新高考數(shù)學(xué)二輪考點培優(yōu)專題（精講+精練）22 數(shù)列與不等式（原卷版）

素養(yǎng)拓展22數(shù)列與不等式（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理一、數(shù)列與不等式數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題:一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值;二是與數(shù)列中的求和問題相聯(lián)系,證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍,此類問題通常是抓住數(shù)列通項公式的特征,多采用先求和后利用放縮法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式,求解參數(shù)的取值范圍.1.常見放縮公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0．（14）SKIPIF1<0．2.數(shù)學(xué)歸納法（1）數(shù)學(xué)歸納法定義：對于某些與自然數(shù)SKIPIF1<0有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)SKIPIF1<0取第一個值SKIPIF1<0時命題成立；然后假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）時命題成立，證明當(dāng)SKIPIF1<0時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法注：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)SKIPIF1<0，如果當(dāng)SKIPIF1<0時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）時，命題成立．（這時命題是否成立不是確定的），根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當(dāng)SKIPIF1<0時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于SKIPIF1<0的正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，命題都成立．（2）運用數(shù)學(xué)歸納法的步驟與技巧①用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：（1）證明：當(dāng)SKIPIF1<0取第一個值SKIPIF1<0結(jié)論正確；（2）假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）時結(jié)論正確，證明當(dāng)SKIPIF1<0時結(jié)論也正確由（1），（2）可知，命題對于從SKIPIF1<0開始的所有正整數(shù)SKIPIF1<0都正確②用數(shù)學(xué)歸納法證題的注意事項（1）弄錯起始SKIPIF1<0．SKIPIF1<0不一定恒為1，也可能SKIPIF1<0或3（即起點問題）．（2）對項數(shù)估算錯誤．特別是當(dāng)尋找SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系時，項數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤（即跨度問題）．（3）沒有利用歸納假設(shè)．歸納假設(shè)是必須要用的，假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就過不去了，整個證明過程也就不正確了（即偽證問題）．（4）關(guān)鍵步驟含糊不清．“假設(shè)SKIPIF1<0時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明SKIPIF1<0時結(jié)論也成立”是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的過程中要把步驟寫完整，另外要注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性（即規(guī)范問題）．二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】已知SKIPIF1<0是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．SKIPIF1<0是公比大于0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0．（I）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項公式；（II）記SKIPIF1<0，（i）證明SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（ii）證明SKIPIF1<0【典例2】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，SKIPIF1<0．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn．【題型訓(xùn)練-刷模擬】1.數(shù)列不等式一、單選題1．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若對任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．84．已知SKIPIF1<0是各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．16 C．SKIPIF1<0 D．325．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．3 B．2 C．1 D．SKIPIF1<06．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是首項和公比均為2的等比數(shù)列，SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，則使不等式SKIPIF1<0成立的最小正整數(shù)SKIPIF1<0的值是（

）A．8 B．9 C．10 D．117．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，存在正偶數(shù)SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，且對任意正奇數(shù)SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積為SKIPIF1<0，則使SKIPIF1<0的最大整數(shù)SKIPIF1<0為（

）A．20 B．21 C．22 D．239．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0不可能為等差數(shù)列 B．對任意正數(shù)t，SKIPIF1<0是遞增數(shù)列C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<010．若數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則稱數(shù)列SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的“均值數(shù)列”．已知數(shù)列SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的“均值數(shù)列”且SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若存在實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．對于數(shù)列SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0（t為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列SKIPIF1<0具有性質(zhì)SKIPIF1<0．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，且具有性質(zhì)SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<013．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對任意正整數(shù)n，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．在數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，且對任意的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，則使數(shù)列SKIPIF1<0前n項和SKIPIF1<0成立的n最大值為（

）A．9 B．8 C．7 D．615．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列選項正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題16．設(shè)SKIPIF1<0為正數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值為.17．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則正整數(shù)SKIPIF1<0的最小值是．18．）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且對于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．19．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最大值是.20．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，若對任意的SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為．21．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為.22．已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則存在正整數(shù)n，使得SKIPIF1<0成立的實數(shù)SKIPIF1<0組成的集合為23．已知正數(shù)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為．三、解答題24．已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項均為正數(shù)，其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對一切SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.25．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為1的等差數(shù)列.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0.26．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)已知數(shù)列SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.27．已知公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求滿足條件的SKIPIF1<0的最小值.28．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<029.已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)證明：SKIPIF1<0．30．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，問：是否存在實數(shù)c，使得SKIPIF1<0對所有SKIPIF1<0成立？證明你的結(jié)論.31．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式;(2)若對一切正整數(shù)SKIPIF1<0.不等式SKIPIF1<0恒成立.求SKIPIF1<0的最小值.32．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若不等式SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．33．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.34．記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)單調(diào)遞增的等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列.（i）求SKIPIF1<0的通項公式；（ii）設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.35．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若對任意SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，總有SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.36．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若對任意的正整數(shù)n都有SKIPIF1<0(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最小值.37．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；(2)證明：對任意的SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<038．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0．39．已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項的和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，并證明SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)證明：SKIPIF1<0.40．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.41．）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項.(1)求證：SKIPIF1<0是等比數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，求SKIPIF1<0的取值范圍；(3)設(shè)SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.42．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．43．設(shè)無窮數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．證明∶(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．(2)不存在實數(shù)c，使得SKIPIF1<0對所有的n都成立．2.數(shù)學(xué)歸納法1．首項為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)證明：若SKIPIF1<0為奇數(shù)，則對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是奇數(shù)；(2)若對SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．2．）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)計算SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0的通項公式并加以證明；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.3．已知數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)若數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）．4．設(shè)SKIPIF1<0，給定數(shù)列SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．證明：(1)SKIPIF1<0．(2)如果SKIPIF1<0，那么當(dāng)SKIPIF1<0時，必有SKIPIF1<0．【5．在數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．證明：(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．6．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0為等差數(shù)列，并求SKIPIF1<0的通項公式；(2)數(shù)列SKIPIF1<0，求滿足SKIPIF1<0的最大正整數(shù)n．7．已知正項數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)計算SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，猜想SKIPIF1<0的通項公式并加以證明；(2)若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.8．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)計算：SKIPIF1<0，猜想數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，并證明你的結(jié)論；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求k的取值范圍．9．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若數(shù)列SKIPIF1<0是常數(shù)數(shù)列，求m的值．(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，證明：SKIPIF1<0．(3)求