高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.3空間幾何體截面、軌跡問題(精講)(原卷版+解析)

7.3空間幾何體截面、軌跡問題【題型解讀】【知識(shí)必備】1．截面定義：在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體（包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長方體，正方體等等），得到的平面圖形，叫截面。其次，我們要清楚立體圖形的截面方式，總共有三種，分別為橫截、豎截、斜截。最后，我們要了解每一種立體圖形通過上述三種截面方式所得到的截面圖有哪些。2、正六面體的基本斜截面：3、圓柱體的基本截面：正六面體斜截面是不會(huì)出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形。技能1.結(jié)合線、面平行的判定定理與性質(zhì)性質(zhì)求截面問題；技能2.結(jié)合線、面垂直的判定定理與性質(zhì)定理求正方體中截面問題；技能3.猜想法求最值問題：要靈活運(yùn)用一些特殊圖形與幾何體的特征，“動(dòng)中找靜”：如正三角形、正六邊形、正三棱錐等；技能4.建立函數(shù)模型求最值問題：①設(shè)元②建立二次函數(shù)模型③求最值?！绢}型精講】【題型一截面形狀判斷】技巧方法確定截面的主要依據(jù)用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵．(1)平面的四個(gè)公理及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．例1(2023·陜西安康·高三期末）已知在一個(gè)棱長為12的正方體中，和的中點(diǎn)分別為，，如圖，則過，，三點(diǎn)的平面被正方體所截得的截面圖形為 A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形例2(2023·海原縣高三模擬）在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面，如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是樓、中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則過線段且平行于平面的截面圖形為A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）正方體中，、分別是棱和上的點(diǎn)，，，那么正方體的過、、的截面圖形是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【題型二截面面積求解】例3(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．例4(2023·河南·高三階段練習(xí)）如圖所示，已知球?yàn)槔忾L為3的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為A． B． C． D．【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點(diǎn)，，的平面截得的截面面積為A． B．36 C． D．2.(2023·全國高三模擬）棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，，分別為棱，的中點(diǎn)，則經(jīng)過，球的截面面積的最小值為A． B． C． D．【題型三平行、垂直有關(guān)的軌跡問題】例5(2023·江西高三模擬）（多選）如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿足MP//平面的點(diǎn)P的軌跡長度為B．滿足的點(diǎn)P的軌跡長度為C．存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過點(diǎn)BD．存在點(diǎn)P滿足例6（2023·全國·高三專題練習(xí)）直四棱柱的底面是邊長為的正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到底面的距離為__________若為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為__________．【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）如圖，正方體的棱長為2，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面截正方體所得截面面積為B．點(diǎn)F的軌跡長度為C．存在點(diǎn)F，使得D．平面與平面所成二面角的正弦值為2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)M是棱長為2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為BC邊上中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長度為______．【題型四距離、角度有關(guān)的軌跡問題】例7（多選題）(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面平行B．存在點(diǎn)P，M，使得二面角大小為C．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長度為D．當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為___________．【題型精練】1.（多選題）如圖，正方體棱長為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面PBD平行B．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面是梯形C．過點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面圖形不可能為五邊形D．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長度為2.在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為___________；若動(dòng)點(diǎn)M在該三棱錐外接球上，且，則點(diǎn)M的軌跡長為___________.【題型五翻折中的軌跡問題】例9(2023·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，在翻折到的過程中，下列說法正確的是_________．（將正確說法的序號(hào)都寫上）

①點(diǎn)的軌跡為圓弧；②存在某一翻折位置，使得；③棱的中點(diǎn)為，則的長為定值；【題型精練】1.(2023·四川高三模擬）（多選）已知正方形ABCD的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四面體的外接球的表面積為B．四面體體積取最大值時(shí)，與平面ABC所成角為45°C．點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為7.3空間幾何體截面、軌跡問題【題型解讀】【知識(shí)必備】1．截面定義：在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體（包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長方體，正方體等等），得到的平面圖形，叫截面。其次，我們要清楚立體圖形的截面方式，總共有三種，分別為橫截、豎截、斜截。最后，我們要了解每一種立體圖形通過上述三種截面方式所得到的截面圖有哪些。2、正六面體的基本斜截面：3、圓柱體的基本截面：正六面體斜截面是不會(huì)出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形。技能1.結(jié)合線、面平行的判定定理與性質(zhì)性質(zhì)求截面問題；技能2.結(jié)合線、面垂直的判定定理與性質(zhì)定理求正方體中截面問題；技能3.猜想法求最值問題：要靈活運(yùn)用一些特殊圖形與幾何體的特征，“動(dòng)中找靜”：如正三角形、正六邊形、正三棱錐等；技能4.建立函數(shù)模型求最值問題：①設(shè)元②建立二次函數(shù)模型③求最值?！绢}型精講】【題型一截面形狀判斷】技巧方法確定截面的主要依據(jù)用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關(guān)鍵．(1)平面的四個(gè)公理及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．例1(2023·陜西安康·高三期末）已知在一個(gè)棱長為12的正方體中，和的中點(diǎn)分別為，，如圖，則過，，三點(diǎn)的平面被正方體所截得的截面圖形為 A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形答案：B【解析】在一個(gè)棱長為12的正方體中，和的中點(diǎn)分別為，，如圖，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)、，，，，，平面平面，又平面，平面，，，，過，，三點(diǎn)的平面被正方體所截得的截面圖形為五邊形．故選：．例2(2023·海原縣高三模擬）在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面，如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是樓、中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則過線段且平行于平面的截面圖形為A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形答案：D【解析】取的中點(diǎn)，如圖連接、、、，由題意得：，，，，平面平面，過線段且平行于平面的截面圖形為等腰梯形．故選：．【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形答案：D【解析】分別取、、的中點(diǎn)、、，連結(jié)、、，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，，六邊形是過，，這三點(diǎn)的截面圖，過這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形．故選：．2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）正方體中，、分別是棱和上的點(diǎn)，，，那么正方體的過、、的截面圖形是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形答案：C【解析】正方體中，、分別是棱和上的點(diǎn)，，，延長交于，延長交于，連結(jié)交于，于，連結(jié)，，則正方體的過、、的截面圖形是五邊形．故選：．【題型二截面面積求解】例3(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．答案：A【解析】正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時(shí)，截此正方體所得截面面積的最大，此時(shí)正六邊形的邊長，截此正方體所得截面最大值為：．故選：．例4(2023·河南·高三階段練習(xí)）如圖所示，已知球?yàn)槔忾L為3的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為A． B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意知，平面是邊長為的正三角形，且球與包含上三角形的三邊的平面的切點(diǎn)恰好在此三線段的中點(diǎn)，故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，則由圖得，內(nèi)切圓的半徑是：，平面截球的截面面積為：．故選：．【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點(diǎn)，，的平面截得的截面面積為A． B．36 C． D．答案：C【解析】由題意可知，正四棱柱中，，，可得，，在上取一點(diǎn)，使得，如圖所示，連結(jié)，，可得且，則四邊形是平行四邊形，四棱柱被過點(diǎn)，，的平面截得的截面為，由勾股定理可得，，，所以，所以，所以平行四邊形的面積為．故選：．2.(2023·全國高三模擬）棱長為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，，分別為棱，的中點(diǎn)，則經(jīng)過，球的截面面積的最小值為A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球，所以，，過球心和點(diǎn)、的大圓的截面圖如圖所示，則直線被球截得的線段為，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，，所以，在中，．所以所求經(jīng)過、的平面截球所得的截面的面積的最小值是：．故選：．【題型三平行、垂直有關(guān)的軌跡問題】例5(2023·江西高三模擬）（多選）如圖，已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿足MP//平面的點(diǎn)P的軌跡長度為B．滿足的點(diǎn)P的軌跡長度為C．存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過點(diǎn)BD．存在點(diǎn)P滿足答案：AD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；對(duì)B，方法一：在平面中過作，交于，設(shè)，則，，，由，可解得，同理，在平面中過作，交于，可得，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)?，所以平面，所以點(diǎn)P的軌跡為線段，長度為，故B不正確；方法二：以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，，，，即，又，，則點(diǎn)的軌跡為線段，,且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方法一：取中點(diǎn)，連接，正方體中，易得，所以平面截正方體的截面為平面，顯然平面，故不存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過點(diǎn)B，故C錯(cuò)誤；方法二：設(shè)，且，，若平面AMP經(jīng)過點(diǎn)B，則，且，又,所以，即，因此，從而，不合題意，所以不存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過點(diǎn)B,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方法一：延長至，令，則，所以，因?yàn)椋源嬖邳c(diǎn)滿足，故D正確.方法二：點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，故，故存在點(diǎn)滿足，故D正確.故選：AD.例6（2023·全國·高三專題練習(xí)）直四棱柱的底面是邊長為的正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到底面的距離為__________若為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為__________．答案：

【解析】解：由點(diǎn)為的中點(diǎn)可得，點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面距離的一半，則點(diǎn)到平面的距離為，故點(diǎn)到平面的距離為；，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

，設(shè)以為球心，的長為半徑的球與平面所截得的圓的半徑為，則，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡即為以正方形的中心為圓心，為半徑的圓留在正方形內(nèi)的圓弧，如圖，為中點(diǎn)，所以,所以,所以，點(diǎn)軌跡所形成的圓弧長為．故答案為：；.【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）如圖，正方體的棱長為2，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面截正方體所得截面面積為B．點(diǎn)F的軌跡長度為C．存在點(diǎn)F，使得D．平面與平面所成二面角的正弦值為答案：AC【解析】取CD中點(diǎn)G，連接BG、EG，則等腰梯形為截面，而，，故梯形面積為，A正確；取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，連接，則，故四邊形為平行四邊形，則得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN，其長度為，B錯(cuò)誤；取MN的中點(diǎn)F，則，∴，∵，∴，C正確；因?yàn)槠矫嫫矫媲?，，∴即為平面與平面所成二面角，，D錯(cuò)誤．故選：AC.2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)M是棱長為2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為BC邊上中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長度為______．答案：【解析】如圖，正方體的內(nèi)切球的半徑，由題意，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，在正方體中，四邊形為平行四邊形，所以、、、四點(diǎn)共面，則，，，所以，，所以，，，平面，平面，，，平面，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是平面截內(nèi)切球的交線，取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，易知點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面，平面，則，，平面，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則到平面的距離為，截面圓的半徑，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度為截面圓的周長．故答案為：.【題型四距離、角度有關(guān)的軌跡問題】例7（多選題）(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面平行B．存在點(diǎn)P，M，使得二面角大小為C．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長度為D．當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為答案：ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)，易得，又平面，平面，則平面，同理可得平面，又，則平面與平面平行，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面，則，又，可知二面角的平面角為，顯然其范圍為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取中點(diǎn)E，連接，則平面，則，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為以E為圓心半徑為2的劣弧，分別交?于?，則，則，劣弧的長為.故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，易知為等腰直角三角形，，又平面，則，又平面，，則平面，則，又，可知四棱錐外接球的球心即為的中點(diǎn)，所以四棱錐外接球的半徑為，設(shè)四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的棱長為x，將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體的面對(duì)角線，故正方體的棱長為，正方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，所以，得，所以正四面體的表面積為，所以D正確.故選：ACD.例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為___________．答案：【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，由題意可知平面，所以是與平面所成的角，所以＝.由可得，即.在四面體中，,

,所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示：所以解得，,又因?yàn)?，所以，即在平面?nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，所以.故答案為:.【題型精練】1.（多選題）如圖，正方體棱長為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面PBD平行B．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面是梯形C．過點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面圖形不可能為五邊形D．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長度為答案：ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)，連接、，又平面PBD，平面PBD，則平面PBD，，又平面PBD，平面PBD，則平面PBD，又，則平面平面PBD.故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取BC中點(diǎn)N，連接則，，則，又則為梯形．則梯形為截面，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)，在上取點(diǎn)Q，使，在上取點(diǎn)T，使連接、，則，則四邊形為平行四邊形，則在平面內(nèi)過點(diǎn)M作，交于N，則連接，則則五邊形為過點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面.故C判斷錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，取中點(diǎn)E，連接PE，ME，PM，則平面，，則，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為以E為圓心半徑為2的劣弧，分別交AD、于、，則，則，劣弧的長為．故D正確.故選：ABD2.在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為___________；若動(dòng)點(diǎn)M在該三棱錐外接球上，且，則點(diǎn)M的軌跡長為___________.答案：

【解析】由平面，得，三棱錐為直三棱錐，其外接球相當(dāng)于以為棱的長方體的外接球，故外接球半徑為，故三棱錐外接球的表面積為；如圖，中點(diǎn)為F，則易得以為棱的正方體，由正方體的對(duì)稱性，要使，則M在的角平分面上，即面，故M的軌跡為面與外接球相交出的圓.取AP、HE中點(diǎn)I、J，由正方體的對(duì)稱性易得面面，且，故，故IJ上的高，故M的軌跡圓的半徑，故軌跡長為.故答案為：；【題型五翻折中的軌跡問題】例9