廣東省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（三）

廣東省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（三）

（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）

一.單項(xiàng)選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.已知等差數(shù)列｛a"中，an=4n-3,則首項(xiàng)和公差d的值分別為（）

A.1,3B.-3,4C.1,4D.1,2

在中，222

2.aABCB^|a+b=c+V2baf則NC=（）

A.30°B.150°C.45°D.135°

3.設(shè)x,y￡R,且x+y=4,則5*+5丫的最小值是（）

A.9B.25C.162D.50

11

4.在等比數(shù)列｛a"中，已知ai=9,q=--3,an=9>則n=（）

A.4B.5C.6D.7

3x-1、

5.不等式2-x〉l的解集是（）

333

A.{x|"^<x<2}B.{x|"^<x<2}C.{x|x>2或x?%}D.{x|x>"^}

6.在AABC中，已知A=30。，C=45。，a=2,則aABC的面積等于（）

A.&B.V3+1C.2A/2

D.I（百+1）

7.不等式J+mx+T〉°恒成立的條件是（）

A.m>2B.m<2C.m<0或m>2D.0<m<2

8.在aABC中，若a=2bcosC,則AABC一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

9.若a,b,c成等比數(shù)列，m是a,b的等差中項(xiàng)，n是b,c的等差中項(xiàng)，則益二=

（）

A.4B.3C.2D.1

10.關(guān)于x的方程ax2+2x-1=0至少有一個(gè)正的實(shí)根，則a的取值范圍是（）

A.a>0B.-l<a<0C.a>0或-IVaVOD.a>-1

11.設(shè)關(guān)于X的不等式：x2-ax-2>0解集為M,若2eM,MEM,則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是（）

V5MM

A.（-8,）u（i,+8）B.（-8,）c.,i）

V3

D.,1）

12.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某

人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45。，沿點(diǎn)A向北偏東30。前進(jìn)100

米到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30。，則水柱的高度是（）

A.50米B.60米C.80米D.100米

二.填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

13.在等差數(shù)列｛a"中，aI，a2,a4這三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則公比q=.

14.在aABC中，A=60。，|AB|=2,且△ABC的面積為義3,則|AC|=.

2

15.已知實(shí)數(shù)a>b,當(dāng)a、b滿足__________條件時(shí)，不等式工成立.

ab

IJ+2

x

16.下列函數(shù)中，①尸|x+—|；@yI■；③y=log2x+logx2(x>0且XHI)；?y=3+3

XVx"+1

x；⑤y=x+9-2；@y=Vxf-TB-2；⑦y=k)g2x2+2最小值為2的函數(shù)是

xvx

(只填序號(hào))

三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.在等比數(shù)列｛aj中,a】a2a3=27,a2+a4=30試求:

(1)ai和公比q；

(2)前6項(xiàng)的和S6.

18.在銳角AABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對(duì)的邊，且Jga=2csinA

(1)確定角C的大小；

(2)若c=?且4ABC的面積為"，求a+b的值.

2

19.關(guān)于x的不等式a2x+b2(1-x)>[ax+b(1-x)]2

(1)當(dāng)a=l,b=0時(shí)解不等式；

(2)a,beR,axb解不等式.

20.已知等差數(shù)列｛aj的首項(xiàng)為a,公差為b,且不等式k)g2(ax2-3x+6)>2的解集

為｛x|xVl或x>b｝.

(1)求數(shù)列｛a。｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn公式；

(II)求數(shù)列｛-7—｝的前n項(xiàng)和Tn.

anan+l

21.有一批同規(guī)格的鋼條，每根鋼條有兩種切割方式，第一種方式可截成長(zhǎng)度為a的鋼

條2根，長(zhǎng)度為b的鋼條1根；

第二種方式可截成長(zhǎng)度為a的鋼條1根，長(zhǎng)度為b的鋼條3根.現(xiàn)長(zhǎng)度為a的鋼條至少

需要15根，長(zhǎng)度為b的鋼條至少需要27根.

問(wèn)：如何切割可使鋼條用量最??？

22.(1)設(shè)不等式2x-l>m(x2-1)對(duì)滿足-2<m<2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立，

求x的取值范圍；

(2)是否存在m使得不等式2x-l>m(x2-1)對(duì)滿足-24x42的實(shí)數(shù)x的取值都成

立.

參考答案

一.單項(xiàng)選擇題

1.C.2.C.3,D.4.B5.B.6.B.7.D.8.B

9.C.

10.D.11.C12.A.

二.填空題

13.解：設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為d,

則可得(即+d)2=aj(ai+3d)

解得ai=d或d=0

③2一

二公比q=---=2或1.

al

故答案為：2或1.

14.解：在△ABC中，A=60。，|AB|=2,且aABC的面積為乂3

2

所嗎|AC||AC|sin60。=哼,

則|AC|=1.

故答案為：1.

15.解，當(dāng)ab>0時(shí)，Va>b,

即工"

ababba

當(dāng)abVO時(shí)，Va>b,

即工v±

ababba

綜上所述，當(dāng)a、b滿足ab>0時(shí)，不等式工<5成立.

ab

故答案為：ab>0,.

16.解:①:x與1同號(hào)，故尸|乂+工卜岡+口，由岡>0,I-1>0

XXXX

=x+

?|x+""|lll~~l-2u|x|故正確;

③當(dāng)VxV1時(shí)，log2xV()時(shí)，y=log2x+logx2<-2,故錯(cuò)誤;

④由3x>0,3'x>0,

y=3x+3_X&I眇一一02,故正確；

⑤當(dāng)xVO時(shí)，尸x+§-火-6,故錯(cuò)誤;

x

⑥^->0,

則尸?j-A

@Vx2>0,故y=log2x2e(-8,+<?),y=log2X2+2e(-+°°),故錯(cuò)誤;

故答案為：①③④⑥

三、解答題

2

a.'a.q'a.q=27

17.解：（1）在等比數(shù)列｛aj中，由已知可得：，...(3分)

q+a[q3=30

a.=l

解得：1或（6分）

q=3q=~3

n

_ai(l-q)

n-1_q

.當(dāng)卜]=1IX(1-36)1-36”“

Tm時(shí)‘,6=—口一=F-36d"。分)

aj=-166

。(-1)X[1-(-3)]3-11OO

==182（14分）

q=-3S6=*4

18.解：(1)VA/3a=2csinA

正弦定理得V^sinA=2si.nCsinA，

：A銳角，

/.sinA>0,

?.?s.in4CM=-?

又???c銳角，

(2)三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC

即7=a2+b2-ab,

又由AABC的面積得s弓absinC^^ab坐/^?

即ab=6,

(a+b)2=a2+b2+2ab=25

由于a+b為正，所以a+b=5.

19.解：(1)當(dāng)a=l、b=0時(shí)，原不等式化為xNx2,(2分)

即x(x-1)<0；...(4分)

解得04x41,

工原不等式的解集為｛x|0?xVl｝；…(6分)

(2)Va2x+b2(1-x)>[ax+b(1-x)]2,

/.(a-b)2x>(a-b)2x2,(10分)

又「axb,

J(a-b)2>0,

?，?x>x2；

即x(x-1)<0,...(12分)

解得0<x<l；

，不等式的解集為｛x|(ExR｝?…(14分)

20.解：(I)二?不等式log?(ax2-3x+6)>2可轉(zhuǎn)化為ax2-3x+2>0,

所給條件表明：ax2-3x+2>0的解集為｛x|x<lorx>b｝,根據(jù)不等式解集的意義

可知:方程ax2-3x+2=0的兩根為xj=UX2=b.

利用韋達(dá)定理不難得出a=l,b=2.

2

由此知an=l+2(n-1)=2n-1,sn=n...由分)

(11)壽17口，a同""(2nT),(2n+l)~2(2n-l2n+l

則

中1+b2+b3i+bn申(；')+03)+43)一(嵩-備)]

4(1-dr)...(12分)

21.解：設(shè)按第一種切割方式需鋼條x根，按第二種切割方式需鋼條y根,

'2x+y>15

x+3y>27L_

根據(jù)題意得約束條件是、十二2目標(biāo)函數(shù)是z=x+y,

x>0,xcN

y>0,y€N

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分.

此時(shí)z=11.4,但x,y,z都應(yīng)當(dāng)為正整數(shù),

.?.點(diǎn)（3.6,7.8）不是最優(yōu)解.

經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的整點(diǎn)且使z最小的直線是y=-x+12,

即z=12,滿足該約束條件的（x,y）有兩個(gè)：（4,8）或（3,9）,它們都是最優(yōu)解.

即滿足條件的切割方式有兩種，按第一種方式切割鋼條4根，按第二種方式切割鋼條8

根；

或按第一種方式切割鋼條3根，按第二種方式切割鋼條9根，可滿足要求.

22.解：(1)令f(m)=2x-1-m(x2-1)=(1-x2)m+2x-1,可看成是一條直線,

且使|m|42的一切

實(shí)