高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))7.6空間幾何體中垂直的判定與性質(zhì)(精講)(原卷版+解析)

7.6空間幾何體中垂直的判定和性質(zhì)【題型解讀】【知識必備】1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α知識拓展1．三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．【題型精講】【題型一線面垂直的判定】技巧方法證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．例1(2023·陜西安康·高三期末）如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，求證：平面例2(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖①，在菱形中，且，為的中點(diǎn)．將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐，求證：平面【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面2.(2023·海原縣高三模擬）在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，點(diǎn)M在棱上，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，且滿足，證明：AM⊥平面3.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，為中點(diǎn)，求證：平面【題型二面面垂直的判定】技巧方法判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．例3(2023·全國高三模擬）如圖，在三棱柱中，，，，，證明：平面平面例4(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．(1)求證：直線平面ADF；(2)求證：直線平面ADF；(3)當(dāng)平面平面ABEF時，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：；條件③：．2.(2023·全國高三模擬）如圖所示，直三棱柱中，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若三棱柱上下底面為正三角形，，，求證：平面平面．【題型三線線垂直的判定】例5(2023·江西高三模擬）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證：例6(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，底面是菱形，且，，，證明：【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，，＝＝，證明：2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．(1)求四棱錐的全面積；(2)求證：．【題型四垂直中的探究性問題】例7(2023·山東·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為側(cè)棱上一點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測）如圖，在直三梭柱中，，，點(diǎn)，分別為和的中點(diǎn)．（1）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．（2）求點(diǎn)到平面的距離．【題型精練】1.(2023·廣東佛山市高三模擬）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別為和的中點(diǎn).，）棱上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，寫出的長并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由2.(2023·云南昆明市高三模擬）如圖所示，在幾何體中，是等邊三角形，平面，，且，試在線段上確定點(diǎn)的位置，使平面，并證明；7.6空間幾何體中垂直的判定和性質(zhì)【題型解讀】【知識必備】1．直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m?α,n?α,m∩n＝P,l⊥m,l⊥n))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2．平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,a⊥β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α知識拓展1．三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．2．三垂線定理的逆定理平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直．【題型精講】【題型一線面垂直的判定】技巧方法證明線面垂直的常用方法及關(guān)鍵(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性質(zhì)．(2)證明線面垂直的關(guān)鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)．例1(2023·陜西安康·高三期末）如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，求證：平面答案：證明見詳解【解析】平面平面，平面平面，，，平面，又平面，，又，，，，，，，，又，平面；例2(2023·江蘇南通市高三模擬）如圖①，在菱形中，且，為的中點(diǎn)．將沿折起使，得到如圖②所示的四棱錐，求證：平面答案：證明見解析【解析】連接．∵四邊形為菱形，，∴是等邊三角形．∵為的中點(diǎn)，∴，．又∵，∴，，∴，∴，∵，∴，．又，平面，平面，∴平面．【跟蹤精練】1.(2023·陜西高三模擬）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面答案：證明見解析【解析】證明：如圖，連接AF，由題意知為等腰三角形，而為的中點(diǎn)，所以．又因為平面平面，且，平面平面，平面，所以平面．而平面，所以．而，平面，所以平面．連接，則，，而，，所以且，所以是平行四邊形，因此，故平面．2.(2023·海原縣高三模擬）在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，點(diǎn)M在棱上，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，且滿足，證明：AM⊥平面答案：證明見解析【解析】聯(lián)結(jié)AC，由知，，即，由在直四棱柱中，平面ABCD，則又，則平面ACM，又平面ACM，則，又，則，由條件知，且，故平面；3.(2023·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，為中點(diǎn)，求證：平面答案：證明見解析【解析】因為底面為矩形，所以，又因為平面平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，由，所以，所以，又因為平面，所以平面．【題型二面面垂直的判定】技巧方法判定面面垂直的方法①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面．例3(2023·全國高三模擬）如圖，在三棱柱中，，，，，證明：平面平面答案：證明見解析【解析】證明：如圖，連接，在中，，，，由余弦定理，得，所以，所以，所以，同理，又，平面,所以平面,又平面，所以平面平面.例4(2023·河北衡水中學(xué)高三模擬）如圖，正三棱柱中，，，，分別是棱，的中點(diǎn)，在側(cè)棱上，且，求證：平面平面；答案：證明見解析【解析】∵在正三棱柱中，平面，平面，∴.∵是棱的中點(diǎn)，為正三角形，∴.∵，∴平面.∵平面∴.又∵，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.又∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.【跟蹤精練】1.(2023·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）如圖，在直角梯形中，，，，并將直角梯形繞AB邊旋轉(zhuǎn)至ABEF．(1)求證：直線平面ADF；(2)求證：直線平面ADF；(3)當(dāng)平面平面ABEF時，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使平面ADE與平面BCE垂直．并證明你的結(jié)論．條件①：；條件②：；條件③：．答案：(1)證明見解析(2)證明見解析(3)答案見解析【解析】(1)證明：在直角梯形中，，，將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)至，所以，又，平面，所以平面；(2)證明：依題意可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；(3)證明：因為平面平面，，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若選①，，，所以，所以，此時，所以如圖過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，因為平面，平面，所以，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，顯然平面與平面不垂直；若選②：，則，所以，，所以，即，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；若選③：，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；2.(2023·全國高三模擬）如圖所示，直三棱柱中，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若三棱柱上下底面為正三角形，，，求證：平面平面．答案：(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)連接，與相交于點(diǎn)F，連接MF，則為的中點(diǎn)，因為為中點(diǎn)，所以MF是的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面(2)因為直三棱柱上下底面為正三角形，，，所以，所以，所以，即，由三線合一可得：，又因為平面ABC，平面ABC，所以，因為，所以平面，因為平面，所以因為所以平面，因為平面，所以平面平面【題型三線線垂直的判定】例5(2023·江西高三模擬）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證：答案：證明見解析【解析】由題意，在直三棱柱中，，不妨設(shè)，則，由余弦定理可得，因為，可得，又由是線段的中點(diǎn)，所以，且，因為平面，平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以,在直角中，，因為是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，可得，所以,可得，又由且平面，所以平面，因為平面，所以.例6(2023·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，底面是菱形，且，，，證明：答案：證明見解析【解析】證明：連接，.四邊形是菱形，，.又是的中點(diǎn)，.又，.是直四棱柱，平面.又平面，.又，平面.又平面，.【題型精練】1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，且平面底面，，＝＝，證明：答案：證明見解析【解析】證明：取的中點(diǎn)，連，，∵為等邊三角形，且是邊的中點(diǎn)，∴，∵平面底面，且它們的交線為，∴平面，則，∵，且∴平面，∴；2.(2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．(1)求四棱錐的全面積；(2)求證：．答案：(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴,同理可得,∴.(2)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA＝AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD．又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．【題型四垂直中的探究性問題】例7(2023·山東·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為側(cè)棱上一點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．答案：（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）存在，,理由見解析.【解析】（1）設(shè)，連結(jié)，由已知，，,得.由,得.在中，由，得.因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面，平面，所以.在直角梯形中，因，故，，因，所以.所以.又，所以平面.因為平面，所以平面平面.（3）在平面內(nèi)作于點(diǎn)，則即為所求的點(diǎn)，由，，，得平面.因為平面，所以.又，所以平面.由，，，得.例8(2023·福建·三明一中模擬預(yù)測