江蘇省南京市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬考試試題含解析

PAGE22-江蘇省南京市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬考試試題（含解析）一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）1.設(shè)集合M＝{m|﹣3＜m＜2，m∈Z}，N＝R，則M∩N＝_____．【答案】{﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】可以求出集合M，然后進行交集的運算即可．【詳解】∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝R，∴M∩N＝{﹣2，﹣1，0，1}．故答案為：{﹣2，﹣1，0，1}．【點睛】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運算，考查了計算實力，屬于基礎(chǔ)題．2.復(fù)數(shù)z復(fù)平面上對應(yīng)點位于第_____象限．【答案】一【解析】【分析】首先進行復(fù)數(shù)的除法運算，分子和分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，分母變成一個實數(shù)，分子進行復(fù)數(shù)的乘法運算，整理成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)，看出所在的象限．【詳解】∵復(fù)數(shù)，∴復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（，）∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故答案為：一【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的實部和虛部的符號，是一個概念題，考查了復(fù)數(shù)的四則運算，屬于簡潔題．3.某次測驗，將20名學(xué)生平均分為兩組，測驗結(jié)果兩組學(xué)生成果的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差分別為90，6；80，4．則這20名學(xué)生成果的方差為_____．【答案】51【解析】【分析】由方差定義可得n個數(shù)與其平均數(shù)，方差間關(guān)系xxxnS2+n2，利用此關(guān)系可結(jié)合條件把20個數(shù)據(jù)中的前10個數(shù)，后10個數(shù)分別找出其平方和，及平均數(shù)，進而求出20名學(xué)生成果的方差．【詳解】設(shè)x1，x2…xn的方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2][xxx2（x1+x2+…+xn）+n2][x12+xxn2]∴xxxnS2+n2，則xxx10×36+10×902＝81360，xxx10×16+10×802＝64160，85．∴S2[xxx202][81360+64160﹣20×852]＝51，故答案：51．【點評】本題依托平均數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)差的定義關(guān)系，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理實力和計算實力，屬于中低檔題．4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為_____．【答案】8【解析】【分析】依據(jù)程序框圖進行模擬運算即可．【詳解】第1次循環(huán)：k＝0，S＝1；第2次循環(huán)：S＝1×21＝2，k＝2；第3次循環(huán)：S＝2×22＝8，k＝3；此時不滿意循環(huán)條件k＜3，輸出S＝8．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了程序框圖的識別和推斷問題，依據(jù)條件模擬運算是解題的關(guān)鍵，考查了計算實力，屬于簡潔題．5.拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地勻稱且四面上分別標(biāo)有1，2，3，4的正四面體，記底面上的數(shù)字分別為，則為整數(shù)的概率是_____．【答案】【解析】總數(shù)為為整數(shù)有共8個,所以概率是6.函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】（2，+∞）【解析】試題分析：首先對f（x）=（x﹣3）ex求導(dǎo)，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案為（2，+∞）．考點：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性．7.已知雙曲線的離心率為，那么此雙曲線的準(zhǔn)線方程為_____．【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的離心率為，求出a，c，再求出雙曲線的準(zhǔn)線方程．【詳解】∵雙曲線的離心率為，∴（m﹣3）（m+5）＜0，，∴﹣5＜m＜3，，∴m，∴a，c＝2，∴雙曲線的準(zhǔn)線方程為故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的準(zhǔn)線方程，考查離心率，考查學(xué)生分析解決問題的實力，屬于中檔題．8.已知正四棱錐的體積為，底面邊長為，則側(cè)棱的長為．【答案】【解析】【分析】先設(shè)底面正方形的中心為，依據(jù)題意得到，再由求出，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)底面正方形的中心為，又底面邊長為2可得由【點睛】本題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，熟記棱錐的結(jié)構(gòu)特征及體積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.9.已知函數(shù)若則函數(shù)的最小正周期為．【答案】【解析】【詳解】試題分析：，所以，由此可得：，又因為，所以令得，所以函數(shù)的最小正周期．考點：三角函數(shù)的性質(zhì)．10.已知等差數(shù)列{an}滿意：a1＝﹣8，a2＝﹣6．若將a1，a4，a5都加上同一個數(shù)m，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，則m的值為_____．【答案】-1【解析】【分析】【分析】由題意可得公差d＝a2﹣a1＝2，從而an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣10，設(shè)所加的這個數(shù)為x，依據(jù)（a1+x）（a5+x），解出x的值．【詳解】已知等差數(shù)列{an}中，a1＝﹣8，a2＝﹣6，∴公差d＝a2﹣a1＝2，∴an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣10．將a1，a4，a5都加上同一個數(shù)，所得的三個數(shù)依次成等比數(shù)列，設(shè)所加的這個數(shù)為x，則有（a1+x）（a5+x），即（﹣2+x）2＝（﹣8+x）（0+x），解得x＝﹣1．故答案為：﹣1．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求等差數(shù)列的通項公式，求得an＝2n﹣10，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．11.設(shè)函數(shù)和的圖象在軸左、右兩側(cè)靠近軸的交點分別為、，已知為原點，則．【答案】【解析】試題分析：由得，即，所以，即，則，所以；考點：1．三角函數(shù)的恒等變換；2．平面對量的數(shù)量積；12.設(shè)f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R），若f（x）的最大值為，則a+b的取值范圍為_____．【答案】[，]．【解析】【分析】由條件利用協(xié)助角公式、正弦函數(shù)的最值求得a2+b2＝5，再利用基本不等式求得（a+b）2≤10，從而求得a+b的取值范圍．【詳解】∵f（x）＝asin2x+bcos2xsin（2x+θ）（a，b∈R），若f（x）的最大值為，∴a2+b2＝5，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab≤2（a2+b2）＝10，∴a+b，故a+b的取值范圍為[，]，故答案為：[，]．【點睛】本題主要考查協(xié)助角公式，正弦函數(shù)的最值，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．13.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝2，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）＝1，則a+2c的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合正弦定理以及基本不等式求解即可．【詳解】解：由cos2B+cosB+cos（A﹣C）＝1?1﹣2sin2B+cosB+cosAcosC+sinAsinC＝1?1﹣2sin2B﹣cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC＝1?sinAsinC＝sin2B，由正弦定理得到ac＝b2，而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪⒂蒪＝2，可得．故答案為：．【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的實力．14.已知正實數(shù)x，y滿意x＋＋3y＋＝10，則xy的取值范圍為________．【答案】【解析】10＝＋≥2，即25≥3xy＋＋143(xy)2－11xy＋8≤01≤xy≤.二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)）15.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量（1）當(dāng)時，求b的值；（2）當(dāng)∥時，且，求的值．【答案】（1）b＝1．（2）2【解析】【分析】（1）由題意得，即，由正弦定理有：，聯(lián)馬上可得解b的值．（2）由平行條件得a＝sinA?sinB，由，則可得，聯(lián)馬上可得解．【詳解】（1）由題意得：，即得，在三角形中由正弦定理有：，由以上兩式可知：b＝1．（2）由平行條件得，，則可得到：，∴．【點睛】本題主要考查了正弦定理，平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，兩角和的余弦函數(shù)公式的綜合應(yīng)用，考查了計算計算實力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16.如圖，四棱錐A﹣BCDE中，AB、BC、BE兩兩垂直且AB＝BC＝BE，DE∥BC，DE＝2BC，F(xiàn)是AE的中點．（1）求證：BF∥面ACD；（2）求證：面ADE⊥面ACD．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）取AD的中點M，連接CM、MF，推導(dǎo)出四邊形BCMF為平行四邊形，從而CM∥BF，由此能證明BF∥面ACD．（2）作DE中點N，連接CN，推導(dǎo)出CM⊥AD，BF⊥AE，CM⊥AE，由此能證明面ADE⊥面ACD．【詳解】證明：（1）取AD的中點M，連接CM、MF．∵F、M分別為AE、AD中點，∴DE∥2MF，DE=2MF又∵DE∥2BC，DE=2BC∴FM∥BC，F(xiàn)M=BC，∴四邊形BCMF為平行四邊形，∴CM∥BF，又∵BF?面ACD，CM?面ACD，∴BF∥面ACD．（2）作DE中點N，連接CN，∵DE∥2BC，DE=2BC，N為DE中點N，∴DN＝BC，又∵AB、BC、BE兩兩垂直，且AB＝BC＝BE，∴AC＝CD，∵M為AD中點，∴CM⊥AD，又∵F是AE的中點，且AB＝BE，∴BF⊥AE，∵CM∥BF，∴CM⊥AE，又∵AD∩AE＝A，AE、AD?面ADE，∴CM⊥面ADE，∵CM?面ACD，∴面ADE⊥面ACD．【點睛】本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查了空間思維實力和推理實力，屬于中檔題．17.為解決城市的擁堵問題，某城市打算對現(xiàn)有的一條穿城馬路MON進行分流，已知穿城馬路MON自西向東到達城市中心點O后轉(zhuǎn)向東北方向（即）．現(xiàn)打算修建一條城市高架道路L，L在MO上設(shè)一出入口A，在ON上設(shè)一出入口B．假設(shè)高架道路L在AB部分為直線段，且要求市中心O與AB的距離為10km．（1）求兩站點A，B之間距離的最小值；（2）馬路MO段上距離市中心O30km處有一古建筑群C，為愛護古建筑群，設(shè)立一個以C為圓心，5km為半徑的圓形愛護區(qū)．則如何在古建筑群C和市中心O之間設(shè)計出入口A，才能使高架道路L及其延長段不經(jīng)過愛護區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）？【答案】（1）；（2）設(shè)計出入口A離市中心O的距離在到20km之間時，才能使高架道路L及其延長段不經(jīng)過愛護區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）．【解析】【分析】（1）過點O作于點E，則，設(shè)，則，，則有，然后利用三角函數(shù)的學(xué)問求出分母的最大值即可（2）以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線AB的方程為，可得和，解得或（舍），可得，又當(dāng)時，，從而可得.【詳解】（1）過點O作于點E，則，設(shè)，則，所以，所以；因為；所以當(dāng)時，AB取得最小值為；（2）以O(shè)為原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；則圓C的方程為，設(shè)直線AB的方程為；∴，∴，解得或（舍），∴，又當(dāng)時，，所以；綜上知，當(dāng)時，即設(shè)計出入口A離市中心O的距離在到20km之間時，才能使高架道路L及其延長段不經(jīng)過愛護區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）．【點睛】1.本題考查的是三角函數(shù)的實際應(yīng)用，要擅長利用三角函數(shù)的有界性求最值2.由實際問題建立直角坐標(biāo)系，運用直線與圓的位置關(guān)系，確定參數(shù)范圍.18.已知點M是圓C：（x+1）2+y2＝8上的動點，定點D（1，0），點P在直線DM上，點N在直線CM上，且滿意2，?0，動點N的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標(biāo)原點，求△AOB面積S的最大值．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）由已知得NP為DM的垂直平分線，|ND|＝|NM|，，由此能求了軌跡E的方程．（2）法一：設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出△AOB面積S的最大值．（2）法二：設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出△AOB面積S的最大值．【詳解】（1）解：因為，，所以NP為DM的垂直平分線，所以|ND|＝|NM|，又因為，所以所以動點N的軌跡是以點C（﹣1，0），D（1，0）為焦點的長軸為的橢圓．所以軌跡E的方程為．（2）解法一：因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m，由，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，所以，因為|AB|＝2，所以，即所以，即，因為1+k2≥1，所以．又點O到直線AB的距離，因為h，所以S2＝h2＝2m2（1﹣m2）所以，即S的最大值為．（2）解法二：因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構(gòu)成三角形，則弦AB不能與x垂直，故可設(shè)直線AB的方程為y＝kx+m，由，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，所以，．因為|AB|＝2，所以．因為，所以，所以，又點O到直線AB的距離，所以h．所以S2＝h2．設(shè)，則，所以，即S的最大值為．【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查了三角形面積的最大值的求法，解題時要留意根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式的合理運用，要求較高的計算實力，本題屬于難題．19.設(shè)首項為a1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，q為非零常數(shù)，已知對隨意正整數(shù)n，m，Sn+m＝Sm+qmSn總成立．（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；（2）若不等的正整數(shù)m，k，h成等差數(shù)列，試比較amm?ahh與ak2k的大小；（3）若不等的正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，試比較與的大?。敬鸢浮浚?）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）令n＝m＝1，得a2＝qa1，令m＝1，得Sn+1＝S1+qSn（1），從而Sn+2＝S1+qSn+1兩式相減即可得出an+2＝qan+1，進而可推斷出數(shù)列{an}是等比數(shù)列（2）依據(jù)m，k，h成等差數(shù)列，可知m+h＝2k，進而可判定，進而依據(jù)等比數(shù)列的通項公式分q大于、等于和小于1三種狀況推斷．（3）正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，則m?h＝k2，推斷出，進而依據(jù)等差依據(jù)等比數(shù)列的通項公式分a1和q大于、等于和小于1三種狀況推斷．【詳解】（1）證：因為對隨意正整數(shù)n，m，Sn+m＝Sm+qmSn總成立，令n＝m＝1，得S2＝S1+qS1，則a2＝qa1令m＝1，得Sn+1＝S1+qSn（1），從而Sn+2＝S1+qSn+1（2），（2）﹣（1）得an+2＝qan+1，（n≥1）綜上得an+1＝qan（n≥1），所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列（2）正整數(shù)m，k，h成等差數(shù)列，則m+h＝2k，所以，則①當(dāng)q＝1時，amm?ahh＝a12k＝ak2k②當(dāng)q＞1時，③當(dāng)0＜q＜1時，（3）正整數(shù)m，k，h成等比數(shù)列，則m?h＝k2，則，所以，①當(dāng)a1＝q，即時，②當(dāng)a1＞q，即時，③當(dāng)a1＜q，即時，【點睛】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列與不等式綜合，考查了分類探討思想和計算實力，屬于難題．20.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）若曲線在處的切線也是拋物線的切線，求的值；（2）若對于隨意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，是否存在，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等？若存在，求符合條件的的個數(shù)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）或；（2）（3）相等，一個.【解析】【分析】（1）求出在的切線，與聯(lián)立，依據(jù)切線與拋物線只有一個交點，則；（2）分，，依據(jù)導(dǎo)數(shù)探討；（3）轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點通過導(dǎo)數(shù)求解.【詳解】（1），所以在處的切線為即：與聯(lián)立，消去得，由知，或（2）①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，，故不恒成立，所以不合題意；②當(dāng)時，對恒成立，所以符合題意；③當(dāng)時令，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增,所以又，，綜上：(3)當(dāng)時，由（2）知，設(shè)，則，假設(shè)存在實數(shù)，使曲線在點處的切線斜率與在上的最小值相等，即為方程的解，令得：，因為，所以.令，則，當(dāng)是，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，,故方程有唯一解為1，所以存在符合條件的，且僅有一個.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.困難方程的根問題：1、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點求解；2、轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點求解.[選做題]（本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在答題相應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）[選修4-2：矩陣與變換]21.設(shè)矩陣A，求矩陣A的逆矩陣的特征值及對應(yīng)的特征向量．【答案】λ1＝﹣1，對應(yīng)一個特征向量為，λ2，對應(yīng)的一個特征向量為．【解析】【分析】由矩陣A，求得丨A丨及A*，A﹣1A*，求得A﹣1，由特征多項式f（λ）＝0，求得矩陣的特征值，代入求得特征向量．【詳解】丨A丨1﹣4＝﹣3，A*，A的逆矩陣為A﹣1A*，則特征多項式為f（λ）＝（λ）2λ2λ，令f（λ）＝0，解得：λ1＝﹣1，λ2，設(shè)特征向量為，則，可知特征值λ1＝﹣1，對應(yīng)的一個特征向量為，同理可得特征值λ2，對應(yīng)一個特征向量為．【點睛】本題考查求矩陣特征值及特征向量，考查逆矩陣的求法，考查計算實力，屬于中檔題．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中，求曲線關(guān)于直線對稱的曲線的極坐標(biāo)方程.【答案】【解析】【分析】將曲線和直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，從而求得對稱曲線的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程.【詳解】以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸建立直角坐標(biāo)系，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，且圓心C為.直線的直角坐標(biāo)方程為，因為圓心C關(guān)于的對稱點為，所以圓心C關(guān)于的對稱曲線為.所以曲線關(guān)于直線對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程與一般方程的互化問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理實力、運算求解實力.[選修4-5：不等式選講]23.若關(guān)于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集為（1，2），求函數(shù)f（x）＝（a﹣1）（b﹣1）的最大值．【答案】．【解析】分析】由題意可得1，2是方程x2﹣ax+b＝0的兩根，運用韋達定理可得a＝3，b＝2，即有f（x）＝2，運用柯西不等式即可得到所求最大值．【詳解】關(guān)于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集為（1，2），可得1，2是方程x2﹣ax+b＝0的兩根，即有1+2＝a，1×2＝b，解得a＝3，b＝2，則函數(shù)f（x）＝（a﹣1）（b﹣1）2，由x﹣3≥0，4﹣x≥0可得3≤x≤4，由柯西不等式可得，（2）2≤（4+1）（x﹣3+4﹣x），即有2．當(dāng)2，即為x∈[3，4]時，f（x）取得最大值．【點睛】本題