9.2.4總體離散程度的估計(jì)課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

9.2用樣本估計(jì)總體9.2.4總體離散程度的估計(jì)引入

上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，它們?yōu)槲覀兲峁┝艘唤M數(shù)據(jù)的“中心位置”的重要信息，從而可以描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).但是在很多時(shí)候，僅僅知道了數(shù)據(jù)的“中心位置”是不夠的，它不足以讓我們作出有效的決策.例如

問題1：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評(píng)價(jià)？

如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？

思考(1)：首先我們來看看，這兩名運(yùn)動(dòng)員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)各為多少？甲：44577789910乙：5667777889

思考(2)：難道這兩人的成績真的就沒有差別了嗎？作出頻數(shù)分布條形圖試試？環(huán)數(shù)頻率0.40.30.20.145678910O（乙）頻率0.40.30.20.14

5

6

7

8

9

10O（甲）環(huán)數(shù)從條形圖可以看出：甲的成績比較分散,成績波動(dòng)幅度較大乙的成績相對(duì)集中,成績比較也相對(duì)穩(wěn)定.因此，他們的射擊成績是存在差異的.那么，如何度量成績的這種差異呢這就是我們本節(jié)課要著手解決的問題？甲：44577789910乙：5667777889知識(shí)探究(一)

問題2:

回到以上問題:

“甲的成績比較分散,成績波動(dòng)幅度較大，乙的成績相對(duì)集中,成績比較也相對(duì)穩(wěn)定”,

如何度量成績的這種差異呢?

你能想到哪一些方法來度量數(shù)據(jù)離散程度呢？利用極差.甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6，

極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度.但因?yàn)闃O差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個(gè)值的信息,對(duì)其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.思考(1):你還能想出其他刻畫數(shù)據(jù)離散程度的辦法嗎乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4.可以發(fā)現(xiàn)，甲的成績波動(dòng)范圍比乙的大.

如果射擊成績很穩(wěn)定，則大多數(shù)的成績離平均成績不會(huì)太遠(yuǎn)；如果射擊成績波動(dòng)幅度很大，則大多數(shù)的成績離平均成績會(huì)比較遠(yuǎn).因此，我們可以用各次射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動(dòng)幅度.思考(2):那么如何定義這種“平均距離”呢思考(3):為什么不用“總距離”呢

因?yàn)椤翱偩嚯x”與樣本容量的關(guān)系很大，對(duì)于同一個(gè)總體，我們?nèi)舫槿《鄠€(gè)容量不同的樣本，則用總距離可能會(huì)相差很大，因此用它來反映數(shù)據(jù)的離散程度意義不大，而平均距離則避免了這種問題.思考(4):”平均距離“中含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，你能想個(gè)什么力法解決方差

方差和標(biāo)準(zhǔn)差

1.概念：

為什么？返回2.作用：

方差和標(biāo)準(zhǔn)差的作用相同，都反映了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度(相對(duì)平均數(shù))．

值越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定；

值越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定．

但在解決實(shí)際問題中，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

思考(5)：方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？它們?yōu)?時(shí)，這組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？

注意：s2≥0,s≥0,其中當(dāng)s2=s=0時(shí)，該數(shù)據(jù)中的各個(gè)數(shù)據(jù)相等.返回3.總體、樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差：

例1.有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

甲：78795491074

乙：9578768677

如果你是教練，你如何對(duì)兩位運(yùn)動(dòng)員的射擊情況做出評(píng)價(jià)？

如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇？例析

解：

綜上，如果甲和乙的平均成績排在所有參賽選手中的前面，就選成績穩(wěn)定的乙選手，否則，可以選甲選手.

思考：在實(shí)際問題中，我們?nèi)绾卫闷骄鶖?shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)差(或方差）？

標(biāo)準(zhǔn)差(或方差）刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動(dòng)的幅度大小，平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起也能反映數(shù)據(jù)取值的信息和分布規(guī)律.

例如，根據(jù)9.2.1節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，我們可以計(jì)算出返回練習(xí)

1.某同學(xué)近5次考試的數(shù)學(xué)附加題的得分分別為

30,26,32,27,35，求這組數(shù)據(jù)的方差.解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為∴

首先應(yīng)在乙、丙中選送

2.甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環(huán)數(shù)及其方差

s2如下表所示，則選送決賽的最佳人選應(yīng)是(

)A.甲

B．乙

C．丙

D．丁解：∴

這組數(shù)據(jù)的方差為∴

最佳人選應(yīng)選乙解：

由于原始數(shù)據(jù)無法知道，因此可用每一個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值來代表該組數(shù)據(jù).3.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)調(diào)查了100個(gè)企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對(duì)于前一年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表．求這類企業(yè)產(chǎn)值增長率的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值.∴這類企業(yè)產(chǎn)值增長率標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為0.17.

例2.在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出總樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生的身高方差做出估計(jì)嗎？知識(shí)探究(二)

解：

思考(1)：由本題中的三個(gè)方差，你能說說為什么要用分層隨機(jī)抽樣嗎？

由于總樣本方差比男生組和女生組的方差都更大，這說說明男女生身高的均值相差較大大，所以，用分層隨機(jī)抽樣的均值估計(jì)總體均值的效果會(huì)更好一些。思考(2)：你能說說計(jì)算分層隨機(jī)抽樣方差的方法和步驟嗎？比例分配分層隨機(jī)抽樣方差的計(jì)算

返回練習(xí)

甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果為：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60kg，方差為200kg2，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70kg，方差為300kg2，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4，那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和標(biāo)準(zhǔn)差分別是什么？

解：知識(shí)探究(三)平均數(shù)、方差的性質(zhì)練習(xí)

若

k1,k2,…,k8的方差為3，平均數(shù)為2，則(1)k1+3,k2+3,…,k8+3的平均數(shù)為_____，方差為____；(2))4k1,4k2,…,k8

的平均數(shù)為_____，方差為____；

(3)2(k1－3),2(k2－3),…,2(k8－3)的平均數(shù)為____，方差為____.返回課堂小結(jié)

５.如何利用樣本的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)總體的方差和標(biāo)準(zhǔn)差？２.如何理解極差，方差和標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)？1.怎樣理解極差，方差和標(biāo)準(zhǔn)差的概念？４.如何計(jì)算比例分配分層抽樣的方差？３.如何利用平均數(shù)和方差來描述數(shù)據(jù)

的取值范圍？6.你能說說平均數(shù)據(jù)和方差的性質(zhì)嗎？作業(yè)12.教材P214習(xí)題9.2第2題

1.已知某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3，方差為S2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)3，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為

，方差為

，求

3.某校高二年級(jí)現(xiàn)有男生600人，女生400人，現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽取一個(gè)樣本了解該年級(jí)學(xué)生的身高情況(單位：cm)，如果若男、女生樣本的平均身高分別為173和163，方差分別為17和30，試對(duì)估計(jì)該樣高二年級(jí)全體學(xué)生的身高方差？簡析：

∵原7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為3，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)3，∴這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為

又∵這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為7/2,∴由方差公式得

3.某校高二年級(jí)現(xiàn)有男生600人，女生400人，現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽取一個(gè)樣本了解該年級(jí)學(xué)生的身高情況(單位：cm)