重慶市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題文含解析

PAGE22-重慶市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月月考試題文（含解析）留意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡相應(yīng)的位置.3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效.4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題12個小題，每小題5分，共60分，每小題只有一個選項符合要求，答案請涂寫在答題卡上.1.復(fù)數(shù)的虛部為A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的商的運算進行化簡，然后由虛部的概念可得答案.【詳解】,則復(fù)數(shù)z的虛部為-3，故選B【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的商的運算及有關(guān)概念，須要留意a+bi的虛部為b，不要誤寫為bi.2.“a=1”是“函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[a，＋∞)，減區(qū)間為(－∞，a]，所以當(dāng)a＝1時，增區(qū)間為[1，＋∞)，所以在[2，＋∞)上也遞增．當(dāng)f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上為增函數(shù)，則有a≤2，所以a＝1不肯定成立．“a=1”是“函數(shù)在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)”的充分不必要條件，故選A.3.埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇跡之一，其中較為聞名的是胡夫金字塔．令人驚訝的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿，還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周長假如除以其高度的兩倍，得到的商為3.14159，這就是圓周率較為精確的近似值．金字塔底部形為正方形，整個塔形為正四棱錐，經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后，底座邊長大約230米．因年久風(fēng)化，頂端剝落10米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為（）A.128.5米 B.132.5米 C.136.5米 D.110.5米【答案】C【解析】【分析】設(shè)出胡夫金字塔原高，依據(jù)題意列出等式，解出等式即可依據(jù)題意選出答案．【詳解】胡夫金字塔原高為，則，即米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為136.4米．故選C．【點睛】本題屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用題，一般設(shè)出未知數(shù)，再依據(jù)題意列出含未知數(shù)的等式，解出未知數(shù)，即可得到答案．屬于常規(guī)題型．4.已知，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡得，再利用余弦的倍角公式，即可求解．【詳解】由題意，可得，故選C．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中嫻熟應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦倍角公式，精確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，.則面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正弦定理得到，再依據(jù)余弦定理得到，再計算面積得到答案.【詳解】，故，，所以，所以，.故選：.【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用實力.6.若，滿意約束條件，則最大值為，最小值為，則（）A.0 B. C.-3 D.3【答案】D【解析】【分析】做出可行域，依據(jù)圖象求出目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，即可求解.【詳解】做出可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)過點時取得最大值，由，解得，即，所以的最大值當(dāng)過時，取得最小值為，所以.故選:D.【點睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.42 B.45 C.46 D.48【答案】C【解析】【分析】先通過三視圖找到幾何體原圖，再求幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知原幾何體為如圖所示的多面體ABEHM-CDGF,所以該幾何體的體積為.故選C【點睛】本題主要考查三視圖找?guī)缀误w原圖，考查幾何體的體積的計算，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.8.已知向量，，，是線段上兩點，且，，則向量與的關(guān)系是（）A. B.C. D.與成夾角【答案】A【解析】【分析】先求出，，所以，即得解.【詳解】，，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查基底法和向量的坐標(biāo)運算，考查共線向量，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.9.已知函數(shù)，依據(jù)下列框圖，輸出S的值為A.670 B. C.671 D.672【答案】C【解析】【分析】依據(jù)框圖的流程，依次計算前六次的運算結(jié)果，推斷終止運行的n值，再依據(jù)余弦函數(shù)的周期性計算即可.【詳解】由程序框圖知：第一次運行，；其次次運行，，，第三次運行，，，第四次運行，，，第五次運行，，，第六次運行，，，直到時，程序運行終止，函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，，又，若程序運行2024次時，輸出，程序運行2015次時，輸出．故選C．【點睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依據(jù)框圖的流程推斷算法的功能是解答本題的關(guān)鍵．10.奇函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x＜0時，f（x），則使得（x2﹣1）f（x）＜0成立的x的取值范圍為（）A.（﹣1，0）∪（0，1） B.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C.（﹣1，0）∪（1，+∞） D.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】依據(jù)當(dāng)x＜0時，f（x）的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得，由當(dāng)x＜0時，f（x），得在上是減函數(shù)，再依據(jù)f（x）奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)，在上也是減函數(shù)，又因為函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)f（x）是連續(xù)的，所以函數(shù)h（x）在R上是減函數(shù)，并且與同號，將（x2﹣1）f（x）＜0轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】設(shè)，所以，因為當(dāng)x＜0時，f（x），即，所以，所以在上是減函數(shù).又因為f（x）奇函數(shù)，所以也是奇函數(shù)，所以在上也是減函數(shù)，又因為函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)數(shù)，所以函數(shù)f（x）是連續(xù)的，所以函數(shù)h（x）在R上是減函數(shù)，并且與同號，所以（x2﹣1）f（x）＜0或解得或故選：C【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的實力，屬于難題.11.在中，，，是的中點.若，且，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，以為基底，將用基底表示，再由，建立方程，即可求解.【詳解】，是的中點，，，，，，整理得.故選:A.【點睛】本題考查正弦定理、共線向量、向量基本定理、垂直向量的應(yīng)用，考查計算求解實力，屬于中檔題.12.如圖，在底面邊長為4，側(cè)棱長為6的正四棱錐中，為側(cè)棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先通過作平行的協(xié)助線確定異面直線與所成角的平面角，在中利用余弦定理求出進而求出CE，再在中利用余弦定理即可得解.【詳解】如圖，取的中點，的中點，的中點，連接，，，，則，，從而四邊形是平行四邊形，則，且.因為是的中點，是的中點，所以為的中位線，所以，則是異面直線與所成的角.由題意可得，.在中，由余弦定理可得，則，即.在中，由余弦定理可得.故選：D【點睛】本題考查異面直線所成的角，余弦定理解三角形，屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題4個小題，每小題5分，共20分.各題答案必需填寫在答題卡上相應(yīng)位置（只填結(jié)果，不寫過程）.13.已知集合，，則______.【答案】【解析】【分析】化簡集合，按并集定義即可求解.【詳解】，，.故答案為:【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題.14.已知數(shù)列的前項和為，若，則______.【答案】【解析】【分析】利用和的關(guān)系計算得到答案.【詳解】當(dāng)時，滿意通項公式故答案為【點睛】本題考查了和的關(guān)系，忽視的狀況是簡潔發(fā)生的錯誤.15.已知橢圓的左、右焦點為、，點關(guān)于直線的對稱點仍在橢圓上，則的周長為__________．【答案】【解析】【分析】由題意首先求得點P的坐標(biāo)，然后結(jié)合橢圓的定義求解焦點三角形的周長即可.【詳解】設(shè)，F(xiàn)1關(guān)于直線的對稱點P坐標(biāo)為（0，c），點P在橢圓上，則：，則c=b=1,，則，故的周長為：.【點睛】橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的關(guān)系．16.把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)的圖象，對于函數(shù)有以下四個推斷：①該函數(shù)的解析式為；；②該函數(shù)圖象關(guān)于點對稱；③該函數(shù)在，上是增函數(shù)；④函數(shù)在上的最小值為，則．其中，正確推斷的序號是______．【答案】②④【解析】【分析】先把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，再依據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐項判定，即可求解．【詳解】把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）后，得到函數(shù)的圖象，由于，故①不正確；令，求得，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故②正確；令，可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，故函數(shù)上不是增函數(shù)，故③不正確；當(dāng)時，，故當(dāng)時，取得最小值為，函數(shù)取得最小值為，故，故④正確，故答案為②④．【點睛】本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理精確判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于中檔試題．三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.）（一）必考題：共60分.17.某工廠有兩種日工資方案供員工選擇，方案一規(guī)定每日底薪50元，計件工資每件3元；方案二規(guī)定每日底薪100元，若生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)不超過44則沒有計件工資，若超過則從第45件起先，計件工資每件5元.該工廠隨機抽取100天的工人生產(chǎn)量的數(shù)據(jù).將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機選取一天，估計這一天該工廠的人均生產(chǎn)量不少于65件的概率；（2）若甲、乙選擇了日工資方案一，丙、丁選擇了日工資方案二.現(xiàn)從上述4名工人中隨機選取2人.求至少有1名工人選擇方案一的概率；（3）若僅從人均日收入的角度考慮，請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)學(xué)問為新聘工人做出日工資方案的選擇，并說明理由.（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）【答案】（1）（2）（3）新聘工人應(yīng)選擇方案一，詳見解析【解析】分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖求出，，的頻率，即可求出結(jié)論；（2）列出4人中隨機選取的全部狀況，確定滿意條件基本領(lǐng)件的個數(shù)，按古典概型的概率求法，即可求解；（3）求出該工廠的人均產(chǎn)量的平均數(shù)，分別求出兩種日新方案的平均值，選擇選擇高的方案即可.【詳解】（1）設(shè)事務(wù)為”隨機選取一天，這一天該工廠的人均生產(chǎn)量不少于65件”，依題意，該工廠的人均生產(chǎn)量不少于65件的頻率分別為：0.2，0.15，0.05，∴.（2）設(shè)事務(wù)為“從4名工人中隨機選取2人，至少有1名工人選擇方案一”，從4名工人中隨機選取2人，全部狀況有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，?。?，（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共有6種狀況，其中至少有1名工人選擇方案一的狀況有5種狀況，∴.（3）由頻率分布直方圖可知：該工廠的人均產(chǎn)量的平均數(shù)為：.∴方案一平均工資約為：，方案二平均日工資約為：.可知方案二平均工資低于方案一平均日工資.故新聘工人應(yīng)選擇方案一.【點睛】本題考查由頻率分布直方圖求頻率和平均數(shù)、古典概型，屬于基礎(chǔ)題.18.如圖，在正三棱柱中，，，，分別是線段，的中點.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點為，連接，，證明四邊形是平行四邊形，可得，即可證明結(jié)論；（2）利用等體積法結(jié)合是線段中點，可得，即可求解.【詳解】（1）取中點為，連接，，∴，，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，平面，平面，∴平面.（2）是線段中點，則..【點睛】本題考查線面平行的證明以及求椎體的體積，合理應(yīng)用等體積法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.19.已知首項為2的數(shù)列滿意.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）令，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結(jié)論;（2）由（1）可求得的表達式,進而可求得的表達式,然后求出的前項和即可.【詳解】（1）證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知,則,因為,所以,則.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計算求解實力,屬于中檔題.20.已知拋物線：，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，且當(dāng)直線傾斜角為時，與拋物線相交所得弦的長度為8.（1）求拋物線的方程；（2）若分別過點，兩點作拋物線的切線，，兩條切線相交于點，點關(guān)于直線的對稱點，推斷四邊形是否存在外接圓，假如存在，求出外接圓面積的最小值；假如不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在；最小面積為【解析】【分析】（1）依據(jù)題意求出直線傾斜角為時方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系和焦半徑公式，求出弦長，即可求出；（2）點關(guān)于直線的對稱點為，可得，從而有，推斷四邊形是否存在外接圓，只需推斷是否有，即是否垂直，依據(jù)切線的幾何意義，求出的斜率，即可得出結(jié)論，假如存在外接圓，外接圓的直徑為，要使外接圓面積最小，即求最小，利用根與系數(shù)關(guān)系和相交弦長公式，即可求解.【詳解】（1）由題意知，設(shè)點，，當(dāng)直線傾斜角為時，直線的方程為，由得：，所以.又由，所以，所以拋物線的方程為.（2）四邊形存在外接圓.設(shè)直線方程為，代入中，得，則，且，，所以，因為：，即，所以.因此，切線的斜率為，切線的斜率為，由于，所以，即是直角三角形，所以的外接圓的圓心為線段的中點，線段是圓的直徑，所以點肯定在的外接圓上，即四邊形存在外接圓.又因，所以當(dāng)時，線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦點弦長、切線的幾何意義的應(yīng)用，要嫻熟駕馭焦點弦長求法，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算實力，屬于較難題.21.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若方程有三個解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，的微小值為，無極大值（2）【解析】【分析】（1）求出，求解不等式，得出單調(diào)區(qū)間，進而求出極值；（2）設(shè)，有三個零點，至少有三個單調(diào)區(qū)間，求出，對分類探討，求出至少有三個單調(diào)區(qū)間的范圍，再結(jié)合零點存在性定理，確定區(qū)間存在零點的不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】（1），令，解得，當(dāng)時，；當(dāng)，.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以的微小值為，無極大值.（2）設(shè)，即，.①若，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，至多有兩個零點.②若，則，，（僅），單調(diào)遞增，至多有一個零點.③若，則，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，要使有三個零點，必需有成立，由，得，這與沖突，所以不行能有三個零點.④若，則，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增：當(dāng)時，，單調(diào)遞減，要使有三個零點，必需有成立，由，得，由及，得，∴.且當(dāng)時，，，，.綜上，的取值范圍為.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點問題，以及零點存在性定理的應(yīng)用，考查分類探討思想，意在考查直觀想象、邏輯推理和計算求解實力，屬于較難題.（二）選考題：共10分.請考生從第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆在答題卡相應(yīng)題號處填涂，假如多做，則按所做的第一題計分.