2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-1 . 3 直線的方程

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

1.3直線的方程

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一直線方程的點(diǎn)斜式與斜截式

1.（2020黑龍江哈爾濱三十二中期末）把直線方程y-4=3（xT）化為斜截式是

A.y=3x-3B.y=-3x+l

C.y=3x+lD.y=-3x+4

2.侈選）（2020江蘇泰州期末）關(guān)于直線l:y=gx-1,下列說(shuō)法正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)（V3,-2）

B.斜率為g

C.傾斜角為60°

D.在y軸上的截距為1

3.（2020黑龍江哈爾濱第二中學(xué)期中）直線y-ax+b（a+b=0,ab#0）的圖形可能是

下圖中的（）

4.已知直線1的傾斜角為30°.

⑴若直線1過(guò)點(diǎn)P⑶-4）,求直線1的方程；

⑵若直線1在y軸上的截距為3,求直線1的方程.

題組二直線方程的兩點(diǎn)式與截距式

5.(2021湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知直線1在x軸上的截距是-5,在y軸上的截

距是6,則直線1的方程是()

A.6x-5y+30=0B.6x+5y-30=0

C.6x-5y-30=0D.6x+5y+30=0

6.通過(guò)第一象限某定點(diǎn)(a,b)的所有直線中，無(wú)法用直線方程的截距式表示的有

()

A.1條B.2條

C.3條D.無(wú)數(shù)條

7.(2022四川德陽(yáng)重點(diǎn)高中月考)已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(-5,0),B(3,-

3),C(0,2),則BC邊上的中線所在直線的方程為()

A.5x+3y-6=0

B.3x-5y+15=0

C.x+13y+5=0

D.3x+8y+15=0

8.(2022遼寧營(yíng)口第二高級(jí)中學(xué)月考)已知直線1:三+十=1.

m4-m

(1)若直線1的斜率是2,求m的值；

(2)當(dāng)直線1與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成三角形的面積最大時(shí),求此直線的方程.

9.某地長(zhǎng)途汽車客運(yùn)公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李,如果超過(guò)規(guī)定,

則需要購(gòu)買行李票，行李票費(fèi)用y(元)與行李質(zhì)量x(千克)的關(guān)系如圖.試求:

(1)直線AB的方程;

(2)旅客最多可免費(fèi)攜帶的行李質(zhì)量.

06080%

10.(2021黑龍江雙鴨山第一中學(xué)月考)已知直線1過(guò)點(diǎn)p(4,1).

(1)若直線1過(guò)點(diǎn)Q(T,6),求直線1的方程；

(2)若直線1在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍,求直線1的方程.

題組三直線方程的一般式與點(diǎn)法式

11.(2022江西吉安期中)在平面直角坐標(biāo)系中，直線x-y+V3=0的傾斜角是(

12.已知ab<0,bc<0,則直線ax+by=c經(jīng)過(guò)（

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

13.(多選)直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,3),且一個(gè)方向向量是d=(3,1),則直線1方程的點(diǎn)

法式是()

A.3(x-2)+(y-3)=0

B.-(x-2)+3(y-3)=0

C.|(x-2)-(y-3)=0

D.-(x-2)+-(y-3)=0

14.若直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,5),且直線1的一個(gè)法向量為(-2,1),則直線1方程的一

般式為.

15.(2020浙江溫州期末)已知直線1:(m2+l)x-2y+l=0(m為常數(shù))，若直線1的斜

率為5貝Im=,若m=-l,貝IJ直線1在y軸上的截距為.

16.(2022安徽宿州泗縣一中開學(xué)考試)已知直線l:5ax-5y-a+3=0.

(1)求證:無(wú)論a為何值,直線1恒過(guò)第一象限；

(2)若直線1不經(jīng)過(guò)第二象限,求a的取值范圍.

能力提升練

題組直線方程的應(yīng)用

L（2022黑龍江鶴崗一中月考）直線1中小+四田。）和直線12：迸=1在同一坐

標(biāo)系中的圖形可能是（）

2.直線吟滬中，ae{1,3,5,7},be{2,4,6,8}.若1與坐標(biāo)軸圍成的三角形的

面積不小于10,則這樣的直線的條數(shù)為（）

A.6B.7

C.8D.16

3.（多選）（2021山東棗莊期中）若直線1:y=-ax+2+a在x軸和y軸上的截距相等,

則實(shí)數(shù)a的值可以是（）

A.0B.1C.-2D.-1

4.（2021四川宜賓第四中學(xué)開學(xué)考試）設(shè)A,B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,

且|PA|=|PB|,若直線PA的方程為x-y+l=0,則直線PB的方程是（）

A.x+y+5=0B.2x-y-l=0

C.x-2y+4=0D.x+y-7=0

5.已知直線ax+by-l=0在y軸上的截距為-1,且它的傾斜角是直線Bx-y-B=0

的傾斜角的2倍,則a,b的值分別為()

A.~y/3,-1B.V3,-1

C.-V3,1D.V3,1

6.若直線ax+by=ab(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),則該直線在x軸、y軸上的截距之和的

最小值為()

A.1B.2C.4D.8

7.已知直線aix+biy+l=0和直線a2x+b2y+l=0都過(guò)點(diǎn)A(2,1),則過(guò)點(diǎn)Pi(abbj和點(diǎn)

P2(a2,b。的直線方程是()

A.2x+y+l=0B.2x-y+l=0

C.2x+y-l=0D.x+2y+l=0

8.(2022吉林通化重點(diǎn)高中月考)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理:三

角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐

拉線”.已知在平面直角坐標(biāo)系中，AABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

A(0,0),B(8,0),C(0,6),則其“歐拉線”的方程為.(結(jié)果寫成直線的

一般式方程)

9.(2020湖南長(zhǎng)沙一中期中)如圖，為了綠化城市,擬在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個(gè)矩

形草坪,另外4AEF內(nèi)部有一文物保護(hù)區(qū)域,不能占用，經(jīng)過(guò)測(cè)量,AB=100m,BC=80

m,AE=30m,AF=20m,應(yīng)該如何設(shè)計(jì)才能使草坪面積最大?

Z).\C

Fk

AF3

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.C

2.BC對(duì)于A,將x=g代入y=V3x-l,得y=2#-2,故A不正確；

易知B正確；

對(duì)于C,由k=V3,可得直線的傾斜角為60°,故C正確；

對(duì)于D,由y=V3x-l,知直線在y軸上的截距為-1,故D不正確.故選BC.

3.D當(dāng)a>0時(shí)，Ya+bR,「.bVO,

根據(jù)直線的斜率為a及y軸上的截距為b,可知直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，選項(xiàng)

D符合；

當(dāng)a<0時(shí)，Va+b=0,.*.b>0,

根據(jù)直線的斜率為a及y軸上的截距為b,可知直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，選項(xiàng)

中無(wú)符合條件的圖形.故選D.

4.解析由題意得直線1的斜率為tan300《

⑴?.?直線1過(guò)點(diǎn)P⑶-4),.?.該直線方程的點(diǎn)斜式為y+4號(hào)(x-3),化簡(jiǎn),得庫(kù)-

3y-3V3-12=0.

⑵...直線1在y軸上的截距為3,??.該直線方程的斜截式為y==x+3,化簡(jiǎn),得

V3x-3y+9=0.

5.A由題意得直線1的方程為三+'1,即6x-5y+30=0.故選A.

-56

6.C當(dāng)直線的傾斜角為0或全或直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，均無(wú)法用直線方程的截距式表

示.故選C.

7.C7B⑶-3),C(0,2),

線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為

又?「BC邊上的中線所在直線過(guò)點(diǎn)A(-5,0),

ABC邊上的中線所在直線的斜率k=^=-^,.\BC邊上的中線所在直線的方程

-5—13

2

為y=W(x+5),即x+13y+5=0.故選C.

8.解析(1)由題意得直線1過(guò)點(diǎn)(m,0),(0,4-m),

則產(chǎn)也2,解得m=-4.

O-m

(2)由題意得m>0,4-m>0,解得0<m<4,

貝ljsm(4-m)-(ni-2)2+4

當(dāng)m=2時(shí),S有最大值，

故直線1的方程為擋=1,即x+y-2=0.

9.信息提?、俅_定A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求直線AB的方程;②根據(jù)費(fèi)用為0確

定可以免費(fèi)攜帶的行李質(zhì)量.

數(shù)學(xué)建模將現(xiàn)實(shí)生活中旅客攜帶行李問(wèn)題,通過(guò)建立直線模型得以數(shù)學(xué)化.利

用A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出x與y之間的關(guān)系，再結(jié)合y=0時(shí)x的值,可以求出最多

可免費(fèi)攜帶的行李質(zhì)量.

解析(1)由題圖知點(diǎn)A(60,6),B(80,10).

故直線AB的方程是善「蕓化簡(jiǎn)得x-5y-30=0.

10-680-60

⑵結(jié)合(1),令y=0,解得x=30.即旅客最多可免費(fèi)攜帶30千克的行李.

10.解析⑴解法一:直線1的方程為長(zhǎng)二三，化簡(jiǎn)，得x+y-5=0.

6—1-1-4

解法二:直線1的斜率為k月=-1,

-1-4

所以直線1的方程為y-l=-(x-4),即x+y-5=0.

⑵由題意知直線1的斜率存在且不為零.

設(shè)直線1的方程為y-l=k(x-4),

則直線1在y軸上的截距為「4k,在x軸上的截距為4-i

k

故1-4k=2(4-0,解得k=［或k=-2,

所以直線1的方程為x-4y=0或2x+y-9=0.

11.B將直線方程x-y+V3=0化為斜截式得y=x+V3,知直線的斜率為1.又直線

傾斜角的取值范圍為［0,幾)，所以直線的傾斜角為？

12.Cax+by=c等價(jià)于尸沁云由題意得->0,加，故直線ax+by=c經(jīng)過(guò)第一、

三、四象限.故選C.

13.BC由題意得直線的法向量可以是(T,3)或《廣1)，所以直線1方程的點(diǎn)法式

可以是-(x-2)+3(y-3)=0或］(x-2)-(y-3)=0.故選BC.

14.答案2x-y+ll=0

解析由已知得直線1方程的點(diǎn)法式為-2(x+3)+(y-5)=0,即2x-y+ll=0.

15.答案0號(hào)

解析⑴由題意得哼號(hào),,,?m=0.

⑵若m=-l,則直線1的方程為2x-2y+l=0,可變形為y=x+|,所以直線1在y軸上

的截距為點(diǎn)

16.解析⑴證明:將直線1的方程變形為y-|=a（%-》,所以直線1的斜率為a,

且過(guò)定點(diǎn)&|）,

而點(diǎn)Q,|）在第一象限,所以無(wú)論a為何值,直線1恒過(guò)第一象限.

⑵將直線1的方程化為斜截式:y=ax-?.

要使直線1不經(jīng)過(guò)第二象限，

ra>0,

則［a'3々n解得a23.

卜,0,

能力提升練

l.DA選項(xiàng)中，由I可得k>0且b〈0,由L可得k〈0且b〈0,矛盾.

B選項(xiàng)中，由L可得k>0且b〈0,由b可得k>0且b>0,矛盾.

C選項(xiàng)中，由11可得k〈0且b〈0,由L可得k>0且b〈0,矛盾.

D選項(xiàng)中，由I1、L均可得到k>0且b>0.

故選D.

2.B因?yàn)閍>0,b>0,所以直線1與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=|ab,于是

3b210oab220.當(dāng)a=l時(shí)，沒(méi)有這樣的b滿足條件；當(dāng)a=3時(shí),b=8;當(dāng)a=5

時(shí),b￡{4,6,8};當(dāng)a=7時(shí),b￡{4,6,8},所以這樣的直線的條數(shù)為7.故選B.

3.BC顯然a#0.當(dāng)直線1經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí),其在x軸和y軸上的截距相等,則2+a=0,

解得a=-2;當(dāng)直線1不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí),直線1的方程可化為七+六=1,則

----2+a

a

織=2+aW0,所以a=l.

a

4.D因?yàn)辄c(diǎn)P在直線PA上，所以3-y+l=0,解得y=4,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為⑶4).

由題意知PA與x軸的交點(diǎn)為A,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為又|PA|=|PB|,點(diǎn)B在

x軸上,所以點(diǎn)A,B關(guān)于直線x=3對(duì)稱,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(7,O),kPB=^-l,所以

直線PB的方程為y-0=-(x-7),即x+y-7=0.故選D.

5.A,IM^V3x-y-V3=0的斜率k=V3,

J直線遙x-y-遍=0的傾斜角a滿足tana=73(0°<a<180°)，得a=60°,

由此可得直線ax+by-l=0的傾斜角0=2a=120°,...直線ax+by-l=0的斜率

k'=tan120°=—\/3.

?.,直線ax+by-l=0在y軸上的截距為-1,

，直線ax+by—1=0方程的斜截式為y=~\/3x-l,化簡(jiǎn)得一gx—y—1=0,b=-

1,故選A.

6.C易知直線在x軸、y軸上的截距之和為a+b.

由題意得a+b=ab,即工+J=1,

.,.a+b=(a+b)(-+1)=2+-+-^2+2I-?-=4,當(dāng)且僅當(dāng)也士,即a=b=2時(shí)取等號(hào)，

\abjabyabab

?二直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為4