浙江省寧波市諾丁漢大學附屬中學2024-2025學年高一數學下學期期中試題實驗班含解析

PAGE15-浙江省寧波市諾丁漢高校附屬中學2024-2025學年高一數學下學期期中試題（試驗班，含解析）一、選擇題：1.已知數列的通項公式是，則等于（）A.70 B.28 C.20 D.8【答案】C【解析】【詳解】因為，所以，所以=20.故選C.2.設，，則A,B的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：因,故,所以應選B.考點：不等式的性質.3.若sin,則cosα=()A.- B.- C. D.【答案】C【解析】cosα=1-2sin2=1-2×.故選C.4.在各項均為正數的等比數列中，若,則的值為（）A.12 B.10 C.8 D.【答案】B【解析】因為所以，故選B點睛：本題重點考查了等比數列的重要性質，當時，,留意等式兩邊的項數，都是兩項.5.設數列，前項和為10，則等于()A.11 B.99 C.120 D.121【答案】C【解析】【分析】對通項進行裂項可得.【詳解】故選：C【點睛】用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律:(1)裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項直到發(fā)覺被消去項的規(guī)律為止．(2)消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項．6.設，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】要求，可將其平方，利用同角三角函數平方和等于１,和二倍角的正弦公式得到,最終考慮角度所在的象限,得出結果．詳解】解：,先將平方得：.又,在第三象限,則,.故選:A【點睛】本題考查二倍角的正弦函數,同角三角函數間的關系,須要留意角度所在的象限,屬于中檔題．7.在三角形中,依據下列條件解三角形,其中有兩個解的是()A.,, B.,,C.,, D.,,【答案】D【解析】【分析】在已知兩邊及一邊對角用正弦定理解三角形時才可能出現兩解．依據正弦定理推斷．【詳解】A已知兩角一邊，三角形確定的，只有一解，B已知兩邊及夾角用余弦定理，只有一解，C中已知兩邊及一邊對角，但已知的是大邊所對的角，小邊所對角只能是銳角，不行能有兩解，D中，，有兩解．故選：D.【點睛】本題考查三角形解的個數問題，駕馭正弦定理和余弦定理是解題關鍵．三角形解的個數中只有在已知兩邊及一邊對角用正弦定理解三角形時才可能出現兩解，留意推斷方法．8.在中，，，，則外接圓的直徑為()A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用面積公式求出，再用余弦定理求出可得【詳解】,,得，，故選：C【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理及面積公式.嫻熟運用正弦定理、余弦定理是解題關鍵.三角形面積公式正弦定理9.假如一個等差數列的，，則等于()A.90 B. C.110 D.【答案】D【解析】【分析】利用等差數列基本量運算求出前項和公式可得解【詳解】解得故選：D【點睛】等差數列基本量計算問題的思路：與等差數列有關的基本運算問題，主要圍圍著通項公式和前項和公式，在兩個公式中共涉及五個量：，已知其中三個量，選用恰當的公式，利用方程(組)可求出剩余的兩個量．10.設，，且不等式恒成立，則實數的最小值等于()A.0 B.4 C. D.【答案】C【解析】，而時取等號），，要使恒成立，應有，實數的最小值等于，故選C.二、填空題：11.已知數列首項為，且，則為________.【答案】31【解析】【分析】構造可得，從而可得數列是以2為首項，以2為等比數列，可先求，進而可求，把代入可求【詳解】是以2為首項，以2為等比數列故答案為．【點睛】本題主要考查了利用數列的遞推關系求解數列的項，待定系數法迭代的方法即構造等比（等差）數列的方法求解，12.在數列中，，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用遞推公式可驗證出數列為周期為的周期數列，從而可得.【詳解】令，則令，則令，則令，則令，則令，則數列為周期為的周期數列本題正確結果：【點睛】本題考查依據遞推公式推斷數列的性質的問題，關鍵是能夠通過遞推公式確定數列為周期數列，從而利用周期將所求值進行化簡.13.在等比數列中，，，則______.【答案】16【解析】【分析】利用等比數列中性質成等比數列得解【詳解】，成等比數列故答案為：16【點睛】本題考查等比數列和的性質．當或且為奇數時是等比數列，其公比為14.用一根長為的鋁合金條做成一個“目”字形窗戶的框架（不計損耗），要使這個窗戶通過的陽光最足夠，則框架的寬為________；高為________.【答案】(1).(2).3【解析】分析】先表示出框架的面積函數關系式，再利用基本不等式求最值可得【詳解】設窗戶的寬為，則其高為，要使陽光足夠，只要面積最大，，當且僅當時等號成立，這時高為.故答案為：(1).(2).3【點睛】本題考查利用基本不等式求最值成立條件.用基本不等式求最值問題:已知，則：(1)假如積是定值，那么當且僅當時，有最小值是.(簡記：積定和最小)(2)假如和是定值，那么當且僅當時，有最大值是.(簡記：和定積最大)15.在中，若，，，則______；______.【答案】(1).3(2).【解析】【分析】余弦定理得求出，再求出利用同角三角函數平方關系求得【詳解】由余弦定理得，即，，得，，.故答案為：(1).3(2).【點睛】本題考查余弦定理.利用余弦定理可以解決的兩類問題：(1)已知兩邊及夾角，先求第三邊，再求其余兩個角．(2)已知三邊，求三個內角．16.在等差數列中，，.則______；此數列前30項的肯定值之和為______.【答案】(1).(2).765【解析】【分析】利用等差數列基本量運算可得解，由通項計算得得前20項為負數，分段計算可解.【詳解】（1）由，，得，∴.∴.（２由，則.故答案為：(1)(2).765【點睛】等差數列基本量計算問題的思路：與等差數列有關的基本運算問題，主要圍圍著通項公式和前項和公式，在兩個公式中共涉及五個量：，已知其中三個量，選用恰當的公式，利用方程(組)可求出剩余的兩個量．17.已知的三邊，，和面積滿意，且.則______；的最大值為______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用面積公式和余弦定理聯解化簡可得，兩邊平方可求的；求出，利用面積公式轉化為關于的二次函數求出面積最大值.【詳解】∵，且，∴∴，，∴.∵，∴.得.∵，∴（當時取最大值），∴的最大值是.故答案為：(1).(2).【點睛】本題考查余弦定理的應用.三角形中最值范圍問題的解題思路:要建立所求量(式子)與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題．要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數的定義域)找完善，避開結果的范圍過大．三、解答題：18.已知關于的一元二次不等式.（1）若不等式的解集是或，求的值；（2）若不等式的解集是，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由不等式的解集為知,且，是方程的兩根，代入可解.（2）不等式的解集為，知二次函數圖像恒在軸下方，則利用且可解【詳解】（1）∵不等式的解集為∴，是方程的兩根，且∴（2）∵不等式的解集為∴且∴∴的取值范圍是【點睛】解含參數的一元二次不等式時分類探討的依據(1)二次項中若含有參數應探討是等于，小于，還是大于，然后將不等式轉化為一次不等式或二次項系數為正的形式．(2)當不等式對應方程的實根的個數不確定時，探討判別式與的關系．(3)確定無實根時可干脆寫出解集，確定方程有兩個實根時，要探討兩實根的大小關系，從而確定解集形式．19.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可求出，再利用二倍角的正切公式即可求解.（2）利用誘導公式以及二倍角的余弦公式將式子化為，再利用同角三角函數的基本關系化為，由（1）即可求解.【詳解】（1）由，知，∴，∴.（2）由（1），知，∴∴.【點睛】本題考查了二倍角正切、余弦公式以及同角三角函數的基本關系，屬于基礎題.20.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若acos2＋ccos2＝b.(1)求證：a，b，c成等差數列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面積．【答案】（1）依據已知邊角關系，結合二倍角公式來化簡得到證明．（2）【解析】解：(1)證明：acos2＋ccos2＝a·＋c·＝b，即a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝3b.由正弦定理得：sinA＋sinAcosC＋sinC＋cosAsinC＝3sinB，即sinA＋sinC＋sin(A＋C)＝3sinB，∴sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理得，a＋c＝2b，故a，b，c成等差數列．(2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：42＝a2＋c2－2accos60°，∴(a＋c)2－3ac＝16，又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，解得ac＝16，∴△ABC的面積S＝acsinB＝acsin60°＝4.21.已知數列{}滿意a1＝1，a3＋a7＝18，且＋＝2（n≥2）．（1）求數列{}的通項公式；（2）若＝·，求數列{}的前n項和．【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）因為，由等差中項可知數列是等差數列，依據已知可求得其公差，從而可得其通項公式．（2）分析可知應用錯位相減法求數列的和．試題解析：解：（1）由知，數列是等差數列，設其公差為，則，所以，，即數列的通項公式為．（2），，相減得：，整理得：，所以．考點：1求通項公式；2求數列的和．22.已知數列