新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)7-4 拋物線及其應(yīng)用（6題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

熱點(diǎn)7-4拋物線及其應(yīng)用拋物線是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，在高考中選擇題、填空題、解答題都曾出現(xiàn)過，屬于高頻考點(diǎn)。這部分內(nèi)容主要涉及標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、弦長問題及面積問題等，解題思路和解題步驟相對(duì)固定，在沖刺階段的教學(xué)過程中盡量淡化解題技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法，規(guī)范解題步驟?！绢}型1拋物線的定義及概念辨析】滿分技巧1、利用拋物線的定義解決問題，應(yīng)靈活地進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線距離的等價(jià)轉(zhuǎn)化．即“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”．2、注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x，y)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x|＋eq\f(p,2)或|PF|＝|y|＋eq\f(p,2).【例1】（2023·廣東廣州·高三天河中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線上，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點(diǎn)到SKIPIF1<0軸的距離為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．1【答案】B【解析】由題意得，SKIPIF1<0，拋物線SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以所求距離為SKIPIF1<0.故選：B【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離減去它到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離等于2，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．直線B．圓C．雙曲線D．拋物線【答案】D【解析】如圖所示，由于動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離減去它到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離等于2，于是動(dòng)點(diǎn)P在直線SKIPIF1<0的右邊，且動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離大于2，因此動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離等于它到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是拋物線．故選：D【變式1-2】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）焦點(diǎn)為SKIPIF1<0的拋物線SKIPIF1<0的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線交于點(diǎn)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上且在第一象限，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．1D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】過SKIPIF1<0作準(zhǔn)線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0軸的垂線，垂足為SKIPIF1<0，則由拋物線的定義可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由正弦定理可知：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選:A．【變式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交點(diǎn)為SKIPIF1<0，由拋物線的對(duì)稱性，易知SKIPIF1<0為直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，去絕對(duì)值，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：C.【變式1-4】（2023·河南·校聯(lián)考二模）設(shè)F為拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，且SKIPIF1<0平行于x軸，準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，若SKIPIF1<0，則梯形SKIPIF1<0的面積為（）A．12B．6C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題知SKIPIF1<0，拋物線的焦點(diǎn)F為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線l為SKIPIF1<0，如圖所示.由題知SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由拋物線的定義知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：D【題型2利用定義求距離和差最值】滿分技巧與拋物線有關(guān)的最值問題的轉(zhuǎn)換方法(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問題得解．(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．【例2】（2023·四川綿陽·高三南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．7B．6C．5D．4【答案】A【解析】由SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線上方，由拋物線定義可知，點(diǎn)SKIPIF1<0到焦點(diǎn)SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0等于其到準(zhǔn)線的距離SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A.【變式2-1】（2023·江西萍鄉(xiāng)·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn)SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0的定點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．3D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖所示：由SKIPIF1<0知，拋物線焦點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，即為以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于拋物線的準(zhǔn)線：SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，SKIPIF1<0最小,此時(shí)為3，所以SKIPIF1<0的最小值為：SKIPIF1<0，故選：A.【變式2-2】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，SKIPIF1<0，過點(diǎn)M作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為Q，點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最小值為．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0．連接AM，則SKIPIF1<0，由題意知點(diǎn)Q在以AM為直徑的圓上，設(shè)SKIPIF1<0，所以點(diǎn)Q的軌跡方程為SKIPIF1<0（不包含點(diǎn)SKIPIF1<0），記圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，過點(diǎn)Q，P，N分別作準(zhǔn)線SKIPIF1<0的垂線，垂足分別為B，D，S，連接DQ，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)B，P，Q，N四點(diǎn)共線且點(diǎn)Q在PN中間時(shí)等號(hào)同時(shí)成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．【變式2-3】（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為拋物線SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，圓心坐標(biāo)SKIPIF1<0，半徑為1，拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線方程SKIPIF1<0，如圖所示，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離比點(diǎn)SKIPIF1<0到準(zhǔn)線SKIPIF1<0的距離大2，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.【變式2-4】（2023·湖北孝感·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)P為拋物線C：SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，記P到直線SKIPIF1<0的距離分別SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點(diǎn)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)P在線段AF上時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，且最小值為SKIPIF1<0.故選：A【題型3拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】滿分技巧1、定義法：根據(jù)拋物線的定義，確定p的值(系數(shù)p是指焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，求出拋物線方程．標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，要注意選擇．2、待定系數(shù)法（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對(duì)四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行討論，對(duì)于焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，若開口方向不確定需分為y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)兩種情況求解．另一種是設(shè)成y2＝mx(m≠0)，若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個(gè)解，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)．同理，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線可以設(shè)成x2＝my(m≠0)．【例3】（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則拋物線SKIPIF1<0的方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，連接SKIPIF1<0，設(shè)準(zhǔn)線與SKIPIF1<0軸交點(diǎn)為SKIPIF1<0拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，準(zhǔn)線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0又拋物線的定義可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故選：C.【變式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的方程為（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，聯(lián)立方程組，消去SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故選：A．【變式3-2】（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，第一象限的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)在拋物線上，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若線段SKIPIF1<0中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則拋物線的方程為.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0都在第一象限，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以拋物線方程為SKIPIF1<0.【變式3-3】（2023·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）點(diǎn)M為拋物線SKIPIF1<0SKIPIF1<0上點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為F，過M作y軸垂線交y軸于N點(diǎn)，若SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為底邊的等腰三角形，且SKIPIF1<0，則拋物線方程為.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0是以SKIPIF1<0為底邊的等腰三角形，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為SKIPIF1<0，則由拋物線的定義知，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以拋物線的方程為SKIPIF1<0.【變式3-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)A，B在拋物線SKIPIF1<0上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，正三角形OAB的面積為SKIPIF1<0，則該拋物線的方程是．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)對(duì)稱性，可知SKIPIF1<0軸，由于正三角形OAB的面積是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，正SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，故可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，代入拋物線方程得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故所求拋物線的方程為SKIPIF1<0．【題型4拋物線的中點(diǎn)弦問題】滿分技巧設(shè)直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，代入拋物線方程，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將兩式相減，可得SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0【例4】（2023·四川資陽·統(tǒng)考三模）已知拋物線C：SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則直線l的斜率是（）A．SKIPIF1<0B．4C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0作差得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以P是線段AB的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，則直線l的斜率SKIPIF1<0.故選：A【變式4-1】（2022·北京·高三北京二中?？茧A段練習(xí)）已知A，B是拋物線SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則直線AB的方程為．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意，設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0，由拋物線的對(duì)稱性可知，線段AB的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，顯然不符合題意，故SKIPIF1<0，因?yàn)锳，B是拋物線SKIPIF1<0上的兩點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，兩式相減得，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線AB的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【變式4-2】（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）已知拋物線SKIPIF1<0上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，則直線AB的斜率為.【答案】2【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入拋物線SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，因?yàn)閮牲c(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0，所以由①得SKIPIF1<0，直線AB的斜率為2.則直線AB：SKIPIF1<0與代入拋物線SKIPIF1<0聯(lián)立，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以直線AB的斜率為2.【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是參數(shù)）與拋物線SKIPIF1<0的相交弦是SKIPIF1<0，則弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)軌跡方程是.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0過定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又弦中點(diǎn)軌跡在已知拋物線內(nèi)，聯(lián)立SKIPIF1<0故弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)軌跡方程是SKIPIF1<0【變式4-4】（2023·陜西漢中·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）求拋物線SKIPIF1<0的方程；（2）已知直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求直線SKIPIF1<0的方程．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，由拋物線定義可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故拋物線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，如下圖所示：則SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的斜率為4，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．【題型5拋物線的弦長問題】滿分技巧1、一般弦長：設(shè)為拋物線的弦，，，（為直線的斜率，且）.2、焦點(diǎn)弦長：如圖，是拋物線過焦點(diǎn)的一條弦，設(shè)，，的中點(diǎn)，過點(diǎn)，，分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，根據(jù)拋物線的定義有，，故.又因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，從而有下列結(jié)論；（1）以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.（2）(焦點(diǎn)弦長與中點(diǎn)關(guān)系)（3）.（4）若直線的傾斜角為，則.（5），兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積均為定值，即，.（6）為定值.【例5】（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0且斜率大于零的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0及拋物線SKIPIF1<0的公共點(diǎn)從右到左依次為點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如下圖所示：易知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0相切，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選：C.【變式5-1】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考一模）已知拋物線C：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，SKIPIF1<0的中垂線分別交l與x軸于D，E兩點(diǎn)（D，E在SKIPIF1<0的兩側(cè)）.若四邊形SKIPIF1<0為菱形，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．2【答案】B【解析】由四邊形SKIPIF1<0為菱形，如下圖示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由拋物線性質(zhì)知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.公式SKIPIF1<0，證明如下：令直線SKIPIF1<0（斜率存在）為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若直線傾斜角為SKIPIF1<0（不為直角），則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B【變式5-2】（2022·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若直線l經(jīng)過拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則線段AB的長為.【答案】8【解析】拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與拋物線交于兩點(diǎn)，則其斜率存在，設(shè)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【變式5-3】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，坐標(biāo)原點(diǎn)為SKIPIF1<0，焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0.（1）若直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0只有一個(gè)公共點(diǎn)，求SKIPIF1<0的值；（2）過點(diǎn)SKIPIF1<0作斜率為SKIPIF1<0的直線交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求SKIPIF1<0的面積．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）依題意，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有：SKIPIF1<0，顯然方程只有一個(gè)解，滿足條件；②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，要使得直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程SKIPIF1<0只有一個(gè)解，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0只有一個(gè)公共點(diǎn)．（2）由于拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以過點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線方程為：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，則由韋達(dá)定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式5-4】（2023·湖南邵陽·高三邵東市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線方程是SKIPIF1<0.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0與拋物線相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)k的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€SKIPIF1<0的準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以拋物線的方程為SKIPIF1<0.（2）如圖，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【題型6直線與拋物線綜合應(yīng)用】滿分技巧求解拋物線綜合問題的方法(1)研究直線與拋物線的位置關(guān)系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點(diǎn)、距離等問題時(shí)，要注意“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p(焦點(diǎn)在x軸正半軸)，若不過焦點(diǎn)，則必須用弦長公式．【例6】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離與到點(diǎn)SKIPIF1<0的距離之和的最小值為3．（1）求拋物線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知過點(diǎn)SKIPIF1<0且互相垂直的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別交于點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的中點(diǎn)分別為SKIPIF1<0．若直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到準(zhǔn)線的距離為SKIPIF1<0．由拋物線的定義，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以拋物線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，由題意可知，SKIPIF1<0的斜率存在且均不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，將其代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0．同理可得：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，又易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．【變式6-1】（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0．動(dòng)點(diǎn)P在SKIPIF1<0上，過P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為M，N．（1）求拋物線C的方程：（2）當(dāng)SKIPIF1<0面積的最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）因?yàn)闇?zhǔn)線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，拋物線C的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0求導(dǎo)可得SKIPIF1<0，故過M的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故MP：SKIPIF1<0，同理可得NP：SKIPIF1<0，因?yàn)閮汕芯€均經(jīng)過SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在直線SKIPIF1<0上，可知MN：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則MN與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0在圓SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，代入可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．構(gòu)造SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，此時(shí)SKIPIF1<0取到最大值SKIPIF1<0，點(diǎn)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．【變式6-2】（2023·陜西西安·高三西安市第三中學(xué)校考期中）已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的準(zhǔn)線SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為4.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）拋物線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上方一點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線，與曲線SKIPIF1<0的另一個(gè)交點(diǎn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0的斜率為定值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）由題意知SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0．因?yàn)橹本€SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）依題意直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程的兩個(gè)根，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，依題意，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率為定值．【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求拋物線C的方程．（2）設(shè)O是原點(diǎn)，直線l恒過定點(diǎn)（1，0），且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交于點(diǎn)M，N，請(qǐng)問：是否存在以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【解析】（1）依題意知,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）存在,理由如下.設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.聯(lián)立直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理，得SKIPIF1<0.易知SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0由直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,由直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0.設(shè)以SKIPIF1<0為直徑的圓上任一點(diǎn)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故存在以SKIPIF1<0為直徑的圓經(jīng)過SKIPIF1<0軸上的兩個(gè)定點(diǎn)，兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【變式6-4】（2023·重慶·高三四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校校考期中）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)直線l：SKIPIF1<0，點(diǎn)B是l與y軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)ASKIPIF1<0作與l平行的直線SKIPIF1<0，過點(diǎn)A的動(dòng)直線SKIPIF1<0與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn)，直線PB，QB分別交直線SKIPIF1<0于點(diǎn)M，N，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）過點(diǎn)D作準(zhǔn)線的垂線，垂足為SKIPIF1<0，由拋物線的定義得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以拋物線C的方程為SKIPIF1<0．（2）證明：直線l：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€SKIPIF1<0平行于直線l：SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直線PB的方程為SKIPIF1<0，直線QB的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即A是線段MN的中點(diǎn)．所以SKIPIF1<0．（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．4D．5【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B2．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A為x軸上方一點(diǎn)，過點(diǎn)A作SKIPIF1<0垂直于C的準(zhǔn)線于點(diǎn)D．若SKIPIF1<0，則p的值為（）A．SKIPIF1<0B．1C．SKIPIF1<0D．2【答案】B【解析】如圖所示：根據(jù)題意，得點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0．由拋物線的性質(zhì)，得SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等邊三角形．而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：B．3．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，過SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的兩條切線，切點(diǎn)分別為SKIPIF1<0