高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))2.4冪函數(shù)和二次函數(shù)(精練)(原卷版+解析)

2.4冪函數(shù)和二次函數(shù)【題型解讀】【題型一冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．22.(2023·浙江高三月考）若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A．或3 B．3 C． D．03.(2023·北京高三模擬）已知定義在上的冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）過點(diǎn)，記，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4.(2023·貴州畢節(jié)·高三期末）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A．1 B．6 C．2 D．5.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.6.(2023·浙江高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若，，且，則的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷7.(2023·上海市第三女子中學(xué)高三月考）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．(1)求的值；(2)求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．8.(2023·肥東縣綜合高中高三月考）已知冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．9.(2023·北京·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．10.(2023·山西陽泉市·高三三模）已知點(diǎn)在冪函數(shù)圖像上，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為A． B． C． D．【題型二二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足下列性質(zhì)：（）定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋ǎ﹫D象關(guān)于對稱．（）對任意，，且，都有．請寫出函數(shù)的一個(gè)解析式__________（只要寫出一個(gè)即可）．2.(2023·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3.(2023·山西運(yùn)城·高三期末）已知二次函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為（

）A．16 B．12 C．10 D．84.(2023·全國高三專題練習(xí)）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為A．16 B．18 C．25 D．5.(2023·貴州省思南中學(xué)高三一模）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t的取值范圍______.【題型三含參二次函數(shù)最值討論】1.5.(2023·廣東·高三月考）已知函數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求a的值．2.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為3，求a的值．3.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4.(2023·江蘇南通·高三開學(xué)考試）已知二次函數(shù)滿足，且不等式的解集為．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在時(shí)的值域?yàn)?，求t的取值范圍，2.4冪函數(shù)和二次函數(shù)【題型解讀】【題型一冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)】1.(2023·全國·高三專題練習(xí)）冪函數(shù)在上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．0或2 C．0 D．2答案：D【解析】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，符合題意，所以.故選：D.2.(2023·浙江高三月考）若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是（）A．或3 B．3 C． D．0答案：B【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，由，得或，當(dāng)時(shí)，，所以舍去，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：B3.(2023·北京高三模擬）已知定義在上的冪函數(shù)（為實(shí)數(shù)）過點(diǎn)，記，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．答案：A【解析】由題得.函數(shù)是上的增函數(shù).因?yàn)?，，所以，所以，所?故選：A4.(2023·貴州畢節(jié)·高三期末）若冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則（

）A．1 B．6 C．2 D．答案：D【解析】∵冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，解得，故選：D．5.(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的值并寫出的解析式；（2）試判斷是否存在，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.答案：（1），；（2）存在，.【解析】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以解得：或(舍去)，所以；（2）由（1）可得，，所以，假設(shè)存在，使得在上的值域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，顯然不成立；③當(dāng)時(shí)，，在和上單調(diào)遞增，故，解得.綜上所述，存在使得在上的值域?yàn)?6.(2023·浙江高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足，若，，且，則的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷答案：A【解析】∵函數(shù)是冪函數(shù)，∴，解得：m=-2或m=3．∵對任意，，且，滿足，∴函數(shù)為增函數(shù)，∴，∴m=3（m=-2舍去）∴為增函數(shù)．對任意，，且，則，∴∴．故選：A7.(2023·上海市第三女子中學(xué)高三月考）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)．(1)求的值；(2)求滿足不等式的實(shí)數(shù)的取值范圍．答案：(1)(2)【解析】(1)解：因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，解得，又因?yàn)?，所以或或，?dāng)或時(shí)，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱（舍）；當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，符合題意；綜上所述，.(2)解：由（1）得為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則由得，即，即，解得，8.(2023·肥東縣綜合高中高三月考）已知冪函數(shù)，在上單調(diào)遞增.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．答案：A【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，不合題意.所以.因?yàn)椋?，，且，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以.故選：A9.(2023·北京·高三專題練習(xí)）若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在和上都是單調(diào)遞減的，所以，由可得或或解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：C.10.(2023·山西陽泉市·高三三模）已知點(diǎn)在冪函數(shù)圖像上，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)圖像上所以，所以即，，，即為R上的單調(diào)遞增函數(shù)所以所以選A【題型二二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)】1.(2023·全國高三專題練習(xí)）函數(shù)滿足下列性質(zhì)：（）定義域?yàn)?，值域?yàn)椋ǎ﹫D象關(guān)于對稱．（）對任意，，且，都有．請寫出函數(shù)的一個(gè)解析式__________（只要寫出一個(gè)即可）．答案：【解析】由二次函數(shù)的對稱性、值域及單調(diào)性可得解析式，此時(shí)對稱軸為，開口向上，滿足（），因?yàn)閷θ我猓?，且，都有，等價(jià)于在上單調(diào)減，∴，滿足（），又，滿足（），故答案為．2.(2023·江西·貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考）若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由于函數(shù)是開口向上，對稱軸為，所函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，又函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，所以，所以.故選;B.3.(2023·山西運(yùn)城·高三期末）已知二次函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為（

）A．16 B．12 C．10 D．8答案：D【解析】由題意知，，∴且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號.故選：D.4.(2023·全國高三專題練習(xí)）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為A．16 B．18 C．25 D．答案：B【解析】時(shí)，拋物線的對稱軸為.據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，即..由且得.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即..由且得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.所以，所以最大值為18.選B..5.(2023·貴州省思南中學(xué)高三一模）若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則的取值范圍______.答案：；【解析】，，又，故由二次函數(shù)圖象可知：要使函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)榈闹底钚椋蛔畲鬄?．的取值范圍是：．故答案：【題型三含參二次函數(shù)最值討論】1.5.(2023·廣東·高三月考）已知函數(shù)．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，求a的值．答案：對稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，舍去；當(dāng)，即時(shí)，，解得：或（舍去）；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得：（舍去）；綜上：2.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的最小值為3，求a的值．答案：或．【解析】函數(shù)的表達(dá)式可化為．①當(dāng)，即時(shí)，有最小值，依題意應(yīng)有，解得，這個(gè)值與相矛盾．②當(dāng)，即時(shí)，是最小值，依題意應(yīng)有，解得，又∵，∴．③當(dāng)，即時(shí)，是最小值，依題意應(yīng)有，解得，又∵，∴綜上所述，或．3.(2023·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)．若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案：[2，3]．【解析】∵f(x)的對稱軸方程為x＝a，且f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，∴a≥2．又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1，∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2．∵對任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴f(x)max－f(x)min