精講精煉（必修第二冊(cè)） 7 .2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(精講)

思維導(dǎo)圖

設(shè)4=。+及，m=c+di(a,b,c,deR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則

0l+z2—(a+c)+(Z>+</)i;?zi-Z2—(a-c)+(b~d)i.

對(duì)任意Zl,Z2,tjEC,有

加減運(yùn)算

@1=Z1+ri;?(ZI+zi)+t3=ri+(￡：+?).

①?gòu)?fù)數(shù)的乘法法則

設(shè)n=a+6i,zi=c+di(a,b,c,d^R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),

則irz:=(a+bi)(c+d1)=(ac—bd)+(ad+bc)i.

復(fù)

數(shù)

的

四

則

運(yùn)

算

設(shè)zi=a+bi,zi=c+di(a,b,c,rfGR,且c+di#))是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),

B,^__a+bi_ac+bdbc—ad,

M^一-Z7_-,i,+，”i(c+di和)?

公式Sc+dii--t-d-c--t-d-

①首先將除式寫為分式.

除②再將分子、分母同乘以分母的共枕復(fù)數(shù).

法③然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)

思路，一的代數(shù)形式.

——

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程&+6x+c=0(a#0)的求根公式為

i_一任7a—4ac

①當(dāng)時(shí),

bd^\l—(b~—4ac)i

-----------②當(dāng)/<0時(shí)，k

復(fù)數(shù)求根e--------------------------

常見考法

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算

［例1353.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))計(jì)算下列各式的值

⑴(4+3i)+(5+7/)；(2)(-5+0-(3-2i)；

(3)(3+2i)+(-3-20；(4)(6-3i)-3i-2).

【答案】⑴9+10i；⑵-8+3i；(3)0；(4)8.

【解析】(1)(4+3i)+(5+7i)=(4+5)+(3i+7i)=9+10i

(2)(-5+z)-(3-2i)=(-5-3)+(/+2/)=-8+3z

3)(3+2/)+(-3-2Z)=(3-3)+(2z-2z)=0

(4)(6-3z)-(-3z-2)=(6+2)+(—3i+3i”8

故答案為：⑴9+10i；⑵-8+3i；(3)0；(4)8

【一隅三反】

1.（2021?安徽?宣城市勵(lì)志中學(xué)高一月考）計(jì)算:

⑴(2->.|i

⑵已知4=2+3i,z2=-l+2i,求A+z2,z,-z2.

【答案】(Dl+i⑵l+5i,3+i

【解析】⑴

(2)4=2+3i,z2=-l+2i,

.-.zl+z2=2+3i+(-l+2i)=l+5i,-z2=2+3i-(-l+2i)=3+i

2.(2021?上海?高一課時(shí)練習(xí))化簡(jiǎn)下列復(fù)數(shù)

(1)(6-5i)+(3+2i)

(2)(5-6z)+(-2-z)-(3+4z)

【答案】(1)9-3/；(2)-111.

【解析】(l)(6-5i)+(3+2i),=(6+3)+(2-5＞，=9-3/.

(2)(5-6/)+(-2-/)-(3+4/),=(5-2-3)+(-6-l-4)z,=-11/.

3.(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))計(jì)算下列各式的值.

(2)[(a+b)+(a-b)i]-[(.a-b)-(a+b)i],其中a,beR.

【答案】⑴:7一25八(2)2+2必

612

【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算,展開化簡(jiǎn)可得

.75.

I=-----1

612

(2)[(ci+b)+(a—b)i]—[(tz—b)—{a+b)i]=[(a+b)—(a—/?)]+[(a—b)+{a+b)]i=2Z?+2cii

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算

[例2](2021?山西?長(zhǎng)治市潞城區(qū))計(jì)算：

1-行

⑴R+狄4-)⑵支皿為⑶州la；

(4)nr^v-

[22)l+i2+i

⑸。-嗎+?+2+上

3+4i(l+i)(i-l)+i

【答案】⑴-9-7i；(2)2-i.(3)|+|i；(4)-y-^i.(5)l-i;(6)-l+i

5544

(\3A1I33

【解析】(1)—+-i(4i-6)=—?4iH—(-6)+—i-4i+—i-(—6)=2i—3—6—9i=—9—7i.

\22)2222

⑵一幣—=一而而—=一2—=M+%)=2t.

(1+2i)2+3(1—i)_-3+4i+3—3i_i_i(2-i)_12.

⑹-------------------=-----------------=-----=--------=——1；

2+i2+i2+i555

小_(石+i)(-i)_，一后.

+ij(73+i)2百+i444

仁、e?(1-旬。+。+2+藥7+i(7+i)(3-4i)25-25i,：

3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)25

⑹原式二月哈二T二產(chǎn)胃二筌一+i

(1+1)(1-1)4-1-2+1(-2+i)(2+i)-5

【一隅三反】

15-5i

1.（2021?安徽?安慶市白澤湖中學(xué)）己知復(fù)數(shù)Z=2-3i,22=^—T,求:

⑴乃;⑵五.

z2

z]]3

【答案】6平2=-7-91」2)￡=而+而1.

…廣，_15-5i15-5(15-5i)(3-4i)25-75i

【斛析】“2_Q+i>_3+方一(3+4i)(3-4i)

25

(l)Z1z2=(2-3i)(l-3i)=-7-9i.

z,2-3i(2-3i)(l+3i)ll+3i113.

'Z2l-3i(l-3i)(l+3i)101010-

2.(2021?江西?景德鎮(zhèn)一中)計(jì)算下列各式的值.

(l)|2-i|2-(2-i)2；⑵圖一鼻

【答案】⑴2+4i：（2）44j-

【解析】(1)|2-“2-(2-i)2=[V22+(-l)2]2-4+4i-i2=2+4i；

夜、2i42I21-i11-i-ill.II.

1+i1+i(l+i)21+i2i(1+i)(l-i)i12+12-i22222

3(2021?重慶南開中學(xué)高一月考)計(jì)算：

⑴⑵探+F「

【答案】⑴I;⑵-1+i.

(l-4i)(l+i)+2+4i_l+i-4i-4i2+2+4i_7+i(7+i)(3-4i)_25-25i

-374i=374i3^4i-(3+4i)(3-4i)-25

-2石+i烏*（-26+。（1-2后）213i]=1

⑵小而（匚1）一（1+2畬）（1一2/）（萬(wàn)）-13（-i）'°'n-產(chǎn).+2

考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的運(yùn)算的應(yīng)用

【例3】（2021?河北安平中學(xué)）已知復(fù)數(shù)z="2—i，則下列說(shuō)法正確的是（）

1+1

3

A.z的共枕復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限B.z的虛部為-:i

C.z的共朝復(fù)數(shù)D.z的模為巫

222

【答案】D

2—i（2—i）（l—i）1—3i13.

【解析】2=下=（用）（1）=『口

??.z的共輾復(fù)數(shù)為:+[i，故C錯(cuò)誤，共物復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（；,■!）在第一象限，故A錯(cuò)誤;

z的虛部為-,，故B錯(cuò)誤；z的模為+（￡[=羋，故D正確.故選：D.

【一隅三反】

（2021?上海?華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)）已知復(fù)數(shù)2=三，則下列結(jié)論正確的是（

1.）

1-1

A.z在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限B.z的虛部是i

C.|z|=>/2D.z=l+i

【答案】C

2i（l+i）

［解析］z=\l+i對(duì)應(yīng)點(diǎn)（T1）在第二象限，A錯(cuò)誤.虛部為I,B錯(cuò)誤.

|z|=V1+1=72,C正確.1=-1-3D錯(cuò)誤.故選：C

2.（2021?云南?昆明市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一月考）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足zQ-ihi2020,則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.復(fù)數(shù)z的模為三1B.復(fù)數(shù)z的共粗復(fù)數(shù)為71

C.復(fù)數(shù)z的虛部為5D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限

【答案】D

八505,1（2+i）21.

【解析】因?yàn)閆（2-i）=i2°2。i4）=1,所：J'Z=2^i=（2-i）（2+i）=5+51

兒復(fù)數(shù)2的模為國(guó)=小|[2+t）2=等，故錯(cuò)誤；

B.復(fù)數(shù)z的共匏復(fù)數(shù)為故錯(cuò)誤；

C.復(fù)數(shù)z的虛部為：，故錯(cuò)誤；

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為所以在第?象限，故正確；故選：1）

3.（2021?廣東?廣州奧林匹克中學(xué)）（多選）已知復(fù)數(shù)4=2-i,z2=2i,則（）

A.z?是純虛數(shù)B.Z1-z?對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限

C.|z,+z2|=5D.|Z,Z2|=2>/5

【答案】AD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng),利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念可判斷A正確；

對(duì)于6選項(xiàng)，4-Z2=2-3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故8錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，z,+z2=2+i,則區(qū)+22|=也2+『=&,故。錯(cuò)；

對(duì)于，選項(xiàng)，z,-z2=（2-i）-2i=2+4i,則上危|=戶不=26,故。正確.故選：AD.

4.（2021-全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）（多選）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)占對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，

則（）

A.復(fù)數(shù)z=l+iB./z/-5/2

C.復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限D(zhuǎn).復(fù)數(shù)2的實(shí)部是T

【答案】BD

【解析】復(fù)數(shù)==n=型答=T-i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為

1-1（1-1）（1+1）-2

?復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)言2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,1）,

，復(fù)數(shù)z=-l+i.故A,c均錯(cuò)；5=T-i,|*=0N的實(shí)部是一1,故BD正確,故選：BD.

考點(diǎn)四求根

【例4】（2021?上海?曹楊二中）設(shè)分、ceR,若2-i（i為虛數(shù)單位）是一元二次方程V+bx+c=O的一個(gè)

虛根，則（）

A.b=4,c=5B.。=4,c=3

C.h=-4fc=5D.h=-4,c=3

【答案】C

【解析】因?yàn)?-i是實(shí)系數(shù)一元二次方程/+加+C=0的一個(gè)虛根，則該方程的另一個(gè)虛根為2+i,

由韋達(dá)定理可得『；（2+二，所以K.故選：c

【一隅三反】

1.（2021?河北?張家口市第一中學(xué)高一期中）已知實(shí)系數(shù)一元二次方程f+px+quO的一個(gè)根4-i,那么

p=,q=.

【答案】。=-84=17

【解析】由題意可知，實(shí)系數(shù)一元二次方程V+px+q=0的兩個(gè)虛根分別為4-i和4+i

（4+，）+（4-i）=-P解得：二二故答案為：-847

由韋達(dá)定理得〈（4+,）（4-/）=^，解侍

2.（2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)）1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在其所著《重要的藝術(shù)》一書中提出“將實(shí)

數(shù)10分成兩部分，使其積為40”的問(wèn)題，即“求方程X0O-司=40的根”，卡爾丹求得該方程的根分別為

5+依和5一口，數(shù)系擴(kuò)充后這兩個(gè)根分另IJ記為5+后和5—病.若z（5+后）=5-炳，貝IJ復(fù)數(shù)z=

（）

DI+炳

A.1-V15iB.1+后

'4

【答案】C

5—后（5.洞）25-15-10洞印.故選C

【解析】liiz（5+曬）=5-尼，得z

5+洞（5+>/i5i）（5-Vi5i）25-15，

3（2021?全國(guó)?高一專題練習(xí)）（1）方程f-px+k=O（peR）有一個(gè)根為l+2i,求實(shí)數(shù)々的值;

⑵方程丁-4x+Z=0有一個(gè)根為l+2i,求左的值.

【答案】⑴5；（2）k=7+4i.

【解析】（1）由實(shí)系數(shù)一元二次方程的復(fù)數(shù)根共蛹，故另一個(gè)根為l-2i,..?=（l+2i）（l-2i）=5

（2）由題意，將l+2i代入方程可得：（l+2i）2-4（l+2i）+/=0nk=7+4i.

4.（2021?全國(guó)?高一專題練習(xí)）已知巴〃是實(shí)系數(shù)一元二次方程法+c=（）的兩個(gè)虛根，且萬(wàn)eR,

求，的值.

【答案】廣李亭

【解析】?:a，B為實(shí)系數(shù)一元二次方程◎?+笈+c=o的兩個(gè)虛根,

-b±y]4ac-b2'

x=-------------------,

2a

不妨設(shè)。=加+山。幾〃￡&），則夕=〃7—〃i,

a2_ay

—eR則;a%R,

Pa2P

即m3—3m2n+(3m2n-n3)ie7?,

***3nrn=n3

***n7t0,n2=3m2.

B|J4ac-b2=3h2,ac=b2.

-b+>/3b\-b-y/3h\a1后

若a=--則--/--?-=-—=———j

月22

則「二止酗+四

(322

綜上所述，/亭亭

故答案為：-1士3i

22

考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)用

【例5】（2021?全國(guó)）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共短復(fù)數(shù)為I，下列說(shuō)法正確的是（）

A.如果Z|+Z26R,則Z1,Z?互為共蛹復(fù)數(shù)

B.如果復(fù)數(shù)Z1,Z2滿足IZ+ZZRZLZJI，則Z「Z2=0

C.如果z2=W，則|z|=l

D.上尼卜㈤㈤

【答案】D

【解析】對(duì)于A,設(shè)4=l+i,馬=2-i,4+Z2=3wR,但馬，Z2不互為共挽復(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,設(shè)4=。-始(4,eR),z2=a2+b^(a2,b2eR).

由B+ZzITZi-ZzI，得|Z|+Z2「=(《+里曠+伯+優(yōu)丫=(4-4)2+(偽一&)2,

+a

則ata2+*2=0,而4=(《+印)3+3)=(4%一4仇)+(44+3ji=2o1a2+(?A2^i)i不一定等于。，

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)z=0時(shí)，有z2=W，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)Z1="+bi,z2=c+ch,則

222222222

\z,z2\=yj(ac-bd)+(ad+bc')=■J(ac')+(bd)+(ad)~+(bc)=^a+/>)(c+J)=，D正確

故選：D

【一隅三反】

1.(2021?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)(理))設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中錯(cuò)誤的是()

A.|z|2=zzB.若卜|=1,則|z+i|的最大值為2

C.z2=|zfD.若以一1|=1,則04忖42

【答案】C

設(shè)z=a+陽(yáng)a,6eR),則2=a-6i,

z-z={a+b\)[a-hi)=a1-Z?2i2=a2+h2=|z|',故A正確；

由忸=1,得=](_1℃),則|z+i|=業(yè)+(匕+1)2=0+力,

當(dāng)匕=1時(shí)，|z+i|的最大值為2,故B正確；

z2=(a+bi)2=a2-b2+2ab\,|z|-=a2+b2,z?與|z「不?定相等,故C錯(cuò)誤;

滿足|z-l|=l的z的軌跡是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示,

則04忖V2,故D正確.

故選：C.

2.（2021?河北?藁城新冀明中學(xué)）（多選）設(shè)I是z的共輾復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.|z-z|=|z|2B.|==1C.z+5是實(shí)數(shù)D.z二是純虛數(shù)

【答案】AB