考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷2（共214題）

考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷2（共7套）（共214題）考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)A為三階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的—1倍加到第2列得C，記P=，則()A、C=P—1APB、C=PAP—1C、C=PTAPD、C=PAPT標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題意得所以(*)式可以表示為C=PAP—1，故選B。這兩道題主要考查的是初等變換與初等矩陣的關(guān)系。考生需要注意的是：初等行變換就是左乘初等矩陣，初等列變換就是右乘初等矩陣。2、設(shè)A為三階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B，再交換B的第二行與第三行得到單位矩陣，記P1=，則A=()A、P1P2B、P1—1P2C、P2P1D、P2P1—1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題意B=AP1，P2B=E。從而由P2AP1=E可得A=P2—1P1—1=P2P1—1，故選D。3、設(shè)A是三階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，已知A的每行元素之和為k，A*的每行元素之間和為m，則｜A｜=()A、kmB、(—1)nkmC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：將A的其余各列加到第1列，且利用A的每行元素之和為k，得顯然｜A｜和｜B｜的第1列元素的代數(shù)余子式是相同的，將｜B｜按第一列展開(kāi)，得｜A｜=k(B11+B21+…+Bn1)=k(A11+A21+…+An1)。因A11，A21，…，An1也是A*的第一行元素，故A11+A21+…+An1=m，即｜A｜=km，故選A。4、設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，若A3=O，則()A、E—A不可逆，E+A不可逆。B、E—A不可逆，E+A可逆。C、E—A可逆，E+A可逆。D、E—A可逆，E+A不可逆。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A3=OA3+E=E(A+E)(A2—A+E)=E，所以A+E可逆，A3=OA3—E=—E(E—A)(A2+A+E)=E，所以E—A可逆，故選C。二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)5、已知A=，則An=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(—8)n—1A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳=，故即A2=—8A，由遞推歸納法得An=(—8)n—1A。本題主要考查的是求方陣的冪。若秩R(A)=1，則A可分解為兩個(gè)矩陣的乘積，且這兩個(gè)矩陣一個(gè)為行矩陣，一個(gè)為列矩陣，且有A2=lA，從而An=ln—1A。即A==αβT。那么A2=(αβT)(αβT)=α(βTα)βT=lαβT=lA，其中l(wèi)=βTα=αTβ=a1b1+a2b2+a3b3=。6、設(shè)A=，(A—1)*是A—1的伴隨矩陣，則(A—1)*=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳—1.(A—1)*=A—1.A.｜A—1｜=｜A—1｜E，所以有(A—1)*=｜A—1｜A=。已知｜A｜=6，故本題主要考查的是伴隨矩陣的計(jì)算。由公式A*A=AA*=｜A｜E，得A*=A—1｜A｜，出現(xiàn)逆矩陣的行列式，則｜A—1｜=。7、A2—B2=(A+B)(A—B)的充分必要條件是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：AB=BA知識(shí)點(diǎn)解析：A2—B2=(A+B)(A—B)=A2+BA—AB—B2的充分必要條件是AB=BA。8、P1=，則P12009P2—1=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：P1==E23，因?yàn)镋ij—1=Eij，所以Eij2=E，于是P12009P2—1=P1P2—1=9、已知A=，則(A—1)*=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：若A可逆，由A*=｜A｜A—1有(A—1)*=｜A—1｜(A—1)—1=，10、設(shè)A=，B為三階非零矩陣，且AB=O，則R(A)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：已知AB=O，因此根據(jù)乘積矩陣秩的性質(zhì)，有R(A)+R(B)≤3，又因?yàn)锽≠0，所以R(B)≥1，從而有R(A)≤2。顯然A有兩行不成比例，故R(A)≥2，于是R(A)=2。11、設(shè)矩陣A=，則A3的秩為_(kāi)______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗?，A3的秩為1。三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)12、設(shè)A，B均為n階方陣，滿足A2=A，B2=B，(A—B)2=A+B，證明：AB=BA=O。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?A—B)2=A2—AB—BA+B2=A+B—(AB+BA)，所以AB+BA=O，(*)用A左乘(*)式得A2B+ABA=O，即有AB=—ABA，用A右乘(*)式得ABA+BA2=D，則有BA=—ABA。故有AB=BA=O。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、某企業(yè)對(duì)其職工進(jìn)行分批脫產(chǎn)技術(shù)培訓(xùn)，每年從在崗人員中抽調(diào)30％的人參加培訓(xùn)，而參加培訓(xùn)的職工中有60％的人結(jié)業(yè)回崗，假設(shè)現(xiàn)有在崗職工800人，參加培訓(xùn)人員是200人，試問(wèn)兩年后在崗與脫產(chǎn)培訓(xùn)職工各有多少人(假設(shè)職工人數(shù)不變)?標(biāo)準(zhǔn)答案：用xi，yi分別表示i年后在崗與脫產(chǎn)職工的人數(shù)，x0，y0為目前在崗與脫產(chǎn)的人數(shù)，則所以，兩年后在崗職工668人，培訓(xùn)人員332人。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、假設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足AB=A+B，試證明A，B可交換。標(biāo)準(zhǔn)答案：等式AB=A+B等價(jià)于AB—A—B+E=E，則有(A—E)(B—E)=E。由此可知，A—E與B—E互為逆矩陣，由逆矩陣的定義可知(A—E)(B—E)=(B—E)(A—E)=E，將以上等式展開(kāi)可得AB—A—B+E=BA—A—B+E，故AB=BA，即A，B可交換。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、設(shè)A=，求A—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：因AT=A，故(A—1)T=(AT)—1=A—1，即A—1也是對(duì)稱矩陣，而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A是n階反對(duì)稱矩陣。16、證明：A可逆的必要條件是n為偶數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，A*是對(duì)稱矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)反對(duì)稱矩陣的定義：AT=—A，則｜A｜=｜AT｜=｜—A｜=(—1)n｜A｜，即[1—(—1)n]｜A｜=0。若n=2k+1，必有｜A｜=0，此時(shí)A不可逆。所以A可逆的必要條件是n為偶數(shù)。因?yàn)锳T=—A，則由(A*)T=(AT)*有(A*)T=(AT)*=(—A)*。又因(lA)*=ln—1A*，故當(dāng)n=2k+1時(shí)，有(A*)T=(—1)2kA*=A*，即A*是對(duì)稱矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、試舉一個(gè)4階不可逆的反對(duì)稱矩陣的例子。標(biāo)準(zhǔn)答案：例如，A=是4階反對(duì)稱矩陣，且不可逆。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、已知A=，且有AXB=AX+A2B—A2+B，求X。標(biāo)準(zhǔn)答案：由A可逆，方程兩邊左乘A—1，得XB=X+AB—A+A—1B，X(B—E)=A(B—E)+A—1B。由于B—E也可逆，且有所以有X=A+A—1B(B—E)—1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求A=的秩。標(biāo)準(zhǔn)答案：將矩陣A用初等變換化為行階梯形矩陣。(1)當(dāng)a=b=0時(shí)，R(B)=0R(A)=0；(2)當(dāng)a與b至少有一個(gè)不為零時(shí)①a+3b≠0且a—b≠0時(shí)，R(B)=4R(A)=4；②a+3b=0，但a—b≠0時(shí)，R(B)=3R(A)=3；③a+3b≠0，但a—b=0時(shí)，R(B)=1R(A)=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)A=，且A2—AB=E，求B。標(biāo)準(zhǔn)答案：由A2—AB=E，得AB=A2—E，因?yàn)锳可逆，所以B=A—1(A2—E)=A—A—1，而所以A—1=，于是知識(shí)點(diǎn)解析：本題的題目雖然考查的是求解矩陣方程。但求A—1時(shí)主要用到初等變換，此類題目的解題步驟一般為：先將矩陣方程轉(zhuǎn)化為AX=B，XA=B，AXB=C三種基本形式之一，則X=A—1B，X=BA—1，X=A—1CB—1，接下來(lái)利用初等變換求逆矩陣即可。21、設(shè)A是n階矩陣(n≥2)，證明：R(A*)=標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)R(A)=n時(shí)，｜A｜≠0，因?yàn)椋麬*｜=｜A｜n—1≠0，所以R(A*)=n。當(dāng)R(A)=n—1時(shí)，｜A｜=0，于是A*A=｜A｜E=O，所以R(A*)+R(A)≤n。再由R(A)=n—1，故R(A*)≤1。又因?yàn)镽(A)=n—1，由矩陣秩的定義，A的最高階非零子式為n—1階，即存在Mij≠O，所以Aij=(—1)i+jMij≠0，從而A*≠O，于是R(A*)≥1，故R(A*)=1。當(dāng)R(A)＜n—1時(shí)，因?yàn)锳的所有n—1階子式都為零，即所有的Mij=0，所以A*=0，于是R(A*)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A，B分別為m和n階可逆矩陣，C為m×n矩陣，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：令得AX11+CX21=Em，AX12+CX22=O，BX21=O，BX22=En，于是X11=A—1，X21=O，X22=B—1，X12=—A—1CB—1，故AY11=Em，AY12=O，CY11+BY21=O，CY12+BY22=En，于是有Y11=A—1，Y12=O，Y21=—B—1CA—1，Y=B—1，故知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查的是對(duì)逆矩陣的概念與分塊矩陣乘法運(yùn)算的綜合應(yīng)用，因題干所給均為抽象型矩陣，所以通過(guò)設(shè)未知矩陣，用逆矩陣概念求解矩陣方程，從而求出未知分塊矩陣中的元素。設(shè)n階矩陣A和B滿足等式AB=aA+bB，其中a和b為非零實(shí)數(shù)。證明：23、A—bE和B—aE都可逆。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=aA+bB得到(A—bE)(B—aE)=AB—aA—bB+abE=abE。由于a和b都非0，abE可逆，從而A—bE和B—aE都可逆。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、A可逆的充分必要條件是B可逆。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=aA+bB得，A(B—aE)=bB。由于B—aE可逆，b不為0，那么A可逆(B—aE)可逆bB可逆B可逆。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、AB=BA。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(A—bE)(B—aE)=abE，得根據(jù)逆矩陣的定義，從而有即(B—aE)(A—bE)=abE=(A—bE)(B—aE)，等式兩端展開(kāi)并化簡(jiǎn)，結(jié)合已知條件AB=aA+bB，得AB=BA。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)A，B為n階可逆陣，證明：(AB)*=B*A*。標(biāo)準(zhǔn)答案：因A，B均為可逆矩陣，則由伴隨矩陣及逆矩陣相關(guān)公式，有(AB)*=｜AB｜(AB)—1=｜A｜｜B｜B—1A—1=｜B｜B—1.｜A｜A—1=B*A*。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、已知A=，矩陣X滿足A*X=A—1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，求矩陣X。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程兩邊同時(shí)左乘矩陣A，且由公式AA*=｜A｜E，得｜A｜X=E+2AX，即(｜A｜E—2A)X=E，因此X=(｜A｜E—2A)—1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)A是n階非零矩陣，且A*=AT，證明：A可逆。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)A=，不妨設(shè)a11≠0，｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n，因?yàn)锳*==AT，所以aij=Aij，于是｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2＞0，故A為可逆矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)n階矩陣A和B滿足A+2B=AB。29、證明：A—2E為可逆矩陣，其中E為n階單位矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：由A+2B=AB，有AB—2B—A+2E=2E，即(A—2E).=E，根據(jù)矩陣可逆的定義，所以矩陣A—2E可逆。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、證明：AB=BA。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題知(A—2E)—1=(B—E)。那么(A—2E).(B—E)=(B—E)(A—2E)，即有AB—A—2B+2E=BA—2B—A+2E，故AB=BA。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、已知B=，求矩陣A。標(biāo)準(zhǔn)答案：由(A—2E).(B—E)=E知A—2E=，得A=2(B—E)—1+2E。因?yàn)樗灾R(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣。構(gòu)造(m+n)階矩陣32、計(jì)算HG和GH。標(biāo)準(zhǔn)答案：利用分塊矩陣的乘法原則，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、證明：｜H｜=｜Em—AB｜=｜En—BA｜。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題中結(jié)論，｜HG｜=｜Em｜.｜En—BA｜=｜En—BA｜，｜GH｜=｜Em—AB｜.｜En｜=｜Em—AB｜。又因?yàn)椋麳G｜=｜H｜｜G｜=｜H｜=｜G｜｜H｜=｜GH｜，所以｜H｜=｜En—BA｜=｜Em—AB｜。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A和B都是n階矩陣，則必有()A、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。B、AB=BA。C、｜AB｜=｜BA｜。D、(A+B)－1=A－1+B－1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麬B｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C正確。取B=一A，則｜A+B｜=O，而｜A｜+｜B｜不一定為零，故A錯(cuò)誤。由矩陣乘法不滿足交換律知，B不正確。因(A+B)(A－1+B－1)≠E，故D也不正確。所以應(yīng)選C。2、設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式中必定成立的是()A、(A+B)(A—B)=A2一B2。B、(A+B)－1=A－1+B－1。C、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。D、(AB)*=B*A*。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)伴隨矩陣的定義可知(AB)*=｜AB｜(AB)－1=｜A｜｜B｜B－1A－1=B*A*，故選D。3、設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣。若A3=O，則()A、E—A不可逆，E+A不可逆。B、E—A不可逆，E+A可逆。C、E一A可逆，E+A可逆。D、E—A可逆，E+A不可逆。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：已知(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。故E—A，E+A均可逆。故應(yīng)選C。4、設(shè)A，B均為n階矩陣，且AB=A+B，則①若A可逆，則B可逆；②若B可逆，則A+B可逆；③若A+B可逆，則AB可逆；④A一E恒可逆。上述命題中，正確的個(gè)數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。若A可逆，則｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩陣B可逆，從而命題①正確。同命題①類似，由B可逆可得出A可逆，從而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命題②正確。因?yàn)锳B=A+B，若A+B可逆，則有AB可逆，即命題③正確。對(duì)于命題④，用分組因式分解，即AB一A一B+E=E，則有(A—E)(B一E)=E，所以得A—E恒可逆，命題④正確。所以應(yīng)選D。5、設(shè)A為n階可逆矩陣，且n≥2，則(A－1)*=()A、｜A｜A－1。B、｜A｜A。C、｜A－1｜A－1。D、｜A－1｜A。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)伴隨矩陣的定義可知(A－1)*=｜A－1｜(A－1)－1=｜A－1｜A，故選D。6、設(shè)。P1=，則必有()A、AP1P2=B。B、AP2P1=B。C、P1P2A=B。D、P2P1A=B。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于對(duì)矩陣Am×n施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)Am×n作一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣，而經(jīng)過(guò)觀察A、B的關(guān)系可以看出，矩陣B是矩陣A先把第一行加到第三行上，再把所得的矩陣的第一、二兩行互換得到的，這兩次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等矩陣分別為題中條件的P2與P1，因此選項(xiàng)C正確。7、設(shè)n階矩陣A，B等價(jià)，則下列說(shuō)法中不一定成立的是()A、若｜A｜＞0，則｜B｜＞0。B、如果A可逆，則存在可逆矩陣P，使得PB=E。C、如果A與E合同，則｜B｜≠0。D、存在可逆矩陣P與Q，使得PAQ=B。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：兩個(gè)矩陣等價(jià)的充要條件是兩個(gè)矩陣的秩相同。當(dāng)A可逆時(shí)，r(A)=n，所以r(B)=n，即B是可逆的，故B－1B=E，選項(xiàng)B正確。矩陣的合同是一種等價(jià)關(guān)系，若A與E合同，則r(A)=r(E)=n，由選項(xiàng)B可知C項(xiàng)正確。矩陣A，曰等價(jià)的充要條件是存在可逆矩陣P與Q，使得PAQ=B，選項(xiàng)D正確。事實(shí)上，當(dāng)｜A｜＞0(即A可逆)時(shí)，我們只能得到｜B｜≠0(即B可逆)，故A項(xiàng)不一定成立。8、設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，若AB=E，則()A、r(A)=m，r(B)=m。B、r(A)=m，r(B)=n。C、r(A)=n，r(B)=m。D、r(A)=n，r(B)=n。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m。故選A。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)9、設(shè)α，β均為三維列向量，βT是β的轉(zhuǎn)置矩陣，如果αβT=，則αTβ=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：5知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，則αβT=，而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩陣αβT的主對(duì)角線元素的和，所以αTβ=1+6+(一2)=5。10、設(shè)α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，則A3=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：A=αβT==2，且矩陣的乘法滿足結(jié)合律，所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=。11、設(shè)方陣A滿足A2一A一2E=O，并且A及A+2E都是可逆矩陣，則(A+2E)－1=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：(A一3E)知識(shí)點(diǎn)解析：由A2一A一2E=O，可得(A+2E)(A一3E)=一4E，于是有(A+2E)－1(A+2E)(A一3E)=一4(A+2E)－1，因此(A+2E)－1=(A一3E)。12、設(shè)A、B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB=2A+3B，A=，則(B一2E)－1=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用已知條件AB=2A+3B，通過(guò)移、添加項(xiàng)構(gòu)造出B一2E，于是有AB一2A一3B+6E=6E，則有(A一3E)(B一2E)=6E。從而(B一2E)－1=。13、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=，則A=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由AA*=｜A｜E可得A=｜A｜(A*)－1，對(duì)等式兩端取行列式并結(jié)合已知條件，可得｜A*｜=一8=｜A｜3，因此｜A｜=一2，又(A*)－1=。所以A=｜A｜(A*)－1=。14、已知A=，矩陣X滿足A*X=A－1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：左乘矩陣A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩陣方程，得｜A｜X=E+2AX，移項(xiàng)可得(｜A｜E一2A)X=E，因此X=(｜A｜E一2A)－1。已知｜A｜=4，所以X=(4E一2A)－1=(2E—A)－1=。15、設(shè)三階方陣A，B滿足A－1BA=6A+BA，且A=，則B=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將A－1BA=6A+BA變形可得(A－1一E)BA=6A，即B=6(A－1一E)－1。又因?yàn)锳－1=，所以B=。16、設(shè)矩陣A=，則A3的秩為_(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：依矩陣乘法直接計(jì)算得A3=，故r(A3)=1。17、設(shè)A是4×3矩陣，且A的秩r(A)=2，而B(niǎo)=，則r(AB)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋麭｜==10≠0，所以矩陣B可逆，因此r(AB)=r(A)=2。18、設(shè)A=，B是三階非零矩陣，且AB=O，則a=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B=O，則有r(A)+r(B)≤3，又已知矩陣B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，則行列式｜A｜=0。而｜A｜==一2(5A一4)，所以a=。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)19、設(shè)A=，求An。標(biāo)準(zhǔn)答案：把矩陣A作如下拆分：An=(λE+B)n=Cn0(λE)nB0+Cn1(λE)n－1B+Cn2(λE)n－2B2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知PA=BP，其中，求A2008。標(biāo)準(zhǔn)答案：｜P｜=6，則矩陣P可逆。由PA=BP可得A=P－1BP，于是A2008=P－1B2008P。B2008==E，所以A2008=P－1P=E。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知A=，B=PAP－1，求B2016+A4。標(biāo)準(zhǔn)答案：計(jì)算可得A4=E，則B2016=PA2016P－1=P(A4)504P－1=E，于是B2016+A4=2E。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知A，B是反對(duì)稱矩陣，證明：22、A2是對(duì)稱矩陣；標(biāo)準(zhǔn)答案：(A2)T=ATAT=(一A)(一A)=A2，所以A2是對(duì)稱矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、AB一BA是反對(duì)稱矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：(AB—BA)T=BTAT—ATBT=BA—AB=一(AB—BA)，所以AB—BA是反對(duì)稱矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明：24、若｜A｜=0，則｜A*｜=0；標(biāo)準(zhǔn)答案：(反證法)假設(shè)｜A*｜≠0，則有A*(A*)－1=E。又因?yàn)锳A*=｜A｜E，且｜A｜=0，故A=AE=AA*(A*)－1=｜A｜E(A*)－1=O，所以A*=O。這與｜A*｜≠0矛盾，故當(dāng)｜A｜=0時(shí)，有｜A*｜=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、｜A*｜=｜A｜n－1。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于AA*=｜A｜E，兩端同時(shí)取行列式得｜A｜｜A*｜=｜A｜n。當(dāng)｜A｜≠0時(shí)，｜A*｜=｜A｜n－1；當(dāng)｜A｜=0時(shí)，｜A*｜=0。綜上，有｜A*｜=｜A｜n－1成立。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)A為n階可逆矩陣，A*為A的伴隨矩陣，證明：(A*)T=(AT)*。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳可逆，所以｜A｜=｜AT｜，且AA－1=E。在AA－1=E兩邊同時(shí)取轉(zhuǎn)置可得(A－1)TAT=E，即(AT)－1=(A－1)T，所以(A*)T=(｜A｜A－1)T=｜A｜(A－1)T=｜AT｜(AT)－1=(AT)*。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、已知矩陣A的伴隨矩陣A*=diag(1，1，1，8)，且ABA－1=BA－1+3E，求B。標(biāo)準(zhǔn)答案：在A*=｜A｜A－1兩端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A－1｜=｜A｜3，因?yàn)锳*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA－1=BA－1+3E移項(xiàng)并提取公因式得，(A—E)BA－1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A－1得(E一A－1)B=3E。由已求結(jié)果｜A｜=2，知A－1=，E—A－1=diag(1，1，1，1)一，得(E—A－1)－1=diag(2，2，2，)，因此B=3(E—A－1)－1=diag(6，6，6，一1)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)A=，問(wèn)k為何值，可使：(I)r(A)=1；(Ⅱ)r(A)=2；(Ⅲ)r(A)=3。標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)A作初等變換，即A=。(Ⅰ)當(dāng)k=1時(shí)，r(A)=1；(Ⅱ)當(dāng)k=一2時(shí)，r(A)=2；(Ⅲ)當(dāng)k≠1且k≠一2時(shí)，r(A)=3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A為n階方陣，且A+E與A—E均可逆，則下列等式中不成立的是()A、(A+E)2(A—E)=(A—E)(A+E)2。B、(A+E)—1(A—E)=(A—E)(A+E)—1。C、(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T。D、(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由A與E可交換可得，A+E與A一E可交換，進(jìn)而(A+E)2與A—E也可交換，故選項(xiàng)A成立。顯然，(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)。若在等式兩邊同時(shí)左、右乘(A+E)—1，可得(A+E)—1(A—E)=(A—E)(A+E)—1；若先在等式兩邊同時(shí)左、右乘(A一E)—1，可得(A+E)(A—E)—1=(A—E)—1(A+E)，再在所得的等式兩邊同時(shí)乘以｜A—E｜，即得(A+E)(A—E)*=(A—E)*(A+E)。故選項(xiàng)B、D成立。事實(shí)上，只有當(dāng)ATA=AAT時(shí)，(A+E)T(A—E)=(A—E)(A+E)T才成立。而ATA=AAT不一定成立。例如：取，則ATA=，AAT=，可見(jiàn)ATA≠AAT。故選C。2、設(shè)A，B均為n階對(duì)稱矩陣，則下列說(shuō)法中不正確的是()A、A+B是對(duì)稱矩陣。B、AB是對(duì)稱矩陣。C、A*+B*是對(duì)稱矩陣。D、A一2B是對(duì)稱矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)條件，則(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，所以有(A一2B)T=AT一(2BT)=A一2B，從而選項(xiàng)A、D是正確的。首先來(lái)證明(A*)T=(AT)*，即只需證明等式兩邊(i，j)位置元素相等。(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(i，j)位置的元素，且為元素aij的代數(shù)余子式Aij。而矩陣(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(i，j)位置的元素的代數(shù)余子式，因A為對(duì)稱矩陣，即aji=aij則該元素仍為元素aij的代數(shù)余子式Aij。從而(AT)T=(AT)*=A*，故A*為對(duì)稱矩陣。同理，B*也為對(duì)稱矩陣。結(jié)合選項(xiàng)A可知，選項(xiàng)C是正確的。因?yàn)?AB)T=BTAT=BA，從而選項(xiàng)B不正確。注意：當(dāng)A，B均為對(duì)稱矩陣時(shí)，AB為對(duì)稱矩陣的充要條件是AB=BA。故選B。3、設(shè)n階方陣A，B，C滿足關(guān)系式ABC=E，其中E是n階單位陣，則必有()A、ACB=E。B、CBA=E。C、BAC=E。D、BCA=E。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)ABC=E，可知A(BC)=E或(AB)C=E，即A與BC以及AB與C均互為逆矩陣，從而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，比較四個(gè)選項(xiàng)，故選D。4、設(shè)A=E一2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξξT=1，則①A是對(duì)稱矩陣；②是單位矩陣；③是正交矩陣；④是可逆矩陣。上述結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是()A、1。B、2。C、3。D、4。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：AT=(E一2ξξT)T=ET一(2ξξT)T=E—2ξξT=A，①成立。A2=(E一2ξξT)(E一2ξξT)=E一4ξξT+4ξξTξξT=E一4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。由①②，得A2=AAT=E，故A是正交矩陣，③成立。由③知正交矩陣是可逆矩陣，且A—1=AT，④成立。故選D。5、設(shè)A是三階矩陣，其中a11≠0，Aij=aij(i=1，2，3，j=1，2，3)，則｜2AT｜=()A、0。B、2。C、4。D、8。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：｜2AT｜=23｜AT｜=8｜A｜，且由已知=(A*)T，故A*=AT。又由AA*=AAT=｜A｜E，兩邊取行列式，得｜AAT｜=｜A｜2=｜A｜E｜=｜A｜3，即｜A｜2(｜A｜—1)=0，又a11≠0，則｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，所以｜A｜=1，從而｜2AT｜=8。故選D。6、設(shè)，那么(P—1)2010A(Q2011)—1=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：P，Q均為初等矩陣，因?yàn)镻—1=P，且P左乘A相當(dāng)于互換矩陣A的第一、三行，所以P2010A表示把A的第一、三行互換2010次，從而(P—1)2010A=P2010A=A。又(Q2010)—1=(Q2011)，且Q—1=，而Q—1右乘A相當(dāng)于把矩陣A的第二列加到第一列相應(yīng)元素上去，所以A(Q—1)2011表示把矩陣A第二列的2011倍加到第一列相應(yīng)元素上去。故選B。7、設(shè)A是m×n矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣B=AC的秩為r1，則()A、r＞r1。B、r＜r1。C、r=r1。D、r與r1的關(guān)系依C而定。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锽=AC=EAC，其中E為m階單位矩陣，而E與C均可逆，由矩陣等價(jià)的定義可知，矩陣B與A等價(jià)，從而r(B)=r(A)。故選C。8、設(shè)，B是4×2的非零矩陣，且AB=O，則()A、a=1時(shí)，B的秩必為2。B、a=1時(shí)，B的秩必為1。C、a≠1時(shí)，B的秩必為1。D、a≠1時(shí)，B的秩必為2。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)a=1時(shí)，易見(jiàn)r(A)=1；當(dāng)a≠1時(shí)，則=4(a一1)2≠0，即r(A)=3。由于AB=O，A是3×4矩陣，所以r(A)+r(B)≤4。當(dāng)a=1時(shí)，r(A)=1，1≤r(B)≤3。B是4×2矩陣，所以B的秩可能為1也可能為2，因此選項(xiàng)A、B均不正確。當(dāng)a≠1時(shí)，r(A)=3，必有r(B)=1，選項(xiàng)D不正確。故選C。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)9、設(shè)α為三維列向量，且ααT=，則αTα=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：αTα等于矩陣ααT的對(duì)角線元素之和，即αTα=1+4—3=2。10、已知2CA一2AB=C—B，其中則C3=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由2CA一2AB=C—B，得2CA—C=2AB—B，因此有C(2A—E)=(2A—E)B。因?yàn)?A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)—1，于是C3=(2A—E)B3(2A—E)—111、設(shè)，且A，B，X滿足(E—B—1A)TBTX=E，則X—1=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由(E—B—1A)TBTX=E，得[B(E—B—1A)]TX=E，即(B—A)TX=E，因此X—1=(B—A)T=12、設(shè)，A*為A的伴隨矩陣，則(A*)—1=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由A*=｜A｜A—1可得(A*)—1=13、已知三階矩陣A的行列式｜A｜=一3，A*為A的伴隨矩陣，AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置。如果kA的逆矩陣為A*一｜AT｜A—1，則k=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由｜A｜=一3可知，A*=｜A｜A—1=一3A—1，即kA的逆矩陣為A*一。而(kA)—1=k—1A—1，所以k=。14、已知α1=(1，0，0)T，α2=(1，2，一1)T，α3=(一1，1，0)T，且Aα1=(2，1)T，Aα2=(一1，1)T，Aα3=(3，一4)T，則A=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用分塊矩陣，得A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=，那么15、已知，且A2一AB=E，其中E是三階單位矩陣，則B=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=一1≠0，在等式A2一AB=E兩邊同時(shí)左乘A—1得A—B=A—1，則B=A—A—1=16、設(shè)，r(A)=2，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)A作初等行變換，則有當(dāng)a=0時(shí)，r(A)=2。17、已知，則秩r(AB+2A)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B+2A=A(B+2E)，且B+2E=是可逆矩陣，所以r(AB+2A)=r(A)。對(duì)A作初等行變換，則因此可得r(AB+2A)=2。18、已知，B是三階非零矩陣，且BAT=O，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)BAT=O可知，r(B)+r(AT)≤3，即，r(A)+r(B)≤3。又因?yàn)锽≠0，因此r(B)≥1，從而有r(A)＜3，即｜A｜=0，因此=3(—2a—3)=0，于是可得。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)19、已知，求An。標(biāo)準(zhǔn)答案：將矩陣A分塊，即A=，其中，則An=，將B改寫(xiě)成B=3E+P，于是Bn=(3E+P)n=3nE+Cn13n—1P+Cn23n—2P2，其中，且P2=，Pi=O(i=3，4，…，n)。將C改寫(xiě)成C=(3—1)，則C2=6C，…，Cn=6n—1C，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知2CA一2AB=C—B，其中，求C3。標(biāo)準(zhǔn)答案：由2CA一2AB=C—B得2CA—C=2AB—B，即C(2A—E)=(2A—E)B。因?yàn)?A—E=，且｜2A—E｜=1，所以2A—E可逆，于是C3=(2A—E)B3(2A—E)—1=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A是n階可逆方陣，將A的第i行和第j行對(duì)換后得到的矩陣記為B。21、證明B可逆；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)E(i，j)是由n階單位矩陣的第i行和第j行對(duì)換后得到的初等矩陣，則有B=E(i，j)A，因此有｜B｜=｜E(i，j)｜｜A｜=一｜A｜≠0，所以矩陣B可逆。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求AB—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：AB—1=A[E(i，j)A]—1=AA—1E—1(i，j)=E—1(i，j)=E(i，j)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)A=(α1，α2，α3)為三階矩陣，且｜A｜=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可知B=(α1，α2，α3)=AP，其中。則｜P｜=一2且P—1=，所以｜B｜=｜A｜·｜P｜=一2。于是B*A=｜B｜·B—1·A=一2P—1·(A—1A)=一2P—1=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)，問(wèn)k為何值，可使：24、r(A)=1；標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)A作初等變換，即當(dāng)k=1時(shí)，r(A)=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、r(A)=2；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)k=一2時(shí)，r(A)=2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、r(A)=3。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)k≠1且k≠一2時(shí)，r(A)=3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)α，β為三維列向量，矩陣A=ααT+ββT，其中αT，βT分別為α，β的轉(zhuǎn)置。證明r(A)≤2。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2。方法二：因?yàn)锳=ααT+ββT，A為3×3矩陣，所以r(A)≤3。因?yàn)棣?，β為三維列向量，所以存在三維列向量ξ≠0，使得αTξ=0，βTξ=0，于是Aξ=ααTξ+ββTξ=0，所以Ax=0有非零解，從而r(A)≤2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)A為n階矩陣(n≥2)，A*為A的伴隨矩陣，證明標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)r(A)=n時(shí)，｜A｜≠0，則有｜A*｜=｜A｜n—1≠0，從而A*可逆，即r(A*)=n。當(dāng)r(A)=n一1時(shí)，由矩陣秩的定義知，A中至少有一個(gè)n一1階子式不為零，即A*中至少有一個(gè)元素不為零，故r(A*)≥1。又因r(A)=n一1時(shí)，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜知AA*=O。根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)得r(A)+r(A*)≤n，把r(A)=n一1代入上式，得r(A*)≤1。綜上所述，r(A*)=1。當(dāng)r(A)≤n一2時(shí)，A的所有n一1階子式都為零，也就是A*的任一元素均為零，即A*=0，從而r(A*)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)A，B是n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故有｜A｜=0或｜B｜=0，反之亦成立，故應(yīng)選C。取，則AB=O，但A≠O，B≠O，選項(xiàng)A不成立。取，選項(xiàng)B不成立。取=E，選項(xiàng)D不成立。2、設(shè)A為n階可逆矩陣，則下列等式中不一定成立的是()A、(A+A－1)2=A2+2AA－1+(A－1)2。B、(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2。C、(A+A*)2=A2＋2AA*+(A*)2。D、(A+E)2=A2+2AE+E2。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣乘法的分配律可知(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A，B可交換(即AB=BA)時(shí)，(A+B)2=A2+2AB+B2成立。由于A與A－1，A*，E都是可交換的，而A與AT不一定可交換，所以選B。3、設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，且(A+B)*=E，則(E+BA－1)－1=()A、(A+B)B。B、E＋AB－1。C、A(A+B)。D、(A+B)A。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?E+BA－1)－1=(AA－1+BA－1)－1=[(A+B)A－1]－1=(A－1)－1(A+B)－1=A(A+B)，所以應(yīng)選C。注意，由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩陣的定義知(A+B)－1=(A+B)。4、下列命題中①如果矩陣AB=E，則A可逆且A－1=B；②如果n階矩陣A，B滿足(AB)2=E，則(BA)2=E；③如果矩陣A，B均為n階不可逆矩陣，則A+B必不可逆；④如果矩陣A，B均為n階不可逆矩陣，則AB必不可逆。正確的是()A、①②。B、①④。C、②③。D、②④。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如果A、B均為n階矩陣，命題①當(dāng)然正確，但是題中沒(méi)有n階矩陣這一條件，故①不正確。例如顯然A不可逆。若A、B為n階矩陣，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，則可知A、B均可逆，于是ABA=B－1，從而B(niǎo)ABA=E，即(BA)2=E。因此②正確。若設(shè)a=，顯然A、B都不可逆，但A+B=可逆，可知③不正確。由于A、B為均n階不可逆矩陣，知｜A｜=｜B｜=0，且結(jié)合行列式乘法公式，有｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故AB必不可逆。因此④正確。所以應(yīng)選D。5、設(shè)A為正交矩陣，則下列矩陣中不屬于正交矩陣的是()A、AT。B、A2。C、A*。D、2A。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因A為正交矩陣，所以AAT=ATA=E，且｜A｜2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故2A不為正交矩陣。所以選D。事實(shí)上，由AT(AT)T=ATA=E，(AT)TAT=AAT=E，可知AT為正交矩陣。由A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知A2為正交矩陣。由A*=｜A｜A－1=｜A｜AT，可得A*(A*)T=｜A｜AT(｜A｜A)=｜A｜2ATA=｜A｜2E=E，(A*)TA*=(｜A｜A)｜A｜AT=｜A｜2AAT=｜A｜2E=E，故A*為正交矩陣。6、設(shè)A=，P1=，則B=()A、P1P3A。B、P2P3A。C、AP3P2。D、AP1P3。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A作兩次初等行變換可得到矩陣B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩陣A作列變換，故應(yīng)排除。該變換或者把矩陣A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二兩行互換可得到B；或者把矩陣A的第一、二兩行互換后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者，所以應(yīng)選B。7、設(shè)A為三階矩陣，將A的第二行加到第一行得到矩陣B，再將B的第一列的一1倍加到第二列得到矩陣C。記P=，則()A、C=P－1AP。B、C=PAP－1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令Q=，則Q=P－1。P是將單位矩陣的第二行加到第一行所得的初等矩陣，則B=PA；Q是將單位矩陣第一列的一1倍加到第二列所得的初等矩陣，則C=BQ；所以C=PAQ=PAP－1。故選B。8、設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則()A、當(dāng)m＞n，必有行列式｜AB｜≠0。B、當(dāng)m＞n，必有行列式｜AB｜=0。C、當(dāng)n＞m，必有行列式｜AB｜≠0。D、當(dāng)n＞m，必有行列式｜AB｜=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B是m階方陣，且r(AB)≤rain{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以當(dāng)m＞n時(shí)，必有r(AB)＜m，從而｜AB｜=0，所以應(yīng)選B。9、已知A=，A*是A的伴隨矩陣，若r(A*)=1，則a=()A、3。B、2。C、1。D、1或3。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：伴隨矩陣秩的公式為r(A*)=所以A=1或3時(shí)，均有r(A*)=1。因此應(yīng)選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)10、如果A=(B+E)，且B2=E，則A2=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：已知A=(B+E)且B2=E，則A2==A，即A2=A。11、與矩陣A=可交換的矩陣為_(kāi)_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中x2和x4為任意實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)矩陣B=與A可交換，則由AB=BA可得即x3=一2x2，x1=4x2+x4，所以B=，其中x2和x4為任意實(shí)數(shù)。12、設(shè)A=，B=(E+A)－1(E—A)，則(E+B)－1=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由B+E=(E+A)－1(E—A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A)=(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－1，可得(E+B)－1=(E+A)。已知A=，因此(E+B)－1=。13、設(shè)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=1，｜B｜=(2—1)(3—1)(3—2)=2，所以A，B均可逆，則也可逆。由A*A=AA*=｜A｜E可得｜A*｜=｜A｜2－1=1，同理可得｜B*｜=｜B｜3－1=4，且14、已知ABC=D，其中，則B*=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=1，｜C｜=一1，｜D｜=6，即矩陣A，B，D均可逆。由ABC=D可得B=A－1DC－1，且｜B｜=｜A－1｜｜D｜｜C－1｜=一6。于是B*=｜B｜B－1=一6(A－1DC－1)－1=一6(CD－1A)=。15、設(shè)三階方陣A，B滿足關(guān)系式A－1BA=6A+BA，且A=，則B=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在等式A－1BA=6A+BA兩端右乘A－1，可得A－1B=6E+B，在該等式兩端左乘A，可得B=6A+AB，則有(E一A)B=6A，即B=6(E—A)－1A，且16、設(shè)(2E—C－1B)AT=C－1，其中E是四階單位矩陣，AT是矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，則A=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在等式(2E—C－1B)AT=C－1兩邊同時(shí)左乘C得(2C—B)AT=E。對(duì)上式兩端同時(shí)取轉(zhuǎn)置得A(2CT—BT)=E，則A=(2CT—BT)－1=。17、已知n階矩陣A=，則r(A2一A)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳2一A=A(A—E)，且矩陣A=可逆，所以r(A2一A)=r(A—E)，而r(A—E)=1，所以r(A2一A)=1。18、已知，且AXA*=B，r(X)=2，則a=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)A可逆可知，其伴隨矩陣A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，則｜B｜==A=0。19、設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，且A2一2A一8E=O，則r(4E—A)+r(2E+A)=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識(shí)點(diǎn)解析：已知A2一2A一8E=O，可得(4E—A)(2E+A)=O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)可知r(4E—A)+r(2E+A)≤n，同時(shí)r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E—A)+r(2E+A)=n。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)20、已知，且AX+X+B+BA=O，求X2006。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=一B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=一(A+E)－1B(E+A)，故X2006=(A+E)－1B2006(E+A)=(A+E)－1(E+A)=E。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知A=，求A2016。標(biāo)準(zhǔn)答案：令，則A2016=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A=，其中ai≠0，i=1，2，…，n，求A－1。標(biāo)準(zhǔn)答案：令由分塊矩陣的逆可得。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A為n階可逆矩陣，α為n維列向量，b為常數(shù)，記分塊矩陣P=其中A*是A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣。23、計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ；標(biāo)準(zhǔn)答案：由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A－1有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、證明矩陣Q可逆的充分必要條件是αTA－1α≠b。標(biāo)準(zhǔn)答案：由下三角形行列式及分塊矩陣行列式的運(yùn)算，有因?yàn)榫仃嘇可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b一αTA－1α)。由此可知，Q可逆的充分必要條件是B一αTA－1α≠0，即αTA－1α≠b。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=，且ABA－1=BA－1+3E，其中E為四階單位矩陣，求矩陣B。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n－1，因此有8=｜A*｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA－1=BA－1+3E兩邊先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即(2E—A*)B=6E。于是B=6(2E—A*)－1=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A是n階可逆方陣，將A的第i行和第j行對(duì)換后得到的矩陣記為B。26、證明B可逆；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)E(i，j)是由n階單位矩陣的第i行和第j行對(duì)換后得到的初等矩陣，則有B=E(i，j)A，因此有｜B｜=｜E(i，j)｜｜A｜=一｜A｜≠0，所以矩陣B可逆。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求AB－1。標(biāo)準(zhǔn)答案：AB－1=A[E(i，j)A]－1=AA－1E－1(i，j)=E－1(i，j)=E(i，j)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)A=(α1，α2，α3)為三階矩陣，且｜A｜=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可知B=(α1，α2，α3)=AP，其中P=。則｜P｜=一2且P－1=，所以｜B｜=｜A｜．｜P｜=一2。于是B*A=｜B｜．B－1．A=一2P－1．(A－1A)=一2P－1=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)A為n階矩陣(n≥2)，A*為A的伴隨矩陣，證明r(A*)=標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)r(A)=n時(shí)，｜A｜≠0，則有｜A*｜=｜A｜n－1≠0，從而A*可逆，即r(A*)=n。當(dāng)r(A)=n一1時(shí)，由矩陣秩的定義知，A中至少有一個(gè)n一1階子式不為零，即A*中至少有一個(gè)元素不為零，故r(A*)≥1。又因r(A)=n一1時(shí)，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜E知AA*=O。根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)得r(A)+r(A*)≤n，把r(A)=n一1代入上式，得r(A*)≤1。綜上所述，有r(A*)=1。當(dāng)r(A)≤n一2時(shí)，A的所有n一1階子式都為零，也就是A*的任一元素均為零，即A*=O，從而r(A*)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)A，B均為n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是()A、AB=O<=>A=O且B=O。B、A=O<=>｜A｜=0。C、｜AB｜=0<=>｜A｜=0或｜B｜=0。D、｜A｜=1<=>A=E。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：｜AB｜=｜A｜B｜=0，故有｜A｜=0或｜B｜=0，反之亦成立。故選C。取，則AB=O，但A≠O，B≠O，選項(xiàng)A不成立。取=0，但≠O，選項(xiàng)B不成立。取=1，但=E，選項(xiàng)D不成立。2、設(shè)A為n階可逆矩陣，則下列等式中不一定成立的是()A、(A+A—1)2=A2+2AA—1+(A—1)2。B、(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)T。C、(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2。D、(A+E)2=A2+2AE+E2。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由矩陣乘法的分配律可知(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A，B可交換(即AB=BA)時(shí)，(A+B)2=A2+2AB+B2成立。由于A與A—1，A*，E都是可交換的，而A與AT不一定可交換。故選B。3、設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，且(A+B)2=E，則(E+BA—1)—1=()A、(A+B)B。B、E+AB—1。C、A(A+B)。D、(A+B)A。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?E+BA—1)—1=(AA—1+BA—1)—1=[(A+B)A—1]—1=(A—1)—1(A+B)—1=A(A+B)，故選C。注意：由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩陣的定義知(A+B)—1=(A+B)。4、下列命題中正確的是()①如果矩陣AB=E，則A可逆且A—1=B；②如果n階矩陣A，B滿足(AB)2=E，則(BA)2=E；③如果矩陣A，B均為n階不可逆矩陣，則A+B必不可逆；④如果矩陣A，B均為n階不可逆矩陣，則AB必不可逆。A、①②。B、①④。C、②③。D、②④。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如果A，B均為n階矩陣，命題①當(dāng)然正確，但是題中沒(méi)有n階矩陣這一條件，故①不正確。例如顯然A不可逆。若A，B為n階矩陣，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，則可知A，B均可逆，于是ABA=B—1，從而B(niǎo)ABA=E，即(BA)2=E。因此②正確。若設(shè)顯然A，B都不可逆，但A+B=可逆，可知③不正確。由于A，B均為n階不可逆矩陣，知｜A｜=｜B｜=0，且結(jié)合行列式乘法公式，有｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故AB必不可逆。因此④正確。故選D。5、設(shè)A為正交矩陣，則下列矩陣中不屬于正交矩陣的是()A、AT。B、A2。C、A*。D、2A。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因A為正交矩陣，所以AAT=ATA=E，且｜A｜2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，故2A不是正交矩陣。事實(shí)上，由AT(AT)T=ATA=E，(AT)TAT=AAT=E，可知AT為正交矩陣。由A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知A2為正交矩陣。由A*=｜A｜A—1=｜A｜AT，可得A*(A*)T=｜A｜AT(｜A｜A)=｜A｜2ATA=｜A｜2E=E，(A*)TA*=(｜A｜A)｜A｜AT=｜A｜2AAT=｜A｜2E=E，故A*為正交矩陣。故選D。6、設(shè)則B=()A、P1P3A。B、P2P3A。C、AP3P2。D、AP1P3。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：矩陣A作兩次初等行變換得到矩陣B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩陣A作列變換，故應(yīng)排除。該變換或者把矩陣A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二兩行互換得到B；或者把矩陣A的第一、二兩行互換后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者。故選B。7、設(shè)A為三階矩陣，將A的第二行加到第一行得到矩陣B，再將B的第一列的一1倍加到第二列得到矩陣C。記P=，則()A、C=P—1AP。B、C=PAP—1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令，則Q=P—1。P是將單位矩陣的第二行加到第一行所得的初等矩陣，則B=PA；Q是將單位矩陣第一列的一1倍加到第二列所得的初等矩陣，則C=BQ；所以C=PAQ=PAP—1。故選B。8、設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則()A、當(dāng)m＞n，必有行列式｜AB｜≠0。B、當(dāng)m＞n，必有行列式｜AB｜=0。C、當(dāng)n＞m，必有行列式｜AB｜≠0。D、當(dāng)n＞m，必有行列式｜AB｜=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳B是m階方陣，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以當(dāng)m＞n時(shí)，必有r(AB)＜m，從而｜AB｜=0。故選B。9、已知，A*是A的伴隨矩陣，若r(A*)=1，則a=()A、3。B、2。C、1。D、1或3。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：伴隨矩陣秩的公式為可見(jiàn)r(A*)=1<=>r(A)=3。對(duì)矩陣A作初等變換，有若a=3，則，r(A)=3；若a=2，則，r(A)=4；若a=1，則，r(A)=3。所以a=1或3時(shí)，均有r(A*)=1。故選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)10、如果A=(B+E)，且B2=E，則A2=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：已知A=(B+E)且2=E，則即A2=A。11、與矩陣可交換的矩陣為_(kāi)_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：，其中x2和x4為任意實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)矩陣與A可交換，則由AB=BA可得且x3=一2x2，x1=4x2+x4，所以其中x2和x4為任意實(shí)數(shù)。12、設(shè)，B=(E+A)—1(E—A)，則(E+B)—1=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：B+E=(E+A)—1(E—A)+E=(E+A)—1(E—A)+(E+A)—1(E+A)=(E+A)—1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)—1，可得(E+B)—1=(E+A)。已知，因此(E+B)—1=。13、設(shè)，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=1，｜B｜=(2—1)(3—1)(3—2)=2，所以A，B均可逆，則也可逆。由A*A=AA*=｜A｜E可得｜A*｜=｜A｜2—1=1，同理可得｜B*｜=｜B｜3—1=4，且14、已知ABC=D，其中，則B*=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：｜A｜=1，｜C｜=一1，｜D｜=6，即矩陣A，B，D均可逆。由ABC=D可得B=A—1DC—1，且｜B｜=｜A—1｜｜D｜｜C—1｜=一6。于是B*=｜B｜B—1=一6(A—1DC—1)—1=一6(CD—1A)15、設(shè)三階方陣A，B滿足A—1BA=6A+BA，且，則B=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在等式A—1BA=6A+BA兩端右乘A—1，可得A—1B=6E+B，在該等式兩端左乘A，可得B=6A+AB，則有(E—A)B=6A，即B=6(E—A)—1A，且(E—A)—1=所以16、設(shè)(2E—C—1B)AT=C—1，其中E是四階單位矩陣，AT是矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，則A=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：在等式(2E一C—1B)AT=C—1兩邊同時(shí)左乘C得(2C—B)AT=E。對(duì)上式兩端同時(shí)取轉(zhuǎn)置得A(2CT—BT)=E，則A=(2CT—BT)—1=17、已知n階矩陣，則r(A2一A)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳2一A=A(A—E)，且矩陣A=可逆，所以r(A2一A)=r(A—E)，而r(A—E)=1，所以r(A2一A)=1。18、已知，且AXA*=B，r(X)=2，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)A可逆可知，其伴隨矩陣A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，則19、設(shè)A是一個(gè)n階矩陣，且A2一2A一8E=O，則r(4E一A)+r(2E+A)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：n知識(shí)點(diǎn)解析：已知A2一2A一8E=O，可得(4e一A)(2E+A)=O，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)可知r(4e—A)+r(2E+A)≤n，同時(shí)r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E—A)+r(2E+A)=n。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)20、已知，AX+X+B+BA=O，求X2006。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=一B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=一(A+E)—1B(E+A)，故X2006=(A+E)—1B2006(E+A)=(A+E)—1(E+A)=E。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、已知，求A2016。標(biāo)準(zhǔn)答案：令，其中，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、已知，B=PAP—1，求B2016+A4。標(biāo)準(zhǔn)答案：計(jì)算可得A4=E，則B2016=PA2016P—1=P(A4)504P—1=E，于是B2016+A4=2E。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知A，B是反對(duì)稱矩陣，證明：23、A2是對(duì)稱矩陣；標(biāo)準(zhǔn)答案：(A2)T=ATAT=(一A)(一A)=A2，所以A2是對(duì)稱矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、AB一BA是反對(duì)稱矩陣。標(biāo)準(zhǔn)答案：(AB—BA)T=BTAT一ATBT=BA—AB=一(AB—BA)，所以AB—BA是反對(duì)稱矩陣。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、已知AB=A一B，證明A，B滿足乘法交換律。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=A—B可得E+A—B—AB=E，即(E+A)(E—B)=E，這說(shuō)明E+A與E一B互為逆矩陣，所以(E一B)(E+A)=E，將括號(hào)展開(kāi)得BA=A—B，從而可得AB=BA，即A，B滿足乘法交換律。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析已知三階矩陣A和三維向量x，使得x，Ax，A2x線性無(wú)關(guān)，且滿足A3x=3Ax一2A2x。26、記P=(x，Ax，A2x)，求三階矩陣B，使A=PBP—1；標(biāo)準(zhǔn)答案：令等式A=PBP—1兩邊同時(shí)右乘矩陣P，得AP=PB，即A(x，Ax，A2x)=(Ax，A2x，A3x)=(Ax，A2x，3Ax一2A2x)=(x，Ax，A2x)所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、計(jì)算行列式｜A+E｜。標(biāo)準(zhǔn)答案：由上題知A～B，那么A+E～B+E，從而｜A+E｜=｜B+E｜==一4。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)，其中ai≠0，i=1，2，…，n，求A—1。標(biāo)準(zhǔn)答案：令，其中。由分塊矩陣的逆可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)A為n階可逆矩陣，α為n維列向量，b為常數(shù)，記分塊矩陣其中A*是A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣。29、計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ；標(biāo)準(zhǔn)答案：由AA*=A*A=｜A｜E及A*=｜A｜A—1有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、證明矩陣Q可逆的充分必要條件是αTA—1α≠b。標(biāo)準(zhǔn)答案：由下三角形行列式及分塊矩陣行列式的運(yùn)算，有｜P｜｜Q｜=｜PQ｜==｜A｜2(b一αTA—1α)。因?yàn)榫仃嘇可逆，行列式｜A｜≠0，故｜Q｜=｜A｜(b一αTA—1α)。由此可知，Q可逆的充分必要條件是b一αTA—1α≠0，即αTA—1α≠b。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)二（矩陣）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、兩個(gè)4階矩陣滿足A2=B2，則A、A=B．B、A=－B．C、A=B或A=－B．D、｜A｜=｜B｜或｜A｜=－｜B｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)A2=B2兩邊取行列式，得｜A｜2=｜B｜2<=>｜A｜2－｜B｜2=0<=>(｜A｜－｜B｜)(｜A｜+｜B｜)=0<=>｜A｜－｜B｜=0或｜A｜+｜B｜=0即｜A｜=｜B｜或｜A｜=－｜B｜．2、設(shè)A是3階矩陣，將A的第2行加到第1行上得B，將B的第1列的－1倍加到第2列上得C．則C=()．A、P－1AP．B、PAP－1．C、PTAP．D、PAPT．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)初等矩陣的有關(guān)性質(zhì)，則B=PA，C=BP－1，得C=PAP－1．3、設(shè)A是任一n階矩陣，下列交換錯(cuò)誤的是A、A*A=AA*．B、AmAp=ApAm．C、ATA=AAT．D、(A+E)(A－E)=(A－E)(A+E)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳A*=A*A=｜A｜E，AmAp=ApAm=Am+p，(A+E)(A－E)=(A－E)(A+E)=A2－E，所以A、B、D均正確．故C不正確．4、設(shè)A，B均是n階矩陣，下列命題中正確的是A、AB=0<=>A=0或B=0．B、AB≠0<=>A≠0且B≠0．C、AB=0<=>｜A｜=0或｜B｜=0．D、AB≠0<=>｜A｜≠0且｜B｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：A=≠0，B=≠0，但AB=0，所以A，B均不正確．又如，有AB≠0，但｜A｜=0且｜B｜=0．可見(jiàn)D不正確．由AB=0有｜AB｜=0，有｜A｜.｜B｜=0．故｜A｜=0或｜B｜=0．應(yīng)選C．注意矩陣A≠0和行列式｜A｜≠0是兩個(gè)不同的概念，不要混淆．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)5、若A=，則A2=________，A3=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：；知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)A=，則A－1=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用易見(jiàn)7、設(shè)A是n階矩陣，滿足A2－2A+E=0，則(A+2E)－1=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由(A+2E)(A－4E)+9E=A2－2A+E=0有8、若A－1=，則(3A)*=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?kA)*=kn－1A*，故(3A)*=32A*，又A*=｜A｜A－1，9、設(shè)A，B均為3階矩陣，且滿足AB=2A+B，其中A=，則｜B－2E｜=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2知識(shí)點(diǎn)解析：由AB－2A－B+2E=2E，有A(B－2E)－(B－2E)=2E，則(A－E)(B－2E)=2E．于是｜A－E｜.｜B－2E｜=｜2E｜=8，而｜A－E｜==－4，所以｜B－2E｜=－2．10、設(shè)XA=AT+X，其中A=，則X=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由XA－X=AT有X(A－E)=AT，因?yàn)锳可逆，知X與A－E均可逆．三、解答題(本題共23題，每題1.0分，共23分。)11、n維向量α=(a，0，．．．，0，a)T，a＜0，A=E－ααT，A－1=E+α－1ααT，求a．標(biāo)準(zhǔn)答案：(E－ααT)(E+a－1ααT)=EE+a－1ααT－ααT－a－1ααTααT=Ea－1ααT－ααT－a－1ααTααT=0，(αTα=2a2)(a－1－1－2a)ααT=0，a－1－1－2a=0，(因?yàn)棣力罷不是零矩陣．)1－a－2a2=0，a=－1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、設(shè)A=αβT，其中α和β都是n維列向量，證明對(duì)正整數(shù)k，Ak=(βTα)k－1A=(tr(A))k－1A．(tr(A)是A的對(duì)角線上元素之和，稱為A的跡數(shù)．)標(biāo)準(zhǔn)答案：Ak=(αβT)k=αβTαβT…αβTαβT=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT=(βTα)k－1A．βTα=a1b1+a2b2+…+anbn，而a1b1，a2b2，…，anbn正好的A=αβT的對(duì)角線上各元素，于是βTα=tr(A)，Ak=(tr(A))k－1A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、設(shè)A=，求An．標(biāo)準(zhǔn)答案：A的秩為2，不符合例2．5注的條件，不能用例2．5的方法直接求A的方冪．我們先求A2．A2=2A即AA=2A，A在乘A上的作用相當(dāng)于2乘A，于是An=An－1A=2n－1A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、設(shè)A=，(1)證明當(dāng)n＞1時(shí)An=An－2+A2－E．(2)求An．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)An=An－2+A2－E即An－An－2=A2－E．An－2(A2－E)=A2－E．只要證明A(A2－E)=A2－E．此式可以直接檢驗(yàn)：(2)把An=An－2+A2－E作為遞推公式求An．n是偶數(shù)2k時(shí)：A2k=A2k－2+A2－E=A2k－4+2(A2－E)：……=k(A2－E)+E．n是奇數(shù)2k+1時(shí)：A2k+1=AA2k=A[k(A2－E)+E]=k(A2－E)+A．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、3階矩陣A，B滿足ABA*=2BA*+E，其中A=，求｜B｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：用A從右側(cè)乘ABA*=2BA*+E的兩邊，得｜A｜AB=2｜A｜B+A，｜A｜(A－2E)B=A，兩邊取行列式｜A｜3｜A－2E｜｜B｜=｜A｜，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、A是3階矩陣，α是3維列向量，使得P=(α，Aα，A2α)可逆，并且A3α=3Aα－2A2α．(1)求B，使得A=PBP－1．(2)求｜A+E｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)A=PBP－1即AP=PB或A(α，Aα，A2α)=(α，Aα，A2α)B．A(α，Aα，A2α)=(Aα，A2α，Aα)=(Aα，A2α，3Aα－2A2α)(2)A+E=P(B+E)P－1．則｜A+E｜=｜P｜｜B+E｜｜P－1｜=｜B+E｜==－4．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、已知=3，求標(biāo)準(zhǔn)答案：記α=(α1，α2，α3)T，β=(b1，b2，b3)T，γ=(c1，c2，c3)T，所求行列式相應(yīng)的矩陣為：(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)．將它對(duì)(α，β，γ)做矩陣分解，得(λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα)=兩邊求行列式，得所求行列式的值：｜λα+μβ，λβ+μγ，λγ+μα｜==3(λ3+μ3)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)3階矩陣A=，A－1XA=XA+2A，求X．標(biāo)準(zhǔn)答案：A－1XA=XA+2A<=>A－1X=X+2E<=>X=AX+2A<=>(E－A)X=2A，用初等變換法解此基本矩陣方程：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、4階矩陣A，B滿足ABA－1=BA－1+3E，已知標(biāo)準(zhǔn)答案：用A右乘ABA－1=BA－1+3E的兩邊，得AB=B+3A；再用A*從左乘兩邊，得｜A｜B=A*B+3｜A｜E，由｜A*｜=8，得｜A｜=2，代入上式：(2E－A*)B=6E，用初等變換法求得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)3階矩陣A的各行元素之和都為2，向量α1=(－1，1，1)T，α2=(2，－1，1)T都是齊次線性方程組AX=0的解．求A．標(biāo)準(zhǔn)答案：令α3=(1，1，1)T，則Aα3=(2，2，2)T，建立矩陣方程：A(α1，α2，α3)=(0，0，2α3)，用初等變換法解得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)A，B和C都是n階矩陣，其中A，B可逆，求下列2n階矩陣的伴隨矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)锳，B都可逆，所以這幾個(gè)矩陣都可逆．于是可利用公式A*=｜A｜A－1來(lái)求伴隨矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)A是n階非零實(shí)矩陣，滿足A*=AT．證明｜A｜＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：把條件A*=AT寫(xiě)出，則aij=Aij，i，j．于是｜A｜=(也可從AAT=AA*=｜A｜E，也可得到｜A｜=．)由于A是實(shí)矩陣，其元素的平方≥0，又A有非0元素，得｜A｜＞0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)A是n階實(shí)反對(duì)稱矩陣，證明E+A可逆．標(biāo)準(zhǔn)答案：A是一個(gè)抽象矩陣，因此用行列式證明是困難的．下面的證明思路是通過(guò)(E+A)X=0只有零解來(lái)說(shuō)明結(jié)論．設(shè)η是一個(gè)n維實(shí)向量，滿足(E+A)η=0，要證明η=0．用ηT左乘上式，得ηT(E+A)η=0，即ηTη=－ηTAη由于A