高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(diǎn)精講+精練(人教A版2019必修第二冊)第10講平面向量的應(yīng)用(原卷版+解析)

第10講平面向量的應(yīng)用知識點(diǎn)1向量在平面幾何中的應(yīng)用1．用向量法解決平面幾何問題用向量法解決平面幾何問題，一般來說有兩個方向：（1）幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕祝ūM量用已知?；驃A角的向量作為基底），將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；（2）坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法．2．向量在平面幾何中常見的應(yīng)用已知．證明線段平行、點(diǎn)共線問題及相似問題常用向量共線的條件：．證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等常用向量垂直的條件：（其中為非零向量）．求夾角問題，若向量與的夾角為利用夾角公式：（其中為非零向量）．求線段的長度或說明線段相等可以用向量的模：，或（其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．對于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運(yùn)算解決綜合問題．3．用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．知識點(diǎn)2向量在物理中的應(yīng)用向量方法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.考點(diǎn)一向量在平面幾何證明問題中的應(yīng)用解題方略：用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運(yùn)算法的四個步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題．(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問題．（一）用向量證明線段垂直問題【例1】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.（二）用向量證明線段平行問題【例2】如圖，已知是的三條高，且交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．（三）用向量解決夾角問題【例3】求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值．變式1：直徑所對的圓周角為直角.（四）用向量解決線段的長度問題【例4】試用向量方法證明：平行四邊形對角線的平方和等于其各邊平方的和．考點(diǎn)二平面幾何中的長度問題解題方略：利用向量法解決長度問題的策略向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).【例5】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．變式1：若平行四邊形兩鄰邊的長分別是4和4，它們的夾角是45°，則這個平行四邊形較長的那條對角線的長是________．變式2：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n.(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)．變式3：已知，，，，則的取值范圍（）A． B．C． D．考點(diǎn)三判斷三角形的形狀【例6】在中，若，則的形狀一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形變式1：在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形變式2：四邊形中，，，則這個四邊形是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形考點(diǎn)四平面幾何中的最值問題【例7】在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，為直線上的動點(diǎn)，若，，且，則的最大值為（）A． B． C． D．變式1：在平面四邊形中，，，，，，若點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．變式2：已知P是邊長為4的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A．16 B．12 C．5 D．4變式3：半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【例8】已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（）A． B． C． D．變式1：已知平面向量、滿足，且與的夾角為，若，則的最小值為（）A．1 B． C． D．考點(diǎn)五向量在物理中的應(yīng)用解題方略：用向量方法解決物理問題的“三步曲”【例9】在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？變式1：長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在的正北方向，則游船正好到達(dá)處時，（）A． B． C． D．【例10】物體受到一個水平向右的力及與它成60°角的另一個力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（）A．3N B． C．2N D．變式1：如圖，墻上三角架的一端處懸掛一個重為的物體，則邊上點(diǎn)處的受力情況是___________.【例11】已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動到點(diǎn)B(7,0)，求F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功．(力的單位：牛頓，位移單位：米)考點(diǎn)六奔馳定理與三角形的四心解題方略：奔馳定理：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別記作則.奔馳定理在三角形四心中的具體形式是的重心是的內(nèi)心是的外心是的垂心備注：奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用．（一）三角形的四心【例12】已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心變式1：已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，λ∈R，則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心變式2：在中，設(shè)，那么動點(diǎn)的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心變式3：非零向量，滿足，且，則為（）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形變式4：已知非零向量與滿足且，則為（）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形變式5：中，點(diǎn)滿足，則一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形（二）奔馳定理的應(yīng)用【例13】點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3變式1：點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ和μ的值分別為()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)變式2：已知O為正內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積的比值為3，則的值為（）A． B． C．2 D．3變式3：【多選】已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.直線必過邊中點(diǎn)C.D.若，且，則變式4：設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若則（）A．B．C． D．變式5：設(shè)H是△ABC的垂心，若，則的值為（）A．B．C． D．練習(xí)一向量在平面幾何證明問題中的應(yīng)用1、用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，BD是其對角線．求證：AC⊥BD．2、如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.3、已知向量OA，OB，OC滿足條件，且|OA|=|OB|=|4、在四邊形ABCD中，AB+CD=0，5、在四邊形ABCD中，AB+CD=0，6、用向量的方法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于一組鄰邊平方和的兩倍．7、用向量的方法證明：在中，BC28、在梯形中，BC>AD，AD//BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：EF=BC?AD2練習(xí)二平面幾何中的長度問題1、在平行四邊形中，點(diǎn)，滿足，，且，設(shè)，則（）A． B． C．2 D．2、已知中，，點(diǎn)P滿足,則的最小值為_______．3、如圖，，分別是四邊形的邊，的中點(diǎn)，，，，，則線段的長是___________.練習(xí)三判斷三角形的形狀1、已知在四邊形ABCD中，AB=DC，且||=||，tanD=，判斷四邊形ABCD的形狀.2、P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形3、在中，，非零向量與滿足AB·AC|AB|·|AC|練習(xí)四平面幾何中的最值問題1、騎行是目前很流行的一種綠色健身和環(huán)保出行方式，騎行屬于全身性有氧活動?能有效地鍛煉大腦?心臟等人體器官機(jī)能，它帶給人們的不僅是簡單的身體上的運(yùn)動鍛煉，更是心靈上的釋放.如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)為后輪上一點(diǎn)，則在騎行該自行車的過程中，的最小值為（）A． B．12 C． D．242、如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．33、已知是邊長為2的等邊三角形，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動，則PA?PB+PC練習(xí)五向量在物理中的應(yīng)用1、已知一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功2、如圖所示，一個物體受到同一平面內(nèi)三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東的方向移動了8m，其中F1=2N，方向?yàn)楸逼珫|30°；F2=43、某人騎車以速度向正東方向行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當(dāng)速度為2a時，感到風(fēng)從東北方向吹來，試求實(shí)際風(fēng)速的大小和方向.4、某人在靜水中游泳時速度為4km/h，水的流向是由西向東，水流速度為2km/h，此人必須沿與水流方向成___________度角游泳，才能沿正北方向前進(jìn).5、一個物體在大小為10N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為50m，且力F所做的功J，則F與s的夾角等于_____.練習(xí)六奔馳定理與三角形的四心1、點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的__________心．2、在中，，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．三邊均不相等的三角形 D．等腰非等邊三角形3、已知點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)2PA+3PB+5PC=0，若F為AC中點(diǎn)，G為4、已知O為△內(nèi)部一點(diǎn)，且OA+OB+2第10講平面向量的應(yīng)用知識點(diǎn)1向量在平面幾何中的應(yīng)用1．用向量法解決平面幾何問題用向量法解決平面幾何問題，一般來說有兩個方向：（1）幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕祝ūM量用已知?；驃A角的向量作為基底），將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；（2）坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法．2．向量在平面幾何中常見的應(yīng)用已知．證明線段平行、點(diǎn)共線問題及相似問題常用向量共線的條件：．證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等常用向量垂直的條件：（其中為非零向量）．求夾角問題，若向量與的夾角為利用夾角公式：（其中為非零向量）．求線段的長度或說明線段相等可以用向量的模：，或（其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．對于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運(yùn)算解決綜合問題．3．用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．知識點(diǎn)2向量在物理中的應(yīng)用向量方法解決物理問題的步驟用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題，一般來說分為四個步驟：(1)問題轉(zhuǎn)化，即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)建立模型，即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.(3)求解參數(shù)，即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.(4)回答問題，即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.考點(diǎn)一向量在平面幾何證明問題中的應(yīng)用解題方略：用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路(1)向量的線性運(yùn)算法的四個步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找到相應(yīng)關(guān)系；④把計(jì)算所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何問題．(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找到相應(yīng)關(guān)系；④利用向量關(guān)系回答幾何問題．（一）用向量證明線段垂直問題【例1】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.【證明】法一：設(shè)eq\o(AD,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up7(―→))＝eq\o(DA,\s\up7(―→))＋eq\o(AE,\s\up7(―→))＝－a＋eq\f(1,2)b，eq\o(AF,\s\up7(―→))＝eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(BF,\s\up7(―→))＝b＋eq\f(1,2)a，所以eq\o(AF,\s\up7(―→))·eq\o(DE,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)a))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,2)b))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0.故eq\o(AF,\s\up7(―→))⊥eq\o(DE,\s\up7(―→))，即AF⊥DE.法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，eq\o(AF,\s\up7(―→))＝(2,1)，eq\o(DE,\s\up7(―→))＝(1，－2)．因?yàn)閑q\o(AF,\s\up7(―→))·eq\o(DE,\s\up7(―→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up7(―→))⊥eq\o(DE,\s\up7(―→))，即AF⊥DE.（二）用向量證明線段平行問題【例2】如圖，已知是的三條高，且交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．證明：由題意，，，∴．設(shè)，則．同理．于是．∴，∴．（三）用向量解決夾角問題【例3】求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的余弦值．【解析】如圖所示，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系．設(shè)A(2a,0)，B(0,2a)，則D(a,0)，C(0，a)，從而可求eq\o(AC,\s\up7(―→))＝(－2a，a)，eq\o(BD,\s\up7(―→))＝(a，－2a)．不妨設(shè)eq\o(AC,\s\up7(―→))，eq\o(BD,\s\up7(―→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(AC,\s\up7(―→))·\o(BD,\s\up7(―→)),|\o(AC,\s\up7(―→))||\o(BD,\s\up7(―→))|)＝eq\f(－2a，a·a，－2a,\r(5)a·\r(5)a)＝eq\f(－4a2,5a2)＝－eq\f(4,5).故所求鈍角的余弦值為－eq\f(4,5).變式1：直徑所對的圓周角為直角.證明：如圖，設(shè)圓心為，圓半徑為，是圓的一條直徑，點(diǎn)是圓上不同于，的一點(diǎn)，則是直徑所對的圓周角.由，，其中，得.則，即為直角.所以直徑所對的圓周角為直角.（四）用向量解決線段的長度問題【例4】試用向量方法證明：平行四邊形對角線的平方和等于其各邊平方的和．【證明】如圖所示，在?OACB中，設(shè)eq\o(OA,\s\up7(―→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(―→))＝b，則eq\o(OC,\s\up7(―→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up7(―→))＝a－b.由于eq\o(OC,\s\up7(―→))2＝eq\o(OC,\s\up7(―→))·eq\o(OC,\s\up7(―→))＝(a＋b)·(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2，eq\o(BA,\s\up7(―→))2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2，所以O(shè)C2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2.由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|，所以O(shè)C2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2.考點(diǎn)二平面幾何中的長度問題解題方略：利用向量法解決長度問題的策略向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).【例5】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．【解析】設(shè)eq\o(AD,\s\up7(―→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝b，則eq\o(BD,\s\up7(―→))＝a－b，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝a＋b，而|eq\o(BD,\s\up7(―→))|＝|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(1＋4－2a·b)＝eq\r(5－2a·b)＝2，∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq\f(1,2)，又|eq\o(AC,\s\up7(―→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq\o(AC,\s\up7(―→))|＝eq\r(6)，即AC＝eq\r(6).變式1：若平行四邊形兩鄰邊的長分別是4和4，它們的夾角是45°，則這個平行四邊形較長的那條對角線的長是________．【解析】如圖所示：設(shè)平行四邊形中，，，，則為平行四邊形中較長的對角線，由于，且，，．∴，故答案為.變式2：已知Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)AC＝m，BC＝n.(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)．【解析】(1)證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)．∵D為AB的中點(diǎn)，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))，∴|eq\o(CD,\s\up7(―→))|＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝eq\r(m2＋n2)，∴|eq\o(CD,\s\up7(―→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(―→))|，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)∵E為CD的中點(diǎn)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，設(shè)F(x,0)，則eq\o(AE,\s\up7(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq\o(AF,\s\up7(―→))＝(x，－m)．∵A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴eq\o(AF,\s\up7(―→))＝λeq\o(AE,\s\up7(―→)).即(x，－m)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))故λ＝eq\f(4,3)，即x＝eq\f(n,3)，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，∴|eq\o(AF,\s\up7(―→))|＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2)，即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).變式3：已知，，，，則的取值范圍（）A． B．C． D．【解析】由題設(shè)，四邊形為矩形，構(gòu)建以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如下圖，若，則，設(shè)，∴，且，又，∴，即.故選：B考點(diǎn)三判斷三角形的形狀【例6】在中，若，則的形狀一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形【解析】因?yàn)?，所以為鈍角，所以一定是鈍角三角形.故選；D變式1：在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【解析】，，則，，，則△ABC為直角三角形.故選：B.變式2：四邊形中，，，則這個四邊形是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形【解析】由題意，即，且故四邊形為平行四邊形又故即四邊形為菱形故選：A考點(diǎn)四平面幾何中的最值問題【例7】在直角梯形中，，，，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，為直線上的動點(diǎn)，若，，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹苯翘菪沃?，，，，，，所以，則，，，，，所以，，設(shè)，則，因?yàn)椋?，解得，所以，則，，因?yàn)椋?，得，則，設(shè)，則，，所以，當(dāng)時，取得最大值，故選：D變式1：在平面四邊形中，，，，，，若點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C． D．【解析】如圖，以為原點(diǎn)，，所在的直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系．作，，垂足分別為，，在中，因?yàn)椋?，．在中，因?yàn)?，，所以，，則，．設(shè)，，則，，所以，當(dāng)時，取得最大值，且.故選：C變式2：已知P是邊長為4的正三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A．16 B．12 C．5 D．4【解析】如圖，延長到D，使得．因?yàn)?，所以點(diǎn)P在直線上．取線段的中點(diǎn)O，連接，則．顯然當(dāng)時，取得最小值，因?yàn)椋瑒t，所以，所以的最小值為．故選：C.變式3：半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，由，得四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，所以，同理，，而，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，所以，即的取值范圍為，故選：A.【例8】已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，記，的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，如圖所示：則，因?yàn)榕c的夾角為120°，所以，因?yàn)椋业钠瘘c(diǎn)相同，所以其終點(diǎn)共線，即在直線AB上，所以當(dāng)時，最小，最小值為，無最大值，所以的取值范圍為，故選；A變式1：已知平面向量、滿足，且與的夾角為，若，則的最小值為（）A．1 B． C． D．【解析】如圖所示，設(shè)，，則，可令，則，點(diǎn)在上，因?yàn)榕c的夾角為，則，當(dāng)時，線段最短，此時取最小值，即.故選：C.考點(diǎn)五向量在物理中的應(yīng)用解題方略：用向量方法解決物理問題的“三步曲”【例9】在長江南岸某渡口處，江水以12.5km/h的速度向東流，渡船的速度為25km/h.渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)如何確定？【解析】如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(―→))表示水流的速度，eq\o(AD,\s\up7(―→))表示渡船的速度，eq\o(AC,\s\up7(―→))表示渡船實(shí)際垂直過江的速度．∵eq\o(AB,\s\up7(―→))＋eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\o(AC,\s\up7(―→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，|eq\o(DC,\s\up7(―→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝12.5，|eq\o(AD,\s\up7(―→))|＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡過長江，其航向應(yīng)為北偏西30°.變式1：長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在的正北方向，則游船正好到達(dá)處時，（）A． B． C． D．【解析】設(shè)船的實(shí)際速度為，與南岸上游的夾角為，如圖所示，要使得游船正好到達(dá)處，則，即，又因?yàn)?，所以，故選：D.【例10】物體受到一個水平向右的力及與它成60°角的另一個力的作用.已知的大小為2N，它們的合力F與水平方向成30°角，則的大小為（）A．3N B． C．2N D．【解析】由題得,所以,所以,所以,所以和大小相等，都為2.故選：C變式1：如圖，墻上三角架的一端處懸掛一個重為的物體，則邊上點(diǎn)處的受力情況是___________.【解析】如圖，在點(diǎn)處進(jìn)行受力分析，由已知條件有，根據(jù)平衡條件有，，則，方向水平向右.則邊上點(diǎn)處的受力情況是大小為，方向與相同.故答案為：大小為，方向與相同.【例11】已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動到點(diǎn)B(7,0)，求F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功．(力的單位：牛頓，位移單位：米)【解析】設(shè)物體在力F作用下的位移為s，則所做的功為W＝F·s.∵eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．∴W1＝F1·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．考點(diǎn)六奔馳定理與三角形的四心解題方略：奔馳定理：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別記作則.奔馳定理在三角形四心中的具體形式是的重心是的內(nèi)心是的外心是的垂心備注：奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用．（一）三角形的四心【例12】已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，則P是△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【解析】由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，可得eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→))，同理可證eq\o(PC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∴P是△ABC的垂心.變式1：已知O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，λ∈R，則P點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過△ABC的()A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心【解析】設(shè)BC的中點(diǎn)為M，則eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→)),2)＝eq\o(OM,\s\up6(→))，則有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋λeq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(AP,\s\up6(→)).∴P的軌跡一定通過△ABC的重心.變式2：在中，設(shè)，那么動點(diǎn)的軌跡必通過的（）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【解析】設(shè)的中點(diǎn)是，，即，所以，所以動點(diǎn)在線段的中垂線上，故動點(diǎn)的軌跡必通過的外心，故選：C.變式3：非零向量，滿足，且，則為（）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形【解析】，，分別為單位向量，的角平分線與垂直，，，，，為等邊三角形．故選：D．變式4：已知非零向量與滿足且，則為（）A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形【解析】中，，，，，，，是等腰三角形；又，，，，∴是等邊三角形.故選：D.變式5：中，點(diǎn)滿足，則一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．鈍角三角形【解析】，設(shè)是中點(diǎn)，則，，故點(diǎn)在三角形的中線所在直線上.，，即，即.即，故三角形的邊上的中線與高線重合，所以，三角形是等腰三角形，其中.故選：B.（二）奔馳定理的應(yīng)用【例13】點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部，滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則S△ABC∶S△APC為()A．2∶1B．3∶2C．3∶1D．5∶3【解析】根據(jù)奔馳定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.∴S△ABC∶S△APC＝3∶1.變式1：點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，設(shè)eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ和μ的值分別為()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9)B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9)D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)【解析】根據(jù)奔馳定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A.變式2：已知O為正內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，若的面積與的面積的比值為3，則的值為（）A． B． C．2 D．3【解析】由奔馳定理得，解之得，選C．變式3：【多選】已知點(diǎn)O為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.直線必過邊中點(diǎn)C.D.若，且，則【解析】對于A，插入點(diǎn)A，，所以；對于B，若直線過邊的中點(diǎn)，則，由上知，不成立；對于C，由奔馳定理知；對于D，由得，兩邊平方得.故選ACD變式4：設(shè)O是△ABC的內(nèi)心，AB＝c，AC＝b，BC＝a，若則（）A．B．C． D．【解析】O是△ABC的內(nèi)心，AB＝c，AC＝b，BC＝a則，所以，所以，所以.又，所以，，所以.變式5：設(shè)H是△ABC的垂心，若，則的值為（）A．B．C． D．【解析】因?yàn)?，由三角形垂心的向量定理得設(shè)，，由代入得，解之得所以，又因?yàn)?，所?故選D練習(xí)一向量在平面幾何證明問題中的應(yīng)用1、用向量方法證明：菱形對角線互相垂直．已知四邊形是菱形，，BD是其對角線．求證：AC⊥BD．【解析】證明：設(shè)AB=a，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危詀＝b又AC則AC→?BD所以AC⊥BD.2、如圖所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=2EB，求證：AD⊥CE.【解析】證明：AD=因?yàn)镃A=CB，所以?13CA2+3、已知向量OA，OB，OC滿足條件，且|OA|=|OB|=|【解析】證明：由題設(shè)，OA+OB=?OC，則∴2cos<OA,OB∴<OA,OB又△AOB、△、△BOC都是等腰三角形，∴∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=π6，即∴△是正三角形．4、在四邊形ABCD中，AB+CD=0，【解析】由AB=?CD，即且AB=CD，故ABCD由AB?BC=0，即，而AB,BC是∴四邊形ABCD是矩形，得證.5、在四邊形ABCD中，AB+CD=0，【解析】證明:由AB=?CD，即且AB=CD，故ABCD由AC?BD=0，即，而AC,BD是∴四邊形ABCD是菱形，得證.6、用向量的方法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于一組鄰邊平方和的兩倍．【解析】如下圖，BD=BC+∴BD2AC2∴BD2又BC?CD=|BC||CD|∴BC?CD=?7、用向量的方法證明：在中，BC2【解析】證明:∵＝BA＋AC，∴()2＝(BA＋AC)2＝(BA)2＋(AC)2＋2BA·AC，即||2＝|BA|2＋|AC|2＋2|BA||AC|cos(180°－A)，∴BC8、在梯形中，BC>AD，AD//BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，求證：EF=BC?AD2【解析】證明：因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，所以EB=12所以EF=因?yàn)锽C+所以DB+所以EF=因?yàn)锽C>AD，AD//BC，且AD與所以|EF即EF=BC?AD練習(xí)二平面幾何中的長度問題1、在平行四邊形中，點(diǎn)，滿足，，且，設(shè)，則（）A． B． C．2 D．【解析】由得是的中點(diǎn)，又由得，所以.故選：B.2、已知中，，點(diǎn)P滿足,則的最小值為_______．【解析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)，則，由,得．所以點(diǎn)P的軌跡是圓心為，半徑為的圓，．由圓的幾何性質(zhì)可知，的最小值為．故答案為：．3、如圖，，分別是四邊形的邊，的中點(diǎn)，，，，，則線段的長是___________.【解析】依題意，，，因，分別是四邊形的邊，的中點(diǎn)，則，如圖，過點(diǎn)A作AG//CD交BC于點(diǎn)G，則，而，則有，于是得，則.所以的長為.故答案為：.練習(xí)三判斷三角形的形狀1、已知在四邊形ABCD中，AB=DC，且||=||，tanD=，判斷四邊形ABCD的形狀.【解析】∵在四邊形ABCD中，AB=∴AB//DC，且AB=DC∴四邊形ABCD是平行四邊形.∵tanD=，由于D∈0,π，∴∠B=∠D=60°.又||=||，∴△ABC是等邊三角形.∴AB=BC，故四邊形ABCD是菱形.2、P是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的形狀是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【解析】由，可得，即，等式兩邊平方，化簡得，，因此，是直角三角形.故選：B.3、在中，，非零向量與滿足AB·AC|AB|·|AC|【解析】由題意可得cosA=AB·AC|因?yàn)椋缘男螤顬榈冗吶切?故答案為：等邊三角形.練習(xí)四平面幾何中的最值