新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點4-2 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用（6題型 滿分技巧 限時檢測）（原卷版）

熱點4-2平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用平面向量屬于高考的必考內(nèi)容，主要以客觀題的形式出現(xiàn)，也與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等。本部分考題綜合性較強，強調(diào)模、數(shù)量積、坐標(biāo)運算等向量固有的知識，對向量幾何模的研究比較透徹?？忌趶?fù)習(xí)過程中，要重點理解向量數(shù)量積的含義，掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表示，能靈活運用定義法、坐標(biāo)法、基底法解決常見的數(shù)量積問題。【題型1平面向量的數(shù)量積運算】滿分技巧求向量數(shù)量積的3種常規(guī)方法1、定義法求平面向量的數(shù)量積：，其中是兩個向量，的夾角；適用于已知或可求兩個向量的模和夾角。2、基底法求平面向量的數(shù)量積：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別用這組基底表示出來，進而根據(jù)數(shù)量積的運算律和定義求解；適用于直接利用定義求數(shù)量積不可行時，可將已知模和夾角的兩個不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解。3、坐標(biāo)法求平面向量的數(shù)量積：，，則適用于：①已知或可求兩個向量的坐標(biāo)；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積，例如已知圖形為矩形、正方形、直角梯形、等邊三角形、等腰三角形或直角三角形時?！纠?】（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，，若，則（）A．B．C．1D．【變式1-1】（2024·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）已知向量，滿足，，則（）A．B．2C．D．4【變式1-2】（2024·北京東城·高三統(tǒng)考期末）已知非零向量，，滿足，且，對任意實數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【變式1-3】（2024·山東濟南·高三統(tǒng)考期末）平行四邊形ABCD中，，，，若，，則（）A．4B．6C．18D．22【變式1-4】（2024·陜西西安·高三西安中學(xué)校考期末）在邊長為2的正三角形中，D是的中點，，交于F.則.【題型2平面向量的投影向量】滿分技巧解決向量投影問題應(yīng)注意以下3點1、向量在方向上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個向量且與共線，其方向由與的夾角的余弦決定；2、向量在方向上的投影向量為；3、注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示為【例2】（2024·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）若向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．【變式2-1】（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）已知平面向量滿足，，，則在方向上的投影為（）A．5B．C．10D．【變式2-2】（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）已知為不共線的平面向量，，若，則在方向上的投影向量為（）A．B．C．D．【變式2-3】（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A．B．C．D．【變式2-4】（2024·江蘇南京·高三金陵中學(xué)假期作業(yè)）在等邊中，已知點，滿足，，與交于點，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．【題型3平面向量的模長問題】滿分技巧求向量的?；蚱浞秶姆椒?、定義法：，；2、坐標(biāo)法：設(shè)，則；3、幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用解三角形的相關(guān)知識求解。【注意】（1）形如的向量的模，可通過平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量的運算；（2）用定義法或坐標(biāo)法求模的范圍時，一般把它表示成某個變量的函數(shù)，再利用函數(shù)的有關(guān)知識求解；用幾何法求模的范圍時，注意數(shù)形結(jié)合思想，常用三角不等式進行最值求解?！纠?】（2024·全國·高三校聯(lián)考競賽）平面向量，則（）A．3B．5C．7D．11【變式3-1】（2024·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（）A．B．C．3D．7【變式3-2】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）在平面四邊形中，，分別為，的中點.若，，且，則（）A．B．C．D．【變式3-3】（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，且，的夾角為，則的最小值是.【變式3-4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【題型4平面向量的夾角問題】滿分技巧求兩個非零向量夾角的步驟第一步：由坐標(biāo)運算或定義計算出這兩個向量的數(shù)量積；第二步：分別求出這兩個向量的模；第三步：根據(jù)公式求解出這兩個向量夾角的余弦值；第四步：根據(jù)兩個向量夾角的范圍是及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角。【例4】（2024·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（）A．B．C．D．【變式4-1】（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量均為單位向量，且，則與的夾角為（）A．B．C．D．【變式4-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知兩個單位向量滿足，則向量的夾角為（）A．B．C．D．【變式4-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知內(nèi)的一點M滿足，則向量與向量的夾角為（）A．30°B．45°C．60°D．90°【變式4-4】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，且和的夾角為，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為．【題型5平面向量的垂直問題】滿分技巧兩平面向量垂直的充要條件既可以判定兩向量垂直，也可以由垂直求參數(shù)，高考試題中一般是考查已知兩向量垂直求參數(shù)。（1）如果已知向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩平面向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進而求解參數(shù)；（2）如果未知向量的坐標(biāo)，則可通過向量加法(減法)的三角形法則轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量，根據(jù)兩平面向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進而求解參數(shù)?！咀⒁狻咳缫阎獔D形為矩形、正方形、直角梯形、等邊三角形、等腰三角形或直角三角形時，則可建立平面直角坐標(biāo)系求出未知向量的坐標(biāo)，從而把問題轉(zhuǎn)化為已知向量的坐標(biāo)求參數(shù)的問題，注意方程思想和等價轉(zhuǎn)化思想的運用.【例5】（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）已知向量，，若，則（）A．B．C．D．【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）若為非零向量，滿足，且，則（）A．B．1C．D．【變式5-2】（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知平面向量滿足：與的夾角為，若，則（）A．0B．1C．D．【變式5-3】（2024·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量，滿足，設(shè)甲：，乙：，則（）A．甲是乙的充要條件B．甲是乙的充分條件但不是必要條件C．甲是乙的必要條件但不是充分條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【變式5-4】（2024·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，若，則的值為（）A．B．C．D．【題型6數(shù)量積的綜合應(yīng)用】滿分技巧綜合問題的求解方法：（1）坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決；（2）基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進行求解。【例6】（2024·北京西城·高三北京師大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，圓為的外接圓，，為邊的中點，則（）A．10B．13C．18D．26【變式6-1】（2023·上海普陀·高三曹楊二中校考期末）在中，，則下列說法一定正確的是（）A．若，則是銳角三角形B．若，則是鈍角三角形C．若，則是銳角三角形D．若，則是鈍角三角形【變式6-2】（2024·全國·校聯(lián)考一模）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．在2022年虎年新春來臨之際，許多地區(qū)人們?yōu)榱诉_到裝點環(huán)境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設(shè)計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構(gòu)成的剪紙窗花（如左圖）．已知正方形的邊長為，中心為，四個半圓的圓心均在正方形各邊的中點（如右圖）．若點在四個半圓的圓弧上運動，則的取值范圍是.【變式6-3】（2024·天津河西·高三統(tǒng)考期末）在中，，，，，，且，則；的值為.【變式6-4】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（）A．B．C．D．（建議用時：60分鐘）1．（2024·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)校考期末）已知向量，滿足，，且，則（）A．B．0C．1D．22．（2024·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）已知單位向量，的夾角為，則（）A．B．C．D．3．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）在四邊形中，四個頂點A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，，E，F(xiàn)分別為的中點，則（）A．10B．12C．14D．164．（2024·黑龍江·高三大慶實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知、為單位向量，且，則、的夾角為（）A．B．C．D．5．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知，為單位向量，若，則與的夾角為（）A．B．C．D．6．（2024·北京豐臺·高三統(tǒng)考期末）已知是兩個不共線的單位向量，向量（）．“，且”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件7．（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知向量.若與的夾角的余弦值為，則實數(shù)的值為（）A．B．C．D．8．（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知為單位向量，且，則與的夾角為（）A．B．C．D．9．（2024·全國·武鋼三中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，若，則在上的投影向量為（）A．B．C．D．10．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中為原點，，，則向量在向量上的投影向量為（）A．B．C．D．11．（2024·河北·高三雄縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A．B．C．D．12．（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）若，，則的最大值為（）A．3B．5C．D．13．（2024·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）在中，，D為AB的中點，，P為CD上一點，且，則（）A．B．C．D．14．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）平面向量，，滿足，，則的最小值是（）A．B．C．D．15．（2024·天津河北·高三統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點.若，則等于（）A．B．C．D．16．（2022·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）已知平面向量，