高一數(shù)學下學期考點精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第04講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(原卷版+解析)

第4講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系知識點1平面1．平面的概念①平面是一個不加定義，只需理解的原始概念．②立體幾何里的平面是從呈平面形的物體中抽象出來的．如課桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們平面的局部形象．幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的．但是，幾何里的平面是無限延展的，一個平面可以將空間分成兩部分．注：平面是平的，是無限延展的，沒有厚薄，大小之分2．平面的畫法在立體幾何中，我們通常用平行四邊形來表示平面．當平面水平放置時，如圖（1），平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍；當平面豎直放置時，如圖（2），平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線．一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強立體感，被遮擋部分用虛線畫出來.注：立體幾何畫圖或作輔助線的原則——看得見的畫成實線，看不見的畫成虛線.即眼見為實，眼不見為虛.3．平面的表示①用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四邊形的四個頂點的大寫字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點表示，如平面AC，平面BD.④用平面內(nèi)不共線的三個點來表示平面4．平面的幾個特點(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的．5．點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示從集合的角度理解點、直線、平面點、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構(gòu)成的集合．集合中很多符號的規(guī)定都源于將圖形視為點集。(1)直線可以看成無數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“”表示．(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“”表示．(3)直線和平面都是點集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示．點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外AlA在α內(nèi)A∈αA在α外Aαl與m平行l(wèi)

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ml，m相交于Al∩m＝Al與m異面l在α內(nèi)l?αl與α平行l(wèi)

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αl，α相交于Al∩α＝Al在α外lαα，β相交于lα∩β＝lα與β平行α

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β知識點2平面的基本性質(zhì)1．三個基本事實：（1）基本事實1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．符號表示：A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使Aα，Bα，Cα．如圖所示：意義：是在空間確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法．作用：①確定平面；②判定兩平面是否重合；③證明點、線共面．注：(1)基本事實①的條件為“過不在一條直線上的三點”，如果改為“過三個點”，則可能存在無數(shù)個平面(2)基本事實①的結(jié)論為“有且只有一個平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性（2）基本事實2：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．符號表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如圖所示：意義：說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展”．作用：既是判斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法．注：(1)直線是平面的真子集(2)整條直線在平面內(nèi)，則直線上的所有點都在平面內(nèi)（3）基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．符號表示：Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl．如圖所示：意義：揭示了兩個平面相交的主要特征，提供了確定兩個平面交線的方法．作用：①判斷兩個平面是否相交；②確定兩個平面的交線；③證明若干點共線問題．注：①若兩個相交平面有兩個公共點，則過這兩點的直線就是相交平面的交線；②若兩個相交平面有三個公共點，則這三點共線；③若兩個平面相交，則一個平面內(nèi)的直線與另一平面的交點落在兩平面的交線上；④若兩個不重合的平面有一個公共點，則這兩個平面相交.2.三個推論（1）推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．符號語言：若點直線a，則A和a確定一個平面．如圖所示：（2）推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．符號語言：?有且只有一個平面，使，．如圖所示：（3）推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．符號語言：?有且只有一個平面，使，．如圖所示：知識點3空間中直線與直線的位置關(guān)系1.空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無公共點相交在同一平面內(nèi)有且只有一個公共點平行在同一平面內(nèi)沒有公共點異面不同在任何一個平面內(nèi)沒有公共點2.異面直線1．定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.注：異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，而不能單純理解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.要注意異面直線定義中的“任何”兩個字，它指的是空間中的任意平面.因此，異面直線也可以理解為在空間中找不到一個平面，使其同時經(jīng)過這兩條直線.畫法:空間內(nèi)，兩條異面直線既不平行，也不相交.異面直線作圖的時候，我們可以借助輔助的平面來體現(xiàn)異面直線的不共面的特點.3.異面直線判定定理：經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.3.異面直線所成的角①兩條異面直線所成的角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．（1）在定義中，空間一點O是任取的，根據(jù)等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小與點O的位置無關(guān)．為了簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上．（2）研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把求空間角問題轉(zhuǎn)化為求平面角問題，這是研究空間圖形的一種基本思路．②異面直線所成的角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，則這個角α的取值范圍為．③兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直．兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b．④構(gòu)造異面直線所成角的方法（1）過其中一條直線上的已知點（往往是特殊點）作另一條直線的平行線；（2）當異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時，可利用該幾何體的特殊點，將兩條異面直線分別平移相交于該點；（3）構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來平移直線．注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線所成的角應為其補角．⑤求兩條異面直線所成的角的步驟（1）平移：選擇適當?shù)狞c，平移異面直線中的一條或兩條，使其成為相交直線；（2）證明：證明作出的角就是要求的角；（3）計算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識）；（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角．知識點4空間中直線與平面的位置關(guān)系1．直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點；直線與平面相交——有且只有一個公共點；直線與平面平行——沒有公共點．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．2．直線與平面的位置關(guān)系的符號表示和圖形表示位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內(nèi)有無數(shù)個公共點直線a與平面α相交有且只有一個公共點直線a與平面α平行無公共點知識點5平面與平面之間的位置關(guān)系1．兩個平面之間的位置關(guān)系兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：（1）兩個平面平行——沒有公共點；（2）兩個平面相交——有一條公共直線．2．兩個平面之間的位置關(guān)系的圖形表示和符號表示位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩平面平行無公共點兩平面相交有無數(shù)個公共點，這些點在一條直線上3．兩個平行平面的畫法畫兩個平行平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行，且把這兩個平行四邊形上下放置．考點一平面的概念判斷解題方略：平面的幾個特點平面是平的；平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的【例1】下列說法正確的是()A．鏡面是一個平面B．一個平面長10m，寬5mC．一個平面的面積是另一個平面面積的2倍D．所有的平面都是無限延展的變式1：下列命題中正確命題的個數(shù)是()①三角形是平面圖形；②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．A．1 B．2C．3 D．4【例2】如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ【例3】下列空間圖形畫法錯誤的是()變式1：按照給出的要求，完成圖中兩個相交平面的作圖，圖中所給線段AB分別是兩個平面的交線．考點二立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化解題方略：三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．提醒：根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．【例4】根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.變式1：如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系．變式2：根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.變式3：用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.考點三三個基本事實【例5】已知直線m?平面α，P?m，Q∈m，則()A．P?α，Q∈α B．P∈α，Q?αC．P?α，Q?α D．Q∈α變式1：如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則()A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N變式2：兩個平面若有三個公共點，則這兩個平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對變式3：【多選】已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理正確的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合【例6】能確定一個平面的條件是()A．空間三個點 B．一個點和一條直線C．無數(shù)個點 D．兩條相交直線變式1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說明理由．(1)由點A，O，C可以確定一個平面；(2)由點A，C1，B1確定的平面為平面ADC1B1.變式2：已知空間中有A，B，C，D，E五個點，如果點A，B，C，D在同一個平面內(nèi)，點B，C，D，E在同一個平面內(nèi)，那么這五個點()A．共面 B．不一定共面C．不共面 D．以上都不對變式3：在長方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有____條.考點四點、線共面問題解題方略：證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設不共面，結(jié)合題設推出矛盾，即用“反證法”．【例7】如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.變式1：已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．變式2：已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖．求證：直線AD，BD，CD共面．考點五點共線、線共點問題解題方略：1．證明三點共線的方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．2．證明三線共點的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點；(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交；(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．3.判斷四點共線的方法有：（1）四點中兩點連線所成的兩條直線平行、相交或重合；（2）由其中三點確定一個平面，再證明第四點在這個平面內(nèi)；（3）若其中三點共線，則此四點一定共面.【例8】如圖，在四面體A-BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延長線交于點M，RQ，DB的延長線交于點N，RP，DC的延長線交于點K.求證：M，N，K三點共線．變式1：如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(相交于一點).變式2：如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．變式3：已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P，Q，R三點共線．變式4：正方體中，M，N，Q，P分別是AB，BC，，的中點．（1）證明：M，N，Q，P四點共面．（2）證明：PQ，MN，DC三線共點．考點六直線與直線位置關(guān)系的判斷解題方略：1．判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．2．判定或證明兩直線異面的常用方法：1．定義法：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．（證明兩條直線既不平行又不相交．)2．定理法：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．用符號語言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．3．推論法：一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線．4．反證法：證明立體幾何問題的一種重要方法．證明步驟有三步：第一步是提出與結(jié)論相反的假設；第二步是由此假設推出與已知條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步是推翻假設，從而原命題成立．【例9】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．變式1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，以下四個結(jié)論：①直線DM與CC1是相交直線；②直線AM與NB是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的為________(把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)．變式2：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．垂直變式3：在三棱錐S-ABC中，與SA是異面直線的是()A．SB B．SCC．BC D．AB變式3：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．7變式4：【多選】下列關(guān)于異面直線的說法錯誤的是()A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面變式5：已知直線a，b與平面α，滿足a∥α，b∥α，則a與b的位置關(guān)系是________．變式6：與同一個平面α都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能變式7：平面α∩β＝c，直線a∥α，a與β相交，則a與c的位置關(guān)系是________．變式8：已知a，b，c是空間三條直線，下面給出四個命題：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是異面直線，b，c是異面直線，那么a，c也是異面直線；③如果a，b是相交直線，b，c是相交直線，那么a，c也是相交直線；④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面．在上述命題中，正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3變式9：若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定變式10：若P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則()A．過點P有且僅有一條直線與l，m都平行B．過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直C．過點P有且僅有一條直線與l，m都相交D．過點P有且僅有一條直線與l，m都異面異面直線所成的角通過平移直線至相交位置求兩條異面直線所成的角，是數(shù)學中轉(zhuǎn)化思想的運用，也是立體幾何問題的一個難點．【例10】在正方體中，與所成的角為（）A． B．C． D．變式1：如圖，在正方體中，、分別是、上靠近點的三等分點，則異面直線與所成角的大小是______.變式2：如圖，在直三棱柱中，D為的中點，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．變式3：如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC與BD的中點，若CD=2AB=4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為（）A．90° B．45° C．60° D．30°變式4：已知A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．考點七空間直線與平面位置關(guān)系判斷解題方略：直線與平面位置關(guān)系的判斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點.【例11】下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①如果a，b是兩條平行直線，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，則a∥b；④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；⑤如果平面α的同側(cè)有兩點A，B到平面α的距離相等，則AB∥α.A．0 B．1C．2 D．3變式1：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，指出B1C，BD1與各面的位置關(guān)系．變式2：三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面之間的關(guān)系是()A．相交 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)變式3：直線a在平面γ外，則()A．a(chǎn)∥γB．a(chǎn)與γ至少有一個公共點C．a(chǎn)∩γ＝AD．a(chǎn)與γ至多有一個公共點變式4：若直線l上有兩點到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關(guān)系是________．考點八平面與平面位置關(guān)系的判斷解題方略：1．平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點．2．常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；(2)長方體的六個面中，三組相對面平行.【例12】若兩個平面互相平行，則分別在這兩個平行平面內(nèi)的直線()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面變式1：如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定變式2：如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線是異面直線，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定變式3：平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么α與β的關(guān)系是什么？變式4：空間三個平面如果每兩個都相交，那么它們的交線有________條．【例13】空間中三個平面，最多把空間分成區(qū)域的個數(shù)為（）A． B． C． D．變式1：試畫圖說明三個平面可把空間分成幾個部分？【例14】如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為B′C′，A′D′的中點，求證：平面ABB′A′與平面CDFE相交． 練習一平面的概念判斷 1、下列有關(guān)平面的說法正確的是（）A．平行四邊形是一個平面B．任何一個平面圖形都是一個平面C．平靜的太平洋面就是一個平面D．圓和平行四邊形都可以表示平面2、有以下命題：①8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；②有一個平面的長是，寬是；③平面是無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學概念．其中正確命題的個數(shù)為()A．0

B．1

C．2

D．3練習二立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化1、如圖所示，用符號語言表示以下圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系：①點A，B在直線a上________；②直線a在平面α內(nèi)________；③點D在直線b上，點C在平面α內(nèi)________2、用符號語言表示下列語句，正確的個數(shù)是（

）（1）點A在平面內(nèi)，但不在平面內(nèi)：，．（2）直線a經(jīng)過平面外的點A，且a不在平面內(nèi)：，，．（3）平面與平面相交于直線l，且l經(jīng)過點P：，．A．1 B．2 C．3 D．03、“直線a經(jīng)過平面外一點P”用符號表示為（

）A．， B． C．， D．，4、用符號表示下列語句：(1)點A在直線l上，l在平面內(nèi)；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)；(3)點A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點A，且直線l在平面外；(4)直線l經(jīng)過平面外一點M．練習三三個基本事實1、已知A，B，C表示不同的點，l表示直線，表示不同的平面，則下列推理錯誤的是__________（填序號）.①；②；③.2、如圖，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P?l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P三點確定的平面記為γ，則β∩γ是()A．直線MP B．直線NPC．直線PR D．直線MR3、若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是________．練習四點、線共面問題1、在長方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點為M，O為線段B1D1的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．A，M，O三點共線 B．M，O，A1，A四點共面C．B，B1，O，M四點共面 D．A，O，C，M四點共面2、如圖，已知A，B，C，D是空間四點，且點A，B，C在同一直線l上，點D不在直線l上．求證：直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．3、如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.求證：(1)E?F?G?H四點共面；(2)EG與HF的交點在直線AC上.練習五點共線、線共點問題1、【多選】如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論正確的是（）A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，A，M四點共面D．D1，D，O，M四點共面2、如圖，在正方體中，為正方形的中心，為直線與平面的交點．求證：，，三點共線．3、已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.練習六直線與直線位置關(guān)系的判斷1、在正方體中，判斷下列直線間的位置關(guān)系：①與________；②與________；③與(為的中點)________；④與________.2、一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線的位置關(guān)系是（）A．平行或異面 B．相交或異面 C．異面 D．相交3、若直線與平面平行，直線，則與位置關(guān)系：（）A．平行 B．異面 C．相交 D．沒有公共點4、若、為異面直線，直線與平行，則與的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交5、如圖，若P是所在平面外一點，，，N為垂足.M為AB的中點，求證：PN與MC為異面直線.6、如圖，四棱錐中，，，和都是等邊三角形，則異面直線和所成角的大小為A． B．C．D．7、如圖，已知空間四邊形ABCD中，AD=BC，M，N分別為AB，CD的中點，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．練習七空間直線與平面位置關(guān)系判斷1、已知平面α和直線l，則在平面α內(nèi)至少有一條直線與直線l()A.平行 B.垂直C.相交 D.以上都有可能2、下列說法中，正確的個數(shù)是（）①如果兩條平行直線中的一條與一個平面相交，那么另一條直線也與這個平面相交;②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線有一個平面與另一條直線平行;③已知兩條相交直線，其中一條與一個平面平行，則另一條一定與這個平面平行;④分別與兩條異面直線平行的兩條直線是異面直線.A．0 B．1 C．2 D．33、若直線aα，則下列結(jié)論中成立的個數(shù)是（）①α內(nèi)的所有直線與a異面；②α內(nèi)的直線與a都相交；③α內(nèi)存在唯一的直線與a平行；④α內(nèi)不存在與a平行的直線.A．0B．1C．2D．3練習八平面與平面位置關(guān)系的判斷1、下列命題中，真命題的序號為_________.①若兩個平面有無數(shù)個公共點，則兩個平面重合；②若兩個平面相交，則分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線也相交；③若一個平面內(nèi)任意一條直線與另一個平面都平行，則這兩個平面平行.2、下列說法中正確的個數(shù)是（）①平面與平面都相交，則這三個平面有2條或3條交線②兩個平面平行，各任取兩平面內(nèi)的一條直線，它們不相交；③直線a不平行于平面，則a不平行于內(nèi)的任何條直線；④如果，，那么.A．0 B．1 C．2 D．33、三個平面將空間不可分成（）部分.A．4 B．5 C．8 D．74、（1）空間任意4點，沒有任何3點共線，它們最多可以確定________個平面.（2）空間5點，其中有4點共面，它們沒有任何3點共線，這5個點最多可以確定________個平面.5、空間中有五個點，其中有四個點在同一平面內(nèi)，但沒有任何三點共線，這樣的五個點確定____個平面.6、已知平面α與平面β、平面γ都相交，則這三個平面可能的交線有________條．第4講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系知識點1平面1．平面的概念①平面是一個不加定義，只需理解的原始概念．②立體幾何里的平面是從呈平面形的物體中抽象出來的．如課桌面、黑板面、平靜的水面等都給我們平面的局部形象．幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的．但是，幾何里的平面是無限延展的，一個平面可以將空間分成兩部分．注：平面是平的，是無限延展的，沒有厚薄，大小之分2．平面的畫法在立體幾何中，我們通常用平行四邊形來表示平面．當平面水平放置時，如圖（1），平行四邊形的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍；當平面豎直放置時，如圖（2），平行四邊形的一組對邊通常畫成鉛垂線．一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強立體感，被遮擋部分用虛線畫出來.注：立體幾何畫圖或作輔助線的原則——看得見的畫成實線，看不見的畫成虛線.即眼見為實，眼不見為虛.3．平面的表示①用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四邊形的四個頂點的大寫字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四邊形的相對的兩個頂點表示，如平面AC，平面BD.④用平面內(nèi)不共線的三個點來表示平面4．平面的幾個特點(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的．5．點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示從集合的角度理解點、直線、平面點、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構(gòu)成的集合．集合中很多符號的規(guī)定都源于將圖形視為點集。(1)直線可以看成無數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“”表示．(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“∈”或“”表示．(3)直線和平面都是點集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“?”或“?”表示．點、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達文字語言符號語言圖形語言A在l上A∈lA在l外AlA在α內(nèi)A∈αA在α外Aαl與m平行l(wèi)

//

ml，m相交于Al∩m＝Al與m異面l在α內(nèi)l?αl與α平行l(wèi)

//

αl，α相交于Al∩α＝Al在α外lαα，β相交于lα∩β＝lα與β平行α

//

β知識點2平面的基本性質(zhì)1．三個基本事實：（1）基本事實1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．符號表示：A，B，C三點不共線?有且只有一個平面α，使Aα，Bα，Cα．如圖所示：意義：是在空間確定一個平面位置的方法與途徑，而確定平面是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的重要條件，這個轉(zhuǎn)化是立體幾何中解決相當一部分問題的主要的思想方法．作用：①確定平面；②判定兩平面是否重合；③證明點、線共面．注：(1)基本事實①的條件為“過不在一條直線上的三點”，如果改為“過三個點”，則可能存在無數(shù)個平面(2)基本事實①的結(jié)論為“有且只有一個平面”，“有”指存在性，“只有”指唯一性（2）基本事實2：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．符號表示：Al，Bl，且Aα，Bα?l?α．如圖所示：意義：說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過直線的“直”來刻畫平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展”．作用：既是判斷直線是否在平面內(nèi)，又是檢驗平面的方法．注：(1)直線是平面的真子集(2)整條直線在平面內(nèi)，則直線上的所有點都在平面內(nèi)（3）基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．符號表示：Pα，且Pβ?α∩β＝l，且Pl．如圖所示：意義：揭示了兩個平面相交的主要特征，提供了確定兩個平面交線的方法．作用：①判斷兩個平面是否相交；②確定兩個平面的交線；③證明若干點共線問題．注：①若兩個相交平面有兩個公共點，則過這兩點的直線就是相交平面的交線；②若兩個相交平面有三個公共點，則這三點共線；③若兩個平面相交，則一個平面內(nèi)的直線與另一平面的交點落在兩平面的交線上；④若兩個不重合的平面有一個公共點，則這兩個平面相交.2.三個推論（1）推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．符號語言：若點直線a，則A和a確定一個平面．如圖所示：（2）推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．符號語言：?有且只有一個平面，使，．如圖所示：（3）推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．符號語言：?有且只有一個平面，使，．如圖所示：知識點3空間中直線與直線的位置關(guān)系1.空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系共面情況有無公共點相交在同一平面內(nèi)有且只有一個公共點平行在同一平面內(nèi)沒有公共點異面不同在任何一個平面內(nèi)沒有公共點2.異面直線1．定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.注：異面直線是不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線，而不能單純理解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.要注意異面直線定義中的“任何”兩個字，它指的是空間中的任意平面.因此，異面直線也可以理解為在空間中找不到一個平面，使其同時經(jīng)過這兩條直線.畫法:空間內(nèi)，兩條異面直線既不平行，也不相交.異面直線作圖的時候，我們可以借助輔助的平面來體現(xiàn)異面直線的不共面的特點.3.異面直線判定定理：經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.3.異面直線所成的角①兩條異面直線所成的角的定義如圖，已知兩異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O，分別作直線a′∥a，b′∥b，相交直線a′，b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．（1）在定義中，空間一點O是任取的，根據(jù)等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小與點O的位置無關(guān)．為了簡便，點O常取在兩條異面直線中的一條上．（2）研究異面直線所成的角，就是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，即把求空間角問題轉(zhuǎn)化為求平面角問題，這是研究空間圖形的一種基本思路．②異面直線所成的角的范圍異面直線所成的角必須是銳角或直角，則這個角α的取值范圍為．③兩條異面直線垂直的定義如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直．兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b．④構(gòu)造異面直線所成角的方法（1）過其中一條直線上的已知點（往往是特殊點）作另一條直線的平行線；（2）當異面直線依附于某幾何體，且直接平移異面直線有困難時，可利用該幾何體的特殊點，將兩條異面直線分別平移相交于該點；（3）構(gòu)造輔助平面、輔助幾何體來平移直線．注意，若求得的角為鈍角，則兩異面直線所成的角應為其補角．⑤求兩條異面直線所成的角的步驟（1）平移：選擇適當?shù)狞c，平移異面直線中的一條或兩條，使其成為相交直線；（2）證明：證明作出的角就是要求的角；（3）計算：求角度（常利用三角形的有關(guān)知識）；（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角．知識點4空間中直線與平面的位置關(guān)系1．直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點；直線與平面相交——有且只有一個公共點；直線與平面平行——沒有公共點．直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外．2．直線與平面的位置關(guān)系的符號表示和圖形表示位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內(nèi)有無數(shù)個公共點直線a與平面α相交有且只有一個公共點直線a與平面α平行無公共點知識點5平面與平面之間的位置關(guān)系1．兩個平面之間的位置關(guān)系兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種：（1）兩個平面平行——沒有公共點；（2）兩個平面相交——有一條公共直線．2．兩個平面之間的位置關(guān)系的圖形表示和符號表示位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩平面平行無公共點兩平面相交有無數(shù)個公共點，這些點在一條直線上3．兩個平行平面的畫法畫兩個平行平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應邊平行，且把這兩個平行四邊形上下放置．考點一平面的概念判斷解題方略：平面的幾個特點平面是平的；平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的【例1】下列說法正確的是()A．鏡面是一個平面B．一個平面長10m，寬5mC．一個平面的面積是另一個平面面積的2倍D．所有的平面都是無限延展的【解析】鏡面可以抽象成平面，但不是平面，所以選項A不正確；平面沒有大小，所以選項B和選項C都不正確，故選D.變式1：下列命題中正確命題的個數(shù)是()①三角形是平面圖形；②四邊形是平面圖形；③四邊相等的四邊形是平面圖形；④圓是平面圖形．A．1 B．2C．3 D．4【解析】根據(jù)基本事實3可知①④正確，②③錯誤．故選B.【例2】如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為()A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ【解析】表示平面不能用一條線段的兩個端點表示，但可以表示為平面MP.故選A.【例3】下列空間圖形畫法錯誤的是()【解析】遮擋部分應畫成虛線．故D錯，故選D.變式1：按照給出的要求，完成圖中兩個相交平面的作圖，圖中所給線段AB分別是兩個平面的交線．【解析】以AB為其中一邊，分別畫出表示平面的平行四邊形．如圖．考點二立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化解題方略：三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”．提醒：根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．【例4】根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關(guān)系．(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.【解析】(1)點P∈直線AB；(2)點C?直線AB；(3)點M∈平面AC；(4)點A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.變式1：如圖，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系．【解析】在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，b∩l＝P.變式2：根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關(guān)系，并畫出相應的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.【解析】(1)點A在平面α內(nèi)，點B不在平面α內(nèi)，如圖①.(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上，如圖②.(3)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC，如圖③.變式3：用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：(1)三個平面α，β，γ相交于一點P，且平面α與平面β相交于PA，平面α與平面γ相交于PB，平面β與平面γ相交于PC；(2)平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC.【解析】(1)符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，圖形表示：如圖①.(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，圖形表示：如圖②.考點三三個基本事實【例5】已知直線m?平面α，P?m，Q∈m，則()A．P?α，Q∈α B．P∈α，Q?αC．P?α，Q?α D．Q∈α【解析】因為Q∈m，m?α，所以Q∈α.因為P?m，所以有可能P∈α，也可能有P?α.故選D.變式1：如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則()A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N【解析】∵M∈a，a?α，∴M∈α，同理，N∈α，又M∈l，N∈l，故l?α.故選A.變式2：兩個平面若有三個公共點，則這兩個平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對【解析】若三點在同一條直線上，則這兩個平面相交或重合，若三點不共線，則這兩個平面重合．故選C.變式3：【多選】已知α，β為平面，A，B，M，N為點，a為直線，下列推理正確的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共線?α，β重合【解析】對于A，由基本事實2可知，a?β，A正確；對于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事實2可知，直線MN?α.同理MN?β，∴α∩β＝MN，B正確；對于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事實可知α∩β為經(jīng)過A的一條直線而不是點A.故α∩β＝A的寫法錯誤；對于D，∵A，B，M不共線，由基本事實1可知，過A，B，M有且只有一個平面，故α，β重合．故選A、B、D.【例6】能確定一個平面的條件是()A．空間三個點 B．一個點和一條直線C．無數(shù)個點 D．兩條相交直線【解析】不在同一條直線上的三個點可確定一個平面，A、B、C條件不能保證有不在同一條直線上的三個點，故不正確．故選D.變式1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列命題是否正確，并說明理由．(1)由點A，O，C可以確定一個平面；(2)由點A，C1，B1確定的平面為平面ADC1B1.【解析】(1)不正確．因為點A，O，C在同一條直線上，故不能確定一個平面．(2)正確．因為點A，B1，C1不共線，所以可確定一個平面．又因為AD∥B1C1，所以點D∈平面AB1C1.所以由點A，C1，B1確定的平面為平面ADC1B1.變式2：已知空間中有A，B，C，D，E五個點，如果點A，B，C，D在同一個平面內(nèi)，點B，C，D，E在同一個平面內(nèi)，那么這五個點()A．共面 B．不一定共面C．不共面 D．以上都不對【解析】若B，C，D共線，則這五個點不一定共面；若B，C，D不共線，則這五個點一定共面．故選B.變式3：在長方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有____條.【解析】由題圖可知，既與AB共面又與CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5條．答案：5考點四點、線共面問題解題方略：證明點、線共面問題的常用方法(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設不共面，結(jié)合題設推出矛盾，即用“反證法”．【例7】如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.證明：∵PQ∥a，∴PQ與a確定一個平面β.∴直線a?β，點P∈β.∵P∈b，b?α，∴P∈α.又∵a?α，∴α與β重合．∴PQ?α.變式1：已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．證明方法一(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．變式2：已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l，如圖．求證：直線AD，BD，CD共面．證明：因為直線l與點D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內(nèi)．因為D?l，所以l與D可以確定平面α(推論1)．因為A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD?α(基本事實1)．同理，BD?α，CD?α，所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面.考點五點共線、線共點問題解題方略：1．證明三點共線的方法(1)首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)基本事實3可知，這些點都在兩個平面的交線上．(2)選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在此直線上．2．證明三線共點的步驟(1)首先說明兩條直線共面且交于一點；(2)說明這個點在另兩個平面上，并且這兩個平面相交；(3)得到交線也過此點，從而得到三線共點．3.判斷四點共線的方法有：（1）四點中兩點連線所成的兩條直線平行、相交或重合；（2）由其中三點確定一個平面，再證明第四點在這個平面內(nèi)；（3）若其中三點共線，則此四點一定共面.【例8】如圖，在四面體A-BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延長線交于點M，RQ，DB的延長線交于點N，RP，DC的延長線交于點K.求證：M，N，K三點共線．證明：∵M∈PQ，直線PQ?平面PQR，M∈BC，直線BC?平面BCD，∴M是平面PQR與平面BCD的一個公共點∴M在平面PQR與平面BCD的交線上．同理可證，N，K也在平面PQR與平面BCD的交線上．∴M，N，K三點共線．變式1：如圖，已知平面α，β，且α∩β＝l.設梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.求證：AB，CD，l共點(相交于一點).證明：因為梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的兩腰.因為AB，CD必定相交于一點.設AB∩CD＝M.又因為AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.所以M∈α∩β.又因為α∩β＝l，所以M∈l.即AB，CD,l共點(相交于一點)．變式2：如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．證明：若EF，GH交于一點P，則E，F(xiàn)，G，H四點共面，又因為EF?平面ABD，GH?平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，由基本事實3可得P∈BD.變式3：已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如圖．求證：P，Q，R三點共線．證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P，Q，R三點共線．變式4：正方體中，M，N，Q，P分別是AB，BC，，的中點．（1）證明：M，N，Q，P四點共面．（2）證明：PQ，MN，DC三線共點．【解析】（1）連接.分別為的中點，且，分別為，的中點，且.四邊形為平行四邊形，且且四點共面.（2）由（1）知且必交于一點.平面平面.平面平面.又平面平面.，即三線共點.考點六直線與直線位置關(guān)系的判斷解題方略：1．判斷空間中兩條直線位置關(guān)系的訣竅(1)建立空間觀念，全面考慮兩條直線平行、相交和異面三種位置關(guān)系．特別關(guān)注異面直線．(2)重視正方體等常見幾何體模型的應用，會舉例說明兩條直線的位置關(guān)系．2．判定或證明兩直線異面的常用方法：1．定義法：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．（證明兩條直線既不平行又不相交．)2．定理法：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線．用符號語言可表示為l?α，A?α，B∈α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．3．推論法：一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線．4．反證法：證明立體幾何問題的一種重要方法．證明步驟有三步：第一步是提出與結(jié)論相反的假設；第二步是由此假設推出與已知條件或某一公理、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步是推翻假設，從而原命題成立．【例9】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．【解析】(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.(2)直線A1B與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi)．(3)直線D1D與直線D1C相交于點D1.(4)直線AB與直線B1C不同在任何一個平面內(nèi)．[答案](1)平行(2)異面(3)相交(4)異面變式1：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，CC1的中點，以下四個結(jié)論：①直線DM與CC1是相交直線；②直線AM與NB是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的為________(把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)．[解析]①中直線DM與直線CC1在同一平面內(nèi)，它們不平行，必相交，故結(jié)論正確．③④中的兩條直線既不相交也不平行，即均為異面直線，故結(jié)論正確．②中AM與BN是異面直線，故②不正確．故填①③④.變式2：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．垂直【解析】如圖所示，直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交．故選A.變式3：在三棱錐S-ABC中，與SA是異面直線的是()A．SB B．SCC．BC D．AB【解析】由題圖知SB、SC、AB、AC與SA均是相交直線，BC與SA既不相交，又不平行，是異面直線．變式3：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1是異面直線的條數(shù)為()A．4 B．5C．6 D．7【解析】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與直線BA1異面的直線有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6條，故選C.變式4：【多選】下列關(guān)于異面直線的說法錯誤的是()A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面【解析】在選項A、B、C中的兩直線可能平行、相交或異面，故A、B、C均錯誤；由異面直線的定義可知，D正確．故選A、B、C.變式5：已知直線a，b與平面α，滿足a∥α，b∥α，則a與b的位置關(guān)系是________．【解析】如圖，在長方體中，a∥α，b∥α，a與b相交，b′∥α，則a與b′異面，b″∥α，則a與b″平行，故a與b的位置關(guān)系有：平行、異面或相交．答案：平行、異面或相交變式6：與同一個平面α都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．以上都有可能【解析】如圖所示：故相交、平行、異面都有可能．故選D.變式7：平面α∩β＝c，直線a∥α，a與β相交，則a與c的位置關(guān)系是________．【解析】因為a∥α，c?α，所以a與c無公共點，不相交；若a∥c，則直線a∥β或a?β，這與“a與β相交”矛盾，所以a與c異面．答案：異面變式8：已知a，b，c是空間三條直線，下面給出四個命題：①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a，b是異面直線，b，c是異面直線，那么a，c也是異面直線；③如果a，b是相交直線，b，c是相交直線，那么a，c也是相交直線；④如果a，b共面，b，c共面，那么a，c也共面．在上述命題中，正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】①a與c可能相交，也可能異面；②a與c可能相交，也可能平行；③a與c可能異面，也可能平行；④a與c可能不在一個平面內(nèi)．故①②③④均不正確．故選A.變式9：若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當取l4為B1C1時，l1∥l4，當取l4為BB1時，l1⊥l4，故排除A、B、C.故選D.變式10：若P是兩條異面直線l，m外的任意一點，則()A．過點P有且僅有一條直線與l，m都平行B．過點P有且僅有一條直線與l，m都垂直C．過點P有且僅有一條直線與l，m都相交D．過點P有且僅有一條直線與l，m都異面【解析】逐個分析，過點P與l，m都平行的直線不存在；過點P與l，m都垂直的直線只有一條；過點P與l，m都相交的直線1條或0條；過點P與l，m都異面的直線有無數(shù)條．故選B.異面直線所成的角通過平移直線至相交位置求兩條異面直線所成的角，是數(shù)學中轉(zhuǎn)化思想的運用，也是立體幾何問題的一個難點．【例10】在正方體中，與所成的角為（）A． B．C． D．【解析】如圖，連接BC1、DC1，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是異面直線AD1與BD所成的角，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三個面上的對角線，它們相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°，故異面直線AD1與BD所成角的大小為60°．故選C．變式1：如圖，在正方體中，、分別是、上靠近點的三等分點，則異面直線與所成角的大小是______.【解析】連接、、，，，在正方體中，，，，所以，四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線與所成的角為.易知為等邊三角形，.故答案為：.變式2：如圖，在直三棱柱中，D為的中點，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．【解析】如圖，取的中點E，連接，則，則（或其補角）即為異面直線與所成的角.由條件知：，則，故選：C.變式3：如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC與BD的中點，若CD=2AB=4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為（）A．90° B．45° C．60° D．30°【解析】設G為AD的中點，連接GF，GE則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線.∴，且，，且，則EF與CD所成角的度數(shù)等于EF與GE所成角的度數(shù)又EF⊥AB，∴EF⊥GF則△GEF為直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°∴在直角△GEF中，∴∠GEF=30°.故選：D.變式4：已知A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．【解析】本題考點反證法證明異面直線，異面直線所成的角.(1)證明：假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．(2)取CD的中點G，連接EG、FG，則EG∥BD，所以直線EF與EG所成的角即為異面直線EF與BD所成的角．在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，可得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.考點七空間直線與平面位置關(guān)系判斷解題方略：直線與平面位置關(guān)系的判斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點，要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點.【例11】下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①如果a，b是兩條平行直線，那么a平行于經(jīng)過b的任何一個平面；②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α內(nèi)的任何一條直線平行；③如果直線a，b滿足a∥α，b∥α，則a∥b；④如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；⑤如果平面α的同側(cè)有兩點A，B到平面α的距離相等，則AB∥α.A．0 B．1C．2 D．3【解析】如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在過BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故命題①不正確；AA′∥平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命題②不正確；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′與A′D′相交，所以③不正確；④中，假設b與α相交，因為a∥b，所以a與α相交，這與a∥α矛盾，故b∥α，即④正確；⑤顯然正確，故選C.變式1：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，指出B1C，BD1與各面的位置關(guān)系．【解析】(1)B1C?平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C與其余4個面相交．(2)BD1與6個面都相交.變式2：三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面之間的關(guān)系是()A．相交 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．平行或直線在平面內(nèi)【解析】延長各側(cè)棱可恢復成棱錐的形狀，所以三棱臺的一條側(cè)棱所在直線與其對面所在的平面相交．故選A.變式3：直線a在平面γ外，則()A．a(chǎn)∥γB．a(chǎn)與γ至少有一個公共點C．a(chǎn)∩γ＝AD．a(chǎn)與γ至多有一個公共點【解析】直線a在平面γ外，其包括直線a與平面γ相交或平行兩層含義，故a與γ至多有一個公共點．故選D.變式4：若直線l上有兩點到平面α的距離相等，則直線l與平面α的關(guān)系是________．【解析】當這兩點在α的同側(cè)時，l與α平行；當這兩點在α的異側(cè)時，l與α相交．答案：平行或相交考點八平面與平面位置關(guān)系的判斷解題方略：1．平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點．2．常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行；(2)長方體的六個面中，三組相對面平行.【例12】若兩個平面互相平行，則分別在這兩個平行平面內(nèi)的直線()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面【解析】兩個平面內(nèi)的直線必無交點，所以是異面或平行．變式1：如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定【解析】如圖所示，a?α，b?β，a∥b.由圖形可知，這兩個平面可能相交，也可能平行．故選C變式2：如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線是異面直線，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定【解析】如圖，a?α，b?β，a，b異面．由圖知這兩個平面可能平行，也可能相交．故選C變式3：平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么α與β的關(guān)系是什么？【解析】如圖，α內(nèi)都有無數(shù)條直線與平面β平行由圖知，平面α與平面β可能平行或相交．變式4：空間三個平面如果每兩個都相交，那么它們的交線有________條．【解析】以打開的書面或長方體為模型，觀察可得結(jié)論．答案：1或3【例13】空間中三個平面，最多把空間分成區(qū)域的個數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】如圖所示，三個平面最多將空間分成個區(qū)域.故選：D變式1：試畫圖說明三個平面可把空間分成幾個部分？【解析】三個平面可把空間分成4(如圖①)、6(如圖②③)、7(如圖④)或8(如圖⑤)個部分．【例14】如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為B′C′，A′D′的中點，求證：平面ABB′A′與平面CDFE相交．證明：在正方體ABCD-A′B′C′D′中，E為B′C′的中點，所以EC與BB′不平行，則延長CE與BB′必相交于一點H，所以H∈EC，H∈B′B，又BB′?平面ABB′A′，CE?平面CDFE，所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，故平面ABB′A′與平面CDFE相交． 練習一平面的概念判斷 1、下列有關(guān)平面的說法正確的是（）A．平行四邊形是一個平面B．任何一個平面圖形都是一個平面C．平靜的太平洋面就是一個平面D．圓和平行四邊形都可以表示平面【解析】對于A，我們用平行四邊形表示平面，但不能說平行四邊形就是一個平面，平行四邊形是平面上四條線段構(gòu)成的圖形，是不能無限延展的，故A錯誤；對于B，平面圖形和平面是兩個概念，平面圖形是有大小的，不能無限延展，而平面是無限延展的，無法度量，故B錯誤；對于C，太平洋面是有邊界的，不是無限延展的，故C錯誤；對于D，在需要時，除用平行四邊形表示平面外，還可用三角形、梯形、圓等來表示平面，故D正確.故選：D2、有以下命題：①8個平面重疊起來要比6個平面重疊起來厚；②有一個平面的長是，寬是；③平面是無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學概念．其中正確命題的個數(shù)為()A．0

B．1

C．2

D．3【解析】根據(jù)平面的特點：沒有厚度、寬度、長度、以及平面是無限延展的，可知三個命題均錯故選：A練習二立體幾何三種語言的相互轉(zhuǎn)化1、如圖所示，用符號語言表示以下圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系：①點A，B在直線a上________；②直線a在平面α內(nèi)________；③點D在直線b上，點C在平面α內(nèi)________【解析】①②屬于多面體；根據(jù)點、線、面位置關(guān)系及其表示方法可知：①A∈a，B∈a，②a?α，③D∈b，C∈α.答案：①A∈a，B∈a②a?α③D∈b，C∈α2、用符號語言表示下列語句，正確的個數(shù)是（

）（1）點A在平面內(nèi)，但不在平面內(nèi)：，．（2）直線a經(jīng)過平面外的點A，且a不在平面內(nèi)：，，．（3）平面與平面相交于直線l，且l經(jīng)過點P：，．A．1 B．2 C．3 D．0【解析】錯誤，點A在平面內(nèi)應表示為：，點A不在平面內(nèi)應表示為,故錯誤.正確.由題意點A在直線a上，不在平面內(nèi)，直線a不在平面內(nèi).故表示為：，，，所以表示正確.正確.平面與平面相交于直線l，表示為l經(jīng)過點P，點P在直線l上，.故正確.故選：B.3、“直線a經(jīng)過平面外一點P”用符號表示為（

）A．， B． C．， D．，【解析】“直線a經(jīng)過平面外一點P”用符號表示為，.故選：C.4、用符號表示下列語句：(1)點A在直線l上，l在平面內(nèi)；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)；(3)點A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點A，且直線l在平面外；(4)直線l經(jīng)過平面外一點M．【解析】(1)點A在直線l上，l在平面內(nèi)，記為：；(2)平面和平面的交線是直線l，直線m在平面內(nèi)，記為：平面平面=直線l，直線m平面；(3)點A在平面內(nèi)，直線l經(jīng)過點A，且直線l在平面內(nèi)外，記為：點A平面，點A直線l，直線l平面；(4)直線l經(jīng)過平面外一點M，記為：點M平面，點M直線l.練習三三個基本事實1、已知A，B，C表示不同的點，l表示直線，表示不同的平面，則下列推理錯誤的是__________（填序號）.①；②；③.【解析】①由A，B表示不同的點，且，即有，故正確；②由A，B表示不同的點，且，即有，故正確；③由，則，即為經(jīng)過點A的一條直線而不是點A，故錯誤.故答案為：③2、如圖，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P?l，M∈α，N∈α，又MN∩l＝R，M，N，P三點確定的平面記為γ，則β∩γ是()A．直線MP B．直線NPC．直線PR D．直線MR【解析】因為MN?γ，R∈MN，所以R∈γ.又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β.又P∈β，P∈γ，所以P，R均為平面γ與β的公共點，所以β∩γ＝PR.故選C.3、若直線l與平面α相交于點O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，則O，C，D三點的位置關(guān)系是________．【解析】∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O，C，D三點共線．答案：共線練習四點、線共面問題1、在長方體ABCD?A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點為M，O為線段B1D1的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．A，M，O三點共線 B．M，O，A1，A四點共面C．B，B1，O，M四點共面 D．A，O，C，M四點共面【解析】因為，則，，，四點共面.因為，則平面，又平面，則點在平面與平面的交線上，同理，、也在平面與平面的交線上，所以、、三點共線，從而，，，四點共面，，，，四點共面.由長方體性質(zhì)知：，是異面直線，即，，，四點不共面.故選：C.2、如圖，已知A，B，C，D是空間四點，且點A，B，C在同一直線l上，點D不在直線l上．求證：直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．【解析】因為點A，B，C在同一直線l上，點D不在直線l上．所以點A，B，D確定唯一的一個平面，設為，所以，因為，所以，因為，所以，即直線AD，BD，CD在同一平面內(nèi)．3、如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且.求證：(1)E?F?G?H四點共面；(2)EG與HF的交點在直線AC上.【解析】(1)∵，∴.∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴，且∴，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面.(2)∵G，H不是BC，CD的中點，∴∴由（1）