高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊(cè))第06練平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示(原卷版+解析)

第6練平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．給出下面幾種說法：①相等向量的坐標(biāo)相同；②平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)；③一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè)向量；④平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)．其中正確說法的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．42．平面直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)A．與點(diǎn)的坐標(biāo)相同 B．與點(diǎn)的坐標(biāo)不相同 C．當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，與點(diǎn)的坐標(biāo)相同 D．當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，與點(diǎn)的坐標(biāo)相同3．分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線段能表示的不同向量有A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．12個(gè)4．若、，則向量的坐標(biāo)是A． B． C． D．5．設(shè)若向量，且點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．6．已知，，則（）A．2 B． C．4 D．7．已知點(diǎn)(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（）A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)8．設(shè)點(diǎn)、，將向量按向量平移后得到為A． B． C． D．9．設(shè)向量，，則與一定不是A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量10．已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是，，，，則向量的坐標(biāo)是A． B． C． D．11．已知，若，則實(shí)數(shù)對(duì)，為A． B． C． D．無數(shù)對(duì)12．如圖所示，若向量、是一組單位正交向量，則向量在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為A． B． C．或 D．或13．已知是方向分別與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，為原點(diǎn)，設(shè)（其中，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限14．定義兩個(gè)互相垂直的單位向量為“一對(duì)單位正交向量”，設(shè)平面向量，2，3，滿足條件：，2，3，且，2，，則A． B．或 C．，2，3，中任意兩個(gè)都是一對(duì)單位正交向量 D．，是一對(duì)單位正交向量15．，，，，，，，是兩個(gè)向量集合，則等于A． B． C． D．二．填空題16．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標(biāo)表示．17．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知、兩個(gè)互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標(biāo)表示．18．已知點(diǎn)，，則的坐標(biāo)為．19．若、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，則．20．已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．（判斷對(duì)錯(cuò)）21．已知向量，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．22．已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是的相等向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．23．設(shè)，，則向量坐標(biāo)為，向量的坐標(biāo)為，向量的坐標(biāo)為，，．24．已知兩點(diǎn)，，則與同向的單位向量是．25．在平面直角坐標(biāo)系中，在軸、軸正方向上的投影分別是、4，則的單位向量是．26．已知的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標(biāo)為．27．已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，，求向量的坐標(biāo)為．28．已知，且向量的方向相對(duì)軸正向的轉(zhuǎn)角為，則向量的坐標(biāo)為．29．已知向量的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標(biāo)為．30．直角坐標(biāo)系中，、分別是與、軸正方向同向的單位向量．在直角三角形中，若，，則的可能值個(gè)數(shù)是．31．把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是．32．點(diǎn)按向量平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則．33．將函數(shù)的圖象按平移向量平移后得到函數(shù)的圖象，則該平移向量．34．設(shè)點(diǎn)、，將向量按向量平移后得到向量為．35．已知，，則．36．已知，別是方向與軸正方向、軸正方向相同的單位向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)位于第象限．37．在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)心，且，則．三．解答題38.如圖，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo)．39．在直角坐標(biāo)系中，向量，的方向如圖所示，且，，分別求出它們的坐標(biāo)．40．已知表示向量的有向線段始點(diǎn)的坐標(biāo)，求它的終點(diǎn)的坐標(biāo)．（1），；（2），；（3），．41．已知中，，，，，是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求．42．設(shè)已知點(diǎn)，，及．求：為何值時(shí)，在軸上？在軸上？在第二象限？43．已知直角梯形中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，為的中點(diǎn)，用向量的方法證明：（1）；（2），，三點(diǎn)共線．44.如圖，已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求和的坐標(biāo).45．已知菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求：（1）第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）菱形ABCD的面積．46.若，，當(dāng)取最小值時(shí)，以O(shè)、P、Q、A四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形．（1）求；（2）求所有符合題意的點(diǎn)A所構(gòu)成的平面圖形的面積．47．設(shè)為平面直角坐標(biāo)系中的四點(diǎn)，且，，．（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；（2）設(shè)向量，，若與平行，求實(shí)數(shù)的值．48．已知點(diǎn)，．（1）若C是線段AB的中點(diǎn)，求C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線AB上的點(diǎn)D滿足，求D點(diǎn)坐標(biāo)．49．已知點(diǎn)，向量繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后等于，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．50．已知點(diǎn)，，將向量繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．51．以原點(diǎn)O及點(diǎn)A(2，-2)為頂點(diǎn)作一個(gè)等邊△OAB，求點(diǎn)B的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).第6練平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,關(guān))eq\o\ac(○,練)一．選擇題1．給出下面幾種說法：①相等向量的坐標(biāo)相同；②平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo)；③一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于唯一的一個(gè)向量；④平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng)．其中正確說法的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【解析】向量平移坐標(biāo)不變，故③錯(cuò)，①②④均對(duì)．故選：．2．平面直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)A．與點(diǎn)的坐標(biāo)相同 B．與點(diǎn)的坐標(biāo)不相同 C．當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，與點(diǎn)的坐標(biāo)相同 D．當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，與點(diǎn)的坐標(biāo)相同【解析】平面直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)等于點(diǎn)的坐標(biāo)減去點(diǎn)的坐標(biāo)，故當(dāng)與原點(diǎn)重合時(shí)，的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)相同，故選：．3．分別以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線段能表示的不同向量有A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．12個(gè)【解析】如圖，以正方形的四個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的所有有向線段能表示的不同向量為：，共8個(gè)．故選：．4．若、，則向量的坐標(biāo)是A． B． C． D．【解析】、，，，，，，故選：．5．設(shè)若向量，且點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為A． B． C． D．【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，向量，且點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，、，解得、，故點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：．6．已知，，則（）A．2 B． C．4 D．【解析】由題得=（0,4）所以．故選C7．已知點(diǎn)(－3，3)，(－5，－1)，那么等于（）A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)【解析】(－3，3)，(－5，－1)，.故選：A8．設(shè)點(diǎn)、，將向量按向量平移后得到為A． B． C． D．【解析】、，將向量向左平移1個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到，知與的方向相同，大小也相等，只是位置不同罷了，于是故選：．9．設(shè)向量，，則與一定不是A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量【解析】由向量，，假設(shè)，則，無解，．故選：．10．已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是，，，，則向量的坐標(biāo)是A． B． C． D．【解析】平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是，，，，，，，，，，，．，，，．故選：．11．已知，若，則實(shí)數(shù)對(duì)，為A． B． C． D．無數(shù)對(duì)【解析】，，，，解得．實(shí)數(shù)對(duì)，，．故選：．12．如圖所示，若向量、是一組單位正交向量，則向量在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為A． B． C．或 D．或【解析】以向量、公共的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，，得，，，，，即在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為故選：．13．已知是方向分別與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，為原點(diǎn)，設(shè)（其中，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】因?yàn)?，且，，所以?duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0，縱坐標(biāo)小于0，所以點(diǎn)位于第四象限．故選：．14．定義兩個(gè)互相垂直的單位向量為“一對(duì)單位正交向量”，設(shè)平面向量，2，3，滿足條件：，2，3，且，2，，則A． B．或 C．，2，3，中任意兩個(gè)都是一對(duì)單位正交向量 D．，是一對(duì)單位正交向量【解析】，2，，或．或．可取，，，或．，，，或．取同樣可得．即可排除，，．因此正確．故選：．15．，，，，，，，是兩個(gè)向量集合，則等于A． B． C． D．【解析】根據(jù)所給的兩個(gè)集合的元素，表示出兩個(gè)集合的交集，在集合中，，在集合中，．要求兩個(gè)向量的交集，即找出兩個(gè)向量集合中的相同元素，元素是向量，要使得向量相等，只有橫標(biāo)和縱標(biāo)分別相等，二元一次方程組的解只有一組，此時(shí)，，．故選：．二．填空題16．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標(biāo)表示．【解析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標(biāo)表示．故答案為：．17．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知、兩個(gè)互相垂直的單位向量，若，則向量用坐標(biāo)表示．【解析】由于，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且，所以向量用坐標(biāo)表示為．故答案為：．18．已知點(diǎn)，，則的坐標(biāo)為．【解析】，，，，故答案為：19．若、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，則．【解析】由題意可得：、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，所以．故答案為．20．已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．（判斷對(duì)錯(cuò)）【解析】，，，，因此正確．故答案為：正確．21．已知向量，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【解析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)是，即，解得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)故答案為：22．已知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是的相等向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【解析】，，，．故答案為：．23．設(shè)，，則向量坐標(biāo)為，向量的坐標(biāo)為，向量的坐標(biāo)為，，．【解析】，，向量，向量，向量，，．故答案為：，，，，．24．已知兩點(diǎn)，，則與同向的單位向量是．【解析】，，，與同向的單位向量是，，．故答案為：，．25．在平面直角坐標(biāo)系中，在軸、軸正方向上的投影分別是、4，則的單位向量是．【解析】在軸、軸正方向上的投影分別是、4，，．則的單位向量．故答案為：．26．已知的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標(biāo)為．【解析】向量的方向與軸的正向所成的角為，且，如圖所示，向量的終點(diǎn)為或，由三角函數(shù)的定義，可得，；所以的坐標(biāo)為或．故答案為：或．27．已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，，求向量的坐標(biāo)為．【解析】是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，，，，，即，．故答案為：．28．已知，且向量的方向相對(duì)軸正向的轉(zhuǎn)角為，則向量的坐標(biāo)為．【解析】：以為原點(diǎn)，軸的正方向與向量的方向的轉(zhuǎn)角為，，該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，向量的坐標(biāo)為，或，．故答案為：，或，．29．已知向量的方向與軸的正向所成的角為，且，則的坐標(biāo)為．【解析】向量的方向與軸的正向所成的角為，且，如圖，向量的終點(diǎn)坐標(biāo)為或，由三角函數(shù)的定義，可得，，．故答案為：，或．30．直角坐標(biāo)系中，、分別是與、軸正方向同向的單位向量．在直角三角形中，若，，則的可能值個(gè)數(shù)是．【解析】，因?yàn)闉橹苯侨切?，?）時(shí)，；（2）時(shí)，；（3）時(shí)，綜上所述，或故答案為：，．31．把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是．【解析】平行于某一直線的一切向量都是共線向量，由共線向量的概念可知，把平行于某一直線的一切向量平移到同一起點(diǎn)，則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是直線．故答案為：直線．32．點(diǎn)按向量平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則．【解析】點(diǎn)按向量平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，是一個(gè)以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量，，，故答案為：33．將函數(shù)的圖象按平移向量平移后得到函數(shù)的圖象，則該平移向量．【解析】函數(shù)，將函數(shù)的圖象按平移向量平移后得到函數(shù)的圖象，即得到，可以看出圖象向右平移一個(gè)單位，向下平移一個(gè)單位，平移的向量是故答案為：34．設(shè)點(diǎn)、，將向量按向量平移后得到向量為．【解析】、，，向量平移后向量的坐標(biāo)不變，，故答案為：35．已知，，則．【解析】，，則．故答案為：．36．已知，別是方向與軸正方向、軸正方向相同的單位向量，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)位于第象限．【解析】由題意可得，，故，，，，點(diǎn)位于第四象限．故答案為：四．37．在中，，，，點(diǎn)是內(nèi)心，且，則．【解析】設(shè)內(nèi)切圓半徑為，由題意得：，，，．．故答案為：．三．解答題38.如圖，分別用基底表示向量，，，，并求出它們的坐標(biāo)．【解析】由圖可知，，所以．同理，，，．39．在直角坐標(biāo)系中，向量，的方向如圖所示，且，，分別求出它們的坐標(biāo)．【解析】設(shè)點(diǎn)，∵，且，∴，．又，∴，．故，．40．已知表示向量的有向線段始點(diǎn)的坐標(biāo)，求它的終點(diǎn)的坐標(biāo)．（1），；（2），；（3），．【解析】設(shè)，，（1），，，，，終點(diǎn)的坐標(biāo)為，（2），，，，，解得，，終點(diǎn)的坐標(biāo)為，（3），，，，，解得，，終點(diǎn)的坐標(biāo)為，41．已知中，，，，，是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求．【解析】，，，，．，是，的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，．42．設(shè)已知點(diǎn)，，及．求：為何值時(shí)，在軸上？在軸上？在第二象限？【解析】點(diǎn)，，及．，，，當(dāng)在軸上時(shí)，它的坐標(biāo)要滿足縱標(biāo)為0，，，當(dāng)在軸上，它的坐標(biāo)要滿足橫標(biāo)為0，，當(dāng)在第二象限時(shí)，，，43．已知直角梯形中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，為的中點(diǎn)，用向量的方法證明：（1）；（2），，三點(diǎn)共線．【解析】（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，令，則因?yàn)?，，，，易知四邊形為正方形．所以可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，，因?yàn)?，，所以，所以，又與無公共點(diǎn)，所以．（2）證明：連接，．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以兇，，所以，所以．又與有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線．44.如圖，已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求和的坐標(biāo).【解析】（由題知，分別是，角的終邊與單位圓的交點(diǎn)．設(shè)，．由三角函數(shù)的定義，得，，∴．，，∴．∴，．∴，45．已知菱形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求：（1）第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）菱形ABCD的面積．【解析】（（1）設(shè)，由，得，解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）∵，，，，∴，∴菱形的面積.46.若，，當(dāng)取最小值時(shí)，以O(shè)、P、Q、A四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形．（1）