新高考數(shù)學二輪復習重難點04 指、對、冪數(shù)比較大小問題【七大題型】（舉一反三）（解析版）

重難點04指、對、冪數(shù)比較大小問題【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用單調(diào)性比較大小】 2【題型2中間值法比較大小】 4【題型3作差法、作商法比較大小】 5【題型4構(gòu)造函數(shù)法比較大小】 7【題型5數(shù)形結(jié)合比較大小】 8【題型6含變量問題比較大小】 12【題型7放縮法比較大小】 14從近幾年的高考情況來看，指、對、冪數(shù)的大小比較問題是高考重點考查的內(nèi)容之一，是高考的熱點問題，主要以選擇題的形式考查，往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進行排序比較大小.這類問題的主要解法是利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象來求解，解題時要學會靈活的構(gòu)造函數(shù).【知識點1指、對、冪數(shù)比較大小的一般方法】1.單調(diào)性法：當兩個數(shù)都是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較，具體情況如下：①底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用指數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；②指數(shù)相同，底數(shù)不同時，如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用冪函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)性比較大?。虎鄣讛?shù)相同，真數(shù)不同時，如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用指數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)性比較大小.2.中間值法：當?shù)讛?shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同時，要比較多個數(shù)的大小，就需要尋找中間變量0、1或者其它能判斷大小關系的中間量，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，借助中間量進行大小關系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大??；(2)作差或作商的難點在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法.4.估算法：(1)估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；(2)可以對區(qū)間使用二分法(或利用指對轉(zhuǎn)化)尋找合適的中間值，借助中間值比較大小.5.構(gòu)造函數(shù)法：構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律，所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)來尋找規(guī)律，靈活的構(gòu)造函數(shù)來比較大小.6、放縮法：(1)對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；(2)指數(shù)和冪函數(shù)結(jié)合來放縮；(3)利用均值不等式的不等關系進行放縮.【題型1利用單調(diào)性比較大小】【例1】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知a=0.91.1,b=log1213,c=log132，則（A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．b>a>c【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a的范圍，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)以及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷b,c的范圍，即可得答案.【解答過程】因為y=0.9x為R上的單調(diào)減函數(shù)，y=log故0<0.9所以b>a>c,故選:D.【變式1-1】（2023·四川南充·模擬預測）已知a=252A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b【解題思路】由y=x25在0,+∞上遞增比較a，b，再由y=log【解答過程】因為y=x25在0,+所以2525又y=log25所以c=log所以c<a<b.故選：D.【變式1-2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知a=323，b=23A．c<a<b B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷b<a，c<a，再對b，c進行取對數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷c<b，進而即可得到答案．【解答過程】由a=323=9則b=814又log2b=log則log2c<log所以c<b<a．故選：D．【變式1-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知a=lnπ,b=log3π,c=A．b<a<c B．a(chǎn)<b<c C．c<b<a D．b<c<a【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質(zhì)求解.【解答過程】∵e<3<π，∴a=log∵a=ln下面比較π2與?2π的大小，構(gòu)造函數(shù)y=由指數(shù)函數(shù)y=2x與冪函數(shù)

當x∈(0,2)時，x2<2x由x=π∈(0,2)，故π2?<所以b<a<c，故選：A.【題型2中間值法比較大小】【例2】（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預測）已知a=6log23.4，b=6A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、中間值法以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出a、b、c的大小關系.【解答過程】因為log23.4>log又因為log2所以，log2所以，6log23.4故選：C.【變式2-1】（2023上·天津河東·高三校考階段練習）已知a=2?log23，b=2?log3A．c<a<b B．b<a<cC．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【解題思路】利用對數(shù)的性質(zhì)求得log23>3【解答過程】由log2由log34=log所以a=2?log23<故選：C.【變式2-2】（2023上·河南開封·高一?？茧A段練習）已知a=log132023,b=log20232024,c=2023?2024A．a(chǎn)>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>a>b【解題思路】利用函數(shù)單調(diào)性和中間值比較出大小.【解答過程】a=log故b>c>a.故選：B.【變式2-3】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知a=1.11.2,b=A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．c<a<b D．a(chǎn)<c<b【解題思路】利用中間值1.21.2比較a,b的大小，再讓b，c與中間值1.31比較，判斷b,【解答過程】a=1.11.2<1.21.2<1.2又1.20.1<1.30.1，所以故選：B.【題型3作差法、作商法比較大小】【例3】（2023·山東青島·統(tǒng)考模擬預測）已知x=log32，y=log43，z=342A．x>y>z B．y>x>z C．z>y>x D．y>z>x【解題思路】利用作差法結(jié)合基本不等式可得出x、y的大小關系，利用中間值45結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出y、z的大小關系，綜合可得出x、y、z【解答過程】因為35=243<256=44，所以，因為34所以，342>4因為y?x==ln32?ln故選：C.【變式3-1】（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知a=log169,b=A．b>a>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【解題思路】a=log43，b=log54，作商ab【解答過程】a=log169=ab=log43log5所以a<b，a=log所以b>a>c.故選：A.【變式3-2】（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考模擬預測）若a=ln22，b=ln3A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b【解題思路】利用作差法，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)y=lnx的單調(diào)性分別判斷a,b和a,c的大小關系，即可判斷出【解答過程】因為b?a=ln33又因為c?a=ln55綜上所述：c<a<b.故選：C.【變式3-3】（2023·全國·模擬預測）已知a=log8.14，b=log3.1A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．c<a<b D．b<c<a【解題思路】先證明b>0,c>0，利用比商法結(jié)合基本不等式證明c<b，再根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)證明a<c即可得結(jié)論.【解答過程】因為b=log3.1e所以cb又e2≈7.389，所以6.51<所以cb<1，故因為a=log又e2≈7.389，所以8.1>e所以a<ln2，又所以a<c，所以a<c<b，故選：A.【題型4構(gòu)造函數(shù)法比較大小】【例4】（2023·福建寧德·?？寄M預測）記a=eπ，b=π+1，A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．a(chǎn)<c<b【解題思路】構(gòu)造函數(shù)fx=ex?x?1【解答過程】設fx=ex?x?1則fx在0,+∞上單調(diào)遞增，則fπ=eπ?b=πc=lnπe+2<則c<b<a.故選：B.【變式4-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預測）已知實數(shù)a,b,c滿足a2+logA．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a【解題思路】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定正確答案.【解答過程】設f(x)=x2+log2又f12=?設g(x)=12023x?log又g(1)=12023>0,g(2023)=12023因為c=log76綜上可知，c<a<b.故選：B.【變式4-2】（2023·全國·模擬預測）已知a=log0.090.18，b=6.2?A．a(chǎn)<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．a(chǎn)<c<b【解題思路】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得1>a>12，利用分母有理化判斷得b<1【解答過程】由0.09<0.18<0.3，可得log0.090.09>log而b=6.2設f(x)=lnx+1所以f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，所以f89>f(1)=1所以b<a<c．故選：C．【變式4-3】（2023·全國·模擬預測）設a=0.2ln10，b=0.99，c=0.9eA．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b【解題思路】構(gòu)造f(x)=x?1x?2【解答過程】a=0.2ln10=0.2ln10.1取x=0.1，則a=?2xlnx，b=1?x設f(x)=x?1x?2所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，則x?1x?2lnx<0令g(x)=ex?x?1(0<x<1)所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，則g(x)>g(0)?所以(1?x)ex>1?所以a<b<c．故選：A.【題型5數(shù)形結(jié)合比較大小】【例5】（2022·廣東茂名·統(tǒng)考一模）已知x,y,z均為大于0的實數(shù)，且2x=3y=A．x>y>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x【解題思路】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x,y=【解答過程】解：因為x,y,z均為大于0的實數(shù)，所以2x進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x,y=故作出函數(shù)圖像，如圖，由圖可知z>x>y故選：C.【變式5-1】（2023上·四川·高三校聯(lián)考階段練習）已知a+log2a=4,b+A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>c C．b>c>a D．c>a>b【解題思路】a,c的比較利用零點存在性定理求解零點所在區(qū)間，b,c的比較則轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標大小比較，數(shù)形結(jié)合由圖可知.【解答過程】由題意知，a是函數(shù)f(x)=x+log因為f5由522=且f(3)=log由零點存在性定理知，a∈5由題意知，c是函數(shù)g(x)=x+log因為g5且g(2)=log由零點存在性定理知，c∈2,故a>c，由b+log得log3作出函數(shù)y=3?x,y=log如圖所示，數(shù)形結(jié)合由圖可知c>b．綜上，a>c>b.故選：A.【變式5-2】（2023上·廣東江門·高一統(tǒng)考期末）已知fx=12x?x?2，gx=log12x?x?2，?x=xA．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c【解題思路】將函數(shù)的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=x+2的圖象分別與函數(shù)y=12x、y=【解答過程】解：函數(shù)fx=12x即為函數(shù)y=x+2分別與函數(shù)y=12x、y=如圖所示：由圖可得a<b<c.故選：B.【變式5-3】（2022·河南·統(tǒng)考一模）已知a=eπ,b=A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b【解題思路】構(gòu)造函數(shù)fx=lnxx,x>0，利用導數(shù)法研究單調(diào)性，并利用單調(diào)性可比較a,b【解答過程】令fx=ln由f′x>0，解得0<x<e，由所以fx=lnxx因為π>所以fπ<fe所以elnπ<πl(wèi)ne，所以又y=ln所以πe<e2eπ在同一坐標系中作出y=2x與由圖象可知在2,4中恒有x>2又2<π<4，所以又y=xe在0,+所以πe>2綜上可知：c<b<a，故選：A.【題型6含變量問題比較大小】【例6】（2022上·江西吉安·高三統(tǒng)考期末）已知實數(shù)a，b，c，滿足lnb=ea=c，則a，b，A．a(chǎn)>b>c B．c>b>aC．b>c>a D．a(chǎn)>c>b【解題思路】構(gòu)造函數(shù)f(x)=e【解答過程】解：設f(x)=ex?x當x<0時，f′x<0，當x>0所以f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在所以f(x)min=f(0)=1>0所以c=ea>a所以b=e所以b>c>a.故選：C．【變式6-1】（2022上·湖北·高三校聯(lián)考開學考試）已知a,b,c均為不等于1的正實數(shù)，且lnc=alnb,lna=bA．c>a>b B．b>c>aC．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b【解題思路】分析可知，lna、lnb、lnc同號，分a、b、c∈0,1和a、b、c∈1,+∞兩種情況討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出【解答過程】∵lnc=alnb,lna=blnc且則lnc與lnb同號，lnc與lna同號，從而lna①若a、b、c∈0,1，則lna、lnblna=blnc>lnc，可得a>c，ln②若a、b、c∈1,+∞，則lna、lnlna=blnc>lnc，可得a>c，ln綜上所述，a>c>b.故選：D.【變式6-2】（2022上·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a，b，c滿足ec+e?2a=ea+e?c，b=logA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解題思路】根據(jù)ec+e?2a=ea+e?c可得ec?e?c=ea?e?2a，由此可構(gòu)造函數(shù)fx=ex?【解答過程】ec故令fx=ex?易知y=?e?x=?1ex和y=e∵e?2a<e?a，故由題可知，ec易知b=log23+作出函數(shù)y=log2x則兩圖象交點橫坐標在1,2內(nèi)，即1<c<2，∴c<b，∴a<c<b．故選：B．【變式6-3】（2023上·遼寧丹東·高三統(tǒng)考期末）設m>1，logma=mb=c，若a，bA．a(chǎn)>1 B．c≠e C．b<c<a D．【解題思路】由logma>0，可解得a>1，可判斷A；當c=e時，取m=e1e>1，可得a=b=c，不滿足a，b，c【解答過程】由mb=c>0，可得logma>0，因為當c=e時，logma=mb故a=b=c，不滿足a，b，c互不相等，所以c≠e因為m>1，logm可將a,b,c看成函數(shù)y=logmx,y=當m=1.1時，圖象如下圖，可得：a<c<b，此時(c?b)(c?a)<0.當m=3時，圖象如下圖，可得：b<c<a，此時(c?b)(c?a)<0，所以C不正確，D正確；故選：ABD.【題型7放縮法比較大小】【例7】（2023·全國·模擬預測）已知a=log2π，b=ln4A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【解題思路】應用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及放縮法對a,b,c進行估值即可判斷.【解答過程】a=log2π<logb=ln4=1+ln由c=0.6?1.5可得c2=0.6?3=故選：C.【變式7-1】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考階段練習）已知a=19?17A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【解題思路】采用放縮法和中間值比較大小，得到a<b<c.【解答過程】因為a=19b=6?3c=log所以a<b<c.故選：A.【變式7-2】（2023上·江蘇泰州·高一泰州中學?？计谥校┮阎齻€互不相等的正數(shù)a,b,c滿足a=e23,b=log23+A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．c<a【解題思路】由對數(shù)函數(shù)和指冪函數(shù)的單調(diào)性和運算性質(zhì)放縮，再加上基本不等式求解即可.【解答過程】因為a=e2所以根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得e2因為a,b,c都是正數(shù)，b=log23+ca因為fx=ln作出y=ln2a+1和y=ln5a的圖像，如圖可得，當a=2時，兩函數(shù)值相等；

故a<c<b，故選：B.【變式7-3】（2023上·福建漳州·高一?？计谥校┰Oa=0.712023，b=12023A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．b>c>a【解題思路】由lna=12023ln0.7，ln【解答過程】由lna=12023ln0.7，ln故只需比較ln0.70.7,ln120231所以y=lnxx在(0,1)上遞增，而7所以lna=12023ln0.7>又a=0.712023所以c>1>a>b.故選：A.1．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若a=1.010.5,b=1.010.6A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>b>c D．b>a>c【解題思路】根據(jù)對應冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關系即可.【解答過程】由y=1.01x在R上遞增，則由y=x0.5在[0,+∞所以b>a>c.故選：D.2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知a=20.7，b=(13A．a(chǎn)>c>b B．b>c>a C．a(chǎn)>b>c D．c>a>b【解題思路】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出a、b、c的大小關系.【解答過程】因為20.7>(故選：C.3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設a=0.1e0.1,b=A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b【解題思路】構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(1+x)?x，導數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定【解答過程】方法一：構(gòu)造法設f(x)=ln(1+x)?x(x>?1)，因為當x∈(?1,0)時，f′(x)>0，當x∈(0,+∞所以函數(shù)f(x)=ln(1+x)?x在(0,+∞所以f(19)<f(0)=0，所以ln109所以f(?110)<f(0)=0，所以ln910故a<b，設g(x)=xex+令?(x)=ex(當0<x<2?1時，?′當2?1<x<1時，?′(x)>0又?(0)=0，所以當0<x<2?1時，所以當0<x<2?1時，g′所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1故選：C.方法二：比較法解：a=0.1e0.1，b=0.1①lna?令f(x)=x+ln則f′(x)=1?1故f(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞減，可得f(0.1)<f(0)=0，即lna?lnb<0②a?c=0.1e令g(x)=xe則g'(x)=xe令k(x)=(1+x)(1?x)ex?1所以k(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得k(x)>k(0)>0，即g′(x)>0，所以g(x)在(0,0.1]上單調(diào)遞增，可得g(0.1)>g(0)=0，即a?c>0，所以a>c.故c<a<b.故選：C.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx=e?(x?1)A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解題思路】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【解答過程】令g(x)=?(x?1)2，則g(x)開口向下，對稱軸為因為62?1?1?所以62?1?由二次函數(shù)性質(zhì)知g(6因為62?1?1?即62?1<1?2綜上，g(2又y=ex為增函數(shù)，故a<c<b，即故選：A.5．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設a=log20.3,b=log120.4,c=0.40.3A．a(chǎn)<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a(chǎn)<c<b【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函