高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.2成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析(精講)(原卷版+解析)

9.2成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析【題型解讀】【知識(shí)必備】1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．(3)|r|≤1；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．3．一元線性回歸模型(1)我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))(2)殘差：觀測值減去預(yù)測值，稱為殘差．4．列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)計(jì)算隨機(jī)變量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【題型精講】【題型一成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性】必備技巧判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)．(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，負(fù)相關(guān)例1(2023·全國·高三專題練習(xí)）某統(tǒng)計(jì)部門對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A． B． C． D．例2(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)【跟蹤精練】1.(2023·青島高三月考）對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.8995，對兩個(gè)變量u，v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r2＝﹣0.9568，則下列判斷正確的是（）A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)2.(2023·濟(jì)南高三期末）(多選)下列有關(guān)經(jīng)驗(yàn)回歸分析的說法中正確的有()A．經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線C．當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)D．如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越弱，則|r|就越接近于0【題型二相關(guān)系數(shù)求解】例3(2023·四川·成都七中高三階段練習(xí)）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：頭），并計(jì)算得，，，，.(1)估計(jì)該地區(qū)這種野生動(dòng)物的數(shù)量；(2)求樣本的相關(guān)系數(shù).（精確到0.01）【跟蹤精練】1.(2023·黑龍江·佳木斯一中三模）某網(wǎng)絡(luò)電視劇已開播一段時(shí)間，其每日播放量有如下統(tǒng)計(jì)表：開播天數(shù)x（單位：天）12345當(dāng)天播放量y（單位：百萬次）335910(1)請用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)假設(shè)開播后的兩周內(nèi)（除前5天），當(dāng)天播放量y與開播天數(shù)x服從（1）中的線性關(guān)系.若每百萬播放量可為制作方帶來0.7萬元的收益，且每開播一天需支出1萬元的廣告費(fèi)，估計(jì)制作方在該劇開播兩周內(nèi)獲得的利潤.參考公式：，，.參考數(shù)據(jù)：xiyi＝110，＝55，＝224，≈10.5.注：①一般地，相關(guān)系數(shù)r的絕對值在0.95以上（含0.95）認(rèn)為線性相關(guān)性較強(qiáng)；否則，線性相關(guān)性較弱.②利潤＝收益－廣告費(fèi).【題型三線性回歸方程】方法技巧求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟例4(2023·全國高三專題練習(xí)）對某位同學(xué)5次體育測試的成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如下表格：第x次12345測試成績y3940484850根據(jù)上表，可得y關(guān)于x的線性回歸方程為，下列結(jié)論不正確的是（）A．B．這5次測試成績的方差為20.8C．y與x的線性相關(guān)系數(shù)D．預(yù)測第6次體育測試的成績約為54例5(2023·廣東深圳市·高三二模）重慶位于北半球亞熱帶內(nèi)陸地區(qū)，其氣候特征恰如幾句俗諺：春早氣溫不穩(wěn)定，夏長酷熱多伏旱，秋涼綿綿陰雨天，冬暖少雪云霧多．尤其是10月份，晝夜溫差很大，某數(shù)學(xué)興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了2021年10月某六天的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期第一日第三日第五日第四日第二日第六日晝夜溫差（℃）47891214就診人數(shù)（個(gè)）其中：，，2，3，4，5，6，參考數(shù)據(jù)：，，．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可以認(rèn)為與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)系數(shù)，請用最小二乘法求出線性回歸方程（，用分?jǐn)?shù)表示）；(2)分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：第六日就診人數(shù)，第一日就診患者中有3個(gè)小孩，其他患者全是大人，現(xiàn)隨機(jī)的從第一日所有就診患者中選出2人，若2人中至少有一個(gè)小孩的概率為；①求的值；②若，求，，，的值（只寫結(jié)果，不要求過程）．（參考公式：，，）【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）對于數(shù)據(jù)組，如果由線性回歸方程得到的對應(yīng)于自變量的估計(jì)值是，那么將稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差．某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：34562.534根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的線性回歸方程為，據(jù)此計(jì)算出樣本點(diǎn)（4，3）處的殘差為－0.15，則表中的值為（

）A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.52.(2023·全國·高三專題練習(xí)）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn)．某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產(chǎn)品收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：研發(fā)投入x（億元）12345產(chǎn)品收益y（億元）3791011(1)計(jì)算x，y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益．參考數(shù)據(jù)：，，．附：相關(guān)系數(shù)公式：，回歸直線方程的斜率，截距．【題型四非線性回歸方程】例6(2023·浙江高三專題練習(xí)）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，下表為2017－2021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年－2021年對應(yīng)的代碼依次為1－5．年份代碼x12345市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36參考數(shù)據(jù)：，，，其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（，的值精確到0.01）；（2）已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率為p，現(xiàn)從中國在線直播購物用戶中隨機(jī)抽取4人，記這4人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為X，若，求X的分布列與期望．例7(2023·四川成都·高三月考）年月底，為嚴(yán)防新型冠狀病毒疫情擴(kuò)散，有效切斷病毒傳播途徑，堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢頭，確保人民群眾生命安全和身體健康，多地相繼做出了封城決定.某地在月日至日累計(jì)確診人數(shù)如下表：日期（月）日日日日日日日人數(shù)（人）由上述表格得到如散點(diǎn)圖（月日為封城第一天）.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與（，均為大于的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為累計(jì)確診人數(shù)與封城后的天數(shù)的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；并根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)求出回歸方程；（2）隨著更多的醫(yī)護(hù)人員投入疫情的研究，月日武漢影像科醫(yī)生提出存在大量核酸檢測呈陰性（陽性則確診），但觀其肺片具有明顯病變，這一提議引起了廣泛的關(guān)注，月日武漢疾控中心接收了份血液樣本，假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽性樣本的概率為，核酸試劑能把陽性樣本檢測出陽性結(jié)果的概率是（核酸檢測存在陽性樣本檢測不出來的情況，但不會(huì)把陰性檢測呈陽性），求這份樣本中檢測呈陽性的份數(shù)的期望.參考數(shù)據(jù)：其中，，參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【題型精練】1.(2023·四川成都·高三月考）當(dāng)前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表年份20172018201920202021編號(hào)x12345企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個(gè)）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)），哪一個(gè)回歸方程類型適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程；(2)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進(jìn)行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率．參考數(shù)據(jù)：，，，（其中）．附：樣本的最小二乘法估計(jì)公式為，．2.(2023·山東青島·二模）某企業(yè)為加強(qiáng)科研創(chuàng)新，加大研發(fā)資金的投入，新研發(fā)了一種產(chǎn)品.該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本由直接生產(chǎn)成本（如原料?工人工資?機(jī)器設(shè)備折舊等）和間接生產(chǎn)成本（如物料消耗?管理人員工資?車間房屋折舊等）組成.該產(chǎn)品的間接生產(chǎn)成本y（萬元）與該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量x（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)并對數(shù)據(jù)作初步處理，得到散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.3.513.241.8117.51.4619.95.84表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適合作為間接生產(chǎn)成本y與該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測生產(chǎn)9千件產(chǎn)品時(shí)，間接生產(chǎn)成本是多少萬元；(3)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，該企業(yè)在生產(chǎn)過程中對生產(chǎn)的每件產(chǎn)品均進(jìn)行五個(gè)環(huán)節(jié)的質(zhì)量檢測，若檢測出不合格產(chǎn)品，則需在未進(jìn)入下一環(huán)節(jié)前立即修復(fù)（修復(fù)后再進(jìn)入下一環(huán)節(jié)），已知每個(gè)環(huán)節(jié)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)環(huán)節(jié)產(chǎn)品檢測的合格率均為98%，各環(huán)節(jié)中不合格的一件產(chǎn)品所需的修復(fù)費(fèi)用均為100元，求一件產(chǎn)品需修復(fù)的平均費(fèi)用.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【題型五獨(dú)立性檢驗(yàn)】例8(2023·浙江高三專題練習(xí)）根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)下面給出的臨界值表，0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879可知下列判斷中正確的是（

）A．有95%的把握認(rèn)為變量x與y獨(dú)立B．有95%的把握認(rèn)為變量x與y不獨(dú)立C．變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%D．變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%例9(2023·四川成都·高三月考）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告(2023）》顯示，北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會(huì)贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長的營銷方式．為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)1720線上銷售時(shí)間不足8小時(shí)合計(jì)45(1)請完成上面的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為贊助企業(yè)每天的銷售額與每天線上銷售時(shí)間有關(guān)？(2)按銷售額在上述贊助企業(yè)中采用分層抽樣方法抽取5家企業(yè)．在銷售額不足30萬元的企業(yè)中抽取時(shí)，記“抽到線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)數(shù)”為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參考公式：，其中．【題型精練】1.(2023·四川成都·高三月考）在某大學(xué)一食品超市，隨機(jī)詢問了70名不同性別的大學(xué)生在購買食物時(shí)是否查看營養(yǎng)說明，得到如下的列聯(lián)表：

女男總計(jì)要查看營養(yǎng)說明152540不查看營養(yǎng)說明201030總計(jì)353570附：，其中．0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，則下列說法正確的是（）．A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為該校大學(xué)生在購買食物時(shí)要查看營養(yǎng)說明的人數(shù)中男生人數(shù)更多B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為該校女大學(xué)生在購買食物時(shí)要查看營養(yǎng)說明的人數(shù)與不查看營養(yǎng)說明的人數(shù)比為C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān)系D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為性別與是否查看營養(yǎng)說明有關(guān)系2.(2023·山東青島·二模）電子郵件是一種用電子手段提供信息交換的通信方式，是互聯(lián)網(wǎng)應(yīng)用最廣的服務(wù).我們在使用電子郵件時(shí)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：中國人的郵箱名稱里含有數(shù)字的比較多，而外國人郵箱名稱里含有數(shù)字的比較少.為了研究郵箱名稱里含有數(shù)字是否與國籍有關(guān)，隨機(jī)調(diào)取了40個(gè)郵箱名稱，得到如下2×2列聯(lián)表：中國人外國人總計(jì)郵箱名稱里有數(shù)字15520郵箱名稱里無數(shù)字51520總計(jì)202040（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“郵箱名稱里含有數(shù)字與國籍”是否有關(guān)？（2）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率.在中國人郵箱名稱里和外國人郵箱名稱里各隨機(jī)抽取6個(gè)郵箱名稱，記“6個(gè)中國人郵箱名稱里恰有3個(gè)含有數(shù)字”的概率為，“6個(gè)外國人郵箱名稱里恰有3個(gè)含有數(shù)字”的概率為，試比較與的大小.參考公式和數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8289.2成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析【題型解讀】【知識(shí)必備】1．變量的相關(guān)關(guān)系(1)相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)關(guān)系的分類：正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．(3)線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．2．樣本相關(guān)系數(shù)(1)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)).(2)當(dāng)r>0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．(3)|r|≤1；當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r|越接近0時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱．3．一元線性回歸模型(1)我們將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，,\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x).))(2)殘差：觀測值減去預(yù)測值，稱為殘差．4．列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d(2)計(jì)算隨機(jī)變量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【題型精講】【題型一成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性】必備技巧判定兩個(gè)變量相關(guān)性的方法(1)畫散點(diǎn)圖：點(diǎn)的分布從左下角到右上角，兩個(gè)變量正相關(guān)；點(diǎn)的分布從左上角到右下角，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．(2)樣本相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，負(fù)相關(guān)；|r|越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)．(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程：當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))>0時(shí)，正相關(guān)；當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))<0時(shí)，負(fù)相關(guān)例1(2023·全國·高三專題練習(xí)）某統(tǒng)計(jì)部門對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A． B． C． D．答案：C【解析】由圖可知：所對應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且對應(yīng)的相關(guān)性比對應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng)，故，所對應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點(diǎn)的分布情況可知,因此，故選：C例2(2023·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高三階段練習(xí)）已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)答案：C【解析】因?yàn)閥＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負(fù)相關(guān)．因?yàn)閥與z正相關(guān)，可設(shè)z＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))＞0，則z＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.1eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))，故x與z負(fù)相關(guān)．【跟蹤精練】1.(2023·青島高三月考）對兩個(gè)變量x，y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r1＝0.8995，對兩個(gè)變量u，v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)r2＝﹣0.9568，則下列判斷正確的是（）A．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

C．變量x與y正相關(guān)，變量u與v負(fù)相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量u與v正相關(guān)，變量u與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)答案：C【解析】依題意：，所以正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，，所以的線性相關(guān)性較強(qiáng).故選：C2.(2023·濟(jì)南高三期末）(多選)下列有關(guān)經(jīng)驗(yàn)回歸分析的說法中正確的有()A．經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．經(jīng)驗(yàn)回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線C．當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)D．如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越弱，則|r|就越接近于0答案：ACD【解析】對于A，經(jīng)驗(yàn)回歸直線必過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，故A正確；對于B，經(jīng)驗(yàn)回歸直線在散點(diǎn)圖中可能不經(jīng)過任一樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，故B不正確；對于C，當(dāng)樣本相關(guān)系數(shù)r>0時(shí)，則兩個(gè)變量正相關(guān)，故C正確；對于D，如果兩個(gè)變量的相關(guān)性越弱，則|r|就越接近于0，故D正確．【題型二相關(guān)系數(shù)求解】例3(2023·四川·成都七中高三階段練習(xí)）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量（單位：頭），并計(jì)算得，，，，.(1)估計(jì)該地區(qū)這種野生動(dòng)物的數(shù)量；(2)求樣本的相關(guān)系數(shù).（精確到0.01）【解析】（1）由已知得樣本平均數(shù)，從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為.（2）由，，，可得樣本的相關(guān)系數(shù)為.【跟蹤精練】1.(2023·黑龍江·佳木斯一中三模）某網(wǎng)絡(luò)電視劇已開播一段時(shí)間，其每日播放量有如下統(tǒng)計(jì)表：開播天數(shù)x（單位：天）12345當(dāng)天播放量y（單位：百萬次）335910(1)請用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)假設(shè)開播后的兩周內(nèi)（除前5天），當(dāng)天播放量y與開播天數(shù)x服從（1）中的線性關(guān)系.若每百萬播放量可為制作方帶來0.7萬元的收益，且每開播一天需支出1萬元的廣告費(fèi)，估計(jì)制作方在該劇開播兩周內(nèi)獲得的利潤.參考公式：，，.參考數(shù)據(jù)：xiyi＝110，＝55，＝224，≈10.5.注：①一般地，相關(guān)系數(shù)r的絕對值在0.95以上（含0.95）認(rèn)為線性相關(guān)性較強(qiáng)；否則，線性相關(guān)性較弱.②利潤＝收益－廣告費(fèi).【解析】（1）由題得.所以.所以.所以線性回歸方程為.相關(guān)系數(shù)，所以每日的播放量和開播天數(shù)線性相關(guān)性較強(qiáng).（2）設(shè)利潤為，則所以估計(jì)制作方在該劇開播兩周內(nèi)獲得的利潤為萬元..答：估計(jì)制作方在該劇開播兩周內(nèi)獲得的利潤為萬元.【題型三線性回歸方程】方法技巧求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟例4(2023·全國高三專題練習(xí)）對某位同學(xué)5次體育測試的成績（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到如下表格：第x次12345測試成績y3940484850根據(jù)上表，可得y關(guān)于x的線性回歸方程為，下列結(jié)論不正確的是（）A．B．這5次測試成績的方差為20.8C．y與x的線性相關(guān)系數(shù)D．預(yù)測第6次體育測試的成績約為54答案：C【解析】由已知，，所以這5次測試成績的方差為，B正確，又y關(guān)于x的線性回歸方程為，點(diǎn)在直線上，所以，所以，所以，取可得，，所以A，D對，因?yàn)椋耘c成正相關(guān)關(guān)系，故相關(guān)系數(shù)，C錯(cuò)，故答案為：C.例5(2023·廣東深圳市·高三二模）重慶位于北半球亞熱帶內(nèi)陸地區(qū)，其氣候特征恰如幾句俗諺：春早氣溫不穩(wěn)定，夏長酷熱多伏旱，秋涼綿綿陰雨天，冬暖少雪云霧多．尤其是10月份，晝夜溫差很大，某數(shù)學(xué)興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了2021年10月某六天的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料：日期第一日第三日第五日第四日第二日第六日晝夜溫差（℃）47891214就診人數(shù)（個(gè)）其中：，，2，3，4，5，6，參考數(shù)據(jù)：，，．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可以認(rèn)為與之間存在線性相關(guān)關(guān)系，且相關(guān)系數(shù)，請用最小二乘法求出線性回歸方程（，用分?jǐn)?shù)表示）；(2)分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：第六日就診人數(shù)，第一日就診患者中有3個(gè)小孩，其他患者全是大人，現(xiàn)隨機(jī)的從第一日所有就診患者中選出2人，若2人中至少有一個(gè)小孩的概率為；①求的值；②若，求，，，的值（只寫結(jié)果，不要求過程）．（參考公式：，，）【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，得，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，所以，，即線性回歸方程（2）①由題意可得：2人中至少有一個(gè)小孩的概率為，得：所以或（舍）②由（1）得，因?yàn)?，，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，所以，，?【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）對于數(shù)據(jù)組，如果由線性回歸方程得到的對應(yīng)于自變量的估計(jì)值是，那么將稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差．某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量（噸）與所需某種原材料噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集4組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：34562.534根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的線性回歸方程為，據(jù)此計(jì)算出樣本點(diǎn)（4，3）處的殘差為－0.15，則表中的值為（

）A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5答案：B【解析】由題意可知，在樣本（4，3）處的殘差－0.15，則，即，解得，即，又，且線性方程過樣本中心點(diǎn)（，），則，則，解得.故答案為：B2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）新冠肺炎疫情發(fā)生以來，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn)．某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產(chǎn)品收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：研發(fā)投入x（億元）12345產(chǎn)品收益y（億元）3791011(1)計(jì)算x，y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高）(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益．參考數(shù)據(jù)：，，．附：相關(guān)系數(shù)公式：，回歸直線方程的斜率，截距．【解析】（1）∵，，，∴，∴該中醫(yī)藥企業(yè)的研發(fā)投入x與產(chǎn)品收益y具有較高的線性相關(guān)程度．（2）∵，，∴．∴y關(guān)于x的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程可得，，∴預(yù)測研發(fā)投入20（億元）時(shí)產(chǎn)品的收益為40.3（億元）．【題型四非線性回歸方程】例6(2023·浙江高三專題練習(xí)）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，下表為2017－2021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年－2021年對應(yīng)的代碼依次為1－5．年份代碼x12345市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36參考數(shù)據(jù)：，，，其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回歸方程（，的值精確到0.01）；（2）已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率為p，現(xiàn)從中國在線直播購物用戶中隨機(jī)抽取4人，記這4人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為X，若，求X的分布列與期望．答案：見解析【解析】（1）解：設(shè)，則，因?yàn)椋?，，所以．把代入，得．即關(guān)于的回歸方程為（2）解：由題意知，，，由得所以，的取值依次為0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列為X01234P例7(2023·四川成都·高三月考）年月底，為嚴(yán)防新型冠狀病毒疫情擴(kuò)散，有效切斷病毒傳播途徑，堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢頭，確保人民群眾生命安全和身體健康，多地相繼做出了封城決定.某地在月日至日累計(jì)確診人數(shù)如下表：日期（月）日日日日日日日人數(shù)（人）由上述表格得到如散點(diǎn)圖（月日為封城第一天）.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與（，均為大于的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為累計(jì)確診人數(shù)與封城后的天數(shù)的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；并根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)求出回歸方程；（2）隨著更多的醫(yī)護(hù)人員投入疫情的研究，月日武漢影像科醫(yī)生提出存在大量核酸檢測呈陰性（陽性則確診），但觀其肺片具有明顯病變，這一提議引起了廣泛的關(guān)注，月日武漢疾控中心接收了份血液樣本，假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽性樣本的概率為，核酸試劑能把陽性樣本檢測出陽性結(jié)果的概率是（核酸檢測存在陽性樣本檢測不出來的情況，但不會(huì)把陰性檢測呈陽性），求這份樣本中檢測呈陽性的份數(shù)的期望.參考數(shù)據(jù)：其中，，參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.答案：（1）選擇，關(guān)于的回歸方程為；（2）期望為人.【解析】（1）由散點(diǎn)圖可知選擇，由兩邊同時(shí)取常用對數(shù)得，設(shè)，.計(jì)算，，，，把樣本中心點(diǎn)代入得.，關(guān)于的回歸方程為；（2）這份樣本中檢測呈陽性的份數(shù)為，則每份檢測出陽性的概率，由題意可知，（人），故這份樣本中檢測呈陽性份數(shù)的期望為人.【題型精練】1.(2023·四川成都·高三月考）當(dāng)前，新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃興起，以區(qū)塊鏈為代表的新一代信息技術(shù)迅猛發(fā)展，現(xiàn)收集某地近5年區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表年份20172018201920202021編號(hào)x12345企業(yè)總數(shù)量y（單位：千個(gè)）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，與（其中…為自然對數(shù)的底數(shù)），哪一個(gè)回歸方程類型適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量？（給出結(jié)果即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果求y關(guān)于x的回歸方程；(2)為了促進(jìn)公司間的合作與發(fā)展，區(qū)塊鏈聯(lián)合總部決定進(jìn)行一次信息化技術(shù)比賽，邀請甲、乙、丙三家區(qū)塊鏈公司參賽．比賽規(guī)則如下：①每場比賽有兩個(gè)公司參加，并決出勝負(fù)；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進(jìn)行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個(gè)公司首先獲勝兩場，則本次比賽結(jié)束，該公司獲得此次信息化比賽的“優(yōu)勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率．參考數(shù)據(jù)：，，，（其中）．附：樣本的最小二乘法估計(jì)公式為，．答案：(1)適宜；(2)【解析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)適宜預(yù)測未來幾年我國區(qū)塊鏈企業(yè)總數(shù)量．∵，∴，令，則，,，由公式計(jì)算可知∴，即.(2)設(shè)事件“甲公司獲得“優(yōu)勝公司””，事件“在一場比賽中，甲勝乙”，事件“在一場比賽中，甲勝丙”，事件“在一場比賽中，乙勝丙”，則，因?yàn)閮蓛瑟?dú)立，兩兩互斥，由概率的加法公式與乘法公式得，所以甲公司獲得“優(yōu)勝公司”的概率為．2.(2023·山東青島·二模）某企業(yè)為加強(qiáng)科研創(chuàng)新，加大研發(fā)資金的投入，新研發(fā)了一種產(chǎn)品.該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本由直接生產(chǎn)成本（如原料?工人工資?機(jī)器設(shè)備折舊等）和間接生產(chǎn)成本（如物料消耗?管理人員工資?車間房屋折舊等）組成.該產(chǎn)品的間接生產(chǎn)成本y（萬元）與該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量x（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)并對數(shù)據(jù)作初步處理，得到散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.3.513.241.8117.51.4619.95.84表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)更適合作為間接生產(chǎn)成本y與該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程類型；（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測生產(chǎn)9千件產(chǎn)品時(shí)，間接生產(chǎn)成本是多少萬元；(3)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，該企業(yè)在生產(chǎn)過程中對生產(chǎn)的每件產(chǎn)品均進(jìn)行五個(gè)環(huán)節(jié)的質(zhì)量檢測，若檢測出不合格產(chǎn)品，則需在未進(jìn)入下一環(huán)節(jié)前立即修復(fù)（修復(fù)后再進(jìn)入下一環(huán)節(jié)），已知每個(gè)環(huán)節(jié)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)環(huán)節(jié)產(chǎn)品檢測的合格率均為98%，各環(huán)節(jié)中不合格的一件產(chǎn)品所需的修復(fù)費(fèi)用均為100元，求一件產(chǎn)品需修復(fù)的平均費(fèi)用.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.答案：(1)更適合(2)，18萬元(3)（元）【解析】(1)解：由散點(diǎn)圖判斷更適合作為間接生產(chǎn)成本y與該產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量x的回歸方程類型；(2)解：令，先建立y關(guān)于的線性回歸方程，，，∴y關(guān)于的線性回歸方程為，∴y關(guān)于x的回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即生產(chǎn)9千件產(chǎn)品時(shí)，間接生產(chǎn)成本是18萬元；(3)解：設(shè)每件產(chǎn)品需修復(fù)的環(huán)節(jié)為個(gè)，則，，設(shè)一件產(chǎn)品需修復(fù)的費(fèi)用為元，則，（元）.【題型五獨(dú)立性檢驗(yàn)】例8(2023·浙江高三專題練習(xí)）根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．依據(jù)下面給出的臨界值表，0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.879可知下列判斷中正確的是（

）A．有95%的把握認(rèn)為變量x與y獨(dú)立B．有95%的把握認(rèn)為變量x與y不獨(dú)立C．變量x與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%D．變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%答案：D【解析】因?yàn)?，且，所以依?jù)表中給出的獨(dú)立性檢驗(yàn)知：變量x與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過10%，故選：D例9(2023·四川成都·高三月考）2022年北京冬奧組委發(fā)布的《北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)經(jīng)濟(jì)遺產(chǎn)報(bào)告(2023）》顯示，北京冬奧會(huì)已簽約45家贊助企業(yè)，冬奧會(huì)贊助成為一項(xiàng)跨度時(shí)間較長的營銷方式．為了解該45家贊助企業(yè)每天銷售額與每天線上銷售時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某平臺(tái)對45家贊助企業(yè)進(jìn)行跟蹤調(diào)查，其中每天線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)的企業(yè)有20家，余下的企業(yè)中，每天的銷售額不足30萬元的企業(yè)占，統(tǒng)計(jì)后得到如下列聯(lián)表：銷售額不少于30萬元銷售額不足30萬元合計(jì)線上銷售時(shí)間不少于8小時(shí)1720線上銷售時(shí)間不