新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)6-1 空間角與空間距離的求解（8題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

重難點(diǎn)6-1空間角與空間距離的求解空間角與空間距離問題一直是高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)與熱點(diǎn)考向。通常小題及解答題的第2小問考查，難度中等。在高考復(fù)習(xí)過程中除了掌握空間向量法，還需多鍛煉幾何法的應(yīng)用?！绢}型1幾何法求異面直線夾角】滿分技巧1、求異面直線所成角一般步驟：（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線．（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角．（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．2、可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：（1）直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；（2）中位線平移法；（3）補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線)．【例1】（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┰谡襟w中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在正方體中，連接，由分別為的中點(diǎn)，得分別為中點(diǎn)，而分別為的中點(diǎn)，則，，因此或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角，在中，，則，所以異面直線與所成角的大小是.故選：C【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面直徑，點(diǎn)在底面圓上．若為正三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知，所以，設(shè)，則，可得，分別取的中點(diǎn)，連接，則，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，過點(diǎn)作于，連接，則為中點(diǎn)，與底面垂直，且，在中，，，所以，所以，所以在中，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.【變式1-2】（2024·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】連接，因?yàn)樵谥比庵?，，分別是棱，的中點(diǎn)，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角；直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，設(shè)其棱長(zhǎng)為2，連接，則，而平面，故平面，平面，故，是棱的中點(diǎn)，故，則,而，又，故在中，,由于異面直線所成角的范圍為大于，小于等于，故異面直線與所成角的余弦值是，故選：D【變式1-3】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正方形的邊長(zhǎng)為2，把沿折起，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，若三棱錐的外接球球心O到直線的距離為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．0【答案】A【解析】易得三棱錐的外接球球心O為的中點(diǎn)，連接，則，取的中點(diǎn)H，連接，易知，則為點(diǎn)O到直線的距離，即，取的中點(diǎn)F，連接，得，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成角．因?yàn)椋?，則異面直線與所成角的余弦值為，故選：A．【變式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)是底面的中心，若該四棱臺(tái)的側(cè)面積為，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意知：正四棱臺(tái)側(cè)面為等腰梯形，連接：，，，，，，作，如下圖所示，因?yàn)槔馀_(tái)側(cè)面積為，即：，得：，所以：側(cè)棱長(zhǎng)，因?yàn)椋?，得：，又因?yàn)椋?，所以：四邊形是平行四邊形，所以：，（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，根據(jù)余弦定理可知：，故A項(xiàng)正確.故選：A.【題型2向量法求異面直線夾角】滿分技巧異面直線所成角：若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.【例2】（2023·山東德州·高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，且，，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，異面直線與所成角的正弦值是.故選：A.【變式2-1】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）已知是圓錐底面的直徑，為底面圓心，為半圓弧的中點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)闉榘雸A弧的中點(diǎn)，則，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，為半圓弧的中點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)，則,，所以，設(shè)異面直線與所成角的角為，則，故選：B.【變式2-2】（2024·江西·高三統(tǒng)考期末）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，找底面圓心，作與底面垂直，//，，故以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，規(guī)定，，設(shè)，，易知底面圓方程為，則，，故，，故，設(shè)到面的距離為，設(shè)面的法向量，故有，，解得，，，故，由點(diǎn)到平面的距離公式得，已知四面體的體積為，故得，解得(負(fù)根舍去)，易得，故，，，，設(shè)直線與所成角為，故有.故選：D【變式2-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？奸_學(xué)考試）三棱錐中，平面，，.，點(diǎn)是面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），，則異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由平面平面，得，又平面，則平面，平面，則，又，平面，因此平面，而平面，則，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，由，得，，設(shè)異面直線與所成角為，則，令，則，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，所以異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為.故選：A【變式2-4】（2023·廣東汕頭·高三潮陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面的邊長(zhǎng)為，E是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】連接，交于點(diǎn)O，連接，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面的邊長(zhǎng)為，E是的中點(diǎn)，，，，，設(shè)異面直線與所成的角為，則，，異面直線與所成的角為．故選：C.【題型3幾何法求直線與平面夾角】滿分技巧1、垂線法求線面角（也稱直接法）：（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O；（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；（3）把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）。3、公式法求線面角（也稱等體積法）：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解。公式為：sinθ=?l，其中θ是斜線與平面所成的角，?是垂線段的長(zhǎng)，方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S射影，平面和平面所成的二面角的大小為，則COSθ=S射影S.這個(gè)方法對(duì)于無棱二面角的求解很簡(jiǎn)便。【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體中，棱的中點(diǎn)分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】連接，在正方體中，平面，棱的中點(diǎn)為，則平面，而平面，故，則即為直線與平面所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，則，故，故選：C【變式3-1】（2024·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期末）已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，則直線與平面夾角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如圖，由題意可知，，中，根據(jù)余弦定理可知，則，過點(diǎn)作平面，，連結(jié)，，連結(jié)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且平面所以平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以，同理，中，，則，根據(jù)等面積公式，，所以，，又，所以，則，直線與平面夾角的夾角為，.故選：B【變式3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校聯(lián)考期末）過正四棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺(tái)的表面積之比為，則直線與底面所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依題意過正四棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，則，，，分別為，，，的中點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，所以正方形的面積為，正方形的面積為，正四棱錐的側(cè)面積為，四棱臺(tái)的側(cè)面積為，所以正四棱錐的表面積為，四棱臺(tái)的表面積為，所以，解得，由平面，所以為直線與底面所成角，所以，又，，所以.故選：.【變式3-3】（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，.（1）求證：平面平面；（2）求與平面所成角正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由，得，由平面，平面，則，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）將棱臺(tái)補(bǔ)全為如下棱錐，由，，，易知，，由平面，平面，則，，，所以，，可得，設(shè)到平面的距離為h，又，則，可得，設(shè)與平面所成角為，，則.【變式3-4】（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，，，，，，．（1）求證：平面平面；（2）若為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1），，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）取的中點(diǎn)．連接、，由（1）知平面，平面，，如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，為的中點(diǎn)，，又，，平面，為直線與平面所成角，由（1）知，又，，，，，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．【題型4向量法求直線與平面夾角】滿分技巧直線與平面所成角：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.【例4】（2023·福建福州·高三校聯(lián)考期中）正四棱柱中，，四面體體積為，則與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)樗拿骟w體積為，所以，解得，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，設(shè)與平面所成的角為，所以，故選：C【變式4-1】（2023·上海嘉定·高三?？计谥校┰谡襟w中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，設(shè)，則,設(shè)平面的法向量為，則取，則，所以為平面的一個(gè)法向量，所以由于，所以，所以，因?yàn)樗?故選：B【變式4-2】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，平面，，，．（1）求證：平面；（2）若，二面角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以，且，又平面，平面，所以，又面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，得到，又平面，平面，所以平?（2）如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫?，由?）知，所以平面，又，所以，過作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫?，面，所以，又，，所以面，又面，所?故為二面角的平面角，所以，又，所以，又，所以，所以，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由得到，，取，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【變式4-3】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)與平面所成角為，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，不妨設(shè)，則，故，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，綜上所述，的最小值是.故選：A.【變式4-4】（2024·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，己知三棱臺(tái)的高為1，，為的中點(diǎn)，，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）【解析】（1）由，，，故與全等，故，又為的中點(diǎn)，故，又平面平面，平面平面，且平面，故平面；（2）連接，由平面，平面，故，又，為的中點(diǎn)，故，即、、兩兩垂直，且，故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、，由三棱臺(tái)的高為1，故，故，、，則，，，令平面的法向量為，則有，即，令，則有、，故，則有，故與平面所成角的正弦值為，即與平面所成角為.【題型5幾何法求平面與平面夾角】滿分技巧1、定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律（1）方法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線．（2）具體演示：如圖所示，以二面角的棱a上的任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為此二面角的平面角2、三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）----最常用（1）方法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角（2）具體演示：在平面α內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面β作垂線AB，垂足為B，再過點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角。3、垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）（1）方法：過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。（2）具體演示：過二面角內(nèi)一點(diǎn)A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角。4、射影面積法求二面角【例5】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐的外接球半徑為，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨設(shè)二面角為銳角，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋詾榈耐饨訄A圓心；設(shè)的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為，如圖，連接，，，，則平面，平面，，在中，，，所以由正弦定理知，所以；在中，由，得；在中，由，，得；在中，，，則；所以在中，，從而；在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于，則為二面角的平面角，易知，所以.故選：D.【變式5-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，且為正三角形，分別是的中點(diǎn)，若截面?zhèn)让?，則此棱錐側(cè)面與底面夾角的余弦值為.【答案】【解析】取和的中點(diǎn)分別為，，，分別是，的中點(diǎn)，,,由于且為正三角形，，故,由于，分別是，的中點(diǎn)，因此，故,由于截面?zhèn)让?，所?進(jìn)而可得,由于故為側(cè)面與底面的二面角的平面角，設(shè)，，，在直角中，.【變式5-2】（2024·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（）A．4B．2C．D．【答案】C【解析】連接，相交于點(diǎn)，則為正方形的中心，故⊥底面，取的中點(diǎn)，連接，則，，故為二面角的平面角，所以，故，所以該四棱錐的體積為.故選：C【變式5-3】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）將兩個(gè)相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”.如圖，在正雙三棱錐中，兩兩互相垂直，則二面角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】取中點(diǎn)，連接，交平面于點(diǎn)，由正棱錐性質(zhì)及對(duì)稱性易知為的中心，且，故為二面角的平面角，設(shè)正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為2，易得，則，在中由余弦定理得.故選：D.【變式5-4】（2023·河北邢臺(tái)·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，，，.（1）證明：；（2）設(shè)直線到平面的距離為，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接，由題設(shè)，易知為菱形，故，由點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在AC上，則面，面，則，而，則，又，面，故面，面，則，而，面，則面，由面，則.（2）由（1）知面，面，則，所以是二面角的平面角，由，面，面，則面，直線到平面的距離為，即到平面的距離為，又面，面，則面面，面，面面，即到的距離為，由題設(shè)，易知，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，則為銳角，所以，故為等邊三角形，即，所以二面角的大小.【題型6向量法求平面與平面夾角】滿分技巧平面與平面的夾角：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.【例6】（2024·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在三棱錐中，，，平面，平面平面，是的中點(diǎn).（1）求證：;（2）求平面與平面的夾角.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）作，垂足為，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，平面，所以，又平面，平面，所以，因?yàn)?，面，所以平面，由平面，所?（2）（向量法）如圖，以為原點(diǎn)，及垂直面向上為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.所以，所以，，易知平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則,令，所以，則，所以平面與平面的夾角為.（幾何法）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以，由?）知，平面，平面，所以，在直角和直角中，，所以是等腰三角形，所以，綜上，即為二面角的平面角，，，，則，所以為等腰直角三角形，故，所以平面與平面的夾角為.【變式6-1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，，.（1）證明：平面平面；（2）是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，．【解析】（1）因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，在直角中，，，所以，在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得，又，所以平面，由平面得，平面平面．（2）存在點(diǎn)滿足條件，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，所以平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由已知得，解得，即，所以存在點(diǎn)使平面與平面的夾角為，此時(shí)．【變式6-2】（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD為矩形，，，，點(diǎn)M在棱PC上且．（1）證明：M為PC的中點(diǎn)；（2）求平面PBD與平面MDB的夾角．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫?，根?jù)條件可知，平面，則平面，且平面，所以，所以，同理可得，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，且，所以M是的中點(diǎn)．（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，過D垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)為平面的法向量．因?yàn)?，可得，令，則，可得，設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，可得，令，則，可得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面PBD與平面MDB的夾角.【變式6-3】（2024·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，平面平面．（1）證明：平面；（2）若，二面角的余弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）如圖，連接與相交于點(diǎn)，連接，三棱柱中，側(cè)面是平行四邊形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，有，平面，平面，所以平面；（2）平面平面，平面平面，底面為正三角形，為的中點(diǎn)，則，平面，則平面，，平面，，，則二面角的平面角為，有余弦值為，中，由余弦定理，即，解得，過作直線的垂線，垂足為，則，故在的延長(zhǎng)線上，，，，，四邊形為矩形，則，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，，即，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，，即，平面與平面夾角的余弦值為．【變式6-4】（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知是圓錐的底面直徑，C是底面圓周上的一點(diǎn)，，平面和平面將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）為底面圓周上一點(diǎn)，，又，又為中點(diǎn)，，又底面，底面，，又底面，平面．（2）底面，底面，所以，又因?yàn)?，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，，取，所以，而平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角平面角為，顯然為銳角，．【題型7幾何法解決空間距離問題】滿分技巧點(diǎn)面距的求解方法1、定義法（直接法）：找到或者作出過這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長(zhǎng)度；2、等體積法：通過點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線距離；3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離．【例7】（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）已知正方形的邊長(zhǎng)為1，將正方形繞著邊旋轉(zhuǎn)至分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于平面，所以平面，平面，由于，則，在中，利用余弦定理可得,所以，過作的垂線，垂足為，由，平面，所以平面，又平面，所以，所以，不妨設(shè)，則，所以由余弦定理得，，故選：A．【變式7-1】（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為1，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，則（）A．1B．C．1或2D．2或【答案】D【解析】如圖，過點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則是母線，連接底面，，則四邊形是平行四邊形，，與所成的角就是或其補(bǔ)角．當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，，在中，；當(dāng)時(shí)，在中，，在中，．綜上，或.故選：D．【變式7-2】（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則中點(diǎn)到平面的距離為．【答案】【解析】設(shè)中點(diǎn)為O，O到平面距離為到平面距離的一半，連接，設(shè)到平面的距離為，由，即，，∴O到平面CDE的距離為.【變式7-3】（2024·陜西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在三棱臺(tái)中，，，．（1）證明：；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】（1），，．同理,平面,平面,平面,（2）平面,平面,作平面,到平面的距離中,.【變式7-4】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個(gè)半正多面體，其中四邊形和四邊形均為正方形，其余八個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則平面與平面之間的距離為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)半正多面體的性質(zhì)可知，四邊形為等腰梯形；根據(jù)題意可知，而平面，故平面，又平面，故平面平面，則平面平面，作，垂足為S，平面平面，平面，故平面，則梯形的高即為平面與平面之間的距離；，故，即平面與平面之間的距離為，故選：B【題型8向量法解決空間距離問題】滿分技巧點(diǎn)到平面的距離：已知平面的法向量為,是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn),過點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為（如圖）.注意：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量。兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量?！纠?】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).直線到平面的距離為（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，平面，平面，∴平面，因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故直線到平面的距離為.故選：C.【變式8-1】（2024·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】由題意以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：z因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，，所以，不妨設(shè)，所以，而，所以點(diǎn)到直線的投影數(shù)量的絕對(duì)值為，所以點(diǎn)到直線距離，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)到直線距離的最小值為.故選：C.【變式8-2】（2023·河北邢臺(tái)·高三寧晉中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知四棱臺(tái)中，底面為正方形，，，，⊥底面．（1）證明：．（2）求到平面的距離．【答案】（1）證明見解析;（2）【解析】（1）因?yàn)榈酌妫酌?，所以，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，又平面，，所以平面，又平面，所?（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則點(diǎn)到平面的距離.【變式8-3】（2024·重慶·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)在底面圓上，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若直線與圓柱底面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示，為中點(diǎn)，則，又，得，由，，得，所以四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2），易知，又，得.由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，有，得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，.【變式8-4】（2024·河南周口·高三項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，將圓沿直徑折成直二面角，已知三棱錐的頂點(diǎn)在半圓周上，在另外的半圓周上，.（1）若，求證：；（2）若，，直線與平面所成的角為，求點(diǎn)到直線的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由題意知平面平面，平面平面，，且平面，故平面，又平面，故；又，且平面，故平面，而平面，故；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)O作平面的垂線作為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：由于，，則，設(shè),則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則可得，由于直線與平面所成的角為，故，解得，結(jié)合，則，故，由，則，故點(diǎn)到直線的距離為.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四棱錐底面是矩形，其中，，側(cè)棱底面，E為的中點(diǎn)，四棱錐的外接球表面積為，則直線與所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè).可將該四棱錐補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體：則該長(zhǎng)方體的外接球即為四棱錐的外接球，其直徑為，故表面積為，得，因?yàn)?，故或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，因?yàn)槠矫妫矫?，得平面平面，由，得平面，且平面，故，故為銳角，又E為的中點(diǎn)，故在中，，在中，，故.故選：D.2．（2023·上海虹口·高三校考期中）如圖所示，在正方體中，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中與直線CE夾角為定值的直線為（）A．直線B．直線C．直線D．直線【答案】C【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)，，則，，，，，，不是定值，故A錯(cuò)；，不是定值，故B錯(cuò)；，所以直線與直線所成角為，故C正確；，不是定值，故D錯(cuò).故選：C.3．（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取是的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：設(shè)三棱柱底面邊長(zhǎng)為，可得，由正三棱柱性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，易知，由勾股定理可得，所以；即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B4．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，在塹堵中，若，若為線段中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)塹堵的定義，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得.故選：B.5．（2023·山東濟(jì)寧·高三濟(jì)寧一中校考階段練習(xí)）如圖1，某廣場(chǎng)上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的正三棱錐得到的，它的所有棱長(zhǎng)均相同，數(shù)學(xué)上我們稱之為半正多面體（semiregularsolid），亦稱為阿基米德多面體，如圖2，設(shè)，則平面與平面之間的距離是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】如圖，不妨記正方體為，，，故四邊形是平行四邊形，所以，又，分別為，的中點(diǎn)，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，設(shè)對(duì)角線分別交平面和平面于點(diǎn)，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，即為平面與平面的距離，則，由正方體棱長(zhǎng)為得，由題意得，為等邊三角形，故，根據(jù)，得，解得，根據(jù)對(duì)稱性知，所以，則平面與平面的距離為．故選：D6．（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）（多選）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)到的距離為B．面與面的距離為C．直線與平面所成的角為D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】AB【解析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，，，所以點(diǎn)到的距離，故A正確；對(duì)于B，，，，設(shè)分別為平面、平面的一個(gè)法向量，所以，令，可得，所以，，令，可得，所以，所以，所以平面平面，可得點(diǎn)到平面的距離即為所求，，所以點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；對(duì)于C，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，所以，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）（多選）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（）A．平面B．Q到平面的距離為C．與所成角的取值范圍為D．三棱錐外接球體積的最小值為【答案】ACD【解析】A：由題意可知，且面，面，所以面面，又因?yàn)槊?，所以平面，故A正確；B：因?yàn)槠矫妫訯到平面的距離等于到平面的距離，以所在直線分別為軸，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，所以到平面的距離，故B錯(cuò)誤；C：因?yàn)椋耘c所成的角就是與