高三數學一輪復習題型與戰(zhàn)法精準訓練(新高考專用)2.3.1函數的周期性與對稱性(題型戰(zhàn)法)(原卷版+解析)

第二章函數2.3.1函數的周期性與對稱性（題型戰(zhàn)法）知識梳理一函數的周期性函數滿足定義域內的任一實數(其中為常數)(1)，則是以為周期的周期函數；(2),則是以為周期的周期函數；(3)，則是以為周期的周期函數；(4)，則是以為周期的周期函數； 二函數的對稱性軸對稱：若?則f(x)關于對稱.中心對稱：若則f(x)關于(，m)對稱.三由對稱性推周期性(1)函數滿足（），=1\*GB3①若為奇函數，則函數周期為，=2\*GB3②若為偶函數，則函數周期為.(2)函數的圖象關于直線和都對稱，則函數是以為最小正周期的周期函數；(3)函數的圖象關于兩點,都對稱，則函數是以為最小正周期的周期函數；(4)函數的圖象關于和直線都對稱，則函數是以為最小正周期的周期函數；題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一周期性與對稱性的判斷典例1．下列函數是周期函數的有（

）①

②

③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③變式1-1．下列函數中，既是周期函數又是偶函數的是（

）A． B． C． D．變式1-2．函數與的圖象（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線對稱變式1-3．函數的圖像（

）A．關于直線對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于軸對稱變式1-4．函數的圖象關于（

）對稱.A．直線 B．原點 C．軸 D．軸題型戰(zhàn)法二由函數周期性求函數值典例2．已知函數為R上的偶函數，若對于時，都有，且當時，，則等于（

）A．1 B．-1 C． D．變式2-1．定義在R上的函數滿足，當時，，則（

）A． B． C．2 D．1變式2-2．已知函數是上的偶函數，若對于，都有.且當時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2變式2-3．已知定義在上的偶函數，對，有成立，當時，，則（

）A． B． C． D．變式2-4．已知函數是定義在上的奇函數，（1），且，則的值為（

）A．0 B． C．2 D．5題型戰(zhàn)法三由函數對稱性求函數值典例3．如果函數對任意的實數，都有，且當時，，那么函數在上的最大值與最小值之和為（

）A．2 B．3 C．4 D．－1變式3-1．已知，若，則（

）A．－14 B．14 C．6 D．10變式3-2．已知函數的圖象與指數函數的圖象關于軸對稱，則實數的值是A．1 B．2C．4 D．8變式3-3．設函數的圖象關于直線對稱，則的值為A． B． C． D．變式3-4．已知函數的圖象關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法四由周期性與對稱性求函數解析式典例4．設是定義在R上的周期為2的偶函數，已知時，，則x∈[-2，0]時，f（x）的解析式為f（x）=（）A． B． C． D．變式4-1．已知函數滿足，當時，有，則當x∈（-3，-2）時，等于（

）A． B． C． D．變式4-2．已知是定義在上周期為2的函數，當時，，那么當時（

）A． B． C． D．變式4-3．若函數與的圖象關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．變式4-4．下列函數中，其圖象與函數的圖象關于直線對稱的是（

）A． B． C． D．題型戰(zhàn)法五由周期性與對稱性比較大小典例5．定義在上的函數滿足：成立且在上單調遞增，設，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．變式5-1．已知定義域為的函數是奇函數，且，若在區(qū)間是減函數，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．變式5-2．已知函數的定義域為R，且滿足下列三個條件：①對任意的，且，都有；②；③是偶函數；若，，則的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．變式5-3．定義在R上的函數滿足以下三個條件：①對于任意的實數，都有成立；②函數的圖象關于y軸對稱；③對任意的，，，都有成立.則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．變式5-4．已知定義在上的函數滿足，①，②為奇函數，③當時，恒成立.則、、的大小關系正確的是（

）A． B．C． D．題型戰(zhàn)法六由抽象函數周期性與對稱性求函數值典例6．已知是定義域為R的偶函數，，，.若是偶函數，則（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3變式6-1．已知函數滿足對任意恒成立，又函數的圖象關于點對稱，且則（

）A． B． C． D．變式6-2．若定義在實數集R上的偶函數滿足，，對任意的恒成立，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式6-3．已知定義在上的函數，滿足，，且，則（

）A． B． C． D．變式6-4．函數定義域為R，且，若函數的圖象關于對稱，且，則=（

）A．3 B．-3 C．6 D．-6第二章函數2.3.1函數的周期性與對稱性（題型戰(zhàn)法）知識梳理一函數的周期性函數滿足定義域內的任一實數(其中為常數)(1)，則是以為周期的周期函數；(2),則是以為周期的周期函數；(3)，則是以為周期的周期函數；(4)，則是以為周期的周期函數； 二函數的對稱性軸對稱：若?則f(x)關于對稱.中心對稱：若則f(x)關于(，m)對稱.三由對稱性推周期性(1)函數滿足（），=1\*GB3①若為奇函數，則函數周期為，=2\*GB3②若為偶函數，則函數周期為.(2)函數的圖象關于直線和都對稱，則函數是以為最小正周期的周期函數；(3)函數的圖象關于兩點,都對稱，則函數是以為最小正周期的周期函數；(4)函數的圖象關于和直線都對稱，則函數是以為最小正周期的周期函數；題型戰(zhàn)法題型戰(zhàn)法一周期性與對稱性的判斷典例1．下列函數是周期函數的有（

）①

②

③A．①③ B．②③ C．①② D．①②③【答案】C【解析】【分析】根據三角函數和二次函數的性質可得.【詳解】易得和是周期函數，不是周期函數.故選：C.變式1-1．下列函數中，既是周期函數又是偶函數的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用函數性質判斷即可.【詳解】選項A中不是周期函數,故排除A;選項B,D中的函數均為奇函數,故排除B,D;故選:C.【點睛】本題考查基本初等函數的周期性和奇偶性,屬于基礎題.變式1-2．函數與的圖象（

）A．關于軸對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線對稱【答案】B【解析】【分析】設點在函數圖象上，證明關于軸對稱的點在函數的圖象上.【詳解】解：設點在函數圖象上，則，則關于軸對稱的點滿足，所以點在函數的圖象上.故選：B變式1-3．函數的圖像（

）A．關于直線對稱 B．關于軸對稱C．關于原點對稱 D．關于軸對稱【答案】B【解析】【分析】利用分離常數法化簡函數式，可知函數為偶函數，進而判斷對稱性.【詳解】解：因為，易知為偶函數，所以函數的圖象關于軸對稱.故選：B.變式1-4．函數的圖象關于（

）對稱.A．直線 B．原點 C．軸 D．軸【答案】B【解析】根據函數的奇偶性判斷.【詳解】因為函數的定義域為，關于原點對稱，又，所以是奇函數，圖象關于原點對稱，故選：B題型戰(zhàn)法二由函數周期性求函數值典例2．已知函數為R上的偶函數，若對于時，都有，且當時，，則等于（

）A．1 B．-1 C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知確定函數的周期，利用周期性和奇偶性進行求解.【詳解】∵為上的偶函數，∴，又當時，，∴，當時，，∴.故選：A.變式2-1．定義在R上的函數滿足，當時，，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】由可知，函數的周期為2，利用周期性把所給的自變量轉化到區(qū)間上，代入求值即可.【詳解】由可知，函數的周期為2，當時，，∴.故選：B變式2-2．已知函數是上的偶函數，若對于，都有.且當時，，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】【分析】由可得函數的周期為2，再結合函數為偶函數可得，然后由已知的解析式可求得答案【詳解】∵函數是上的偶函數，∴，又∵對于都有，∴，∵當時，，∴，故選：C.變式2-3．已知定義在上的偶函數，對，有成立，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求得的周期，結合奇偶性求得的值.【詳解】依題意對，有成立，令，則，所以，故，所以是周期為的周期函數，故.故選：C變式2-4．已知函數是定義在上的奇函數，（1），且，則的值為（

）A．0 B． C．2 D．5【答案】B【解析】【分析】根據題意，分析可得，即函數是周期為8的周期函數，則有，（1），由奇函數的性質求出與（1）的值，相加即可得答案.【詳解】解：根據題意，函數滿足，則有，即函數是周期為8的周期函數，函數是定義在上的奇函數，則，(4)，(5)（1），則（1），故選：B.【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性的性質以及應用，注意分析函數的周期性，屬于基礎題.題型戰(zhàn)法三由函數對稱性求函數值典例3．如果函數對任意的實數，都有，且當時，，那么函數在上的最大值與最小值之和為（

）A．2 B．3 C．4 D．－1【答案】C【解析】根據，可知：關于對稱，根據對稱性，要求函數在上的最大值與最小值之和，即求函數在上的最大值與最小值之和，代入即可得解.【詳解】根據，可知：關于對稱，那么要求函數在上的最大值與最小值之和，即求函數在上的最大值與最小值之和，因為遞增，所以最小值與最大值分別為：，，，故答案為：C.【點睛】本題考查了函數的對稱性，考查了轉化思想，計算量較小，思路要求較高，屬于中檔題.變式3-1．已知，若，則（

）A．－14 B．14 C．6 D．10【答案】A【解析】【分析】先計算，再代入數值得結果.【詳解】,又，所以故選A【點睛】本題考查函數性質，考查基本分析求解能力，屬基礎題.變式3-2．已知函數的圖象與指數函數的圖象關于軸對稱，則實數的值是A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【解析】【分析】指數函數關于軸對稱的函數為，由此得到與的關系，即可求解出的值.【詳解】因為兩函數的圖象關于軸對稱，所以與互為倒數，所以，解得．故選C.【點睛】本題考查指數函數圖象對稱與底數之間關系，難度較易.關于軸對稱的指數函數的底數互為倒數.變式3-3．設函數的圖象關于直線對稱，則的值為A． B． C． D．【答案】D【解析】【詳解】試題分析：因為函數的圖象關于直線對稱，所以點與點，關于直線對稱，，故選D.考點：函數的圖象與性質.變式3-4．已知函數的圖象關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先由對稱性求得，再將代入函數解析式即可求得答案.【詳解】因為的圖象關于直線對稱，所以，即，解得，則．故選：B題型戰(zhàn)法四由周期性與對稱性求函數解析式典例4．設是定義在R上的周期為2的偶函數，已知時，，則x∈[-2，0]時，f（x）的解析式為f（x）=（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據已知中函數的奇偶性和周期性，結合時，，可得答案．【詳解】解：∵是定義在R上的周期為2的偶函數，時，，∴時，，，此時，時，，，此時，綜上可得：時，故選：C．【點睛】本題考查函數解析式的求法，函數的周期性，函數的奇偶性，難度中檔．變式4-1．已知函數滿足，當時，有，則當x∈（-3，-2）時，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，根據時，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根據f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式．【詳解】令，則，∵當時，有，∴f（x+2）＝2x+2，∵f（x+2）＝f（x），∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，．故選：C．【點睛】本題考查函數解析式的求法，求函數解析式常見的方法有：待定系數法，換元法，湊配法，消元法等，考查學生的計算能力，屬于基礎題．變式4-2．已知是定義在上周期為2的函數，當時，，那么當時（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用周期函數的定義求解即可.【詳解】設,則,由題意知,,因為函數是定義在上周期為2的函數,所以,即.故選:C【點睛】本題考查周期函數的性質;熟練掌握周期函數的定義是求解本題的關鍵;屬于?？碱}.變式4-3．若函數與的圖象關于直線對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先設出函數圖像上任意點的坐標，再求出關于直線對稱的點，代入函數的解析式即可求解．【詳解】解：設函數圖像上的點為，關于直線對稱的點為，將點代入函數的解析式可得：，故，故選：D．變式4-4．下列函數中，其圖象與函數的圖象關于直線對稱的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設所求函數圖象上任意一點為，由其關于直線的對稱點在函數的圖象上可解得結果.【詳解】設所求函數圖象上任意一點為，則其關于直線的對稱點在函數的圖象上，所以.故選：B.題型戰(zhàn)法五由周期性與對稱性比較大小典例5．定義在上的函數滿足：成立且在上單調遞增，設，，，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由，得到是周期為4的周期函數，得到，，結合在上單調遞增，得到，即可求解.【詳解】由題意，函數滿足，即函數是周期為4的周期函數，則，又由函數在區(qū)間上單調遞增，可得，即，所以.故選：D.變式5-1．已知定義域為的函數是奇函數，且，若在區(qū)間是減函數，則，，的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據已知等式判斷出函數的周期性，再根據奇函數的性質和單調性進行判斷即可.【詳解】，由此可知函數的周期為4，函數是奇函數，，所以有：，，因為在區(qū)間是減函數，，所以，即，故選：B變式5-2．已知函數的定義域為R，且滿足下列三個條件：①對任意的，且，都有；②；③是偶函數；若，，則的大小關系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知條件可知在上單調遞增，周期為，對稱軸為.則，，，再結合函數的單調性即可判斷大小.【詳解】解：由①知，在上單調遞增；由②知，的周期為；由③知，的對稱軸為；則，，，因為，由函數的單調性可知，.故選:D.【點睛】本題考查了函數的對稱性，考查了函數的周期，考查了函數的單調性.本題的關鍵是由已知條件分析出函數的性質.變式5-3．定義在R上的函數滿足以下三個條件：①對于任意的實數，都有成立；②函數的圖象關于y軸對稱；③對任意的，，，都有成立.則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由①②可得函數是周期為4的函數，且是奇函數，由③可得函數在上單調遞增，進而可得函數在上單調遞增，從而利用周期性和單調性即可求解.【詳解】解：由題意，因為函數的圖象關于y軸對稱，所以，所以，所以函數的圖象關于對稱，又，所以，即，因為，所以函數是周期為4的函數，所以，，，因為，且，所以，所以函數為奇函數，又因為對任意的，，，都有成立，即，所以函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，因為，所以，故選：B.變式5-4．已知定義在上的函數滿足，①，②為奇函數，③當時，恒成立.則、、的大小關系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據單調性的定義可得在上單調遞增，根據已知條件可得是周期為的奇函數，根據周期性和單調性即可求解.【詳解】由可得的周期為，因為為奇函數，所以為奇函數，因為時，，所以在上單調遞增，因為為奇函數，所以在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，，，所以，即.故選：C.題型戰(zhàn)法六由抽象函數周期性與對稱性求函數值典例6．已知是定義域為R的偶函數，，，.若是偶函數，則（

）A．－3 B．－2 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】根據得到關于對稱，得到，結合和為偶函數即可得周期為4，進而