統(tǒng)考版高考數學一輪復習第九章9.7拋物線課時作業(yè)理含解析

一輪復習精品資料(高中)PAGE1-課時作業(yè)53拋物線〖基礎達標〗一、選擇題1．〖2021·吉林遼源市田家炳中學調研〗以直線x＝1為準線的拋物線的標準方程為()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x2．〖2021·惠州市高三調研考試試題〗若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則點M到y(tǒng)軸的距離是()A．6B．8C．9D．103．〖2021·長沙市四校高三年級模擬考試〗已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，斜率為eq\f(\r(2),2)的直線l過點F與拋物線交于A，B兩點，過A，B作拋物線準線的垂線，垂足分別為C，D兩點，M為線段AB的中點，則△CDM是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形4．〖2020·全國卷Ⅲ〗設O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)5．〖2021·山東菏澤檢測〗已知直線l過拋物線C：y2＝－2px(p＞0)的焦點，且與該拋物線交于M，N兩點．若線段MN的長是16，MN的中點到y(tǒng)軸的距離是6，O是坐標原點，則()A．拋物線C的方程是y2＝8xB．拋物線C的準線方程是y＝2C．直線l的方程是x－y＋2＝0D．△MON的面積是8eq\r(2)二、填空題6．〖2021·沈陽質量檢測〗已知正三角形AOB(O為坐標原點)的頂點A，B在拋物線y2＝3x上，則△AOB的邊長是________．7．〖2021·合肥市高三教學質量檢測〗直線l過拋物線C：y2＝12x的焦點，且與拋物線C交于A，B兩點，若弦AB的長為16，則直線l的傾斜角等于________．8．〖2021·湖北省部分重點中學高三起點考試〗已知點A(0,1)，拋物線C：y2＝ax(a＞0)的焦點為F，連接FA，與拋物線C相交于點M，延長FA，與拋物線C的準線相交于點N，若|FM|:|MN|＝1:2，則實數a的值為________．三、解答題9．頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y＝2x－4所得的弦長|AB|＝3eq\r(5)，求此拋物線方程．

10.〖2021·江西南昌重點中學段考〗已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點M(0,1)，設過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線的交點為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若△ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程．〖能力挑戰(zhàn)〗11．〖2021·黃岡中學、華師附中等八校聯(lián)考〗已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，而且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(O為坐標原點)，若△ABO與△AFO的面積分別為S1和S2，則S1＋4S2的最小值是()A.eq\f(7\r(3),2)B．6C．2eq\r(3)D．4eq\r(3)12．〖2021·山西省六校高三階段性測試〗已知拋物線y2＝4x的焦點為F，斜率為2的直線交拋物線于A，B兩點，交準線于點P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，則該直線在y軸上的截距為________，|AF|＋|BF|＝________.13．〖2021·河北省九校高三聯(lián)考試題〗已知拋物線C：x2＝8y的準線與y軸交于點A，焦點為F，點P是拋物線C上任意一點，令t＝eq\f(|PA|,|PF|)，當t取得最大值時，直線PA的斜率是________．課時作業(yè)531．〖解析〗易知以直線x＝1為準線的拋物線焦點在x軸的負半軸上，且拋物線開口向左，所以y2＝－4x，故選D.〖答案〗D2．〖解析〗拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1.拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則點M的橫坐標xM＝9，即點M到y(tǒng)軸的距離是9，選C.〖答案〗C3．〖解析〗四邊形ABDC為直角梯形，取CD的中點為N，連接MN，則MN為梯形ABDC的中位線，所以|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)，且MN⊥CD.由拋物線的定義得|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，所以|MN|＝eq\f(1,2)|AB|.設直線AB的傾斜角為α，則tanα＝eq\f(\r(2),2)，所以sinα＝eq\f(\r(3),3)，所以|CD|＝|AB|sinα＝eq\f(\r(3),3)|AB|，則|CN|＝|DN|＝eq\f(\r(3),6)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝eq\r(|MN|2＋|CN|2)＝eq\f(\r(3),3)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝|CD|，則△CDM為等邊三角形．故選C.〖答案〗C4．〖解析〗由拋物線的對稱性不妨設D在x軸上方、E在x軸下方．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y2＝2px))得D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，∵OD⊥OE，∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故選B.〖答案〗B5．〖解析〗設M(x1，y1)，N(x2，y2)，根據拋物線的定義，知|MN|＝－(x1＋x2)＋p＝16.又MN的中點到y(tǒng)軸的距離為6，∴－eq\f(x1＋x2,2)＝6，∴x1＋x2＝－12，∴p＝4，∴拋物線C的方程為y2＝－8x，故A錯誤；拋物線C的準線方程是x＝2，故B錯誤；設直線l的方程是x＝my－2，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－8x，,x＝my－2，))消去x得y2＋8my－16＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－8m，,y1·y2＝－16))∴x1＋x2＝－8m2－4＝－12，解得m＝±1，故直線l的方程是x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0，故C錯誤；拋物線C的焦點為F(－2,0)，S△MON＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×2eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(64＋64)＝8eq\r(2)，故D正確．故選D.〖答案〗D6．〖解析〗如圖，設△AOB的邊長為a，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a))，因為點A在拋物線y2＝3x上，所以eq\f(1,4)a2＝3×eq\f(\r(3),2)a，所以a＝6eq\r(3).〖答案〗6eq\r(3)7．〖解析〗拋物線C：y2＝12x的焦點為(3,0)，當直線l的斜率不存在時，弦長為12，不合題意，故直線l的斜率存在，設為k，則直線l：y＝k(x－3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝12x,y＝kx－3))，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，Δ＝(6k2＋12)2－4k2×9k2＝144(k2＋1)＞0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(6k2＋12,k2)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(6k2＋12,k2)＋6＝16，∴k2＝3，k＝±eq\r(3)，∴直線l的傾斜角等于eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).〖答案〗eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)8．〖解析〗解法一依題意得拋物線的焦點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，過M作拋物線的準線的垂線，垂足為K，由拋物線的定義知|MF|＝|MK|.因為|FM|:|MN|＝1:2，所以|KN|:|KM|＝eq\r(3):1，又kFN＝eq\f(0－1,\f(a,4)－0)＝－eq\f(4,a)，kFN＝－eq\f(|KN|,|KM|)＝－eq\r(3)，所以－eq\f(4,a)＝－eq\r(3)，解得a＝eq\f(4\r(3),3).解法二因為A(0,1)，拋物線C：y2＝ax(a＞0)的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準線方程為x＝－eq\f(a,4)，所以AF的方程為4x＋ay－a＝0，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，2)).因為|FM|:|MN|＝1:2，所以|FM|＝eq\f(1,3)|FN|，所以xM＝eq\f(a,12)，yM＝eq\f(2,3).因為(xM，yM)在拋物線上，所以eq\f(4,9)＝eq\f(a2,12)，得a＝eq\f(4\r(3),3).〖答案〗eq\f(4\r(3),3)9．〖解析〗設所求的拋物線方程為y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直線y＝2x－4代入y2＝ax，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32.又x1＋x2＝eq\f(a＋16,4)，x1x2＝4，所以|AB|＝eq\r(1＋22[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(5\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋16,4)))2－16)))＝3eq\r(5)所以5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋16,4)))2－16))＝45，所以a＝4或a＝－36.故所求的拋物線方程為y2＝4x或y2＝－36x.10．〖解析〗設直線AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2－2pkx－2p＝0，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由x2＝2py得y′＝eq\f(x,p)，則A，B處的切線斜率的乘積為eq\f(x1x2,p2)＝－eq\f(2,p)，∵點N在以AB為直徑的圓上，∴AN⊥BN，∴－eq\f(2,p)＝－1，∴p＝2.(2)易得直線AN：y－y1＝eq\f(x1,p)(x－x1)，直線BN：y－y2＝eq\f(x2,p)(x－x2)，聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y1＝\f(x1,p)x－x1，,y－y2＝\f(x2,p)x－x2，))結合①式，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1)．|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4p2k2＋8p)，點N到直線AB的距離d＝eq\f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq\f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，則S△ABN＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\r(ppk2＋23)≥2eq\r(2p)，當且僅當k＝0時，取等號，∵△ABN的面積的最小值為4，∴2eq\r(2p)＝4，∴p＝2，故拋物線C的方程為x2＝4y.11．〖解析〗依題意，設直線AB的方程為x＝ty＋m，聯(lián)立直線與拋物線方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋m,y2＝x))，消去x，得y2－ty－m＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－m，因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，即(y1y2)2＋y1y2－2＝0，因為點A，B位于x軸的兩側，所以y1y2＜0，解得y1y2＝－2，所以m＝2，所以直線AB過點(2,0)，不妨設點A在x軸的上方，則y1＞0，因為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以S1＋4S2＝eq\f(1,2)×2×(y1－y2)＋4×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)y1＝eq\f(3y1,2)＋eq\f(2,y1)≥2eq\r(3)，當且僅當eq\f(3y1,2)＝eq\f(2,y1)且y1>0，即y1＝eq\f(2\r(3),3)時等號成立．〖答案〗C12．〖解析〗設斜率為2的直線方程為y＝2x＋b，代入y2＝4x，得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，Δ＝(4b－4)2－16b2＞0，即b＜eq\f(1,2).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq\f(b2,4).由eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，得eq\f(|PB|,|PA|)＝eq\f(2,5).如圖，分別過點A，B作準線的垂線，交準線于點C，D，則eq\f(|BD|,|AC|)＝eq\f(2,5)，易得|AC|＝x1＋1，|BD|＝x2＋1，所以eq\f(x2＋1,x1＋1)＝eq\f(2,5)，根據x1＋x2＝1－b，得x1＝eq\f(8－5b,7)，x2＝eq\f(－1－2b,7)，代入x1x2＝eq\f(b2,4)，得9b2＋44b＋32＝0，解得b＝－4或b＝－eq\f(8,9)，則x1＋x2＝5或eq\f(17,9).又|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|的值為7或eq\f(35,9).〖答案〗－4或－eq\f(8,9)7或eq\f(35,9)13．〖解析〗通解由題意知A(0，－2)，F(0,2)，過點P作PB⊥l(l為拋物線的準線)，垂足為B.由拋物線的定義可知|PF|＝|PB|.令∠PAB＝α，則t＝eq\f(|PA|,|PF|)＝eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,sinα)，當sinα最小時，t最大．當直線PA與拋物線x2＝8y相切時，sinα最小，即t最大．設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),8)))，由于y′＝eq\f(x,4)，所以在點P處切線的斜率k＝eq\f(x0,4)，所以在點P處的切線方程為y－eq\f(x\o\al(2,0),8)＝eq\f(x0,4)(x－x0)，又切線過A(0，－2)，所以－2－eq\f(x\o\al(2,0),8)＝－eq\f(x\o\al(2,0),4)，解得x0＝±4，所以當t取得最大值時，直線PA的斜率為±1.優(yōu)解由題意知A(0，－2)，F(0,2)，過點P作PB⊥l(l為拋物線的準線)，垂足為B.由拋物線的定義可知|PF|＝|PB|.令∠PAB＝α，則t＝eq\f(|PA|,|PF|)＝eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,sinα)，當sinα最小時，t最大．當直線PA與拋物線x2＝8y相切時，sinα最小，即t最大．根據過準線上任一點作拋物線的兩條切線互相垂直，知過點A(0，－2)作拋物線的兩切線關于y軸對稱，且互相垂直，即兩切線的斜率為±1，所以當t取得最大值時，直線PA的斜率為±1.〖答案〗±1課時作業(yè)53拋物線〖基礎達標〗一、選擇題1．〖2021·吉林遼源市田家炳中學調研〗以直線x＝1為準線的拋物線的標準方程為()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x2．〖2021·惠州市高三調研考試試題〗若拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則點M到y(tǒng)軸的距離是()A．6B．8C．9D．103．〖2021·長沙市四校高三年級模擬考試〗已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，斜率為eq\f(\r(2),2)的直線l過點F與拋物線交于A，B兩點，過A，B作拋物線準線的垂線，垂足分別為C，D兩點，M為線段AB的中點，則△CDM是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等邊三角形D．等腰直角三角形4．〖2020·全國卷Ⅲ〗設O為坐標原點，直線x＝2與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于D，E兩點，若OD⊥OE，則C的焦點坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)5．〖2021·山東菏澤檢測〗已知直線l過拋物線C：y2＝－2px(p＞0)的焦點，且與該拋物線交于M，N兩點．若線段MN的長是16，MN的中點到y(tǒng)軸的距離是6，O是坐標原點，則()A．拋物線C的方程是y2＝8xB．拋物線C的準線方程是y＝2C．直線l的方程是x－y＋2＝0D．△MON的面積是8eq\r(2)二、填空題6．〖2021·沈陽質量檢測〗已知正三角形AOB(O為坐標原點)的頂點A，B在拋物線y2＝3x上，則△AOB的邊長是________．7．〖2021·合肥市高三教學質量檢測〗直線l過拋物線C：y2＝12x的焦點，且與拋物線C交于A，B兩點，若弦AB的長為16，則直線l的傾斜角等于________．8．〖2021·湖北省部分重點中學高三起點考試〗已知點A(0,1)，拋物線C：y2＝ax(a＞0)的焦點為F，連接FA，與拋物線C相交于點M，延長FA，與拋物線C的準線相交于點N，若|FM|:|MN|＝1:2，則實數a的值為________．三、解答題9．頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線截直線y＝2x－4所得的弦長|AB|＝3eq\r(5)，求此拋物線方程．

10.〖2021·江西南昌重點中學段考〗已知拋物線C：x2＝2py(p>0)和定點M(0,1)，設過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線的交點為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若△ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程．〖能力挑戰(zhàn)〗11．〖2021·黃岡中學、華師附中等八校聯(lián)考〗已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，而且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(O為坐標原點)，若△ABO與△AFO的面積分別為S1和S2，則S1＋4S2的最小值是()A.eq\f(7\r(3),2)B．6C．2eq\r(3)D．4eq\r(3)12．〖2021·山西省六校高三階段性測試〗已知拋物線y2＝4x的焦點為F，斜率為2的直線交拋物線于A，B兩點，交準線于點P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，則該直線在y軸上的截距為________，|AF|＋|BF|＝________.13．〖2021·河北省九校高三聯(lián)考試題〗已知拋物線C：x2＝8y的準線與y軸交于點A，焦點為F，點P是拋物線C上任意一點，令t＝eq\f(|PA|,|PF|)，當t取得最大值時，直線PA的斜率是________．課時作業(yè)531．〖解析〗易知以直線x＝1為準線的拋物線焦點在x軸的負半軸上，且拋物線開口向左，所以y2＝－4x，故選D.〖答案〗D2．〖解析〗拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1.拋物線y2＝4x上的點M到焦點的距離為10，則點M的橫坐標xM＝9，即點M到y(tǒng)軸的距離是9，選C.〖答案〗C3．〖解析〗四邊形ABDC為直角梯形，取CD的中點為N，連接MN，則MN為梯形ABDC的中位線，所以|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)，且MN⊥CD.由拋物線的定義得|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，所以|MN|＝eq\f(1,2)|AB|.設直線AB的傾斜角為α，則tanα＝eq\f(\r(2),2)，所以sinα＝eq\f(\r(3),3)，所以|CD|＝|AB|sinα＝eq\f(\r(3),3)|AB|，則|CN|＝|DN|＝eq\f(\r(3),6)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝eq\r(|MN|2＋|CN|2)＝eq\f(\r(3),3)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝|CD|，則△CDM為等邊三角形．故選C.〖答案〗C4．〖解析〗由拋物線的對稱性不妨設D在x軸上方、E在x軸下方．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y2＝2px))得D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，∵OD⊥OE，∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故選B.〖答案〗B5．〖解析〗設M(x1，y1)，N(x2，y2)，根據拋物線的定義，知|MN|＝－(x1＋x2)＋p＝16.又MN的中點到y(tǒng)軸的距離為6，∴－eq\f(x1＋x2,2)＝6，∴x1＋x2＝－12，∴p＝4，∴拋物線C的方程為y2＝－8x，故A錯誤；拋物線C的準線方程是x＝2，故B錯誤；設直線l的方程是x＝my－2，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－8x，,x＝my－2，))消去x得y2＋8my－16＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－8m，,y1·y2＝－16))∴x1＋x2＝－8m2－4＝－12，解得m＝±1，故直線l的方程是x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0，故C錯誤；拋物線C的焦點為F(－2,0)，S△MON＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×2eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(64＋64)＝8eq\r(2)，故D正確．故選D.〖答案〗D6．〖解析〗如圖，設△AOB的邊長為a，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a))，因為點A在拋物線y2＝3x上，所以eq\f(1,4)a2＝3×eq\f(\r(3),2)a，所以a＝6eq\r(3).〖答案〗6eq\r(3)7．〖解析〗拋物線C：y2＝12x的焦點為(3,0)，當直線l的斜率不存在時，弦長為12，不合題意，故直線l的斜率存在，設為k，則直線l：y＝k(x－3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝12x,y＝kx－3))，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，Δ＝(6k2＋12)2－4k2×9k2＝144(k2＋1)＞0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(6k2＋12,k2)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(6k2＋12,k2)＋6＝16，∴k2＝3，k＝±eq\r(3)，∴直線l的傾斜角等于eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).〖答案〗eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)8．〖解析〗解法一依題意得拋物線的焦點F的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，過M作拋物線的準線的垂線，垂足為K，由拋物線的定義知|MF|＝|MK|.因為|FM|:|MN|＝1:2，所以|KN|:|KM|＝eq\r(3):1，又kFN＝eq\f(0－1,\f(a,4)－0)＝－eq\f(4,a)，kFN＝－eq\f(|KN|,|KM|)＝－eq\r(3)，所以－eq\f(4,a)＝－eq\r(3)，解得a＝eq\f(4\r(3),3).解法二因為A(0,1)，拋物線C：y2＝ax(a＞0)的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準線方程為x＝－eq\f(a,4)，所以AF的方程為4x＋ay－a＝0，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，2)).因為|FM|:|MN|＝1:2，所以|FM|＝eq\f(1,3)|FN|，所以xM＝eq\f(a,12)，yM＝eq\f(2,3).因為(xM，yM)在拋物線上，所以eq\f(4,9)＝eq\f(a2,12)，得a＝eq\f(4\r(3),3).〖答案〗eq\f(4\r(3),3)9．〖解析〗設所求的拋物線方程為y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直線y＝2x－4代入y2＝ax，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32.又x1＋x2＝eq\f(a＋16,4)，x1x2＝4，所以|AB|＝eq\r(1＋22[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(5\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋16,4)))2－16)))＝3eq\r(5)所以5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋16,4)))2－16))＝45，所以a＝4或a＝－36.故所求的拋物線方程為y2＝4x或y2＝－36x.10．〖解析〗設直線AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2－2pkx－2p＝0，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由x2＝2py得y′＝eq\f(x,p)，則A，B處的切線斜率的乘積為eq\f(x1x2,p2)＝－eq\f(2,p)，∵點N在以AB為直徑的圓上，∴AN⊥BN，∴－eq\f(2,p)＝－1，∴p＝2.(2)易得直線AN：y－y1＝eq\f(x1,p)(x－x1)，直線BN：y－y2＝eq\f(x2,p)(x－x2)，聯(lián)立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y1＝\f(x1,p)x－x1，,y－y2＝\f(x2,p)x－x2，))結合①式，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1)．|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4p2k2＋8p)，點N到直線AB的距離d＝eq\f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq\f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，則S△ABN＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\r(ppk2＋23)≥2eq\r(2p)，當且僅當k＝0時，取等號，∵△ABN的面積的最小值為4，∴2eq\r(2p)＝4，∴p＝2，故拋物線C的方程為x2＝4y.11．〖解析〗依題意，設直線AB的方程為x＝ty＋m，聯(lián)立直線與拋物線方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋m,y2＝x))，消去x，得y2－ty－m＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－m，因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，即(y1y2)2＋y1y2－2＝0，因為點A，B位于x軸的兩側，所以y1y2＜0，解得y1y2＝－2，所以m＝2，所以直線AB過點(2,0)，不妨設點A在x軸的上方，則y1＞0，因為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以S1＋4S2＝eq\f(1,2)×2×(y1－y2)＋4×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)y1＝