新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題4.3 正弦定理和余弦定理【八大題型】（舉一反三）（原卷版）

專題4.3正弦定理和余弦定理【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】 3【題型2正、余弦定理判定三角形形狀】 4【題型3正弦定理判定三角形解的個數(shù)】 4【題型4證明三角形中的恒等式或不等式】 5【題型5求三角形（四邊形）的面積】 6【題型6求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】 8【題型7距離、高度、角度測量問題】 9【題型8正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用】 111、正弦定理、余弦定理解三角形正弦定理、余弦定理解三角形是高考的熱點內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，正弦定理、余弦定理在選擇題、填空題中考查較多，也會出現(xiàn)在解答題中，在高考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大多數(shù)為較易題、中檔題.對于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用；二是考查正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應(yīng)用，有時也會與三角函數(shù)、平面向量等知識綜合命題，需要學(xué)生靈活求解.【知識點1解三角形幾類問題的解題思路】1.正弦定理、余弦定理解三角形的兩大作用SKIPIF1<0(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素。(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.2.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制.3.對三角形解的個數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0>1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0；

②若SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0=1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；

③若SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0<1，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2.

顯然由0<SKIPIF1<0B=SKIPIF1<0<1可得B有兩個值，一個大于SKIPIF1<0，一個小于SKIPIF1<0，考慮到“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于SKIPIF1<0”等，此時需進(jìn)行討論.4.與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.【知識點2測量問題的基本類型和解決思路】1．測量問題1.測量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長度不可直接測量時，求AB的距離有以下三種類型：類型簡圖計算方法A,B間不可達(dá)也不可視測得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得SKIPIF1<0B,C與點A可視但不可達(dá)測得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+C)，由正弦定理得SKIPIF1<0C,D與點A,B均可視不可達(dá)測得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數(shù).在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.2.測量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測量時，求AB的高度有以下三種類型：類型簡圖計算方法底部

可達(dá)測得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達(dá)點B與C,D共線測得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數(shù).

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點B與C,D不共線測得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數(shù).

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.3.測量角度問題的解決方案測量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】【例1】（2023·江西上饒·統(tǒng)考二模）在△ABC中，∠C的角平分線交AB于點D，∠B=π6，BC=33，AB=3，則CD=（

）A．362 B．32 C．【變式1-1】（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）在△ABC中，若2cos2A?cosA=2A．π6 B．π3 C．2【變式1-2】（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）在ΔABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=1，c=23，bsinA=asinπ3A．37 B．217 C．21【變式1-3】（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）△ABC是單位圓的內(nèi)接三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2+b2?A．2 B．22 C．3【題型2\t"/gzsx/zsd28612/_blank"\o"向量坐標(biāo)的線性運算解決幾何問題"】【例2】（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）在△ABC中，若a=2bcosC，則△ABC一定是（A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰三角形【變式2-1】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在△ABC中內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若a2b2=sinA．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【變式2-2】（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）在△ABC中，D是BC邊的中點，且AB=3，AC=2，AD=3，則△ABC的形狀為（

A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．無法確定【變式2-3】（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）在△ABC和△A1B1C1中，若cosA=A．△ABC與△AB．△ABC與△AC．△ABC是鈍角三角形，△AD．△ABC是銳角三角形，△A【題型3\t"/gzsx/zj168410/_blank"\o"正弦定理判定三角形解的個數(shù)"正弦定理判定三角形解的個數(shù)】【例3】（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預(yù)測）在△ABC中，cosA=1213，sinB=m，若角C有唯一解，則實數(shù)A．513,1 B．513,1【變式3-1】（2023下·河南開封·高一校聯(lián)考期末）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=22,b=4,A=πA．無解 B．有一解C．有兩解 D．解的個數(shù)不確定【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，不解三角形，確定下列判斷正確的是（

）A．B=60°，c=4，b=5，有兩解 B．B=60°，c=4，b=3.9，有一解C．B=60°，c=4，b=3，有一解 D．B=60°，c=4，b=2，無解【變式3-3】（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c，A=60°，a=3.若這個三角形有兩解，則b的取值范圍是（

A．3<b≤2 B．C．1<b<23 D．【題型4\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"證明三角形中的恒等式或不等式"證明三角形中的恒等式或不等式】【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，23(1)求B的大小；(2)若3a+c=2b，證明：【變式4-1】（2023下·北京·高一校考期中）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且c?ba(1)求角C的大??；(2)CD為△ACB的內(nèi)角平分線，且CD與直線AB交于點D.（i）求證:ADBD（ii）若a=2，c=19，求CD【變式4-2】（2023·高一課時練習(xí)）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．(1)證明：PBsin(2)若∠ABC=90°，AB=BC=1，求【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC的外心為O，M,N為線段AB,AC上的兩點，且O恰為MN中點.(1)證明：|AM|?|MB|=|AN|?|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S【題型5求三角形（四邊形）的面積】【例5】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）在△ABC中，設(shè)A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足ccos(1)求角C；(2)若c=5,△ABC的內(nèi)切圓半徑r=34，求【變式5-1】（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知△ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C，其對邊分別為a、b、c，若2c?ab(1)求角B的值；(2)若b=2，求△ABC面積S的最大值．【變式5-2】（2023·江西·校聯(lián)考二模）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知sinA(1)求角C；(2)若△ABC為銳角三角形，且b=2，求△ABC面積的取值范圍.【變式5-3】（2023·河北邢臺·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且2bcos

(1)求B；(2)如圖，D,B在AC的兩側(cè)，b2=ac且AD=CD=2，求四邊形【題型6\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍"求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】【例6】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知△ABC為銳角三角形，其內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cosB=(1)求ba(2)若a=1，求△ABC周長的取值范圍.【變式6-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin2(1)求角B的值．(2)求a+c2b【變式6-2】（2023·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a+csin(1)求角A的大??；(2)若△ABC的面積為43，求△ABC周長l【變式6-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）從①2sinB=2sinAcosC+sinC，②在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且______．(1)求角A的大??；(2)若4sinB=bsin注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【題型7距離、高度、角度測量問題】【例7】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東30°相距6+2海里的B處有一艘走私船，正沿東偏南45°的方向以3海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以22海里/小時的速度沿著正東方向直線追去，1小時后，巡邏艇到達(dá)C處，走私船到達(dá)D處，此時走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇，立即改變航向，以原速向正東方向逃竄，巡邏艇立即加速以3(1)當(dāng)走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距多少海里(2)問巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追，才能最快追上走私船【變式7-1】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測）汾陽文峰塔建于明末清初，位于山西省汾陽市城區(qū)以東2公里的建昌村，該塔共十三層，雄偉挺拔，高度位于中國磚結(jié)構(gòu)古塔之首.如圖，某測繪小組為了測量汾陽文峰塔的實際高度AB，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的三個測量基點C，D，E，現(xiàn)測得∠BCD=30°，∠BDC=70°，∠BED=120°，BE=17.2m，DE=10.32m，在點C測得塔頂A的仰角為62°.參考數(shù)據(jù)：取tan62°=1.88，sin

(1)求BD；(2)求塔高AB（結(jié)果精確到1m）.【變式7-2】（2023下·河南濮陽·高一濮陽一高?？茧A段練習(xí)）某海域的東西方向上分別有A，B兩個觀測點（如圖），它們相距256海里．現(xiàn)有一艘輪船在D點發(fā)出求救信號，經(jīng)探測得知D點位于A點北偏東45°，B點北偏西75°，這時位于B點南偏西45°且與

(1)求B點到D點的距離BD；(2)若命令C處的救援船立即前往D點營救，求該救援船到達(dá)D點需要的時間．【變式7-3】（2023下·上海寶山·高二校考期中）某校學(xué)生利用解三角形有關(guān)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)實踐活動.A處有一棟大樓，某學(xué)生選（與A在同一水平面的）B?C兩處作為測量點，測得BC的距離為50m，∠ABC=45°，∠BCA=105°，在C處測得大樓樓頂D的仰角α

(1)求A,C兩點間的距離；(2)求大樓的高度.（第（2）問不計測量儀的高度，計算結(jié)果精確到1m）【題型8\t"/gzsx/zj168411/_blank"\o"正余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用"正、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合應(yīng)用】【例8】（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)fx=3(1)求fx(2)若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且a=3，fA2=2，求【變式8-1】（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=23(1)求函數(shù)y=log(2)已知銳角△ABC的三個內(nèi)角分別為A，B，C，若fA2=0【變式8-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)y=fx(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足a2?b【變式8-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinx?π6+m，將y=fx的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2，縱坐標(biāo)不變，再向左平移π（1）求m的值；（2）在銳角△ABC中，若gC2=1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）在△ABC中，(a+c)(sinA?sinC)=b(sinA．π6 B．π3 C．22