全國統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第14章推理與證明1備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第十四章推理與證明練好題·考點自測1.〖改編題〗下面結(jié)論正確的個數(shù)是()(1)綜合法是直接證明,分析法是間接證明.(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.(3)用反證法證明結(jié)論“a>b”時,應(yīng)假設(shè)“a<b”.(4)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定,推出矛盾.(5)在解決問題時,常常用分析法尋找解題的思想與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(6)證明不等式2+7A.1 B.2 C.3 D.4圖14-12.〖2020全國卷Ⅱ,3,5分〗〖文〗如圖14-1,將鋼琴上的12個鍵依次記為a1,a2,…,a12.設(shè)1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,則稱ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,則稱ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為()A.5 B.8 C.10 D.153.〖2021貴州模擬〗泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱.現(xiàn)有四條登泰山的線路:紅門盤道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時,發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同,且均沒走天外村汽車登山線路,三人向其余旅友進行如下陳述:甲:我走紅門盤道徒步線路,乙走桃花峪登山線路.乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路.丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門盤道徒步線路.事實上,甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半,根據(jù)以上信息,可判斷下面說法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門盤道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路4.〖2021江西省模擬〗數(shù)式1+11+11+…中省略號“…”代表無限重復(fù),但該式是一個固定值,可以用如下方法求得:令原式=t(t>0),則1+1t=t,t2-t-1=0,取正值得t=5+125.〖2020山東章丘四中檢測〗兩千多年前,古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題,他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù),按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類,如圖14-2中的實心點個數(shù)1,5,12,22,…被稱為五角形數(shù),其中第1個五角形數(shù)記作a1=1,第2個五角形數(shù)記作a2=5,第3個五角形數(shù)記作a3=12,第4個五角形數(shù)記作a4=22,…,若按此規(guī)律繼續(xù)下去,得數(shù)列{an},則an-an-1=(n≥2);對n∈N*,an=.

圖14-2拓展變式〖2017全國卷Ⅱ,9,5分〗〖文〗甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績答案第十四章推理與證明1.B(1)錯誤,綜合法和分析法都是直接證明;(2)錯誤,尋找的是使結(jié)論成立的充分條件;(3)錯誤,應(yīng)假設(shè)“a≤b”;(4)錯誤,反證法是只否定結(jié)論,推出矛盾;(5)(6)正確.2.C解法一由題意,知ai,aj,ak構(gòu)成原位大三和弦時,j=k-3,i=j-4,所以ai,aj,ak為原位大三和弦的情況有:k=12,j=9,i=5;k=11,j=8,i=4;k=10,j=7,i=3;k=9,j=6,i=2;k=8,j=5,i=1.共5種.ai,aj,ak構(gòu)成原位小三和弦時,j=k-4,i=j-3,所以ai,aj,ak為原位小三和弦的情況有:k=12,j=8,i=5;k=11,j=7,i=4;k=10,j=6,i=3;k=9,j=5,i=2;k=8,j=4,i=1.共5種.所以用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.解法二由題意,知當ai,aj,ak為原位大三和弦時,k-j=3且j-i=4,又1≤i<j<k≤12,所以5≤j≤9,所以這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦的個數(shù)為5.當ai,aj,ak為原位小三和弦時,k-j=4且j-i=3,又1≤i<j<k≤12,所以4≤j≤8,所以這12個鍵可以構(gòu)成的原位小三和弦的個數(shù)為5.所以用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.3.D解法一因為甲、乙的陳述都只對了一半,所以若乙的陳述中,“甲走桃花峪登山線路”正確,則甲的陳述全部錯誤,與題意不符,故乙的陳述中,“甲走桃花峪登山線路”不正確,“丙走紅門盤道徒步線路”正確,故甲的陳述中,“乙走桃花峪登山線路”正確,丙的陳述中,“甲走天燭峰登山線路”正確,故選D.解法二若A選項正確,由甲的陳述得,“甲走紅門盤道徒步線路”錯誤,“乙走桃花峪登山線路”正確,此時甲和乙都走桃花峪登山線路,與“三人走的線路均不同”矛盾,所以A選項錯誤.若B選項正確,由甲的陳述得,“乙走桃花峪登山線路”錯誤,“甲走紅門盤道徒步線路”正確,此時甲與乙都走紅門盤道徒步線路,與“三人走的線路均不同”矛盾,所以B選項錯誤.若C選項正確,由甲的陳述得,“乙走桃花峪登山線路”錯誤,“甲走紅門盤道徒步線路”正確.再由乙的陳述得,“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確,與“丙走桃花峪登山線路”矛盾,所以C選項錯誤.若D選項正確,由甲的陳述得,“甲走紅門盤道徒步線路”錯誤,“乙走桃花峪登山線路”正確,再由乙的陳述得,“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確,由丙的陳述得,“乙走紅門盤道徒步路線”錯誤,此時滿足甲、乙、丙三人的陳述都只對一半.故選D.〖方法點撥〗邏輯推理問題常用代入法或反證法,根據(jù)推理是否出現(xiàn)矛盾,判斷各選項是否正確.4.4根據(jù)已知代數(shù)式的求值方法,令12+12+12+…=m(m>0),兩邊平方得,12+12+12+12+…=m2,即12+m=m25.3n-2(n≥2)n(3n-1)2因為a1=1,a2=5,a3=12,a4=22,…,所以a1=1,a2-a1=4,a3-a2=7,a4-a3=10,…,an-an-1=3n-2(n≥2),以上n個式子等號兩邊分別相加,得an=1+4+7+10+…+3n-2=n(3n-1)2.綜上,an-an-1=3n-2(n≥2);對nD依題意,由于甲看后還是不知道自己的成績,說明乙、丙兩人必是一個優(yōu)秀、一個良好,則甲、丁兩人必是一個優(yōu)秀、一個良好,因此乙看了丙的成績就可以知道自己的成績,丁看了甲的成績就可以知道自己的成績,綜合以上信息可知,乙、丁可以知道自己的成績.第十四章推理與證明練好題·考點自測1.〖改編題〗下面結(jié)論正確的個數(shù)是()(1)綜合法是直接證明,分析法是間接證明.(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.(3)用反證法證明結(jié)論“a>b”時,應(yīng)假設(shè)“a<b”.(4)反證法是指將結(jié)論和條件同時否定,推出矛盾.(5)在解決問題時,常常用分析法尋找解題的思想與方法,再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.(6)證明不等式2+7A.1 B.2 C.3 D.4圖14-12.〖2020全國卷Ⅱ,3,5分〗〖文〗如圖14-1,將鋼琴上的12個鍵依次記為a1,a2,…,a12.設(shè)1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,則稱ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,則稱ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為()A.5 B.8 C.10 D.153.〖2021貴州模擬〗泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱.現(xiàn)有四條登泰山的線路:紅門盤道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時,發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同,且均沒走天外村汽車登山線路,三人向其余旅友進行如下陳述:甲:我走紅門盤道徒步線路,乙走桃花峪登山線路.乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門盤道徒步線路.丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門盤道徒步線路.事實上,甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半,根據(jù)以上信息,可判斷下面說法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門盤道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路4.〖2021江西省模擬〗數(shù)式1+11+11+…中省略號“…”代表無限重復(fù),但該式是一個固定值,可以用如下方法求得:令原式=t(t>0),則1+1t=t,t2-t-1=0,取正值得t=5+125.〖2020山東章丘四中檢測〗兩千多年前,古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題,他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù),按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類,如圖14-2中的實心點個數(shù)1,5,12,22,…被稱為五角形數(shù),其中第1個五角形數(shù)記作a1=1,第2個五角形數(shù)記作a2=5,第3個五角形數(shù)記作a3=12,第4個五角形數(shù)記作a4=22,…,若按此規(guī)律繼續(xù)下去,得數(shù)列{an},則an-an-1=(n≥2);對n∈N*,an=.

圖14-2拓展變式〖2017全國卷Ⅱ,9,5分〗〖文〗甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則()A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績答案第十四章推理與證明1.B(1)錯誤,綜合法和分析法都是直接證明;(2)錯誤,尋找的是使結(jié)論成立的充分條件;(3)錯誤,應(yīng)假設(shè)“a≤b”;(4)錯誤,反證法是只否定結(jié)論,推出矛盾;(5)(6)正確.2.C解法一由題意,知ai,aj,ak構(gòu)成原位大三和弦時,j=k-3,i=j-4,所以ai,aj,ak為原位大三和弦的情況有:k=12,j=9,i=5;k=11,j=8,i=4;k=10,j=7,i=3;k=9,j=6,i=2;k=8,j=5,i=1.共5種.ai,aj,ak構(gòu)成原位小三和弦時,j=k-4,i=j-3,所以ai,aj,ak為原位小三和弦的情況有:k=12,j=8,i=5;k=11,j=7,i=4;k=10,j=6,i=3;k=9,j=5,i=2;k=8,j=4,i=1.共5種.所以用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.解法二由題意,知當ai,aj,ak為原位大三和弦時,k-j=3且j-i=4,又1≤i<j<k≤12,所以5≤j≤9,所以這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦的個數(shù)為5.當ai,aj,ak為原位小三和弦時,k-j=4且j-i=3,又1≤i<j<k≤12,所以4≤j≤8,所以這12個鍵可以構(gòu)成的原位小三和弦的個數(shù)為5.所以用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.3.D解法一因為甲、乙的陳述都只對了一半,所以若乙的陳述中,“甲走桃花峪登山線路”正確,則甲的陳述全部錯誤,與題意不符,故乙的陳述中,“甲走桃花峪登山線路”不正確,“丙走紅門盤道徒步線路”正確,故甲的陳述中,“乙走桃花峪登山線路”正確,丙的陳述中,“甲走天燭峰登山線路”正確,故選D.解法二若A選項正確,由甲的陳述得,“甲走紅門盤道徒步線路”錯誤,“乙走桃花峪登山線路”正確,此時甲和乙都走桃花峪登山線路,與“三人走的線路均不同”矛盾,所以A選項錯誤.若B選項正確,由甲的陳述得,“乙走桃花峪登山線路”錯誤,“甲走紅門盤道徒步線路”正確,此時甲與乙都走紅門盤道徒步線路,與“三人走的線路均不同”矛盾,所以B選項錯誤.若C選項正確,由甲的陳述得,“乙走桃花峪登山線路”錯誤,“甲走紅門盤道徒步線路”正確.再由乙的陳述得,“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確,與“丙走桃花峪登山線路”矛盾,所以C選項錯誤.若D選項正確,由甲的陳述得,“甲走紅門盤道徒步線路”錯誤,“乙走桃花峪登山線路”正確,再由乙的陳述得,“甲走桃花峪登山線路”錯誤,“丙走紅門盤道徒步線路”正確,由丙的陳述得,“乙走紅門盤道徒步路線”錯誤,此時滿足甲、乙、丙三人的陳述都只對一半.故選D.〖方法點撥〗邏輯推理問題常用代入法或反證法,根據(jù)推理是否出現(xiàn)矛盾,判斷各選項是否正確.4.4根據(jù)已知代數(shù)式的求值方法,令12+12+12+…=m(m>0),兩邊平方得,12+12+12+12+…=m2,即12+m=m25.3n-2(n≥2)