高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與戰(zhàn)法精準(zhǔn)訓(xùn)練(新高考專用)6.2.1等比數(shù)列(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第六章數(shù)列6.2.1等比數(shù)列（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一等比數(shù)列的通項(xiàng)公式二等比數(shù)列的求和公式三等比數(shù)列的性質(zhì)(1)在等比數(shù)列中，若，則(2)在等比數(shù)列中，若，則(3)若與是等比數(shù)列，則，，和()仍是等比數(shù)列.(4)若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，，，分別為的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，則，，成等比數(shù)列(是偶數(shù)，時(shí)不成立)題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算典例1．在等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．20 B．12 C．8 D．4變式1-1．已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，則（

）A． B． C． D．變式1-2．已知等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16變式1-3．已知在遞減等比數(shù)列中，，，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9變式1-4．在等比數(shù)列中，，，則的值為（

）A． B． C．或 D．或題型戰(zhàn)法二等比數(shù)列求和公式的基本量計(jì)算典例2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．64 B．42 C．32 D．22變式2-1．等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．31 B．32 C．63 D．127變式2-2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．255 B．127 C．63 D．31變式2-3．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公比的值為（

）A． B．1 C．或1 D．或1變式2-4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法三等比中項(xiàng)的應(yīng)用典例3．在等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18變式3-1．已知等比數(shù)列中，，則公比（

）A． B．2 C．3 D．2或變式3-2．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列，則公差等于(

)A． B．0 C．3 D．0或3變式3-3．已知為公差不為0等差數(shù)列前n項(xiàng)和.若，，，成等比數(shù)列，則（

）A．11 B．13 C．23 D．24變式3-4．已知是公差為的等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則（

）A． B．14 C．12 D．16題型戰(zhàn)法四等比數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用典例4．記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．24 B．28 C．48 D．84變式4-1．等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．72 B．81 C．90 D．99變式4-2．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.且，，則（

）A．16B．19C．28 D．36變式4-3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A．60B．45C．30 D．15變式4-4．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12題型戰(zhàn)法五等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用典例5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人第一天走的路程是（

）A．86里 B．172里 C．96里 D．192里變式5-1．“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話出自《莊子·天下篇》，其意思為“一根一尺長(zhǎng)的木棰，每天截取其一半，永遠(yuǎn)都取不完”．設(shè)第一天這根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，則（

）A．18 B．20 C．22 D．24變式5-2．有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？"在這個(gè)問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為（

）A．35 B．75 C．155 D．315變式5-3．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第天后大老鼠打洞的總進(jìn)度是小老鼠的4倍，則的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2變式5-4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（

）A．5盞 B．4盞 C．3盞 D．2盞題型戰(zhàn)法六由遞推關(guān)系證明等差數(shù)列典例6．在數(shù)列中，，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．變式6-1．已知數(shù)列，且，，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)公式.變式6-2．已知數(shù)列滿足，.(1)求證：是等比數(shù)列.(2)求.變式6-3．已知數(shù)列滿足，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式：變式6-4．已知數(shù)列滿足，，，成等差數(shù)列，證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式.第六章數(shù)列6.2.1等比數(shù)列（題型戰(zhàn)法）知識(shí)梳理一等比數(shù)列的通項(xiàng)公式二等比數(shù)列的求和公式三等比數(shù)列的性質(zhì)(1)在等比數(shù)列中，若，則(2)在等比數(shù)列中，若，則(3)若與是等比數(shù)列，則，，和()仍是等比數(shù)列.(4)若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)的和，，，分別為的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，則，，成等比數(shù)列(是偶數(shù)，時(shí)不成立)題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算典例1．在等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．20 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】設(shè)的公比為q，由條件可列出關(guān)于q的方程，求得q，即可求得答案.【詳解】設(shè)的公比為q，則，解得，所以，故選：C．變式1-1．已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程，求出這兩個(gè)量的值，可求得的值，再利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，，因此，.故選：B.變式1-2．已知等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，.故選：A變式1-3．已知在遞減等比數(shù)列中，，，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的計(jì)算可求，進(jìn)而可得公比，即可求解.【詳解】由，且可解得，因此可得等比數(shù)列的公比為，所以故選：A變式1-4．在等比數(shù)列中，，，則的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由題得，求出，再求出，再由等比數(shù)列的性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】由題意得，解得或，故或，故，或故選：C.題型戰(zhàn)法二等比數(shù)列求和公式的基本量計(jì)算典例2．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．64 B．42 C．32 D．22【答案】D【分析】設(shè)數(shù)列的公比為，依題意得到方程組，解得、，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【詳解】解：設(shè)數(shù)列的公比為，依題意可得，解得，所以.故選：D變式2-1．等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．31 B．32 C．63 D．127【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，求出公比及首項(xiàng)，從而由等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列中，已知，，設(shè)等比數(shù)列公比為，所以，解得，所以，解得，所以，故選：A.變式2-2．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．255 B．127 C．63 D．31【答案】A【分析】基本量列方程即可求解【詳解】因?yàn)?，，公比，所以，，解得，，則故選：A變式2-3．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公比的值為（

）A． B．1 C．或1 D．或1【答案】C【分析】由已知可得、，即可求公比.【詳解】由題設(shè)知：，又，故，∴，而，即，解得：為或1.故選：C變式2-4．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于、的值，可求得、的值，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)?，則，由已知可得，可得，，則，因此，.故選：B.題型戰(zhàn)法三等比中項(xiàng)的應(yīng)用典例3．在等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】本題可根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出的值，然后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，解得，因?yàn)?，所?故選：B.變式3-1．已知等比數(shù)列中，，則公比（

）A． B．2 C．3 D．2或【答案】B【分析】由，可得，解得，再由可得，根據(jù)求解即可.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，所以，解得，又因?yàn)?，即，解?故選：B.變式3-2．在等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列，則公差等于(

)A． B．0 C．3 D．0或3【答案】D【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，∵，構(gòu)成等比數(shù)列，∴，解得d＝0或3.故選：D.變式3-3．已知為公差不為0等差數(shù)列前n項(xiàng)和.若，，，成等比數(shù)列，則（

）A．11 B．13 C．23 D．24【答案】C【分析】設(shè)出公差，利用，，成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，化簡(jiǎn)得（舍去）或，所以.故選：C變式3-4．已知是公差為的等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，則（

）A． B．14 C．12 D．16【答案】B【分析】由成等比數(shù)列，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可得，,再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可得.【詳解】解設(shè)數(shù)列的公差為，由題意，由成等比數(shù)列,所以，整理得，故，所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比中項(xiàng)的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.題型戰(zhàn)法四等比數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用典例4．記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．24 B．28 C．48 D．84【答案】D【解析】等比數(shù)列的性質(zhì)，得到成等比數(shù)列，列出方程，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得成等比數(shù)列，所以，即，解得.故選：D.變式4-1．等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．72 B．81 C．90 D．99【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得到成等比數(shù)列，即可求解.【詳解】，由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得成等比數(shù)列，則，即，解得，即.故選：B.變式4-2．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為.且，，則（

）A．16 B．19C．28 D．36【答案】C【分析】利用，，成等比數(shù)列求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，成等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，，?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)性質(zhì)，熟記性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.變式4-3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則A．60 B．45C．30 D．15【答案】B【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去）．所以數(shù)列即為，所以．選B．變式4-4．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列片段和性質(zhì)得到方程，求出，再檢驗(yàn)即可；【詳解】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，，成等比數(shù)列，因?yàn)?，，所以，解得或，因?yàn)?，所以，則．故選：A題型戰(zhàn)法五等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用典例5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難．次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．要見每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”意思是：有一個(gè)人要走378里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完．則此人第一天走的路程是（

）A．86里 B．172里 C．96里 D．192里【答案】D【分析】根據(jù)題意可知，此人每天走的路程形成等比數(shù)列，公比為，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可解出．【詳解】設(shè)此人第天走的路程為，，所以此人每天走的路程可形成等比數(shù)列，依題可知，公比為，所以，解得，．故選：D．變式5-1．“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話出自《莊子·天下篇》，其意思為“一根一尺長(zhǎng)的木棰，每天截取其一半，永遠(yuǎn)都取不完”．設(shè)第一天這根木棰被截取一半剩下尺，第二天被截取剩下的一半剩下尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下尺，則（

）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】D【解析】根據(jù)題意,成等比數(shù)列，求出即可求解.【詳解】設(shè)這根木棰總長(zhǎng)為1,每天截取其一半,剩下的部分記為,則{}構(gòu)成,公比的等比數(shù)列,所以所以故選:D.【點(diǎn)睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換．變式5-2．有這樣一道題目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五兩，今三十日屠訖，向共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？"在這個(gè)問題中，該屠夫前5天所屠肉的總兩數(shù)為（

）A．35 B．75 C．155 D．315【答案】C【分析】構(gòu)造等比數(shù)列模型，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由題意可得該屠夫每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，所以，，因此前5天所屠肉的總兩數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列模型，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.變式5-3．《九章算術(shù)》中的“兩鼠穿墻題”是我國(guó)數(shù)學(xué)的古典名題：“今有垣厚若干尺，兩鼠對(duì)穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”題意是：有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻.大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半.如果墻足夠厚，第天后大老鼠打洞的總進(jìn)度是小老鼠的4倍，則的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】設(shè)大老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，小老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，再分別求和構(gòu)造等式求出的值.【詳解】設(shè)大老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，所以.設(shè)小老鼠每天打洞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，則，所以.所以，即，化簡(jiǎn)得解得：或(舍)故選：C變式5-4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（

）A．5盞 B．4盞 C．3盞 D．2盞【答案】C【分析】先設(shè)塔的頂層共有燈a盞，根據(jù)題意則各層的燈數(shù)從上到下構(gòu)成一個(gè)以2為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】設(shè)塔的頂層共有燈a盞，則各層的燈數(shù)從上到下構(gòu)成一個(gè)以2為公比的等比數(shù)列，由得故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，還考查了抽象概括和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.題型戰(zhàn)法六由遞推關(guān)系證明等差數(shù)列典例6．在數(shù)列中，，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【