北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)第一章《三角形的證明》綜合練習(xí)題

《三角形的證明》綜合練習(xí)題

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?江都區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米.在底邊上

有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，則P到兩腰的距離之和為（）

A.4cmB.6cmC.ScmD.\0cm

2.（2021?南山區(qū)校級(jí)二模）下列命題中真命題是（）

A.5的算術(shù)平方根是3

B.數(shù)據(jù)〃+2,a,a+3,a+2,。+3與2,0,3,2,3的方差相同

C.正六邊形的內(nèi)角和為360°

D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

3.（2021春?武漢期中）已知等訪二角形的邊長為4,則其面積為（）平方單位.

A.4V3B.8祗C.1273D.16

4.（2021春?沙坪壩區(qū)期中）在AABC中，NA：ZB：ZC=2：5：3,則△43C的形狀是

)

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

5.（2021?坪山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，/8=90°,。是B。上一點(diǎn)，BC=\0,ZADB

6.（2021春?漢壽縣期中）如圖，四邊形48CD中，ZA=90°,AD=3,連接8￡）,BDX.

CD,垂足是。且N4OB=NC,點(diǎn)P是邊8C上的一動(dòng)點(diǎn)，則。P的最小值是（）

B

A.1B.2C.3D.4

7.（2021?濱湖區(qū)一模）如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC=6,E是中線4D上一點(diǎn),

現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P沿著折線A-E-C運(yùn)動(dòng)，在AE上的速度是4單位/秒，在CE上的速度是

2單位/秒，則點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到C所用時(shí)間最少時(shí)，AE長為（）

8.（2021?蜀山區(qū)一模）如圖，在△A3C中，AB=AD,E為8。中點(diǎn)，連接AE,ZBAD=

ZCAE,若8O=&CO=6,則月8的長為（）

2

A.6V2B.3小C.D.衛(wèi)

55

9.（2020秋?承德縣期末）如圖，已知：NMON=30°,點(diǎn)4、42、4…在射線ON上，

點(diǎn)助、82、歷…在射線。W上，Z\4出|A2、Z\A282A3、ZXA383A4…均為等邊二角形，若

10.（2021?安徽模擬）如圖，等邊△ABC中，AB=10,E為AC中點(diǎn)，F(xiàn),G為AB邊上動(dòng)

點(diǎn)，且尸G=5,則EF+CG的最小值是（）

G

BC

A.5V7B.5%C.5后5D.15

二.填空題（共10小題）

11.（2021?天心區(qū)一模）如圖，點(diǎn)。是三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，O4=O8=OC=4,ZBAC

=45°,已知S&40C-SZX4OB=2,則NBOC=,S^ABC=.

12.（2020秋?江岸區(qū)期末）如圖，RlZXABC中，NAC8=90°,N8=30°,AC=2,D為

BC上一動(dòng)點(diǎn)，EF垂直平分AD分別交4c于E、交A8于F,則BF的最大值

為.

13.（2021?鞏義市模擬）點(diǎn)P是等邊三角形A8C內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P作三邊的垂線，分別記

為PHi,PH2,PH3,設(shè)△ABC的邊長為a.若PHi=l,PH2=3,P”3=5,則a

=；若°=2y，則PHI+PH2+PH3=.

14.（2021春?金牛區(qū)校級(jí)期中）已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)P是三個(gè)內(nèi)角

平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)。是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、O同時(shí)在不等邊△ABC的內(nèi)部時(shí)，

那么N80C和NBPC的數(shù)量關(guān)系是：ZBOC=

15.（2020?皇姑區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，A（0,3）、B（歷，0）、Q（0,1），

2

。是無軸上一點(diǎn)，以AC為邊向右側(cè)作正△AC￡>,P為的中點(diǎn).當(dāng)。從O運(yùn)動(dòng)到5

點(diǎn)時(shí)，PQ的最小值為__________________.

16.（2020春?新都區(qū)期末）邊長為。的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的

三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰

的三邊中點(diǎn)順次連接，又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三

等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖）…，按此方式依

次操作，則第7個(gè)正六邊形的邊長是.

17.（2019?雁塔區(qū)校級(jí)四模）如圖，在四邊形A8CO中，BD平分N48C,于。，

AC=5,邊與A8的長度差為2,當(dāng)△AOC面積最大時(shí)，邊AD的長

為.

A

/XXD

BC

18.（2021?長沙模擬）如圖，△45C中，A。平分NBAC,NACB=3/8,CELAD,AC=8,

BC=^-BDt則CE=

4

19.(2018秋?江岸區(qū)期末)如圖，已知N4O8=a(0°<a<60°),射線OA上一點(diǎn)M,

以O(shè)M為邊在OA下方作等邊△0MN,點(diǎn)P為射線OB上一點(diǎn)，若NMNP=a,則NOMP

20.(2019?鄲州區(qū)一模)如圖，△ABC中,AB=AC=15,ZBAC=120°,小明要將該三角

形分割成兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形，他想出了如下方案：在A8上取點(diǎn)。，過點(diǎn)

。畫。七〃AC交8。于點(diǎn)E,連接在4c上取合適的點(diǎn)凡連接E戶可得到4個(gè)符合

條件的三角形，則滿足條件的A/長是.

21.(2021?蔡甸區(qū)二模)如圖，AA8C中，點(diǎn)。在8C邊上，且NAOB=90°弓NC4￡>.

(1)求證：AD=AC；

(2)點(diǎn)E在48邊上，連接CE交4D于點(diǎn)F,且NC尸D=NC4B,AE=BD,

①求NA8C的度數(shù)；

②若A8=8,DF=2AF,直接寫出石b的長.

EE

備用圖

22.（2021春?中原區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△A8C中，DM,硒分別垂直平分邊AC和邊8C,

交邊AB于M,N兩點(diǎn)，?！迸cEN相交于點(diǎn)足

(1)若A5=3c/n,求△CMN的周長.

(2)若NMFN=70°,求/MCN的度數(shù).

23.（2020秋?潮州期末）如圖，在等邊三角形48c中，力是AB上的一點(diǎn)，石是C8延長線

上一點(diǎn)，連接C。、DE,已知

（1）求證：△OEC是等腰三角形.

(2)當(dāng)NBDC=5NEDB,EC=8時(shí)，求△&)(；的面積.

24.（2021?西城區(qū)校級(jí)模擬）（1）小W，同學(xué)在網(wǎng)絡(luò)直播課中學(xué)習(xí)了勾股定理，他想把這一

知識(shí)應(yīng)用在等邊三角形中：邊長為a的等邊三角形面積是（用含a

的代數(shù)式表示）；

（2）小M），同學(xué)進(jìn)一步思考：是否可以將正方形剪拼成一個(gè)等邊三角形（不重疊、無縫

隙）？

①如果將一個(gè)邊長為2的正方形紙片剪拼等邊三角形，那么該三角形邊長的平方

是；

②小My同學(xué)按下圖切割方法將正方形ABC。剪拼成一個(gè)等邊三角形EFG：M、N分別

為AB、邊上的中點(diǎn)，P、。是邊BC、AD上兩點(diǎn)，G為MQ上一點(diǎn)，且NMGP=N

PGN=/NGQ=60°.

請(qǐng)補(bǔ)全圖形，畫出拼成正三角形的各部分分割線，并標(biāo)號(hào)；

③正方形ABCD的邊長為2,設(shè)BP=x,則/=.

D,-V.C

25.(2020秋?五常市期末)如圖，點(diǎn)。、E在△4BC的邊上，AD=AE,BD=CE.

(1)求證：AB=ACi

(2)若NBAC=108°,NO4E=36°,直接寫出圖中除△ABC與△AOE外所有的等腰

三角形.

26.(2020秋?臨沐縣期末)如圖，在△ABC中，AB=AC,AD=DE=EB,BD=BC,試求

ZA的度數(shù).

27.(2020春?東明縣期末)如圖，在△44C中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是4c延長線上

一點(diǎn)，連接。凡交AC于點(diǎn)E連接BE,ZA=ZABE.

(1)求證：。尸是線段的垂直平分線;

(2)3AB=AC,NA=46°時(shí)，求/EBC及/尸的度數(shù).

28.（2019秋?鞏義市期末）如圖：在RtZ\48C中，ZC=90°,ZA=60°,AB=12cm,

若點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)以2cmis的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)4出發(fā)以\cmls的速度向點(diǎn)C

運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、。分別從點(diǎn)仄A同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

（1）用含，的式子表示線段4P、A。的長；

（2）當(dāng)，為何值時(shí)，是以尸。為底邊的等腰三角形？

（3）當(dāng)，為何值時(shí)，PQ〃BCR

29.（2020秋?朝陽期中）在△ABC中，。是BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)5、。重合），連接AQ.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。是5C邊上的中點(diǎn)時(shí)，S.ABD:S^ACD=;

（2）如圖2,當(dāng)AO是N8AC的平分線時(shí)，若AB=m,AC=n,求SHBD：的值

（用含加，〃的代數(shù)式表示）；

（3）如圖3,A。平分NBAC,延長A。到E,使得AO=OE,連接BE,如果AC=2,

AB=4,S^BDE=6f那么SMBC=.

30.（2020春?揭西縣期末）如圖，在△4BC中，NACB=90°,NA=30°,AB的垂直平

分線分別交AB和AC于點(diǎn)。，E.

（1）求證：AE=2CE；

（2）連接CD,請(qǐng)判斷△BCD的形狀，并說明理由.

參考答案

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?江都區(qū)校級(jí)期末）等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米.在底邊上

有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，則P到兩腰的距離之和為（）

A.4cmB.6cmC.ScmD.IOC/M

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】連接AP,由三角形的面積公式證得S.A8P+SAACP=SAABC,根據(jù)48=AC即可

求出PE+PF.

【解答】解：已知：△A8C中：尸E_LAB于E,于尸，48=40=8厘米，△4BC

的面積為24平方厘米,P是底邊AC卜一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

求：PE+PF的值.

解：連接4P,

PFLAC,

：.SMBP=X\B*PE,S?ACP=-AC*PF,

22

*.*SMBP+S^ACP=SMBC,SMBC=24,

.??工4?PE+1AC?PF=24,

22

.,.AAB(PE+PF)=24,

2

???PE+P產(chǎn)=24X2=6?！?

8

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，由三角形的面積公式

證得SMBP+SMCP=S“BC是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2021?南山區(qū)校級(jí)二模）下列命題中真命題是（)

A.5的算術(shù)平方根是3

B.數(shù)據(jù)a+2,a,a+3,a+2,什3與2,0,3,2,3的方差相同

C.正六邊形的內(nèi)角和為360°

D.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專題】特定專題；應(yīng)用意識(shí).

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，方差的定義，多邊形內(nèi)角和公式，矩形的判定一一判斷即可.

【解答】解：A、的的算術(shù)平方根是加，本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

B、數(shù)據(jù)a+2,a,。+3,a+2,a+3與2,0,3,2,3的方差相同，正確，本選項(xiàng)符合題

意.

C、正六邊形的內(nèi)角和為360°,錯(cuò)誤，應(yīng)該是720。，本選項(xiàng)不符合題意.

。、對(duì)角線相等的四邊形是矩形，錯(cuò)誤，應(yīng)該是對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，本選項(xiàng)

不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根，方差的定義，矩形的判定，多邊形內(nèi)角和等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根的定義，方差的定義，掌握矩形的判定方法，屬于中考常

考題型.

3.（2021春?武漢期中）已知等邊三角形的邊長為4,則其面積為（）平方單位.

A.4V3B.8加C.12加D.16

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】作AZXLBC,垂足為D,由等邊三角形的性質(zhì)可得BO=2,利用勾股定理可求

解AD的長，再利用三角形的面積公式可求解.

【解答】解：如圖，等邊三角形ABC,AB=BC=4,

作AQ_L8C,垂足為O,

:?BD=CD=2,

在RtAABD中，JAB?.BD2=JqZ_22=2^5，

：.S^BC=^-BC*AD

2

=-lx4X2V3

=W3，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，求解等邊三角形地邊上的高AD

的長是解題的關(guān)鍵.

4.（2021春?沙坪壩區(qū)期中）在△ABC中，ZA：NB：ZC=2：5：3,則△ABC的形狀是

（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定.

【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【分析】設(shè)NA=2x°,NB=5工。，NC=3x°,根據(jù)NA+NB+NC=180°得出2x+5x+3x

=180,求出x,再求出答案即可.

【解答】解：設(shè)NA=2x°,ZB=5x°,ZC=3x°,

VZA+ZB+ZC=180°,

A2x+5x+3x=180,

解得：x=18,

，NA=5x0=9U°,

?二△ABC是直角三角形，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)由和定理，直角三角形的判定，等腰三角形的判定等知識(shí)

點(diǎn)，注意：有一個(gè)角的度數(shù)是90°的三角形是直角三角形.

5.（2021?坪山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，N3=90°,C是BD上一點(diǎn),BC=10,NADB

=45°,NACB=60°,則CD長為（）

A

l(h/3-10C.1O-3V3D.IO/2-10

【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求出AC,由勾股定理求出A8,根據(jù)等腰直角三

角形的性質(zhì)得到43=8C,進(jìn)而求得8.

【解答】解：?.?在△ABC中，N8=90°,ZACB=60°,

：.ZCAB=30°,

：.BC=1.AC,

2

???4C=2BC=20,

：?AB=d然2_BC2=]

VZADB=45°，

???ND4B=45°,

：?4DAB=/ADB,

ABD=4fi=l(h/3?

：.CD=BD-BC=\^j2~10,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查本題主要考查了含30°直角三角形的性質(zhì)、勾股定理和等腰直角三角

形性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握含30°直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

6.（2021春?漢壽縣期中）如圖，四邊形4BC。中，ZA=90°,AD=3,連接8。，BDL

CD,垂足是。且NAOB=NC,點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值是（）

B

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】角平分級(jí)的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【分析】根據(jù)等角的余角相等求出NA8O=NC5￡）,再根據(jù)垂線段最短可知。P_L8C時(shí)

DP最小,然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得OP=AD

【解答】解：???BO_La）,NA=90°

AZABD+ZADB=90°,

ZCBD+ZC=90°,

:./ABD=/CBD,

由垂線段最短得，OP_LBC時(shí)。尸最小，

此時(shí)，DP=AD=3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì),

熟記性質(zhì)并判斷出。尸最小時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?濱湖區(qū)一模）如圖所示，在等邊三角形A8C中，BC=6,E是中線AO上一點(diǎn),

現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P沿著折線A-E-C運(yùn)動(dòng)，在AE上的速度是4單位/秒，在CE上的速度是

2單位/秒，則點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到。所用時(shí)間最少時(shí)，4E長為（）

C.等

D.2V3

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【分析】作CML44于點(diǎn)M,求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2（迪KE），則CE+QM最短時(shí)滿

22

足題意.

【解答】解：作CMJ_A3于點(diǎn)M,點(diǎn)P在4-E-C上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為延+笠，

42422

VZBAD=30°,

:.EM=1AE,

2

AA（嶇=A（EM+CE）,

222

當(dāng)C,E,M共線時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，

???CM為三角形中線，點(diǎn)石為重心，

VZC4D=30°,CD=2BC=3,

2

，4。=第。。=3例，

4七=當(dāng)。=2/.

3

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考等邊三角形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形重心將中線分成1：2兩部分.

8.（2021?蜀山區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB=A。，E為8。中點(diǎn)，連接AE,NBAD=

ZCAE,若BO=&CO=6,則A8的長為（）

2

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】三角形；圖形的相似；空間觀念.

【分析】過點(diǎn)D作DFA.AC于F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF,再由BD=^-CD

=6得到。C和。尸的長，利用三角形相似得出4區(qū)最后根據(jù)勾股定理可得AB的長.

【解答】解：過點(diǎn)。作于尸，如圖：

：,AELBDtZ8AE=ZDAE.

?:BD=ScD=6,

2

:,BE=DE=3,CD=4.

ZBAD=ZCAE,

JNBAE=ZDAE=NOA凡

:?DF=DE=3,FC=^42_32=V7.

VZCFD=ZA￡C=90°,ZC=ZC,

???△C尸0s△CE4,即AE=3".

AE3+4

，AB=d陋2+3￡2=｛（3>/7）2+32=6加.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)做出輔助

線是解題關(guān)鍵.

9.（2020秋?承德縣期末）如圖，已知：NMON=30°,點(diǎn)Ai、4、A3…在射線ON上,

點(diǎn)81、比、仍…在射線OM上，△48^2、△A2&A3、Z\A383A4…均為等邊三角形，若

C.32加D.64V3

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】常規(guī)題型.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出4Bl〃42及〃加班，以及42及=

2B1A2,得出A3B3=48IA2=4,A484=8BIA2=8,ASB5=I681A2…進(jìn)而得到A7B7=26BIA2

=32

=26=64,B6A7=1A7B7-再根據(jù)勾股定理即可解答.

【解答】解：???△4BA2是等邊三角形，

：.A\B\=A2B\,Z3=Z4=Z12=60°,

AZ2=120°，

???/MON=30°,

/.Zl=180o-120°-30°=30°,

又???/3=60°.

AZ5=180°-60°-30°=90°,

???NMON=N1=30°,

.'.OA\=AiB\=\t

*.*ZXA28M3、ZXA383A4是等邊三角形，

/.Z11=Z10=60°,Z13=60°,

VZ4=Z12=60°,

',A\B\//A2B2//A3B3,BIA2〃8M3,

AZ1=Z6=Z7=3O°,N5=N8=9(T,

??AIBI=2B\A2=2,83A3=2B53,

/.A3B3=4BIA2=4,

484=8BIA2=8,

AsBs=1681A2=16,

66

以此類推：A757=2fiiA2=2=64,8必7=工人*7=32，△歷B6A7是直角三角形，Z

2

歷86A7=90°,

???以歷=6耳二^^了=五五d二32加.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出所明

=4BIA2,484=8BIA2,435=I6B1A2進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵.

10.（2021?安徽模擬）如圖，等邊△ABC中，AB=10,E為4c中點(diǎn)，F(xiàn),G為48邊上動(dòng)

點(diǎn)，且尸G=5,則EF+CG的最小值是（）

A.547B.5%C.5后5D.15

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C',取BC的中點(diǎn)Q,連接C'Q,交AB于點(diǎn)G,

此時(shí)CG+所最小，作CH±BC交BC的延長線于點(diǎn)H,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾

股定理可得答案.

【解答】解：如圖：

作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C',

則CG=CG,

取BC的中點(diǎn)Q,

連接EQ,GQ,

???點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

：.EQ=XAB=5=FG,EQ//AB,

???四邊形EFGQ是平行四邊形，

：.EF=GQ,

???當(dāng)點(diǎn)C,G,。在同一條線上時(shí)，CG+E尸最小，

作C'”_L8C交BC的延長線于點(diǎn)H,

*：BC=BC'=10,ZCBC1=120°,

：.HC=5加，”8=5,

：.HQ=\0f

???C，。=475+100=5"

：,EF+CG的最小值是5幣.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，能夠利用圖形的對(duì)稱作出輔助線是解題關(guān)鍵.

二.填空題（共10小題）

11.（2021?天心區(qū)一模）如圖，點(diǎn)。是三角形A3C內(nèi)的一點(diǎn)，0A=。8=。。=4,NBAC

=45°,已知SJOC-S“O8=2,則N80C=90°,S^ABC=8+2^?1.

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】三角形；與圓有關(guān)的計(jì)算；幾何直觀；推理能力.

【分析】由OA=OB=OC=4可得△ABC是以O(shè)為圓心，半徑為4的內(nèi)接三角形，所以

NBOC=2NBAC=90°,

延長40交BC于點(diǎn)E,作CN±AE,證明△BOMg/XCOMS^AOC-SMOB

=2及BA/2+CN2=16可得8M及CN長度，進(jìn)而求解.

【解答】解：*：OA=OB=OC=4,

???△ABC是以。為圓心，半徑為4的內(nèi)接三角形,

延長AO交BC于點(diǎn)E,作8M_1_4￡；,CNLAE,

*：ZBAC=45°，

，N8OC=2NB4C=90°，

???8。=加08=47^

,?S^AOC-5&AOB=2,

：.1.AO*CN-1AO*BM=2(CN?BM)=2,

22

:,CN-BM=1.

VZBOM+ZCON=90°，NBOM+NOBM=90°,

，/CON=/OBM,

又???N4MO=NC7VO=90°，OB=OC,

在△BOM和△CON中,

rZCON=ZOBM

<ZBM0=ZCN0

OB=OC

???△BOMg△CON(A4S),

：?OM=CN,

在RtZ\80M和RtZXCON中，力勾股定理得:

BM2+OM2=ON2+CN2=16,

即BM2+CN2=\6,

CN-BM=1

聯(lián)立方程

BM2-K：N2=16

解得BM=或BM=（舍）.

22

，CN=BM+1=1'*V31

2

：.S^AOC+S^AOB=^-AO*CN+^AO^BM=2（CN+BM）=2^31.

22

■:SABOC=MB?OC=8,

2

SMBC=S^AOC+S^AOB+S^BOC=8+2V31-

故答案為：90°,8+2技.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與三角形的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A與三角形的性質(zhì)，通

過作輔助線求解.

12.（2020秋?江岸區(qū)期末）如圖，RtZ\ABC中，N4CB=90°,N8=30°,AC=2,。為

8c上一動(dòng)點(diǎn)，EF垂直平分人。分別交人。于E、交A8于F,則B廠的最大值為

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.

【專題】幾何圖形；推理能力.

【分析】要使3b最大，則A尸需要最小，而AF=F￡>,從而通過圓與相切來解決問

題.

【解答】解：???RtZXABC中，N4C8=90°,NB=30°,AC=2,

：.AB=2AC=4,

???M垂直平分4。，

:?AF=DF,

若要使8/最大，則力尸需要最小，

，以尸為圓心，A尸為半徑的圓與8C相切即可，

：.FDA.BD,

：.AB=AF+2AF=4t

/MF=—,

3

；,BF的最大值為4-A=J.,

33

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半以及

圓與直線的位置關(guān)系，將3尸的最大值轉(zhuǎn)化為4尸最小是解決本題的關(guān)鍵，屬于壓軸題.

13.（2021?鞏義市模擬）點(diǎn)戶是等邊三角形A8C內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)P作三邊的垂線，分別記

為PH1,PH2,PH3,設(shè)△ABC的邊長為若PHi=l,PH?=3,PH?=5,則a=6道；

若。=2加，則PHI+PH2+PH3=3.

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì).

【專題】面積法；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【分析】三條邊上的高已知，利用等面積法列出方程求得G知道邊長，利用等面積法列

出方程求出尸”|+尸"2+尸”3的值.

【解答】解：連結(jié)如，PB,PC,設(shè)△ABC的8C邊上的高為〃，則人=AB?sin6（T=^a,

2

,XBCxh=aXaX亞^=亞《2,

2224

S^ARC=S^ARP+S^RCP+S^ACP.

A2=

Y^yXaXl+yXaX3+yXaX5-

解得°=6的；

當(dāng)《=2第1機(jī)

*.*SMBC=SMBP+SABCP+S&ACP，

2x+x+

?岑X（2V3）=^2V3PHiyX2V3PH2yx2V3XPH3^

：?PHT+PH2+PH3=3.

故答案為：673：3.

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，利用等面積法列出方程是解題的關(guān)鍵.

14.(2021春?金牛區(qū)校級(jí)期中)已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點(diǎn)尸是三個(gè)內(nèi)角

平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)。是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，當(dāng)P、。同時(shí)在不等邊aABC的內(nèi)部時(shí),

那么NBOC和NBPC的數(shù)量關(guān)系是：NBOC=4N8PC-360。.

【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三用形；推理能力.

【分析】根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到N84C=2NBPC

?180°；再根據(jù)三角形垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到NBOC=2

ZBAC,進(jìn)而得出NBOC和NBPC的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：0平分NA8C,CP平分NACB,

???NPBC=2N4BC,ZPCB=AZACB,

22

r.ZBPC=1800-QPBC+NPCB)

=180°-(AZ>4BC+AZACB)

22

=180°-A(ZABC+ZACB)

2

=180°-A(180°-ZBAC)

2

=90°+-1ZBAC,

2

即NBAC=2NBPC-180°；

如圖，連接AO.

???點(diǎn)O是這個(gè)三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，

0A—0B=0C,

：./OAB=/OBA,ZOAC=ZOCAt/OBC=NOCB,

，NAO"1800-2ZOAB,ZAOC=180°-2NOAC,

???NBOC=360°-(N4O8+/AOC)

=360°-(180°-2NQ4B+180。-2NOAC),

=2ZOAB+2ZOAC

=2ZBAC

=2(2ZBPC-1800)

=4ZBPC-360°,

故答案為：4ZBPC-36O0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的垂直平分線與角平分線，熟練掌握三角形的垂直平分線與

角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.(2020?皇姑區(qū)校級(jí)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,3)、B(乃，0)、Q(0,2)，

2

。是x軸上一點(diǎn)，以AC為邊向右側(cè)作正△AC￡>,P為的中點(diǎn).當(dāng)C從。運(yùn)動(dòng)到3

【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】平面直角坐標(biāo)系；等腰三角形與直角三角形.

【分析】連接OP，CP,依據(jù)0、A、P、C四點(diǎn)共圓，可得N4OP=NACP=30°,根

據(jù)當(dāng)尸Q_L。尸時(shí)，PQ最小，即可得到PQ的最小值為20Q.

2

【解答】解：如圖，連接OP,CP,

???正△ACD中，P為AO的中點(diǎn)，

???NAOB=NAPC=90°,

???0、A、P、C四點(diǎn)共圓，

AZAOP=ZACP=30°，

???當(dāng)PQ_LOP時(shí)，PQ最小，

即PQ的最小值為2OQ=2xZ=工.

2224

故答案為：工.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相

等，且都等于60°.

16.（2020春?新都區(qū)期末）邊長為。的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的

三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰

的三邊中點(diǎn)順次連接，又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三

等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖）…，按此方式依

次操作，則第7個(gè)正六邊形的邊長是lx（1）6?.

-3-2-------

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì).

【專題】規(guī)律型.

【分析】連接4D、DB、。凡求出NAFD=NABO=90°,根據(jù)HL證兩三角形全等得

出NE4D=60°,求出4D〃EF〃G/,過戶作fZ_LG/,過E作ENJ_G/于M得出平行

四邊形尸ZNE得出E/=ZN=Z,求出G/的長，求出第一個(gè)正六邊形的邊長是工，是

33

等邊三角形QKM的邊長的工；同理第二個(gè)正六邊形的邊長是等邊三角形GHI的邊長的

3

1;求出第五個(gè)等邊三角形的邊長，乘以工即可得出第六個(gè)正六邊形的邊長，同理可得

33

出第七個(gè)正六邊形的邊長.

【解答】解：如圖1，連接4。、DF、DB.

,:六邊形ABCDEF是正六邊形，

/.ZABC=ZBAF=ZAFE,AB=A尸，ZE=ZC=120°,EF=DE=BC=CD,

：.ZEFD=ZEDF=ZCBD=ZBDC=30°,

VZAFE=ZABC=120°,

AZ4FD=ZABD=90°,

在和MA”。中，

...[AF;AB,

,lAD=AD，

.*.RtAASD^RlAAFD(HL),

：.ZBAD=ZFAD=^-X120°=60°,

2

???/胡O+NAFE=60°+120°=180°,

：.AD//EF,

?:G、/分別為A尸、DE中點(diǎn),

：.GI//EF//AD,

：.ZFGI=ZFAD=60c,

???六邊形ABC。石戶是正六邊形，△QKM是等邊三角形，

：.AEDM=(^9=NM,

:?ED=EM,

同理A/=QF,

BPAF=QF=EF=EM,

???等邊三角形QKM的邊長是a,

，第一個(gè)正六邊形ABCDEF的邊長是L,即等邊三角形QKM的邊長的工,

33

如圖2,過下作FZ_LG/于Z,過上作EMLG/于N,

則FZ//EN,

9：EF//GL

???四邊形尸ZNE是平行四邊形，

:?EF=ZN=L,

3

VGF=AAF=AXXZ=-L,ZFG/=60°（已證），

2236

???NGFZ=30°,

：.GZ=^GF=-La,

212

同理/N=—,

12

??.G/=L+L+L=L,即第二個(gè)等邊三角形的邊長是L,與上面求出的第一個(gè)正

1231222

六邊形的邊長的方法類似，可求出第二個(gè)正六邊形的邊長是工義工；

32

同理第三個(gè)等邊三角形的邊長是工義工，與上面求出的第一個(gè)正六邊形的邊長的方法類

22

似，可求出第三個(gè)正六邊形的邊長是工XJLXL；

322

同理第四個(gè)等邊三角形的邊長是（工）3小第四個(gè)正六邊形的邊長是JLX（工）3公

232

第五個(gè)等邊三角形的邊長是（1）4m第五個(gè)正六邊形的邊長是2x（工）%；

232

第〃個(gè)正六邊形的邊長是工X（工）〃-%,

32

???第七個(gè)正六邊形的邊長是（1）6a.

32

故答案為：lx（1）6a.

32

Q

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性

質(zhì)和判定的應(yīng)用,能總結(jié)出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵,題目具有一定的規(guī)律性.是一道有一

定難度的題目.

17.（2019?雁塔區(qū)校級(jí)四模）如圖，在四邊形A8CO中，80平分NABC,CO_LBO于O,

AC=5,邊8c與A8的長度差為2,當(dāng)△AOC面積最大時(shí)，邊AQ的長為_2亞_.

【考點(diǎn)】三角形的面積；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】延長BA,CO構(gòu)造等腰三角形，AE與垂直時(shí)三角形AOE的面積最大.

【解答】解：延長CD與BA交于點(diǎn)E,

平分N48C,。。_1_8￡＞于。,

???△C4E為等腰三角形，D為CE中點(diǎn),

SAADC="isAACE=SA4DE.

2

'：BC-AB=2,

???AE=2,

當(dāng)AE_LAC時(shí)，△AEC面積最大，

:.此時(shí)△AOC面積最大.

;C￡=7AC2+AE2=V22+52=^29,

故答案為：-1V29.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰二角形及直角二角形的性質(zhì).解題關(guān)鍵是通過作輔助線找出與△

ADC面積相等的aAEC面積最大的條件.

18.（2021?長沙模擬）如圖，△A8C中，AO平分N84C,ZACB=3ZB,CE±AD,AC=8,

BC=^BD,則CE=A.

4―1

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；等援三角形的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；圖形的全等；等腰三角形與直角三角形;

推理能力.

【分析】延長CE交A8于尸，過點(diǎn)。作O”_LA8于”，DNLAC于N,過點(diǎn)4作AM_L

8c于M,由ASA證得△AEF空△4EC,得出AF=AC=8,ZAFE=ZACE,EF=CE,

證明N8=NECO,得出CF=6R由8c=18。，得出毀=豈，由三角形面積得出2殳=

4CD3AC

段=￡,求出AB=SC=22,即可得出結(jié)果.

CD333

【解答】解：延長CE交48于凡過點(diǎn)。作O〃_LAB于”，DNLAC于N,過點(diǎn)A作

AM_LBC于M,如圖所示：

VCE1AD,

AZAEF=ZAEC=90°,

平分N84C,

：.ZFAE=ZCAEfDH=DN,

rZFAE=ZCAE

在尸與△4EC中，(AE=AE，

ZAEF=ZAEC

???△AEFgZSAEC(ASA),

：.AF=AC=S,NAFE=NACE,EF=CE,

,:NAFC=/B+/ECD,

/.NACF=NB+NECD,

:.ZACB=2ZECD+ZB,

VZACB=3ZB,

；.2NECD+NB=3NB,

：.NB=/ECD,

；?CF=BF,

,:BC=LBD,

4

???BD=,4>9

CD3

SMDB=ZD"AB=LAM?BD,SMCD=—DN*AC=^AM*CD,

2222

yDH*AByAM*BD

■幺___________幺_________

—I'

yDN-ACyAM*CD

乙乙

即膽=理=芻，

ACCD3

.?.AS=Sc=絲，

33

：.CF=BF=^--S=^-,

33

ACE=ACF=-1,

23

故答案為：A.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、

三角形外角性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角形面積的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

19.（2018秋?江岸區(qū)期末）如圖，已知NAOB=a（0°<a<60°）,射線OA上一點(diǎn)M,

以O(shè)M為邊在OA下方作等邊△OMN,點(diǎn)P為射線OB上一點(diǎn)，若/MNP=a,則NOMP

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三甭形與直角三角形