高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) （基礎(chǔ)知識(shí) 高頻考點(diǎn) 解題訓(xùn)練）數(shù)列求和教學(xué)案

第四節(jié)數(shù)列求和

基礎(chǔ)都艱要打牢

得基礎(chǔ)分I掌握程度

1ICHUZHISHIYAC

［知識(shí)能否憶起］

一、公式法

1.如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)

和公式，注意等比數(shù)列公比。的取值情況要分。=1或

2.一些常見數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式：

(1)1+2+3+4+…+〃=~；

(2)1+3+5+7+…+2〃-1—

(3)2+4+6+8+…+2n=m+n.

二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法

1.倒序相加法

如果一個(gè)數(shù)列｛aj,首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)

數(shù)列的前〃項(xiàng)和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的.

2.分組轉(zhuǎn)化求和法

若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)

可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減.

3.錯(cuò)位相減法

如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)

數(shù)列的前〃項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的.

4.裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.

［小題能否全?。?/p>

1.(2012?沈陽(yáng)六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列｛(-1)"｝的前〃項(xiàng)和為S”則對(duì)任意正整數(shù)〃，S產(chǎn)

解析：選D因?yàn)閿?shù)列｛(一1)"｝是首項(xiàng)與公比均為一1的等比數(shù)列，所以￡=

_]__II__H_]

b2~==2,

2.等差數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式為4=2〃+1,其前〃項(xiàng)的和為S,則數(shù)列打的前10項(xiàng)的

和為()

A.120B.70

C.75D.100

解析：選C???￡=〃=.5+2),

.Sn.?5*1iS*$10

??一=〃+2.故…+77=75.

n1210

3.數(shù)列囪+2,…,ak+2k，…,aio+20共有十項(xiàng)，且其和為240,則a+…+a+…

+劭。的值為()

A.31B.120

C.130D.185

解析：選C&+…+&+…+a0=240—(2+…+24+…+20)=240---------

=240-110=130.

4.若數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為a=2〃+2〃-1,則數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為.

—2"n+2/?—

解析：.=■,；+:——=2小一2+上

1—22

答案：2f2

5.數(shù)列2x4'4義6'6X8,…'2n―n+—'…的刖”項(xiàng)和為--------?

解析：因&=2〃；+-I?)

n

答案:7+

數(shù)列求和的方法

(1)一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)

化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和.

(2)解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路:

①轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)

分解或錯(cuò)位相減來(lái)完成.

②不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法

等來(lái)求和.

抓考點(diǎn)學(xué)技法得拔高分掌握程度

.ha.,高頻GA考OPIN點(diǎn)KA要ODi通AN關(guān)YAOTONGGUANJI_______]I______________JI

分組轉(zhuǎn)化法求和

占典題導(dǎo)入

[例1](2011?山東高考)等比數(shù)列｛a“｝中，a,斑,as分別是下表第一、二、三行中的

某一個(gè)數(shù)，且a“改，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列⑹滿足:b“=a*(-l)z,lna“,求數(shù)列｛4｝的前2n項(xiàng)和S.

[自主解答](1)當(dāng)切=3時(shí)，不合題意；

當(dāng)句=2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)4=6,用=18時(shí)，符合題意；

當(dāng)國(guó)=10時(shí)，不合題意.

因此&=2,色=6,&=18.所以公比g=3,故&=2?3"f.

⑵因?yàn)?=&+(-l)”lna=2?3〃7+(-l)〃ln(2?3"-)=2?3^+(-D'dn2-ln

3)+(-1)!>n\n3,

所以￡〃=8+1+~+弧=2(1+3+―+321)+[—1+1—1+~+(—1產(chǎn)](1-2—53)

1—32n

+[—1+2—3+…+(—1)In3=2X~7-+/?ln3=3一+〃ln3—1.

1—3

2由題悟法

分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

(1)若a=4土以，且｛幻，｛以｝為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求｛aj的前〃項(xiàng)

和.

bn,〃為奇數(shù),

⑵通項(xiàng)公式為a=、一田媯的數(shù)列，其中數(shù)列｛>｝，｛，｝是等比數(shù)列或等差

匕，〃為偶數(shù)

數(shù)列，可采用分組求和法求和.各以題試法

1.已知數(shù)列｛%J的首項(xiàng)xi=3,通項(xiàng)拓=23+〃g(〃￡N*,p,q為常數(shù))，且汨，x”不

成等差數(shù)列.求：

(1)2，g的值；

(2)數(shù)列｛為｝前〃項(xiàng)和S,的公式.

解：(1)由為=3,得2〃+。=3,又因?yàn)?=2/+4仍

X5=26+5g,且汨+質(zhì)=2必，得3+2力+5°=2力+8仍

解得夕=1,Q=1.

⑵由⑴,知羽=2"+〃，所以S=(2+2?+…+2')+(1+2+…+〃)=2,?—2+

n刀+

2.

“二錯(cuò)位相減法求和

占典題導(dǎo)入

［例2］（2012?江西高考）已知數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和S尸他一火其中c,4為常數(shù)），且

4=4,a=83s.

⑴求網(wǎng)；

（2）求數(shù)列｛〃a｝的前〃項(xiàng)和兀.

［自主解答］⑴由S,=Ac"-%得a=$一$-1=女。"一底尸（〃22）.

。=2,

由4=4,，=8&3,得在。（c—1）=4,kc｛c—Y）=8kc（c-1）,解得，

［k=2,

所以d=S=2,區(qū)=女。"-=2"（422）,

于是a=2".

（2）1,=￡?=￡”2',

/=1/=1

即4=2+2?22+3?23+4?2'+-+/??2".

T?=2T-T?=-2-22-2i-2!'-------2"+n'2^'

=-2"1+2+〃?2"+'=（〃-1）2"|+2.

&由題悟法

用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意：

⑴要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形;

(2)在寫出“S”與"qSJ的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確

寫出“SLqS：的表達(dá)式.

(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1

兩種情況求解.

3以題試法

2.(2012?濟(jì)南模擬)已知等比數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S”且滿足S=3"+A.

(1)求k的值及數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛6,,｝滿足等=(4+公a.b“,求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和Tn.

解：(1)當(dāng)時(shí)，由a=SLST=3"+4一一"=2?3"-',得等比數(shù)列｛a,J的公比

4=3,首項(xiàng)為2.

??.ai=S=3+4=2,，A=-1,??.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為&=2?3"7.

(2)由等=(4+A)a“b”,可得4=號(hào)口，

口n3n

即b?=~?呼

裂項(xiàng)相消法求和

占典題導(dǎo)入

［例3］已知數(shù)列?｝的前〃項(xiàng)和為S,5i=l,〃(〃一1)(〃￡N*).

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

2

⑵設(shè)b尸一一,求數(shù)列｛A｝的前〃項(xiàng)和T”.

&a+1

［自主解答］⑴???￡=〃④—,當(dāng)時(shí)，

5L-i=(〃-1)?&-L(〃-1)(〃一2),

.??&=$-S—i=〃a〃一刀(〃-1)—(〃-l)a〃—1+(刀—1)?(〃-2),

即4―&-1=2.

???數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)句=1,公差d=2的等差數(shù)列,

故4=1+(〃-1)?2=2刀一L/?GN*.

小上/\,2211

(2)由(1)知b尸aM=~~群—=2n-l~2n+l)

肅)=1]

故

2〃+1

2，

2/?+r

，-?-->-一---題--多--變----------------------------------S

本例條件不變，若數(shù)列仿,｝滿足4=匕，求數(shù)列偽)的前n項(xiàng)和Tn.

解:S=〃a“一〃(〃-1)=77(2Z7—1)一〃(〃-1)=n.

___1____1________11___1_

"S+〃n+nnn+nz?+1*

北=(H)+lH)+(H)+…+([露)=1-露=言

會(huì)由題悟法

利用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意

(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；

(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)

相等.如：若｛a｝是等差數(shù)列，則;=里一—一),；=船一

3/)3/)+1cr\3na〃+1)〃+?2c\3na“+2)

3以題試法

3.(2012?“江南十?！甭?lián)考)在等比數(shù)列｛&｝中，a>0,—N*,且次一&=8,又團(tuán)、

as的等比中項(xiàng)為16.

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)4=log,a“，數(shù)列值｝的前〃項(xiàng)和為S”是否存在正整數(shù)上使得+…+

9“對(duì)任意恒成立.若存在，求出正整數(shù)a的最小值；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(D設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為9，由題意可得a=16,

^3—4=8,貝U刈=8,**?q=2.

(2)*.*logi2""=-7""，

/.Sn=6+慶+…+bn=T~

4

S

7?+

1111

￡-S-S-

11111111

S-1

--+-++-

1-4-+■2--53-+3

1〃

-

=茅+那-系-圭6-去嚼

存在正整數(shù)A的最小值為3.

■E]i解題訓(xùn)練要高效抓速度I抓規(guī)范I拒絕眼高手低I掌握程度

.JIETIXU\LIANYXOC；A（）XIA（）J_________________J_______J

A級(jí)全員必做題

1.已知｛a｝是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，S是｛aj的前〃項(xiàng)和，且9S=&,則數(shù)列的前

5項(xiàng)和為（）

15f31_

A.不或5B.77或5

816

八31、15

C—D—

168

解析：選C設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為Q.由題意可知沖1,且―一―=F，解得q=

2,所以數(shù)歹出]是以1為首項(xiàng)，J為公比的等比數(shù)列，由求和公式可得￡=日

[aJ216

2.已知數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和S=a//+M（a、beR）,且55=100,則如+外等于（）

A.16B.8

C.4D.不確定

解析:選B由數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和5=加+%（仇8WR）,可知數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列,

由&5='2=100,解得a+d25=8,所以a+@25=32+&，|=8.

3.數(shù)列1；,3；,5，，7七…，（2/7—1）+^,…的前〃項(xiàng)和S的值等于（）

A.n-\-1-~7,B.2n~n-\-1-~7,

1

C.n+1D.n-n+1

解析：選A該數(shù)列的通項(xiàng)公式為品=(2〃-1)+會(huì)

則Sn=[1+3+5+…+(2/7—1)]+Q+m+—+3=z/+l—^；.

4.(2012?“江南十校”聯(lián)考)若數(shù)列8.｝為等比數(shù)列，且劭=1,q=2,則制=」一+」一

3152a2a3

+的結(jié)果可化為()

解析：選C&=2T設(shè)4=￡=針7

則方=5+慶H1-^=1+^；iH------?

5.已知等差數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和為S,戊=5,W=15,則數(shù)列1的前100項(xiàng)和為

()

10099

A-----R-----

101101

八99n101

C----D-----

100100

解析：選A設(shè)等差數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)為功，公差為d

a+4d=5,

<35=5,8=15,—

5功+-----------d=15,

W=〃〃：Ur.?.數(shù)歹的前1°。項(xiàng)和為i—…+擊

11100

——=1———=——

101101ior

n當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，

6.己知函數(shù)『(〃)=<2業(yè)H/田蛇"卜且&=/"(〃)+/1(/?+1)，則ai+az+as

—n當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

+…+國(guó)00等于()

A.0B.100

C.-100D.10200

解析：選B由題意，。+4+a3+…+a】oo=I2—22—2'+3'+3?—42—42+52+***+992—

1002-1002+1012=-(l+2)+(3+2)H----(99+100)+(101+100)(1+2H----F99+

100)+(2+3+-+100+101)=-1+101=100.

7.在等差數(shù)列｛4｝中，S,表示前〃項(xiàng)和，&+續(xù)=18—續(xù)，則￡=

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)及含+a=18一金,

得2a=18一熱，則8=6,

3\+己9

故￡='=9a=54.

2

答案:54

8.對(duì)于數(shù)列｛&｝,定義數(shù)列｛&+「為｝為數(shù)列｛a｝的“差數(shù)列"，若囪=2,｛a｝的“差

數(shù)列”的通項(xiàng)公式為2",則數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=.

解析：：a+1-&=2",

a?—(an—an-i)+(a?-i—an-2)H---F(az-a)+a,

2—2"

=2n~"+2n~2+-+22+2+2=--~+2=2n-2+2=2n.

1—/

答案：2/?+,-2

9.已知等比數(shù)列｛4｝中，ai=3,@=81,若數(shù)列｛4｝滿足b〃=log3為,則數(shù)列~I的

IDnDn-VII

前〃項(xiàng)和s?—.

解析：設(shè)等比數(shù)列｛2｝的公比為0,則”=/=27,解得9=3.所以a=d/7=3義31

=3",故Z?〃=log3a=〃，

由________1______11

以的「門n+~nn+V

則數(shù)列的前〃項(xiàng)和為1—J+J—J+…+，一±=1—

[bnbn+\]223nz?+lz?+ln+1

n

答案:

n+\

10.(2013?唐山統(tǒng)考)在等比數(shù)列｛4｝中，4全=32,55=32.

(1)求數(shù)列｛&｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和為S,求S+2S+…+〃S.

解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為0,依題意得

\a\q?劭/=32,

0。解得團(tuán)=2,q=2,

[團(tuán)q4=32,

故a,=2?2”T=2".

(2)：￡表示數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和，

—2"

...s,=-—=2(2,,-1),

1-z

S+2S+…+〃$=2[(2+2,2~+…+〃?2")—(1+2+…+〃)]=2(2+2?2?+…+

n,20—/?(/?+1),

設(shè)北=2+2?2，+…+〃?2",①

則2北=22+2?2，+…+〃?2"',②

①—②，得

—2〃

—。=2+2?+…+2"—〃?2小=——----/??2,,+l=(l-n)2n+1-2,

1—2

：,1,=(〃-1)2"|+2,

；?S+2S+…+〃S=2[(/?—1)2""+2]—/?(/?+1)

=(〃—1)2"+'+4—〃(〃+1).

11.(2012?長(zhǎng)春調(diào)研)已知等差數(shù)列｛&｝滿足：繡=9,/+%=14.

(1)求｛&｝的通項(xiàng)公式；

(2)若bn=an+q&(g>0),求數(shù)列｛6〃｝的前n項(xiàng)和S.

同+4d=9,

解：⑴設(shè)數(shù)列｛&｝的首項(xiàng)為a,公差為4則由8=9,/+a=14,得、

[2a+6d=14,

劭=1,

解得L、所以｛4｝的通項(xiàng)a=2〃-1.

.4=2,

=1

(2)由an=2n—1得btt2n~1+q'~.

r，x

當(dāng)g>0且時(shí)，Sn=[1+3+5H----F(2/?—1)]+(q+q+qH----Fq~)=n+

2n

q-q

,-；

i—q

當(dāng)g=l時(shí)，blt=2n,則S=〃(〃+l).

所以數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和

n〃+,q=1,

S=<2Q~Qn、,

n+---:---2---,7>0,gW1.

1一。

2

12.(2012?“江南十?！甭?lián)考)若數(shù)列｛4｝滿足：ai=-,恐=2,3(a+1-2a+&7)=2.

(1)證明：數(shù)列｛4+1一為｝是等差數(shù)列;

(2)求使----成立的最小的正整數(shù)n.

<31c72&33，i)/

解：⑴由3(a+1-2a+a-1)=2可得:

22

2&+&-1=可，即(&*—a)—(&-a—)=鼻,

JO

42

故數(shù)列｛品+i—4｝是以忿一囪=§為首項(xiàng)，勺為公差的等差數(shù)列.

422

⑵由⑴知&+i—a=§+§(〃-1)=-(/?+1),

21

于是累加求和得a=&+耳(2+3+…+〃)=g〃(〃+1),

-+--H------|-工=33

>,A/?>5,

Sia?a-3an7+T2

???最小的正整數(shù)刀為6.

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和5=6—6〃，則｛&』｝的前〃項(xiàng)和北=()

A.6/7—//B.〃2—6〃+18

6〃一n6/7—IIn

C.D.

n—6n+nn-6nn

解析：選C??,由S=//-6〃得｛a｝是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為一5,公差為2.

.??&=—5+(72—1)X2=2〃-7,

???〃<3時(shí),&<0,〃>3時(shí)，4>0,

6〃一//n

//—6〃+n

2.(2012?成都二模)若數(shù)列｛a｝滿足&=2且&+加尸2〃+2"，S為數(shù)列｛a｝的前〃

項(xiàng)和，則log2(S012+2)=.

解析：因?yàn)?I+^=22+2,全+國(guó)=2'+2\主+呆=26+2",….所以￡012=4+4+&3

+&H------011+/012

=21+22+23+24+-+22011+22012

2012

-2013-o

1-2

2013

log2（5OI2+2）=log22=2013.

答案:2013

3.已知遞增的等比數(shù)列｛&｝滿足：@2+熱+國(guó)=28,且全+2是他，國(guó)的等差中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）若b尸&』0或&,Sn=61+&H------卜bn,求Sn.

解：（D設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為&，公比為4

依題意，有2（桀+2）=出+的，

代入a+a+a=28,得a=8.

:.，+回=20.

1

aq+a/=20,4=2,

解得或j乙

&=a/=8,4=2,

、句=32.

又｛2｝為遞增數(shù)列,

q=2,

51=2.

(2)：4=2"?1。"2"=一〃?2",

.\-5,=lX2+2X22+3X234-----力X2".①

.,.-2S,=1X22+2X23+3X2M------F(/?-l)X2,，+/?X2n+1.@

①一②得S>=2+22+23H------\-2"-n-2n+1

=2"+'-n-2"+'-2.

.?.S,=2"+一?2"「2.

逮怖備選題

1.已知｛&｝是公差不為零的等差數(shù)列，a