高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.3空間幾何體截面、軌跡問(wèn)題(精講)(原卷版+解析)

7.3空間幾何體截面、軌跡問(wèn)題【題型解讀】【知識(shí)必備】1．截面定義：在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體（包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長(zhǎng)方體，正方體等等），得到的平面圖形，叫截面。其次，我們要清楚立體圖形的截面方式，總共有三種，分別為橫截、豎截、斜截。最后，我們要了解每一種立體圖形通過(guò)上述三種截面方式所得到的截面圖有哪些。2、正六面體的基本斜截面：3、圓柱體的基本截面：正六面體斜截面是不會(huì)出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形。技能1.結(jié)合線、面平行的判定定理與性質(zhì)性質(zhì)求截面問(wèn)題；技能2.結(jié)合線、面垂直的判定定理與性質(zhì)定理求正方體中截面問(wèn)題；技能3.猜想法求最值問(wèn)題：要靈活運(yùn)用一些特殊圖形與幾何體的特征，“動(dòng)中找靜”：如正三角形、正六邊形、正三棱錐等；技能4.建立函數(shù)模型求最值問(wèn)題：①設(shè)元②建立二次函數(shù)模型③求最值?！绢}型精講】【題型一截面形狀判斷】技巧方法確定截面的主要依據(jù)用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵．(1)平面的四個(gè)公理及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．例1(2023·陜西安康·高三期末）已知在一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體中，和的中點(diǎn)分別為，，如圖，則過(guò)，，三點(diǎn)的平面被正方體所截得的截面圖形為 A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形例2(2023·海原縣高三模擬）在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面，如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是樓、中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則過(guò)線段且平行于平面的截面圖形為A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則過(guò)這三點(diǎn)的截面圖的形狀是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形2.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）正方體中，、分別是棱和上的點(diǎn)，，，那么正方體的過(guò)、、的截面圖形是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【題型二截面面積求解】例3(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．例4(2023·河南·高三階段練習(xí)）如圖所示，已知球?yàn)槔忾L(zhǎng)為3的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為A． B． C． D．【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過(guò)點(diǎn)，，的平面截得的截面面積為A． B．36 C． D．2.(2023·全國(guó)高三模擬）棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，，分別為棱，的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)，球的截面面積的最小值為A． B． C． D．【題型三平行、垂直有關(guān)的軌跡問(wèn)題】例5(2023·江西高三模擬）（多選）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿(mǎn)足MP//平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B．滿(mǎn)足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)BD．存在點(diǎn)P滿(mǎn)足例6（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到底面的距離為_(kāi)_________若為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_________．【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面截正方體所得截面面積為B．點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為C．存在點(diǎn)F，使得D．平面與平面所成二面角的正弦值為2.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為BC邊上中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．【題型四距離、角度有關(guān)的軌跡問(wèn)題】例7（多選題）(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面平行B．存在點(diǎn)P，M，使得二面角大小為C．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為_(kāi)__________．【題型精練】1.（多選題）如圖，正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面PBD平行B．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面是梯形C．過(guò)點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面圖形不可能為五邊形D．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為2.在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)__________；若動(dòng)點(diǎn)M在該三棱錐外接球上，且，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)為_(kāi)__________.【題型五翻折中的軌跡問(wèn)題】例9(2023·江西萍鄉(xiāng)·三模（理））如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿翻折到，連接，在翻折到的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是_________．（將正確說(shuō)法的序號(hào)都寫(xiě)上）

①點(diǎn)的軌跡為圓?。虎诖嬖谀骋环畚恢?，使得；③棱的中點(diǎn)為，則的長(zhǎng)為定值；【題型精練】1.(2023·四川高三模擬）（多選）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過(guò)程中，點(diǎn)始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四面體的外接球的表面積為B．四面體體積取最大值時(shí)，與平面ABC所成角為45°C．點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為7.3空間幾何體截面、軌跡問(wèn)題【題型解讀】【知識(shí)必備】1．截面定義：在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體（包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長(zhǎng)方體，正方體等等），得到的平面圖形，叫截面。其次，我們要清楚立體圖形的截面方式，總共有三種，分別為橫截、豎截、斜截。最后，我們要了解每一種立體圖形通過(guò)上述三種截面方式所得到的截面圖有哪些。2、正六面體的基本斜截面：3、圓柱體的基本截面：正六面體斜截面是不會(huì)出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形。技能1.結(jié)合線、面平行的判定定理與性質(zhì)性質(zhì)求截面問(wèn)題；技能2.結(jié)合線、面垂直的判定定理與性質(zhì)定理求正方體中截面問(wèn)題；技能3.猜想法求最值問(wèn)題：要靈活運(yùn)用一些特殊圖形與幾何體的特征，“動(dòng)中找靜”：如正三角形、正六邊形、正三棱錐等；技能4.建立函數(shù)模型求最值問(wèn)題：①設(shè)元②建立二次函數(shù)模型③求最值?！绢}型精講】【題型一截面形狀判斷】技巧方法確定截面的主要依據(jù)用一個(gè)平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個(gè)幾何體的截面，利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問(wèn)題的關(guān)鍵．(1)平面的四個(gè)公理及推論．(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì)．(3)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)．(4)球的截面的性質(zhì)．例1(2023·陜西安康·高三期末）已知在一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體中，和的中點(diǎn)分別為，，如圖，則過(guò)，，三點(diǎn)的平面被正方體所截得的截面圖形為 A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形答案：B【解析】在一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體中，和的中點(diǎn)分別為，，如圖，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)、，，，，，平面平面，又平面，平面，，，，過(guò)，，三點(diǎn)的平面被正方體所截得的截面圖形為五邊形．故選：．例2(2023·海原縣高三模擬）在立體幾何中，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體得到的平面圖形叫截面，如圖，在正方體中，點(diǎn)、分別是樓、中點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則過(guò)線段且平行于平面的截面圖形為A．矩形 B．三角形 C．正方形 D．等腰梯形答案：D【解析】取的中點(diǎn)，如圖連接、、、，由題意得：，，，，平面平面，過(guò)線段且平行于平面的截面圖形為等腰梯形．故選：．【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬已知在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，則過(guò)這三點(diǎn)的截面圖的形狀是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形答案：D【解析】分別取、、的中點(diǎn)、、，連結(jié)、、，在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn)，，，，六邊形是過(guò)，，這三點(diǎn)的截面圖，過(guò)這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形．故選：．2.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）正方體中，、分別是棱和上的點(diǎn)，，，那么正方體的過(guò)、、的截面圖形是A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形答案：C【解析】正方體中，、分別是棱和上的點(diǎn)，，，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，連結(jié)交于，于，連結(jié)，，則正方體的過(guò)、、的截面圖形是五邊形．故選：．【題型二截面面積求解】例3(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．答案：A【解析】正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時(shí)，截此正方體所得截面面積的最大，此時(shí)正六邊形的邊長(zhǎng)，截此正方體所得截面最大值為：．故選：．例4(2023·河南·高三階段練習(xí)）如圖所示，已知球?yàn)槔忾L(zhǎng)為3的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為A． B． C． D．答案：A【解析】根據(jù)題意知，平面是邊長(zhǎng)為的正三角形，且球與包含上三角形的三邊的平面的切點(diǎn)恰好在此三線段的中點(diǎn)，故所求截面的面積是該正三角形的內(nèi)切圓的面積，則由圖得，內(nèi)切圓的半徑是：，平面截球的截面面積為：．故選：．【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過(guò)點(diǎn)，，的平面截得的截面面積為A． B．36 C． D．答案：C【解析】由題意可知，正四棱柱中，，，可得，，在上取一點(diǎn)，使得，如圖所示，連結(jié)，，可得且，則四邊形是平行四邊形，四棱柱被過(guò)點(diǎn)，，的平面截得的截面為，由勾股定理可得，，，所以，所以，所以平行四邊形的面積為．故選：．2.(2023·全國(guó)高三模擬）棱長(zhǎng)為1的正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，，分別為棱，的中點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)，球的截面面積的最小值為A． B． C． D．答案：C【解析】因?yàn)檎襟w內(nèi)接于球，所以，，過(guò)球心和點(diǎn)、的大圓的截面圖如圖所示，則直線被球截得的線段為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，，，所以，在中，．所以所求經(jīng)過(guò)、的平面截球所得的截面的面積的最小值是：．故選：．【題型三平行、垂直有關(guān)的軌跡問(wèn)題】例5(2023·江西高三模擬）（多選）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為正方形上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．滿(mǎn)足MP//平面的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為B．滿(mǎn)足的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為C．存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)BD．存在點(diǎn)P滿(mǎn)足答案：AD【解析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故點(diǎn)的軌跡為線段，故A正確；對(duì)B，方法一：在平面中過(guò)作，交于，設(shè)，則，，，由，可解得，同理，在平面中過(guò)作，交于，可得，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)?，所以平面，所以點(diǎn)P的軌跡為線段，長(zhǎng)度為，故B不正確；方法二：以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，且，，，，，即，又，，則點(diǎn)的軌跡為線段，,且，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，方法一：取中點(diǎn)，連接，正方體中，易得，所以平面截正方體的截面為平面，顯然平面，故不存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，故C錯(cuò)誤；方法二：設(shè)，且，，若平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則，且，又,所以，即，因此，從而，不合題意，所以不存在點(diǎn)P，使得平面AMP經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方法一：延長(zhǎng)至，令，則，所以，因?yàn)?，所以存在點(diǎn)滿(mǎn)足，故D正確.方法二：點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的為，三點(diǎn)共線時(shí)線段和最短，故，故存在點(diǎn)滿(mǎn)足，故D正確.故選：AD.例6（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到底面的距離為_(kāi)_________若為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_________．答案：

【解析】解：由點(diǎn)為的中點(diǎn)可得，點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面距離的一半，則點(diǎn)到平面的距離為，故點(diǎn)到平面的距離為；，點(diǎn)為的中點(diǎn)，

，設(shè)以為球心，的長(zhǎng)為半徑的球與平面所截得的圓的半徑為，則，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡即為以正方形的中心為圓心，為半徑的圓留在正方形內(nèi)的圓弧，如圖，為中點(diǎn)，所以,所以,所以，點(diǎn)軌跡所形成的圓弧長(zhǎng)為．故答案為：；.【題型精練】1．(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面截正方體所得截面面積為B．點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為C．存在點(diǎn)F，使得D．平面與平面所成二面角的正弦值為答案：AC【解析】取CD中點(diǎn)G，連接BG、EG，則等腰梯形為截面，而，，故梯形面積為，A正確；取中點(diǎn)M，中點(diǎn)N，連接，則，故四邊形為平行四邊形，則得，而平面，平面，故平面，同理平面，而，平面，故平面平面，∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段MN，其長(zhǎng)度為，B錯(cuò)誤；取MN的中點(diǎn)F，則，∴，∵，∴，C正確；因?yàn)槠矫嫫矫媲遥?，∴即為平面與平面所成二面角，，D錯(cuò)誤．故選：AC.2.(2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)切球O球面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為BC邊上中點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．答案：【解析】如圖，正方體的內(nèi)切球的半徑，由題意，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，在正方體中，四邊形為平行四邊形，所以、、、四點(diǎn)共面，則，，，所以，，所以，，，平面，平面，，，平面，所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是平面截內(nèi)切球的交線，取的中點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形，易知點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作，平面，平面，則，，平面，，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，則到平面的距離為，截面圓的半徑，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為截面圓的周長(zhǎng)．故答案為：.【題型四距離、角度有關(guān)的軌跡問(wèn)題】例7（多選題）(2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面平行B．存在點(diǎn)P，M，使得二面角大小為C．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為D．當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的表面積為答案：ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)，易得，又平面，平面，則平面，同理可得平面，又，則平面與平面平行，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面，則，又，可知二面角的平面角為，顯然其范圍為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取中點(diǎn)E，連接，則平面，則，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為以E為圓心半徑為2的劣弧，分別交?于?，則，則，劣弧的長(zhǎng)為.故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，易知為等腰直角三角形，，又平面，則，又平面，，則平面，則，又，可知四棱錐外接球的球心即為的中點(diǎn)，所以四棱錐外接球的半徑為，設(shè)四棱錐外接球的內(nèi)接正四面體的棱長(zhǎng)為x，將四面體拓展成正方體，其中正四面體棱為正方體的面對(duì)角線，故正方體的棱長(zhǎng)為，正方體的體對(duì)角線為外接球的直徑，所以，得，所以正四面體的表面積為，所以D正確.故選：ACD.例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體中，，點(diǎn)E為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，若，則點(diǎn)E的軌跡所圍成的面積為_(kāi)__________．答案：【解析】如圖所示，連接交平面于，連接，由題意可知平面，所以是與平面所成的角，所以＝.由可得，即.在四面體中，,

,所以四面體為正三棱錐，為的重心，如圖所示：所以解得，,又因?yàn)椋?，即在平面?nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，所以.故答案為:.【題型精練】1.（多選題）如圖，正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，M，使得平面與平面PBD平行B．當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面是梯形C．過(guò)點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面圖形不可能為五邊形D．當(dāng)P為棱的中點(diǎn)且時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為答案：ABD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)，連接、，又平面PBD，平面PBD，則平面PBD，，又平面PBD，平面PBD，則平面PBD，又，則平面平面PBD.故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取BC中點(diǎn)N，連接則，，則，又則為梯形．則梯形為截面，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)M為中點(diǎn)，P為中點(diǎn)時(shí)，在上取點(diǎn)Q，使，在上取點(diǎn)T，使連接、，則，則四邊形為平行四邊形，則在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)M作，交于N，則連接，則則五邊形為過(guò)點(diǎn)A，P，M的平面截該正方體所得的截面.故C判斷錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，取中點(diǎn)E，連接PE，ME，PM，則平面，，則，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡為以E為圓心半徑為2的劣弧，分別交AD、于、，則，則，劣弧的長(zhǎng)為．故D正確.故選：ABD2.在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)__________；若動(dòng)點(diǎn)M在該三棱錐外接球上，且，則點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)為_(kāi)__________.答案：

【解析】由平面，得，三棱錐為直三棱錐，其外接球相當(dāng)于以為棱的長(zhǎng)方體的外接球，故外接球半徑為，故三棱錐外接球的表面積為；如圖，中點(diǎn)為F，則易得以為棱的正方體，由正方體的對(duì)稱(chēng)性，要使，則M在的角平分面上，即面，故M的軌跡為面與外接球相交出的圓.取AP、HE中點(diǎn)I、J，由正方體的對(duì)稱(chēng)性易得面面，且，故，故IJ上的高，故M的軌跡圓的半徑，故軌跡長(zhǎng)為.故答案為：；【題型五翻折中的軌跡問(wèn)題】例9