新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第7章　§7.5　空間直線、平面的垂直（原卷版）

§7.5空間直線、平面的垂直考試要求1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0°.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．(2)二面角的平面角：如圖，在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．(3)二面角的范圍：[0，π]．4．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α常用結(jié)論1．三垂線定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過(guò)該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．3．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線都垂直，則l⊥α.()(2)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．()(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.()教材改編題1．(多選)下列命題中不正確的是()A．如果直線a不垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于直線aB．如果平面α垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于平面βC．如果直線a垂直于平面α，那么平面α內(nèi)一定不存在直線平行于直線aD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β2.如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，則在四面體S－EFG中必有()A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面D．GD⊥△SEF所在平面3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對(duì)．題型一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1(1)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題________．(2)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)B1在底面ABC內(nèi)的射影恰好是點(diǎn)C.①若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，且DA＝DB，證明：AB⊥CC1.②已知B1C1＝2，B1C＝2eq\r(3)，求△BCC1的周長(zhǎng)．思維升華證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱CD，A1D1的中點(diǎn)．(1)求證：AB1⊥BF；(2)求證：AE⊥BF；(3)棱CC1上是否存在點(diǎn)P，使BF⊥平面AEP？若存在，確定點(diǎn)P的位置，若不存在，說(shuō)明理由．題型二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖所示，已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD且AB＝1，PA＝AD＝PD＝2，E為PD的中點(diǎn)．(1)求證：平面PCD⊥平面ACE；(2)求點(diǎn)B到平面ACE的距離．思維升華(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥平面ABCD；(2)平面BEF∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.題型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是底面為正方形的長(zhǎng)方體，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，點(diǎn)P是AD1上的動(dòng)點(diǎn)．(1)試判斷不論點(diǎn)P在AD1上的任何位置，是否都有平面BPA⊥平面AA1D1D，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)P為AD1的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AA1與B1P所成的角的余弦值；(3)求PB1與平面AA1D1D所成的角的正切值的最大值．思維升華(1)三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．(2)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝2eq\r(2)，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：PO⊥平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且PM與平面ABC所成角的正切值為eq\r(6)，求二面角M－PA－C的平面角的余弦值．課時(shí)精練1．(多選)若平面α，β滿足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P?l，則下列命題中是真命題的為()A．過(guò)點(diǎn)P垂直于平面α的直線平行于平面βB．過(guò)點(diǎn)P垂直于直線l的直線在平面α內(nèi)C．過(guò)點(diǎn)P垂直于平面β的直線在平面α內(nèi)D．過(guò)點(diǎn)P且在平面α內(nèi)垂直于l的直線必垂直于平面β2.如圖，在四棱錐P－ABCD中，△PAB與△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，則下列結(jié)論不一定成立的是()A．BP⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD3.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部4．(多選)如圖，在以下四個(gè)正方體中，直線AB與平面CDE垂直的是()5．(多選)若m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是()A．若m?β，α⊥β，則m⊥αB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m⊥β，m∥α，則α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ6．(多選)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則下列說(shuō)法正確的是()A．AB＝eq\r(2)ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°7.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足條件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件序號(hào)即可)．8．在矩形ABCD中，AB<BC，現(xiàn)將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折的過(guò)程中，給出下列結(jié)論：①存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直；②存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直；③存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直．其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．9.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD的中點(diǎn)．(1)求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB；(3)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．10．如圖，在三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)若AC＝BC＝PA，求二面角A－PB－C的平面角的大小．11.如圖，正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足MP＝MC，則點(diǎn)M的軌跡為()12．(多選)如圖所示，一張A4紙的長(zhǎng)、寬分別為2eq\r(2)a,2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點(diǎn)重合為一點(diǎn)P，從而得到一個(gè)多面體．下列關(guān)于該多面體的命題正確的是()A．該多面體是四棱錐B．平面BAD⊥平面BCDC．平面BAC⊥平面ACDD．該多面體外接球的表面積為eq\f(5,4)πa213．(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是()A．直線BD1⊥平面A1C1DB．三棱錐P－A1C1D的體積為定值C．異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))D．直線C1P與平面A1C1D所成角的正弦值的最大值為eq\f(\r(6),3)14.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝eq\f(2,3)FD＝4，沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，則二面角A′－FD－C的平面角的余弦值為_(kāi)_______．15．劉徽注《九章算術(shù)·商功》“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣．”如圖1解釋了由一個(gè)長(zhǎng)方體得到“塹堵”“陽(yáng)馬”“鱉臑”的過(guò)程．塹堵是底