高三數學一輪復習題型與戰(zhàn)法精準訓練(新高考專用)2.6.1冪函數(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第二章函數2.6.1冪函數（題型戰(zhàn)法）知識梳理一冪函數的概念一般地，函數稱為冪函數，其中為常數.注意：冪函數中底數是自變量，而指數函數中指數為自變量.二冪函數的圖像與性質（1）五個常見冪函數的圖像：如右圖所示（2）五個常見冪函數的性質：函數性質y＝xy＝x2y＝x3定義域RRR值域RR奇偶性奇非奇非偶偶奇奇單調性R上增上增(－∞，0)上減[0，＋∞)上增R上增(－∞，0)上減(0，＋∞)上減公共點（1）所有的冪函數在區(qū)間上都有定義，因此在第一象限內都有圖像，并且圖像都過點.（2）如果，冪函數圖像過原點，并且在上是增函數（3）如果，冪函數圖像過原點，并且在上是減函數題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一冪函數的概念典例1．下列函數是冪函數的是（

）A．B．C． D．變式1-1．下列函數是冪函數的是（

）A．B．C． D．變式1-2．已知冪函數的圖象過點，則的值為（

）A． B． C． D．變式1-3．已知冪函數的圖象不過原點，則實數m的取值為（

）A．1 B．2 C．-2 D．1或2變式1-4．已知冪函數的圖象過點，則等于（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法二冪函數的圖像典例2．函數的圖象大致為（

）A．B．C．D．變式2-1．已知冪函數的圖象過點，則函數的圖象是（

）A．B．C． D．變式2-2．如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中①對應的冪函數是（

）A． B． C． D．變式2-3．圖中C1、C2、C3為三個冪函數在第一象限內的圖象，則解析式中指數的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、變式2-4．已知冪函數和，其中，則有下列說法：①和圖象都過點；②和圖象都過點；③在區(qū)間上，增長速度更快的是；④在區(qū)間上，增長速度更快的是.則其中正確命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④題型戰(zhàn)法三冪函數的定義域典例3．下列冪函數中，定義域為的是（

）A． B． C． D．變式3-1．若有意義，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3-2．函數的定義域是（

）A． B． C． D．變式3-3．5個冪函數：①；②；③；④；⑤.其中定義域為的是（

）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤變式3-4．若函數則函數y＝f(4x－3)的定義域是()A．(－∞，＋∞) B．C． D．題型戰(zhàn)法四冪函數的值域典例4．函數在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C．4 D．變式4-1．在下列函數中，定義域和值域不同的是（

）A． B． C． D．變式4-2．冪函數的圖象過點，則函數的值域是（

）A． B． C． D．變式4-3．已知函數fx=3x?2,xA． B．C． D．變式4-4．已知冪函數的圖象過點，則函數的值域為A． B． C． D．題型戰(zhàn)法五冪函數的單調性典例5．下列函數在上為減函數的是（

）A． B． C． D．變式5-1．已知函數的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．變式5-2．已知函數是減函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5-3．已知冪函數在上是增函數，則實數的值為（

）A．1或 B．3 C． D．或3變式5-4．已知冪函數在上為增函數，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8題型戰(zhàn)法六冪函數的奇偶性典例6．下列函數是奇函數的為（

）A． B．C． D．變式6-1．下列函數中，值域是且為偶函數的是（

）A． B． C． D．變式6-2．下列函數中，既是奇函數又是定義域內的增函數為（

）A． B．C． D．變式6-3．設，使函數的定義域是R，且為偶函數的所有的值是（

）A．2 B．1，2C．，2 D．，1，2變式6-4．已知冪函數為偶函數，則實數的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1或2題型戰(zhàn)法七比較大小與解不等式典例7．設，則a，b，c大小關系為（

）A． B． C． D．變式7-1．，則（

）A． B． C． D．變式7-2．設，，，則（

）A． B． C． D．變式7-3．已知，則的取值范圍是（

）A．2,+∞ B． C． D．變式7-4．若，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．第二章函數2.6.1冪函數（題型戰(zhàn)法）知識梳理一冪函數的概念一般地，函數稱為冪函數，其中為常數.注意：冪函數中底數是自變量，而指數函數中指數為自變量.二冪函數的圖像與性質（1）五個常見冪函數的圖像：如右圖所示（2）五個常見冪函數的性質：函數性質y＝xy＝x2y＝x3定義域RRR值域RR奇偶性奇非奇非偶偶奇奇單調性R上增上增(－∞，0)上減[0，＋∞)上增R上增(－∞，0)上減(0，＋∞)上減公共點（1）所有的冪函數在區(qū)間上都有定義，因此在第一象限內都有圖像，并且圖像都過點.（2）如果，冪函數圖像過原點，并且在上是增函數（3）如果，冪函數圖像過原點，并且在上是減函數題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一冪函數的概念典例1．下列函數是冪函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由冪函數定義可直接得到結果.【詳解】形如的函數為冪函數，則為冪函數.故選：C.變式1-1．下列函數是冪函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據冪函數的定義判斷.【詳解】形如（為常數且）為冪函數，所以，函數為冪函數，函數、、均不是冪函數.故選：C.變式1-2．已知冪函數的圖象過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設，由已知條件求出的值，可得出函數的解析式，由此可求得的值.【詳解】設，由，可得，則，因此，.故選：B.變式1-3．已知冪函數的圖象不過原點，則實數m的取值為（

）A．1 B．2 C．-2 D．1或2【答案】A【解析】【分析】根據題意，可知系數為1，指數應小于0，由此列出不等式組，解得答案.【詳解】由題意可知：，解得,經經驗，符合題意，故選：A.變式1-4．已知冪函數的圖象過點，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據冪函數的定義，結合代入法進行求解即可.【詳解】因為是冪函數，所以，又因為函數的圖象過點，所以，因此，故選：A題型戰(zhàn)法二冪函數的圖像典例2．函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據冪函數的性質判斷函數值、增長特點，即可確定大致圖象.【詳解】由，排除B、D，根據對應冪函數的性質，第一象限增速逐漸變慢，排除C.故選：A.變式2-1．已知冪函數的圖象過點，則函數的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】設出函數的解析式，根據冪函數的圖象過點，構造方程求出指數的值，再結合函數的解析式研究其性質即可得到圖象．【詳解】設冪函數的解析式為，∵冪函數的圖象過點，∴，解得∴，其定義域為，且是增函數，當時，其圖象在直線的上方．對照選項可知C滿足題意．故選:C．變式2-2．如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中①對應的冪函數是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據函數圖象求出冪函數的指數取值范圍，得到正確答案.【詳解】根據函數圖象可得：①對應的冪函數在上單調遞增，且增長速度越來越慢，故，故D選項符合要求.故選：D變式2-3．圖中C1、C2、C3為三個冪函數在第一象限內的圖象，則解析式中指數的值依次可以是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】D【解析】【分析】根據冪函數在第一象限內的圖象性質，結合選項即可得出指數的可能取值．【詳解】由冪函數在第一象限內的圖象，結合冪函數的性質，可得：圖中C1對應的，C2對應的，C3對應的，結合選項知，指數的值依次可以是．故選：D.變式2-4．已知冪函數和，其中，則有下列說法：①和圖象都過點；②和圖象都過點；③在區(qū)間上，增長速度更快的是；④在區(qū)間上，增長速度更快的是.則其中正確命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【答案】A【解析】【分析】由冪函數的性質進行分析判斷即可【詳解】冪函數的圖象過定點，①正確，在區(qū)間上，越大增長速度更快，③正確，故選：A.題型戰(zhàn)法三冪函數的定義域典例3．下列冪函數中，定義域為的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】直接根據冪函數的定義域可直接判斷，偶次根式被開方式必須大于等于0才有意義，分式則必須分母不為0【詳解】對選項，則有：對選項，則有：對選項，定義域為：對選項，則有：故答案選：變式3-1．若有意義，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】將分式指數冪化為根式，結合根式的性質可得出關于實數的不等式，即可解得實數的取值范圍.【詳解】由負分數指數冪的意義可知，，所以，即，因此的取值范圍是．故選：C.變式3-2．函數的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據函數解析式有意義可得出關于實數的不等式組，由此可解得函數的定義域.【詳解】因為，則有，解得且，因此的定義域是．故選：B.變式3-3．5個冪函數：①；②；③；④；⑤.其中定義域為的是（

）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【答案】C【解析】【分析】分別寫出所給函數的定義域，然后作出判斷即可.【詳解】①的定義域為，②的定義域為R，③的定義域為，④的定義域為R，⑤的定義域為，故選：C.【點睛】本題考查冪函數的定義，側重考查對基礎知識的理解和掌握，屬于基礎題.變式3-4．若函數則函數y＝f(4x－3)的定義域是()A．(－∞，＋∞) B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出，根據冪函數的定義域求解即可.【詳解】冪函數，,所以，所以，所以函數的定義域是，故選D.【點睛】本題主要考函數的定義域、不等式的解法，屬于簡單題.定義域的三種類型及求法：(1)已知函數的解析式，則構造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構成的不等式(組)求解；(3)若已知函數的定義域為，則函數的定義域由不等式求出.題型戰(zhàn)法四冪函數的值域典例4．函數在區(qū)間上的最小值是（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】【分析】由于函數在區(qū)間上是減函數，從而可求出其最小值【詳解】∵函數在區(qū)間上是減函數，∴，故選：A.【點睛】此題考查由函數的單調性求最值，屬于基礎題變式4-1．在下列函數中，定義域和值域不同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】把冪函數寫成根式的形式即可求出定義域及值域，逐項分析即可得解.【詳解】由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，定義域、值域相同；由可知，,，定義域、值域相同；由可知，，，定義域、值域不相同.故選：D變式4-2．冪函數的圖象過點，則函數的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設，帶點計算可得，得到，令轉化為二次函數的值域求解即可.【詳解】設，代入點得，則，令，函數的值域是.故選：C.變式4-3．已知函數fx=3x?2,xA． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】結合分段函數的單調性來求得的值域.【詳解】當吋，單調遞增，值域為；當時，單調遞增，值域為，故函數值域為.故選：B變式4-4．已知冪函數的圖象過點，則函數的值域為A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】試題分析：的圖象過點，值域為考點：冪函數值域題型戰(zhàn)法五冪函數的單調性典例5．下列函數在上為減函數的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據冪函數的性質去判斷各選項的單調性即可解決.【詳解】選項A：由可得在上單調遞增.不符合要求，排除；選項B：由可得在上單調遞減.符合要求，可選；選項C：由可得在上單調遞增.不符合要求，排除；選項D：由可得在上單調遞增.不符合要求，排除.故選：B變式5-1．已知函數的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求得函數的定義域，再令，結合的單調性，利用復合函數的單調性求解.【詳解】由，解得或，因為在遞減，在遞增，又因為在遞增，所以增區(qū)間為故選：A變式5-2．已知函數是減函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由分段函數是減函數及冪函數的單調性，可得，解不等式組即可得答案.【詳解】解：因為函數是減函數，所以，解得，所以實數的取值范圍是，故選：A.變式5-3．已知冪函數在上是增函數，則實數的值為（

）A．1或 B．3 C． D．或3【答案】B【解析】【分析】由函數是冪函數，解得或，再代入原函數，由函數在上是增函數確定最后的值.【詳解】∵函數是冪函數，則，∴或.當時在上是增函數，符合題意；當時在上是減函數，不合題意.故選：B.變式5-4．已知冪函數在上為增函數，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】【分析】由于冪函數在在上為增函數，所以可得，求出的值，從而可求出冪函數的解析式，進而可求得答案【詳解】由題意得，得，則，．故選：A題型戰(zhàn)法六冪函數的奇偶性典例6．下列函數是奇函數的為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】奇函數應該滿足，且定義域關于原點對稱，對選項一一判斷即可．【詳解】奇函數應該滿足，，的定義域為顯然A,C,不成立，當時，有，所以為奇函數，由可知，為偶函數.故選：B．變式6-1．下列函數中，值域是且為偶函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據函數的奇偶性和值域確定正確選項.【詳解】的值域為，不符合題意，A選項錯誤.，當時等號成立，不符合題意，B選項錯誤.的定義域為，是非奇非偶函數，不符合題意，C選項錯誤.令，其定義域為，，所以是偶函數，且，即的值域為，符合題意，D選項正確.故選：D變式6-2．下列函數中，既是奇函數又是定義域內的增函數為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據初等函數的性質及奇函數的定義結合反例逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，的定義域為，而，但，故在定義域上不是增函數，故A錯誤.對于B，的定義域為，它不關于原點對稱，故該函數不是奇函數，故B錯誤.對于C，因為時，，故在定義域上不是增函數，故C錯誤.對于D，因為為冪函數且冪指數為3，故其定義域為R，且為增函數，而，故為奇函數，符合.故選：D.變式6-3．設，使函數的定義域是R，且為偶函數的所有的