江西省六校高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題

2021屆江西省六校高三3月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知，，為虛數(shù)單位，且，則的值為A．4 B． C．4 D．2．已知集合，，，若，則符合條件的實(shí)數(shù)的值組成的集合為（）A．， B．， C．，0， D．，3．設(shè)x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，將這5個(gè)數(shù)依次輸入如圖所示的程序框圖運(yùn)行，則輸出S的值及其統(tǒng)計(jì)意義分別是（）A．S＝2，這5個(gè)數(shù)據(jù)的方差 B．S＝2，這5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)C．S＝10，這5個(gè)數(shù)據(jù)的方差 D．S＝10，這5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)4．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．5．直線與在區(qū)間被曲線（，）所截得的弦長(zhǎng)相等且不為零，則（）A．， B．， C．， D．，6．一種電子小型娛樂游戲的主界面是半徑為r的一個(gè)圓，點(diǎn)擊圓周上點(diǎn)A后該點(diǎn)在圓周上隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)，最終落點(diǎn)為B，當(dāng)線段的長(zhǎng)不小于時(shí)自動(dòng)播放音樂，則一次轉(zhuǎn)動(dòng)能播放出音樂的概率為（）A． B． C． D．7．祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.意思是說：兩個(gè)同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設(shè)、為兩個(gè)同高的幾何體，、的體積不相等，、在等高處的截面積不恒相等.根據(jù)祖暅原理可知，是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．在三棱錐中，平面，若，，，則此三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)對(duì)任意都有，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（）A．0 B． C．1 D．610．若a，b是函數(shù)（，）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）A．17 B．18 C．19 D．2011．過平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)P作圓O：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，記，則當(dāng)α最大時(shí)的值為（）A． B． C．0 D．12．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線右支的一個(gè)交點(diǎn)為P，與雙曲線相交于點(diǎn)Q，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題13．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)x等于________.14．設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若°，的面積為2，則的外接圓的面積為________.15．已知，動(dòng)直線過定點(diǎn)，動(dòng)直線過定點(diǎn)，若與交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），則的最大值為_________.16．設(shè)函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.三、解答題17．已知數(shù)列滿足，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，是數(shù)列前n項(xiàng)的和，求證：.18．在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為五個(gè)等級(jí)，某考場(chǎng)考生的兩科考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)榈目忌?0人.（1）求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)榈娜藬?shù)；（2）若等級(jí)分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；（3）已知參加本考場(chǎng)測(cè)試的考生中，恰有兩人的兩科成績(jī)均為，在至少一科成績(jī)?yōu)榈目忌?，隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，求這兩人的兩科成績(jī)均為的概率.19．如圖，三棱柱中，，.（1）求證：.（2）若，，，問為何值時(shí)，三棱柱體積最大，并求此最大值.20．設(shè)橢圓的中心和拋物線的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，，的焦點(diǎn)均在x軸上，在，上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表格中：340（1）求，的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過的焦點(diǎn)F作斜率為k的直線l，與交于A，B兩點(diǎn)，與交于C，D兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.21．已知函數(shù).（1）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a的值.（2）當(dāng)時(shí)，證明：22．曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過原點(diǎn)且傾斜角為的射線l與曲線，分別相交于A，B兩點(diǎn)（A，B異于原點(diǎn)）.求的取值范圍.23．已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集為A，且，求a的取值范圍.參考答案1．C【詳解】試題分析：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念可知，，∴，∴，故選C考點(diǎn)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算點(diǎn)評(píng)：熟練掌握復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算法則是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題2．C【分析】等價(jià)于，分和兩類情況，分別求出的值，得出答案．【詳解】，，當(dāng)時(shí)，滿足要求；當(dāng)時(shí)，或，或，綜上，，0，．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合間的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題．3．A【分析】根據(jù)程序框圖，得輸出的S是5個(gè)數(shù)據(jù)的方差，先求這5個(gè)數(shù)的均值，然后代入方差公式計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)程序框圖，輸出的S是x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22這5個(gè)數(shù)據(jù)的方差，因?yàn)?，∴由方差的公式S＝．故選A．【點(diǎn)睛】本題通過循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖考查了均值和方差，屬于基礎(chǔ)題．4．D【分析】利用奇偶性的定義判斷的奇偶性，又及時(shí)，應(yīng)用排除法即可得正確選項(xiàng).【詳解】，為偶函數(shù)，排除A；又，排除B；時(shí)，，易知，排除C；故選：D5．D【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)圖象的性質(zhì)，要使與在題設(shè)區(qū)間被曲線（，）所截得的弦長(zhǎng)相等且不為零，則曲線最值必關(guān)于對(duì)稱且曲線上的最大、小值必分別大于5、小于，即可確定m、n.【詳解】由題意，，則，即與在被曲線（，）所截得的弦長(zhǎng)相等且不為零，∴且，如下圖示：故選：D6．A【分析】應(yīng)用幾何概型的長(zhǎng)度模型：?jiǎn)栴}等價(jià)于落點(diǎn)有，得到符合條件的弧長(zhǎng)，其與圓周長(zhǎng)的比值，即為所求概率.【詳解】如下圖，半徑為的圓且，要使轉(zhuǎn)動(dòng)能播放出音樂，則落點(diǎn)一定在之間，而，圓的周長(zhǎng)，∴一次轉(zhuǎn)動(dòng)能播放出音樂的概率為.故選：A7．A【分析】由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.【詳解】解：由題意，若、的體積不相等，則、在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，、在等高處的截面積不恒相等，但、的體積可能相等，例如是一個(gè)正放的正四面體，一個(gè)倒放的正四面體，必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.8．D【分析】設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為，根據(jù)正弦定理求出，記外接球的球心為，的外接圓圓心為，根據(jù)題中條件，得到，進(jìn)而可求出外接球的半徑，從而可得球的體積.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為，由題意，根據(jù)正弦定理可得，所以，記外接球的球心為，的外接圓圓心為，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，則因?yàn)槠矫?，所以；又，所以，因此，所以此三棱錐的外接球的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解幾何體的外接球相關(guān)問題時(shí)，一般需要先確定幾何體底面外接圓的圓心及半徑，根據(jù)球的性質(zhì)，確定球心位置，結(jié)合題中條件列出等量關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而即可求解.9．A【分析】先利用函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得到函數(shù)是奇函數(shù)，然后求出（3），最后利用函數(shù)的周期性求的值．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)是奇函數(shù)，令得，（3），即（3）（3）（3），解得（3）．所以（3），即，所以，即函數(shù)的周期是12．所以．故選：A10．D【分析】由題設(shè)知，，易得或，即可求a、b，進(jìn)而可求.【詳解】由題設(shè)知：，，a，b，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則或或(舍)；a，b，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則或(舍)或(舍)；∴或，解得或或(舍).∴，則.故選：D11．C【分析】由題設(shè)，畫出可行域及圓，根據(jù)可行域與圓的位置關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法有：在的中點(diǎn)時(shí)最大，即可求的值.【詳解】由約束條件可得可行域如下，且與、與、與的交點(diǎn)分別為，∴由圖知：，則，∴要使α最大，則最小，即在可行域內(nèi)找到離點(diǎn)距離最小的P點(diǎn)即可，顯然，當(dāng)且在上時(shí)α最大，而為等腰直角三角形，∴為的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，則.故選：C12．B【分析】設(shè)則，由及，求a、t的數(shù)量關(guān)系，可得雙曲線參數(shù)的齊次方程，即可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，則，而，∴，，由，則，，∴，解得，則，∴.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線的定義及圓的性質(zhì)，構(gòu)造關(guān)于雙曲線參數(shù)的齊次方程求離心率即可.13．9【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，即可求實(shí)數(shù)x.【詳解】由題意知：，∴.故答案為：14．【分析】根據(jù)三角形的面積公式，得到，再根據(jù)余弦定理可得，進(jìn)一步利用正弦定理可以得到外接圓的半徑，最終得到答案.【詳解】由題意可得，則，再由余弦定理可得，，則，再由正弦定理可得，，三角形外接圓的半徑為：，的外接圓的面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓的知識(shí)點(diǎn)，涉及到三角形的面積公式以及正余弦定理，屬于比較常見的中等題型.15．【分析】根據(jù)觀察兩條直線的位置關(guān)系，結(jié)合不等式，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：動(dòng)直線過定點(diǎn)動(dòng)直線過定點(diǎn)且，可知，所以，且所以即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”所以的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線過定點(diǎn)問題，還考查了基本不等式應(yīng)用，屬中檔題.16．【分析】當(dāng)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可知不符合題設(shè)；當(dāng)，要使則在上成立且只有一個(gè)整數(shù)符合要求，令、研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法知：僅當(dāng)與的一個(gè)交點(diǎn)在、之間[含]，符合題設(shè)條件，即可求m的范圍.【詳解】由題意知：函數(shù)定義域?yàn)?，且，∴?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，顯然不止有一個(gè)整數(shù)使，不合題意；當(dāng)時(shí)，要使，則，令，則，有，易知上，單調(diào)遞增，上，單調(diào)遞減，且；令，過定點(diǎn)，圖象如下：∴要使存在唯一的整數(shù)使得，即的解集只有一個(gè)整數(shù)，則與的一個(gè)交點(diǎn)在、之間[含]，∴當(dāng)過時(shí)，，可得；當(dāng)過時(shí)，，可得；∴.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，當(dāng)，構(gòu)造、，僅需的解集中只有一個(gè)整數(shù)，而過、，則在這兩點(diǎn)之間即可.17．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由題設(shè)遞推式可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合已知條件，即可證為等比數(shù)列；（2）由（1）有，進(jìn)而求，利用裂項(xiàng)相消法求，即可證不等式.【詳解】（1）由得：，又，∴是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知：，則，∴，∴.18．（1）;（2）;（3）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)“數(shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生人數(shù)，結(jié)合樣本容量頻數(shù)頻率得出該考場(chǎng)考生人數(shù)，再利用頻率和為1求出等級(jí)為A的頻率，從而得到該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)；（2）利用平均數(shù)公式即可計(jì)算該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；（3）通過列舉的方法計(jì)算出選出的2人所有可能的情況及這兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A的情況；利用古典概型概率公式求出隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，這兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A的概率.試題解析：（1）因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為的考生有10人，所以該考場(chǎng)有（人），所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為：.（2）該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為：.（3）因?yàn)閮煽瓶荚囍?，共?人得分等級(jí)為，又恰有兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為，所以還有2人只有一個(gè)科目得分為.設(shè)這四人為甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是兩科成績(jī)都是的同學(xué)，則在至少一科成績(jī)等級(jí)為的考生中，隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，基本事件空間為：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，一共有6個(gè)基本事件.設(shè)“隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪談，這兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為”為事件，所以事件中包含的基本事件有1個(gè)，則.19．（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，此棱柱體積最大為.【分析】（1）由線面垂直的判定可得平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，即可證.（2）設(shè)，過A作的垂線，垂足為D，連結(jié)，根據(jù)線面垂直的判定及性質(zhì)可證，由已知條件知△為直角三角形，可得，進(jìn)而求，結(jié)合棱柱的體積公式、基本不等式即可求棱柱體積最大值及對(duì)應(yīng)的值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】（1）證明：由知：，又，，∴平面，而平面，則，又，∴.（2）設(shè)，過A作的垂線，垂足為D，連結(jié)，∵，，,∴平面，而平面，∴，又，，，即△為直角三角形，∴，則，故.∴∴當(dāng)時(shí)，此棱柱體積最大為.20．（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓、拋物線所過的點(diǎn)，求橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.（2）設(shè)，，，，，聯(lián)立與拋物線、橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求、、、，進(jìn)而求、，結(jié)合已知條件求k值，寫出直線方程即可.【詳解】（1）由題意知：，在橢圓上，，在拋物線上，設(shè)，則，，解得，.∴的標(biāo)準(zhǔn)方程為.設(shè)拋物線的方程為，則，解得.∴的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知是拋物線的焦點(diǎn)，也是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)，，，，，將代入拋物線方程，整理得.當(dāng)時(shí)，恒成立，∴，，則，將代入橢圓方程，整理得.恒成立，∴，，則，由，即，解得，即，∴直線l的方程為：.21．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，即可求a的值.（2）由題設(shè)有，構(gòu)造易知其單調(diào)遞增，存在唯一零點(diǎn)，進(jìn)而可判斷的符號(hào)，即可定的單調(diào)性和極值，根據(jù)、，只需證即可證結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?∴，解得.（2）由題設(shè)，，令，顯然是增函數(shù)，又，∴，，故存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；∴在處取得最小值，又，∴，即，.∵，即，則∴，故得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，并確