(6))2＝24π，圓錐的母線即為球的半徑3eq\r(3)，圓錐的側(cè)面積為S2＝π×2eq\r(6)×3eq\r(3)＝18eq\r(2)π.因此圓錐的全面積為S＝S2＋S1＝18eq\r(2)π＋24π＝(18eq\r(2)＋24)π.答案(18eq\r(2)＋24)π三、解答題(共25分)5．(12分)(·杭州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積．解由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，S表面＝S圓臺(tái)側(cè)＋S圓臺(tái)下底＋S圓錐側(cè)＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2eq\r(2)＝(60＋4eq\r(2))π，V＝V圓臺(tái)－V圓錐＝eq\f(1,3)(π·22＋π·52＋eq\r(22·52π2))×4－eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(148,3)π.6．(13分)如圖(a)，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D－ABC，如圖(b)所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求幾何體D－ABC的體積．(1)證明在圖中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，從而AC2＋BC2＝AB