概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試題庫及答案大全（三）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計考試題庫及答案

一、填空（每小題2分，共10分）

1.若隨機變量X的概率分布為P^X~k^~C，化=1，2,3）,則c=

2.設(shè)隨機變量工服從川2，P）,且以“一"9,則「=。

3.設(shè)隨機變量工服從叫7，。則以X+l<0}=。

4.設(shè)隨機變量工服從e（2）,則的=o

5.若隨機變量X的概率分布為

才

XQ一穴

_____________2_______

P0.20.50.3

則少（sm￡）=。

二、單項選擇（每題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小

題2分，共20分）

1.設(shè)及卜）與瑪卜）分別是兩個隨機變量的分布函數(shù)，為使

F（x）=a&（x）-bF2（x）是某一隨機變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應取

（）,

3

=-

2-

a=—b---a=--,b=一

(0595(022

24cosx

。（力=,2

2.設(shè)隨機變量X的概率密度為.其它則工=（

7T

(⑷2(5)1

（。汗⑦0

3.下列函數(shù)為隨機變量分布密度的是（）。

其它

(⑷0,

sinx,0<x/、[sinx,0<x<2n

PW=在一，PW=在一，

10,其它[o,其它

9

4.下列函數(shù)為隨機變量分布密度的是（）。

㈤"行"

i1-

"標2⑷"R4

9

5.設(shè)隨機變量X的概率密度為0（力，

=-x,則y的概率密度為（）。

（4-P3）㈤1-尹（-力

3P（P）

6.設(shè)X服從二項分布B（4P）,則（

⑷與2工-1）=2壁⑵以2工-1）=4壁（1-切+1

（0%工+1）=4型+1⑵0（2萬-1）=4胸》

7.設(shè)X服ALV（O>4）,則/［工（￡-2）］

（）,

（42㈤4

（。0（a1

1--

9（x）=--=e4（-00<x<+OD）

8.設(shè)隨機變量X的分布密度為2、/力',則￡注=（）。

（⑷2⑶1

⑷1/2（功4

9.對隨機變量X來說，如果.EX手口X,則可斷定2r不服從（）o

（⑷二項分布（用指數(shù)分布

正態(tài)分布（。泊松分布

10.設(shè)X為服從正態(tài)分布"（T2）的隨機變量，則￡（2X-1）=（）。

（⑷9（86

（6416-3

三、計算與應用題（每小題8分，共64分）

1.盒內(nèi)有12個乒乓球，其中9個是新球，3個是舊球。采取不放回抽取，每次取一個，直到

取到新球為止。

求抽取次數(shù)X的概率分布。

2.車間中有6名工人在各自獨立的工作，已知每個人在1小時內(nèi)有12分鐘需用小吊車。

求（1）在同一時刻需用小吊車人數(shù)的最可能值是多少？

（2）若車間中僅有2臺小吊車，則因小吊車不夠而耽誤工作的概率是多少？

3.某種電子元件的壽命X是隨機變量，其概率密度為

C

x>100

P（x）=,宗

0x<100

求（1）常數(shù)C；

（2）若將3個這種元件串聯(lián)在一條線路上，試計算該線路使用150小時后仍能正常工

作的概率。

X~M（300,352）

4.某種電池的壽命（單位：小時）是一個隨機變量X,且

求（1）這樣的電池壽命在250小時以上的概率;

（2）a,使電池壽命在（30°—O'300+a）內(nèi)的概率不小于0.9。

5.設(shè)隨機變量2］。

求Y=產(chǎn)概率密度。

6.若隨機變量X服從泊松分布，即X~F（4）,且知皈=2。

求「｛XN4｝。

p（x）=l/M（-00<x<400）

7.設(shè)隨機變量X的概率密度為2

求EX和DXo

8.一汽車沿一街道行使，需要通過三個均沒有紅綠燈信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與

其他信號燈為紅或綠相互獨立，求紅或綠兩種信號燈顯示的時間相等。以X表示該汽車未

遇紅燈而連續(xù)通過的路口數(shù)。

求（1）X的概率分布；

(1

E

(2)U+x

四、證明題（共6分）

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。

證明：9=1-0名在區(qū)間（°，1）上，服從均勻分布。

試卷二

參考答案

一、填空

1.6

i：p{x=k}=i

由概率分布的性質(zhì)有A-1

123,

-+-+-=1

CCC,

得c=6O

1

2.3

X?3(2,p).則產(chǎn)｛工=燈=球"（1一力”估=0,1,2）

P{^>1}=1-P{Z=O}=1-(1-P)2

51

=—=p=—

93

3.0.5

???里?N(-l,4)

尸(X+l<0}=尸{X<-1}

=①[-1；!)=①(0)=0.5

1

4.2

???X~e(2)

EX=~,DX=-

24

則EX”=DXZEXY

11

=—l—

44

1

~2

5.0.25

由題設(shè)，可設(shè)y=smX

p{y=0}=p{SmZ=0}=P{Z=0}4-{sinZ=^]=0.2+0.3=0.5

7T

產(chǎn){y=l}=產(chǎn){sin星=1}=產(chǎn)jx=51=o.5

即

Y01

P0.50.5

則￡(r)=o.p{r=o}+ip{K=i}=o.5

S(r2)=02-P\Y=0}+l<P[Y=1}=0.5

D(y)=￡(y2)-(￡(r))2=0.5-0.52=0.25

二、單項選擇

1.(C)

由分布函數(shù)的性質(zhì)，知—(+00)=/(田)=舊(利=1

則a-b=\,經(jīng)驗證只有C滿足，;選C

2.⑶

由概率密度的性質(zhì)，有D(x"x=lNR/COSME=工=1

3.(⑷

8—犯

[p(x)dx=1=I2sinxdx=-cosxL2=1

由概率密度的性質(zhì)，有,Job

4.(B)

P(x)=p2^2x+1)^=p1e-PH-D]^(2x+1)=1

由密度函數(shù)的性質(zhì)，有Rj*25

5.(C)

丁=一亦是單減函數(shù)，其反函數(shù)為x=g(y)=_y,求導數(shù)得g'(y)=_i

;由公式，y=-x的密度為外⑶=。他?旭⑺卜十力

6.(D)

由已知X服從二項分布,則少X=%P(1—

又由方差的性質(zhì)知，D(2X-1)=4中(1-P)

7.(5)

乃服從N(。，4)

EX=。,DX=A

于是E[X[X-2)]=EX2-2EX=DX-2EX=4

1

p(x)="---e(-co<x<+co)

8.C4)由正態(tài)分布密度的定義，有‘

1

由今)=-j=e*(-co<x<+co)=?、

詬2，=4=>『=2

9.⑦

?.?豬月躡泊慚布，則EX=DX=A

如果以*DX時，只能選擇泊松分布.

10.(功

X為服從正態(tài)分布“(T,2),EX=-X

：.EQX-1)=-3

三、計算與應用題

1.解：

設(shè)X為抽取的次數(shù)

只有3個舊球，所以X的可能取值為：1，2，3,4

由古典概型，有

93

:.P{^=1}=—=-

i1124

p[X=2}=—x—=—

iJ121144

D"213299

-3)——x—x——-----

iJ121110220

t▼八32191

iJ1211109220

則

X1234

3991

P

4石220220

2.解：

設(shè)X表示同一時刻需用小吊車的人數(shù)，則X是一隨機變量，由題意有

6*

8=0,1,…，6)

,于是

^o=[5+l)p[=7*三=1P(X-k]

(1)X的最可能值為L5」，即才既率氣aF達到最大

的無o

(2)尸｛耽誤工作｝=網(wǎng)丫＞2｝=1-產(chǎn)｛星42｝

=1-￡7{工=，}

2-0

=1-云

1-0然)

=0.0989

3.解:

r-Ko--KoC

p(x)dx=1=—^dx=\

2

(1)由J-coeX可得C=100

(2)串聯(lián)線路正常工作的充要條件是每個元件都能正常工作，而這里三個元件的工作

是相互獨立的，因此，若用工表示“線路正常工作”，則

尸⑷=[尸(星＞150)了

而尸｛公咧化三公=|

以=300,cr=35

P{X>250}=l-P{Z<250}=1-<I>f2,°-3001

⑴I35)

=1-①卜3(???①(T)=l一①⑶)

>250}=1-(1-<1>(1.428))

=縱1.428)(查正態(tài)分布表)

=0.9236

(2)由題意

nr”Vi1不/300+a-3001f300-a-300

產(chǎn)(300—《<X<300+以}=①------------J―①1------------

=①信卜①卜？

二2①⑥7

=0.9

1+0.9…

①fe)=--------=0.95

即2查表得4=57.75。

5.解：

x=g(y)=；

/又對應的函數(shù)丁=€筋

y=單調(diào)增加，其反函數(shù)為,求導數(shù)得

式，)《,

1,l<x<2

Px(x)

其它

又由題設(shè)知0,

1

e2

&(y)=Px[g(y)]|g'(?)|=,2y

故由公式知：0,其它

6.解：

才

???X服從泊松分布尸(㈤，則產(chǎn)］工"}=看/住=0,12…)

苗EX=DX=&

由題設(shè)知EX2=2

即功+(因2=4+健=2

可得4=1

31

產(chǎn)(XN4)=1—尸(月<4)=1一X!小

故卜。為！

31

￡—0.981

查泊松分布表得,*-o上！

=1-0,981

=0.019

7.解:

由數(shù)學期望的定義知,取=匚中⑴辦［匚/以=。

EX2=J：/p(x)dx=；J：/e-%x=J：7?e~^dx=2

而

故DX=EX2-{EX^=2

8.解：

(1)X的可能取值為°，1，2,3且由題意，可得

1

F{X=0}I=-

111

產(chǎn)]丫=1}=-X-=-

224

1111

P[X=2}=—X—X—=—

2228

尸{X=3}=

(2)由離散型隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望，有

xP{^=0}+—xP{^=l}+—xP{^=2}+—xP{^=3}

1+X

22438

67

96

四、證明題

證明：

由已知工服從才徽分布e(2)則

又由y=l-e-2Z得y=l-e-2”連續(xù)，單調(diào)，存在反函數(shù)

…京(1-田且九,

當x>0時，ln(l-y)〈o則0。<1

故p?(y)=^[g(y)]o|sV)l

=，0,其它

即y服從(0」粕均勻分布L/(a1)

試卷三

一、填空(請將正確答案直接填在橫線上。每小題2分，共10分)

1.設(shè)二維隨機變量(X’，)的聯(lián)合分布律為，

Y

X

11

0—a

42

11

1b一

32

則a=b=

2.設(shè)隨機變量x和y相互獨立，其概率分布分別為,

X-11Y-11

1111

PP

2222

則尸｛工=門=

若隨機變量x與y相互獨立，且腳耐w（b9）,y服從N（z⑹,

3.

則x+y服從.分布.

4.已知x與y相互獨立同分布，且

X01

P0.10.9

則/（k）=.

5.設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望為瓦憶=%、方差=則由切比雪夫不等式有

P［\X-u\>2a｝

二、單項選擇（在每題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每

小題2分，共20分）

A

P(x,y)

若二維隨機變量（*'，）的聯(lián)合概率密度為(1+巧(1+力

1.

'沙>°）,則系數(shù)工=（

(x>0).

24

（心7T/

2

917T

設(shè)兩個相互獨立的隨機變量尤和y分別服從正態(tài)分布N（°’1）和兇0,1）,則下列結(jié)

2.

論正確的是（).

尸（￡+丫=0）=（p{^+r<i}=l

㈤

產(chǎn)｛星TV。｝毛（a>0）

（功

1

。（冗?。猠-2-

3.設(shè)隨機向量（才，方的聯(lián)合分布密度為2力"則（).

(⑷（/,Y）服從指數(shù)分布（5）￥與丫不獨立

（0Xg7相互獨立（功cov（/,與*0

設(shè)隨機變量與Y相互獨立且都服從區(qū)間［］上的均勻分布，則下列隨機變量中服從均

4.X0,1

句分布的有（).

(心](5)X+Y

GGM⑦X-Y

P(X=-1)=P(Y=—1)=

5.設(shè)隨機變量X與隨機變量P相互獨立且同分布，且

p(z=i)=p(y=i)=l

2,則下列各式中成立的是().

產(chǎn)(x=y)=4p(Y-Yy-\F(x+y=o)=：P{XY=X)=\

(42(。產(chǎn)(3-丫)一】(04(。)4

6.設(shè)隨機變量x，y的期望與方差都存在，則下列各式中成立的是().

(4E(X+Y)=EX+EY⑷E[XY}=EX-EY

?D[X+Y)=DX+DY(aD{XY)=DXDY

7.若隨機變量y是x的線性函數(shù)，￥="x+"(a>°)且隨機變量X存在數(shù)學期望與方差,

則X與￥的相關(guān)系數(shù)%=().

(aa⑵a2(00(91

8.設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，則隨機變量;？=x+y與，=x-y不相關(guān)的充票條件是

().

(心EX=EY

㈤EX2-{EXy"=EY2-{EY^

(?EX2+(EX)i=EY2+(EY^

(aEX2=EY2

9.設(shè)苞，匕，…，凡是正個相互獨立同分布的隨機變量，咯="，

0晶=4G=l,2「d)

_1?

x=~Xxip[\x-u\<3\

則對于ni-l，有U1J(

4

<A<-

9

(49%5

>-

>1-—-9

(09?

10.設(shè)…，X*，…，為獨立同分布隨機變量序列，且x(/=1,2,…)服從參數(shù)為人

<i>(x)=J*__g2di

的指數(shù)分布，正態(tài)分布〃(0,1)的密度函數(shù)為—J2",則().

4Nw-小

(A)hmPi”「——<x>=<3>(x)(B)hmP\'T廠—Sx\=<i>(x)

X

ZX-

(C)limP<------<x>=<i>(x)(D)limP<---------<x

?->8內(nèi)一nA

三、計算與應用題（每小題8分，共64分）

1.將2個球隨機地放入3個盒子，設(shè)x表示第一個盒子內(nèi)放入的球數(shù)，y表示有球的盒子

個數(shù).

求二維隨機變量（*'y）的聯(lián)合概率分布.

設(shè)二維隨機變量（￡，）的聯(lián)合概率密度為

x>0,y>0

p(x，y)=\

u,其它

(1)確定幺的值：

(2)求產(chǎn)｛0VX41>0?%2).

設(shè)（“'，）的聯(lián)合密度為

3.

<15x60cxey<1

P（x，y)=

o,其它

（1）求邊緣密度Px（x）和Py（?。?；

（2）判斷x與y是否相互獨立.

設(shè)出，）的聯(lián)合密度為

4.

1

x>1,y>l

p（x,y）=<表2

.0，其它

z=￡

求Y的概率密度.

設(shè)萬服從均勻分布皿Z4]y服從寸瞰分布e（2）,且X與y相互獨立

5.>

求（1）（名丫）的聯(lián)合概率密度；

⑵E（2X+4Y）；

⑶D（X-2Y）

設(shè)（區(qū)，）的聯(lián)合概率密度為

P（x,y）=<京卜+力0<x<2,0<y<2

0,其它

求cov（X,Y）及Pxi.

7.對敵人陣地進行100次炮擊。每次炮擊命中目標的炮彈的數(shù)學期望是4,標準差是1.5.

求100次炮擊中有380至420課炮彈命中目標的概率.

8.抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品數(shù)多于10個，則認為這批產(chǎn)品不能接受.

問應檢查多少個產(chǎn)品才能使次品率為10%的這批產(chǎn)品不被接受的概率達0.9.

四、證明題（共6分）

設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望存在，證明隨機變量X與任一常數(shù)匕的協(xié)方差是零.

試卷三

參考解答

一、填空

1,1

a=一，D——

1.46

由聯(lián)合分布律的性質(zhì)及聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系得

111

?——————

244

,111

b--------------

236

1

2.2

P[X=Y}=P{X=-1,y=—1}+尸]工=1,7=1}

N[3,25)

3.

方（吊+外，

,/相互獨立的正態(tài)變量之和仍服從正態(tài)分布彳+引

且5(X+y)=￡X+￡Y=l+2=3

D[X+Y)=DX+DY=9+\6=25

..X+丫口曾(3,25)

4.0.81

...虱XY)=EXxEY=(嘀

=(0x01+1x0.9)2

=0.81

<2

5.4

^P[\X-u\>2cr]<^

2

-4

二、單項選擇

1.（。

由匚［>（，，"誠=1n臺『沙

“汗汗”"4

Ax—x—=1—/A=—z-

即227T

.?.選擇⑻.

2.(B)

由題設(shè)可知，》+y1縱正態(tài)分布N(I>2)

故將X+P標準化得尸(X+FW1}

心)

二①⑼

-2

.，.選擇(用.

3.(6)

1_

?由p(xj)==e2知，k0,則cov(X,Y)=0

27r

故x,y相互獨立.

二選擇(0.

4.(。

隨機變量x與y相互獨立且都服從區(qū)間［o,1］上的均勻分布，則

fl,0<x,^<l

P(XJ)=Px(外燈⑶)=<0其它

選擇(0.

5.(4

■:產(chǎn)(X=r)=P{X=1)P(Y=1)+產(chǎn)(X=-l)P(K=-l)

11111

=—x—+—x—=—

22222

二選擇（4.

6.（心

?.?由期望的性質(zhì)知

E[X+Y）=EX+EY

選擇（4.'

7.（0

EXY-EXUEY,小

P=

XI4DX^4DY（）

_EX[aX-^b）-EXnE（aX+b）

4DXU^D{aX-^b）

aUDX

\a\DX

=1

，選擇(0.

8.㈤

E7=x+y與/=x_y不相關(guān)的充要條件是c°v(u,r)=o

即S[[X+Y)(X-Y)-]-E(X+Y)E(X-Y)=O

則EX2-{EX^=EY2-{EY^

：.選擇㈤.

9.(。

DX=，

'：n

呻-小33一竽

=l-±

9n

選擇(0.

10.(⑷

■:X；(/=1,2,…)服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，則

名4=＜，?！?=仃=』0=12…㈤

AA

￡x「nEX

lim"上——=—zL—4x：y(x)

i?crj福

選擇(4.

三、計算與應用題

1.解

顯然X的可能取值為°，L2；y的可能取值為1,2

注意到將2個球隨機的放入3個盒子共有32種放法，則有

YT2

『

巴X=O-y=-

y9

Y2I2

日

網(wǎng)XO-

=-尹=9,F(星=1,Y=l)=0

得

G□第

X1

-1Y=-4

3~9

P[X=2,Y=l}=5=[,P[X=2,Y=2}=0

即(x,y)的聯(lián)合分布律為

'12

Y

X

2.解

(D由概率密度的性質(zhì)有

匚口回隊力

=/17傘+%的

=可「產(chǎn)出『日的

=A-與廠產(chǎn)d(-3x)x(-4re"d(-4y)

A

"12

=1

可得工=12

⑵設(shè)入{(X，刃0&讓1，。=”2},則

P{O<^r<l,0<Y<2}=P[(X,K)eD)

="P(x，yyxdy

D

=1%-3到：4產(chǎn)力

=卜"3寸：/〃”

"-邙J

3.解

⑴PY(X)=J=P(x，y^y(0<x<l)

=，15X為力=-^-x2(1一，)

7、—x2(l-x2),0<x<1

Px(x)=|2')

即.°，其它

一式刃=1_8小加x(Q<7<1)

y

=J；15/ydx==5/

0

/、J5yt0

即打(加10.其它

(2)當o<X<1，0<1時

2151y(x,y)

故隨機變量x與y不相互獨立.

4.解

z=￡z=￡

先求Y的分布函數(shù)F(z)顯然,

隨機變量y的取值不會為負，因此

當zMO時,f(z)=，{ZMz}=0

F(z)=P[Z<z}=

當z>0時，P"

=f[P(x,加xdy

iZ

y

L力I沙然z21

=<

jr°力『-J2dx,0<z<1

zxy

1---,z>1

=<2z

—,0<z<1

2

z=￡

故Y的概率密度為

0,z<0

Pz(z)=,0<z<1

1

〔歹z>\

5.解

(1)x與y相互獨立

(x,，)的聯(lián)合密度為

二產(chǎn)，2<x<4,y>0

p(x，丁)=P*6)口外(切=\0,其它

⑵E{2X+4Y)=2EX+AEY

c2+4，1

=2x-----+4x-

22

=8

(3)D(X-2Y)=DX+4DY

44

—F-

124

_4

~3

6.解

r-?KKOr-K?2

EX

=JwJwyp^y

21,\

=北n切；*+。燦

2

=(【：功(gr+g/y)

0

128

=Jqr+21y)力

MM力

0

7

6

EX2=jJx,(x,y)dxdy

也M*x+型

=睜。/+//

2

=ifo^^x++5^

b

=S：(4+|力力

=：("+》)

86o

5

~3

c057

2、11

DX=EX-(EXY=-

于是336

EY=-

由對稱性6