考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷3（共265題）

考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷3（共9套）（共265題）考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)，則()A、I1＞I2＞。B、I1＞＞I2。C、I2＞I1＞D、I2＞＞I1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，有tanx＞x，于是有＜1。從而，可見有I1＞I2，又由I2＜知，應(yīng)選B。2、設(shè)f(x)=∫0x(ecost－e－cost)dt，則()A、f(x)=f(x+2π)。B、f(x)＞f(x+2π)。C、f(x)＜f(x+2π)。D、當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞f(x+2π)；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＜f(x+2π)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題意f(x+2π)一f(x)=∫xx＋2π(ecost一e－cost)dt，被積函數(shù)以2π為周期且為偶函數(shù)，由周期函數(shù)的積分性質(zhì)得f(x+2π)一f(x)=∫－ππ(ecost一e－cost)dt=2∫0π(ecost一e－cost)dt一2∫0π(ecosμ+e－cosμ)dμ，因此f(x+2π)一f(x)=0，故選A。3、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則在下列變上限積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()A、∫0xt[f(t)一f(一t)]dt。B、∫0xt[f(t)+f(一t)]dt。C、∫0xf(t2)dt。D、∫0x[f(t)]2dt。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：易知f(t)+f(一t)為偶函數(shù)，t為奇函數(shù)，故t[f(t)+f(一t)]為奇函數(shù)，由函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)奇偶性的關(guān)系可知，其原函數(shù)∫0xt[f(t)+f(－t)]dt必為偶函數(shù)。同理可知，A，C為奇函數(shù)，D無法判斷。故選B。4、曲線y=e－xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成圖形的面積可表示為()A、－∫03πe－xsinxdx。B、∫03πsinxdx。C、∫0πsinxdx一∫π2πe－xsinxdx＋∫2π3πe－xsinxdx。D、∫02πe－xsinxdx一∫2π3πe－xsinxdx。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)0≤x≤π或2π≤x≤3π時(shí)y≥0，當(dāng)π≤x≤2π時(shí)y≤0。所以y=e－xsinx(0≤x≤3π)與x軸所圍成圖形的面積為∫0πe－xsinxdx－∫π2πe－xsinxdx＋∫2π3πe－xsinxdx。故選C。5、由曲線y=1一(x一1)2及直線y=0圍成圖形(如圖1—3—3)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體體積V是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：按選項(xiàng)，要把曲線表示成x=x(y)，于是要分成兩部分x=1±(0≤y≤1)，則V是以下兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差：V1=π∫01(1+)2dy，V2=π∫01(1一)2dy，于是V=V1一V2=π∫01[]dy，故選D。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：e2x+x一ex+C知識(shí)點(diǎn)解析：令t=ex+1，則ex=t一1，x=ln(t一1)，dx=dt。9、已知曲線y=f(x)過點(diǎn)(0，)，且其上任一點(diǎn)(x，y)處的切線斜率為xln(1+x2)，則f(x)=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(1+x2)[ln(1+x2)一1]知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)可知=xln(1+x2)，且y(0)=，則10、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)a＞0，則I=∫－aa=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a2ln3知識(shí)點(diǎn)解析：由題干可知，原式可化為根據(jù)定積分的幾何意義可得：∫－a0a2(半徑為a的半圓的面積)。所以12、∫0＋∞=__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查的是湊微分法和牛頓一萊布尼茨公式。13、由曲線y=和直線y=x及y=4x在第一象限中圍成的平面圖形的面積為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4ln2知識(shí)點(diǎn)解析：先畫圖，作出y=4x與y=的交點(diǎn)(1，4)，直線y=x與y=的交點(diǎn)(2，2)，由圖可知，面積S分兩塊(如圖1—3—8)。S=∫01(4x一x)dx+∫12(一x)dx=2一=4ln2。14、設(shè)無界區(qū)域G位于曲線y=(e≤x＜+∞)下方，x軸上方，則G繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題意15、設(shè)曲線的參數(shù)方程為的曲線段的弧長s=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閤’(t)=cost，y’(t)=－sint，因此當(dāng)t∈時(shí)，曲線的弧微分為ds==cottdt。因此，相應(yīng)的曲線段的弧長為s==ln2。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)16、求。標(biāo)準(zhǔn)答案：=一earcsinex一ln｜e－x＋｜+C。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)是區(qū)間[0，]上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xtdt，其中f－1是f的反函數(shù)，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：在∫0f(x)f－1(t)dt=∫0xtdt的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得f－1[f(x)]f’(x)=，也就是xf’(x)=，即f’(x)=，兩邊再分別積分得f(x)=ln｜sinx+cosx｜+C。(*)將x=0代入題中的已知方程可得∫0f(0)f－1(t)dt=∫00tdt=0。由于f(x)是區(qū)間[0，]上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，則f－1(x)的值域?yàn)閇0，]，且為單調(diào)非負(fù)的，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln｜sinx+cosx｜。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算∫01dx，其中f(x)=∫1xdt。標(biāo)準(zhǔn)答案：使用分部積分法和換元積分法。其中由題意，f(1)=0，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)f’(2a一t)dt。證明：F(2a)一2F(a)=f2(a)-f(0)f(2a)。標(biāo)準(zhǔn)答案：F(2a)一2F(a)=∫02af(t)f’(2a—t)dt一2f∫0af(t)f’(2a一t)dt=一∫a2af(t)df(2a—t)一∫0af(t)f’(2a—t)dt=一f(t)f(2a—t)｜a2a+∫a2af’(t)f(2a一t)dx—∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af’(t)f(2a一t)dx—∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(2a)f(0)+∫0af’(2a一μ)dμ—∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)－f(2a)f(0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosxdx=0。試證明在(0，π)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ1，ξ2，使(ξ1)=f(ξ2)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，0≤x≤π，則有F(0)=0，F(xiàn)(π)=0。又因?yàn)?=∫0πcosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx，所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，則在(0，π)內(nèi)F(x)sinx恒為正或恒為負(fù)，與∫0πF(x)sinxdx=0矛盾，但當(dāng)ξ∈(0，π)時(shí)，sinξ≠0，故F(ξ)=0。由以上證得，存在滿足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0，再對(duì)F(x)在區(qū)間[0，ξ]，[ξ，π]上分別用羅爾定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，且f(ξ1)=f(ξ2)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0，1]上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。21、試證存在x0∈(0，1)，使得在區(qū)間[0，x0]上以f(x0)為高的矩形面積等于在區(qū)間[x0，1]上以y=f(x)為曲邊的梯形面積；標(biāo)準(zhǔn)答案：本題可轉(zhuǎn)化為證明x0，f(x0)=∫x01f(x)dx。令φ(x)=一x∫x1f(t)dt，則φ(x)在閉區(qū)間[0，1]上是連續(xù)的，在開區(qū)間(0，1)上是可導(dǎo)的，又因?yàn)棣?0)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理可知，存在x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即φ’(x0)=x0f(x0)一∫x01f(t)dt=0。也就是x0f(x0)=∫x01f(x)dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、又設(shè)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f’(x)＞，證明(I)中的x0是唯一的。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，且由f’(x)＞－有F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，即F(x)在(0，1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，因此(I)中的點(diǎn)x0是唯一的。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析橢球面S1是橢圓=1繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成，圓錐面S2是過點(diǎn)(4，0)且與橢圓=1相切的直線繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成。23、求S1及S2的方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意得S1的方程為=1。計(jì)算得過點(diǎn)(4，0)與，所以S2的方程為y2+z2=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求S1與S2之間的立體體積。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、過點(diǎn)(0，1)作曲線L：y=lnx的切線，切點(diǎn)為A，又L與x軸交于B點(diǎn)，區(qū)域D由L與直線AB圍成。求區(qū)域D的面積及D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(x0，lnx0)，斜率為，因此該點(diǎn)處切線方程為y—lnx0=(x一x0)，又因?yàn)樵撉芯€過B(0，1)，所以x0=e2，故切線方程為y=+1，切線與x軸交點(diǎn)為(1，0)。因此直線AB的方程為y=(x一1)。區(qū)域的面積為旋轉(zhuǎn)一周所圍成的體積為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)有擺線試求L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：這是由參數(shù)方程給出的曲線，由于x’(θ)=1一cosθ，y’(θ)=sinθ，則按旋轉(zhuǎn)面面積計(jì)算公式，可得旋轉(zhuǎn)面的面積知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)下述命題成立的是()A、f(x)在[一1，1]上存在原函數(shù)。B、令F(x)=∫—1xf(t)dt，則f’(0)存在。C、g(x)在[一1，1]上存在原函數(shù)。D、g’(0)存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由可知，g(x)在x=0處連續(xù)，所以g(x)在[一1，1]上存在原函數(shù)。故選C。以下說明選項(xiàng)A、B、D均不正確的原因：A項(xiàng)，由可知，x=0是f(x)的跳躍間斷點(diǎn)，所以在包含x=0的區(qū)間上f(x)不存在原函數(shù)；B項(xiàng)，由，可知F’(0)不存在；D項(xiàng)，由且不存在，可知g’(0)不存在。2、設(shè)F(x)=∫xx+2πesintsintdt，則F(x)()A、為正常數(shù)。B、為負(fù)常數(shù)。C、恒為零。D、不為常數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由分析可知，F(xiàn)(x)=F(0)，而F(0)=∫02πesintsintdt=—∫02πesintdcost=—esintcost｜02π+∫02πesintcos2tdt=∫02πesintcos2tdt＞0。故選A。3、設(shè)F(x)=∫—1xf(t)dt，則F(x)在x=0處()A、極限存在但不連續(xù)。B、連續(xù)但不可導(dǎo)。C、可導(dǎo)。D、可導(dǎo)性與a有關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x≤0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫—1xf(t)dt=ex一e—1；當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)(x)=∫—10f(t)dt+∫0xf(t)dt=1一e—1++ax。因?yàn)?1一e—1=F(0)，所以F(x)在x=0處連續(xù)。而即F(x)在x=0處的可導(dǎo)性與a有關(guān)。故選D。4、設(shè)函數(shù)若反常積分∫1+∞f(x)dx收斂，則()A、α＜一2。B、α＞2。C、一2＜α＜0。D、0＜α＜2。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)反常積分的收斂性判斷，將已知積分分解為其中當(dāng)且僅當(dāng)α一1＜1時(shí)才收斂；當(dāng)且僅當(dāng)α＞0才收斂。從而僅當(dāng)0＜α＜2時(shí)，反常積分∫1+∞才收斂。故選D。5、如圖，曲線段的方程為y=f(x)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，a]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積∫0axf’(x)dx等于()A、曲邊梯形ABOD面積。B、梯形ABOD面積。C、曲邊三角形ACD面積。D、三角形ACD面積。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椤?axf’(x)dx=∫0axdf(x)=xf(x)｜0a—∫0af(x)dx=af(a)—∫0af(x)dx，其中af(a)是矩形ABOC的面積，∫0af(x)dx為曲邊梯形ABOD的面積，所以∫0axf’(x)dx為曲邊三角形ACD的面積。故選C。6、半圓形閘門半徑為R(米)，將其垂直放入水中，且直徑與水面齊，設(shè)水密度ρ=1。若坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓心，x軸正向朝下，則閘門所受壓力P為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：如圖所示，任取[x，x+dx]∈[0，R]，相應(yīng)的小橫條所受壓力微元dP=ρ·x·2ydx=于是閘門所受壓力P=2∫0R故選C。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)7、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)計(jì)算可得A=4，B=2，C=一1。所以8、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、當(dāng)a＞0時(shí)，=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x=asint，則原式10、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x一1=sint，則11、∫—11x2016=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：原式(在第一個(gè)積分式中令x=一t)12、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x=sint，則有13、設(shè)函數(shù)且λ＞0，則∫—∞+∞xf(x)dx=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知x≤0時(shí)，函數(shù)f(x)值恒為0，因此可得∫—∞+∞xf(x)dx=∫0+∞λxe—λxdx=—∫0+∞xd(e—λx)=—xe—λx｜0+∞+∫0+∞e—λxdx=14、在曲線y=x2(0≤x≤1)上取一點(diǎn)(t，t2)(0＜t＜1)，設(shè)A1是由曲線y=x2(0≤x≤1)，直線y=t2和x=0所圍成圖形的面積；A2是由曲線y=x2(0≤x≤1)，直線y=t2和x=1所圍成圖形的面積，則t取______時(shí)，A=A1+A2取最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：如圖所示，A1=∫0t(t2一x2)dx，A2=∫t1(x2一t2)dx，A(t)=A1(t)+A2(t)=2∫0t(t2—x2)dx+∫01(x2—t2)dx所以，當(dāng)時(shí)，A=A1+A2取最小值。15、曲線y=∫0xtantdt(0≤x≤)的弧長s=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：原式=一(e—2xarctanex+e—x+arctanex)+C。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，F(xiàn)(x)=∫0xf(t)f’(2a一t)dt，證明F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)。標(biāo)準(zhǔn)答案：F(2a)一2F(a)=∫02af(t)f’(2a一t)dt一2∫0af(t)f’(2a一t)dt=一∫a2af(t)df(2a一t)一∫0af(t)f’(2a一t)dt=一f(t)f(2a一t)｜02a+∫02af’(t)f(2a一t)dx一∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(0)f(2a)+∫a2af’(t)f(2a—t)dx一∫0af(t)f’(2a一t)dt=f2(a)一f(2a)f(0)+∫0af’(2a一u)f(u)du—∫0af(t)f’(2a—t)dt=f2(a)一f(2a)f(0)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明∫abf(x)dx=(b一a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x一a)(x—b)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)利用分部積分法有∫abf(x)dx=∫abf(x)d(x一b)=f(a)(b一a)一∫abf’(x)(x一b)d(x一a)=f(a)(b一a)+∫ab(x一a)d[f’(x)(x一b)]=f(a)(b一a)+∫ab(x一a)df(x)+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx=f(a)(b一a)+f(b)(b一a)一∫abf(x)dx+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx，移項(xiàng)并整理得∫abf(x)dx=(b一a)[f(a)+f(b)]+∫abf’’(x)(x一a)(x一b)dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、(I)設(shè)f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，證明f(x)是以l(l>0)為周期的周期函數(shù)的充要條件是對(duì)任意a∈(一∞，+∞)恒有∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx；(Ⅱ)求標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)證明必要性設(shè)φ(a)=∫aa+lf(x)dx一∫0lf(x)dx，由題設(shè)φ’(a)=f(a+1)一f(a)=0，則φ(a)=c(常數(shù))。設(shè)a=0，則c=φ(0)=0，那么∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx。充分性在∫aa+lf(x)dx=∫0lf(x)dx兩邊對(duì)a求導(dǎo)，得f(a+l)一f(a)=0，故f(x)以l為周期。(Ⅱ)利用上述性質(zhì)，將原區(qū)間變換成對(duì)稱區(qū)間，從而利于使用函數(shù)的奇偶性，于是在上式第2項(xiàng)中作變量替換x=π—t，即可化為第1項(xiàng)，故原式=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析計(jì)算下列反常積分(廣義積分)。20、標(biāo)準(zhǔn)答案：由于x2—2x=(x一1)2一1，因此為去掉被積函數(shù)中的根號(hào)，可令x一1=sect則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：采用分解法與分部積分法，由于，故可將被積函數(shù)分解，并用分部積分法有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且∫0πf(x)dx=∫0πf(x)cosdx=0。證明在(0，π)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=∫0xf(x)dt，0≤x≤π，則有F(0)=0，F(xiàn)(π)=0。又因?yàn)?=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x)=F(x)cosx｜0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx，所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，不然，則在(0，π)內(nèi)F(x)sinx恒為正或恒為負(fù)，與∫0πF(x)sinxdx=0矛盾，但當(dāng)ξ∈(0，π)時(shí)，sinξ≠0，故F(ξ)=0。由以上證得，存在滿足0＜ξ＜π的ξ，使得F(0)=F(ξ)=F(π)=0，再對(duì)F(x)在區(qū)間[0，ξ]，[ξ，π]上分別用羅爾定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)，ξ2∈(ξ，π)，使得F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(x)在[0，+∞]連續(xù)，且∫01f(x)dx證明至少存在一點(diǎn)ξ∈(0，+∞)，使得f(ξ)+ξ=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：作函數(shù)F(x)=f(x)+x，有∫01F(x)dx=∫01[f(x)+x]dx=∫01f(x)dx+＜0。所以由積分中值定理，存在a∈[0，1]，使∫01F(x)dx=(1一0)F(a)＜0，即F(a)＜0。又因?yàn)樗裕蓸O限的保號(hào)性，存在b＞a，使，即F(b)＞0。因此，由介值定理，至少存在一點(diǎn)ξ∈[a，b](0，+∞)，使F(ξ)=0，即f(ξ)+ξ=0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[0，a]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，a]，使得∫0af(x)dx=af(0)+。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知∫0af(x)dx=∫0af(x)d(x一a)=[(x一a)f(x)]｜0a一∫0a(x一a)f’(x)dx=af(0)一∫0a(x一a)f’(x)dx。因?yàn)閒’(x)連續(xù)，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，則m(a一x)≤(a—x)f’(x)≤M(a一x)，故≤∫0a(a—x)f’(x)dx≤，則再由介值定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，a]，使得∫0a(a一x)f’(x)dx=，于是∫0af(x)dx=af(0)+。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，且滿足f(b)·cosb=證明至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=f(ξ)·tanξ。標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(x)在區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，知f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，從而F(x)=f(x)·cosx在上連續(xù)，由積分中值定理，知存在一點(diǎn)c∈使得在[c，b]上，由羅爾定理得至少存在一點(diǎn)ξ∈(c，b)(a，b)，使即得f’(ξ)=f(ξ)tanξ，ξ∈(a，b)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、證明：(I)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得∫abf(x)dx=f(η)(b一a)；(Ⅱ)若函數(shù)φ(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，則至少存在一點(diǎn)ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)設(shè)M與m是連續(xù)函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值與最小值，即m≤f(x)≤M，x∈[a，b]。根據(jù)定積分性質(zhì)，有m(b一a)≤∫abf(x)dx≤M(b—a)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，至少存在一點(diǎn)η∈[a，b]，使得即有∫abf(x)dx=f(η)(b—a)。(Ⅱ)由上題的結(jié)論可知至少存在一點(diǎn)η∈[2，3]，使∫23φ(x)dx=φ(η)(3—2)=φ(η)，又由φ(2)＞∫23φ(x)dx=φ(η)，知2＜η≤3。對(duì)φ(x)在[1，2]，[2，η]上分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，并結(jié)合φ(1)＜φ(2)，φ(η)＜φ(2)得1＜ξ1＜2，2＜ξ1＜η≤3，在[ξ1，ξ2]上對(duì)導(dǎo)函數(shù)φ’(x)應(yīng)用拉格朗日中值定理，有ξ∈(ξ1，ξ2)(1，3)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)y=f(x)是區(qū)間[0，1]上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù)。27、試證存在x0∈(0，1)，使得在區(qū)間[0，x0]上以f(x0)為高的矩形面積等于在區(qū)間[x0，1]上以y=f(x)為曲邊的梯形面積；標(biāo)準(zhǔn)答案：本題可轉(zhuǎn)化為證明x0f(x0)=∫x01。令φ(x)=一x∫x1f(t)dt，則φ(x)在閉區(qū)間[0，1]上是連續(xù)的，在開區(qū)間(0，1)上是可導(dǎo)的，又因?yàn)棣?0)=φ(1)=0，根據(jù)羅爾定理可知，存在一點(diǎn)x0∈(0，1)，使得φ’(x0)=0，即φ’(x0)=x0f(x0)一∫x01dt=0。也就是x0f(x0)=∫x01f(x)dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、又設(shè)f(x)在區(qū)間(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且，證明上題中的x0是唯一的。標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x)=xf(x)一∫x1f(t)dt，且由有F’(x)=xf’(x)+f(x)+f(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，即F(x)在(0，1)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，因此上題中的點(diǎn)x0是唯一的。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、若f(x)的一個(gè)原函數(shù)是arctanx，則∫xf(1一x2)dx=________．A、arctan(1一x2)+CB、xarctan(1一x2)+CC、arctan(1一x2)+CD、xarctan(1一x2)+C標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，F(xiàn)(x)=，則F’(x)=_______．A、f(x3)一f(cosx)B、3x2f(x3)+sinxf(cosx)C、3x2f(x3)一sinxf(cosx)D、3x2f(x3)+f(cosx)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、設(shè)f(x)，φ(x)在點(diǎn)x=0某鄰域內(nèi)連續(xù)，且x→0時(shí)，f(x)是φ(x)的高階無窮小，則x→0時(shí)，∫0xf(t)sintdt是∫0xtφ(t)dt的()無窮?。瓵、低階．B、高階．C、同階非等價(jià)．D、等價(jià)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析4、設(shè)f(x)有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，當(dāng)x→0時(shí)，∫0ff(x)f(t)dt與x2為等價(jià)無窮小，則f’(0)等于A、0B、2C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析5、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)=∫0x(x2一t2)f(t)dt且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)’(x)與xk是同階無窮小，則k等于A、AB、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，φ(x)=(x-b)∫abf(t)dt，則存在ξ∈(a，b)，使φ’(ξ)等于A、1B、0C、D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、設(shè)等于A、0B、1C、D、一1標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、下列廣義積分中發(fā)散的是A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)∫xf(x)dx=ln(1+x2)+C，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)f(lnx)=則∫f(x)dx=_____．標(biāo)準(zhǔn)答案：x一(1+e-x)ln(1+ex)+C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)f(x)連續(xù)，且f(t)dt=x，則f(5)+∫05f(t)dt=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)=則∫01f(x)dx=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x)連續(xù)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：sinx2知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、由曲線y=lnx與兩直線y=(e+1)一x及y=0所圍成平面圖形的面積為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)20、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)f(χ)為可導(dǎo)函數(shù)，F(xiàn)(χ)為其原函數(shù)，則()．A、若f(χ)是周期函數(shù)，則F(χ)也是周期函數(shù)B、若f(χ)是單調(diào)函數(shù)，則F(χ)也是單調(diào)函數(shù)C、若f(χ)是偶函數(shù)，則F(χ)是奇函數(shù)D、若f(χ)是奇函數(shù)，則F(χ)是偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令f(χ)＝cosχ－2，F(xiàn)(χ)＝sinχ－2χ＋C，顯然f(χ)為周期函數(shù)，但F(χ)為非周期函數(shù)，A不對(duì)；令f(χ)＝2χ，F(xiàn)(χ)＝χ2＋C，顯然f(χ)為單調(diào)增函數(shù)，但F(χ)為非單調(diào)函數(shù)，B不對(duì)；令f(χ)＝χ2，F(xiàn)(χ)＝χ＋2，顯然f(χ)為偶函數(shù)，但F(χ)為非奇非偶函數(shù)，C不對(duì)；若f(χ)為奇函數(shù)，F(xiàn)(χ)＝∫aχf(t)dt，因?yàn)椋核訤(χ)為偶函數(shù)，選D．2、設(shè)∫f(χ)dχ＝χ2＋C，則∫χf(1－χ2)dχ等于()．A、(1－χ2)2＋CB、－(1－χ2)2＋CC、2(1－χ2)2＋CD、－2(1－χ2)2＋C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：∫χf(1－χ2)dχ＝－∫f(1－χ2)d(1－χ2)＝－(1－χ2)2＋C，選B．3、設(shè)M＝cos4χdχ，N＝(sin3χ＋cos4χ)dχ，P＝(χ2sinχ3－cos4χ)dχ，則有()．A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：M＝cosχ4dχN＝(sin3χ＋cos4χ)dχ＝cos4χdχ＞0，P＝(χ2sin3χ－cos4χ)dχ＝－cos4χdχ＜0，P＜M＜N，選D．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln｜2χ＋3｜＋5ln｜χ－3｜＋C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗裕絣n｜2χ＋3｜＋5ln｜χ－3｜＋C．5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln｜χ＋2｜－＋C知識(shí)點(diǎn)解析：6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2arctan＋C知識(shí)點(diǎn)解析：8、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2arcsin＋C知識(shí)點(diǎn)解析：9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2arcsin＋C知識(shí)點(diǎn)解析：10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：－2arcsin＋C知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共22題，每題1.0分，共22分。)11、標(biāo)準(zhǔn)答案：令sinχ－cosχ＝a(sinχ＋2cosχ)＋b(sinχ＋2cosχ)′，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、∫χtanχsec4χdχ標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、∫arcsinχarccosχdχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、標(biāo)準(zhǔn)答案：令eχ＝t，dχ＝dt，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、∫arctan(1＋)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：令＝t，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：＝－∫lnsinχd(cotχ)＝－cotχlnsinχ＋∫cotχdχ＝－cotχlnsinχ＋∫(csc2χ－1)dχ＝－cotχlnsinχ－cotχ－χ＋C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：令＝t，則χ＝ln(1＋t2)，dχ＝dt，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、標(biāo)準(zhǔn)答案：令＝t，dχ＝6t5dt，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)則有()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I2＜I3＜I1D、I2＜I1＜I3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：首先，由可得I2＜I1．其次，其中故I3＞I1，從而I2＜I1＜I3，故選(D)．2、A、arctan(cos2x)+CB、arctan(cos2x)+CC、arctan(一cos2x)+CD、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)則f(x)=()A、B、C、lnx一2exD、lnx+2ex標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由題中所給式子變形得則在上式兩端作[1，e]上的積分，得解得故應(yīng)選(A)．4、積分()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：5、積分()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)x=t5，則dx=6t5dt．所以二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)6、已知是f(x)的原函數(shù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)槭莊(x)的原函數(shù)，所以7、標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：8、xx(1+lnx)的全體原函數(shù)為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xx+C，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)?xx)’=(exlnx)’=xx(1+lnx)，所以9、若且x=at+b(a≠0)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：F(t)+C，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：因F’(x)=f(x)，故F’(t)=f(t)，于是其中C為任意常數(shù)．10、設(shè)f’(ex)=1+x，則f(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xlnx+C，其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)u=ex，則x=lnu，由f’(ex)=1+x，得因此f(x)=xlnx+C，其中C為任意常數(shù)．11、將分解為部分分式乘積的形式為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由因式分解易得：同項(xiàng)對(duì)比系數(shù)可得：故答案如上所填．12、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為lnx，則f’(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知?jiǎng)t13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：此極限屬型，用洛必達(dá)法則．因此14、函數(shù)的遞減區(qū)間為____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[e2，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：需要考慮F(x)的導(dǎo)函數(shù)令f’(x)≤0，即得x≥e2．15、已知f(1)=0，則標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識(shí)點(diǎn)解析：用分部積分法．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一方法二知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知f(x)的一個(gè)原函數(shù)為(1+sinx)lnx，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由于又由于(1+sinx)lnx為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，因此f(x)=[(1+sinx)lnx]’=cosxlnx+且故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：利用表格的形式：所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：令有dx=tdt，于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求積分標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考查典型的有理函數(shù)的不定積分，首先湊微分，然后將分母配方．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求積分標(biāo)準(zhǔn)答案：因x=一[(1一x)一1]，從而可湊微分法．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算積分：設(shè)求標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=x一2，則由定積分的分段可加性得，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、計(jì)算積分：已知求標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=x一2n，則由定積分的分段可加性與分部積分得，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：令則x=t2，dx=2tdt，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、計(jì)算其中標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分法可知又因?yàn)閒(1)=0．故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、若f(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，且試證：f(x)≡0(一∞＜x＜+∞)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由可知f’(x)=f(x)，其通解為f(x)=Cex，又f(0)=0，故f(x)≡0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、判別積分的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)槎諗?，所以絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，試證明：31、F(x)的奇偶性正好與f(x)的奇偶性相反；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)為奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)．設(shè)f(x)為偶函數(shù)，則所以F(x)是奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)的一切原函數(shù)均為偶函數(shù)；若f(x)為偶函數(shù)，則有且僅有一個(gè)原函數(shù)為奇函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)的一切原函數(shù)可以表示成的形式．若f(x)為奇函數(shù)，由上題知為偶函數(shù)，故都是偶函數(shù)．若f(x)為偶函數(shù)，由上題知為奇函數(shù)，f(x)的一切原函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)C=0時(shí)為奇函數(shù)，故偶函數(shù)f(x)的原函數(shù)中僅有一個(gè)為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、積分()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、設(shè)則當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與g(x)相比是()A、等價(jià)無窮小B、同階但非等價(jià)無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：需要計(jì)算f(x)與g(x)比值的極限．故當(dāng)x→0時(shí)，f(x)與g(x)是同階但非等價(jià)無窮小．3、設(shè)則()A、N≤P≤QB、N≤Q≤PC、Q≤P≤ND、P≤N≤Q標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：x2sin3x是奇函數(shù)，故N=0，x3ex2是奇函數(shù)，故所以P≤N≤Q．4、若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則積分的值為()A、0B、2C、4D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)φ(x)在[a，b]上連續(xù)，且φ(x)＞0，則函數(shù)()A、在(a，b)內(nèi)的圖形為凸B、在(a，b)內(nèi)的圖形為凹C、在(a，b)內(nèi)有拐點(diǎn)D、在(a，b)內(nèi)有間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：先將Φ(x)利用|x—t|的分段性分解變形，有因?yàn)棣?t)在[a，b]上連續(xù)，所以Φ(x)可導(dǎo)，因而答案不可能是(D)．要討論其余三個(gè)選項(xiàng)，只需求出Φ(x)，討論Φ(x)在(a，b)內(nèi)的符號(hào)即可．因故y=Φ(x)在(a，b)內(nèi)的圖形為凹．應(yīng)選(B)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)6、積分標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：7、積分標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：8、已知函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為且則F(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由題意有故9、標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：10、若則f(x)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：令t=x2，則因此其中C為任意常數(shù)．11、標(biāo)準(zhǔn)答案：其中C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)f(x)連續(xù)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：是形如形式的變上限積分，由知，13、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：顯然積分難以積出．考慮積分中值定理，其中ξx介于x，x+a之間．所以14、設(shè)，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令3x+1=t，可知所以三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)設(shè)證明：15、并由此計(jì)算In；標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)n=2k時(shí)，當(dāng)n=2k+1時(shí)，其中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、標(biāo)準(zhǔn)答案：由當(dāng)時(shí)，0＜tanx＜1，于是則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、已知求積分標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a≠0，±1時(shí)，當(dāng)α=1時(shí)，當(dāng)α=一1時(shí)，當(dāng)α=0時(shí)，綜上，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知f(x)連續(xù)，求的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x一t=u，有于是兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得在上式中，令得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析對(duì)于實(shí)數(shù)x＞0，定義對(duì)數(shù)函數(shù)依此定義試證：20、標(biāo)準(zhǔn)答案：令則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、ln(xy)=lnx+lny(x＞0，y＞0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=ξx，則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：由分部積分可得故遞推得又所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、若試證：f’(0)=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗灾R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且已知f(1)=1，求的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=2x—t，則t=2x一u，dt=一du．當(dāng)t=0時(shí)，u=2x；當(dāng)t=x時(shí)，u=x．故由已知得兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得即令x=1，得故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)在區(qū)間[e，e2]上，數(shù)p，q滿足條件px+q≥lnx，求使得積分取得最小值時(shí)p，q的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一設(shè)直線y=px+q與曲線y=lnx相切于點(diǎn)(t，lnt)，則有于是I(p,q)=I(p)=(px-lnp-1-lnx)dx=p(e4-e2)-(lnp+1)(e2-e)-e2.令得唯一駐點(diǎn)所以為極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)．此時(shí)方法二設(shè)直線y=px+q與曲線y=lnx相切于點(diǎn)(t，lnt)，則有于是令得唯一駐點(diǎn)所以為極小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)．此時(shí)知識(shí)點(diǎn)解析：要使最小，直線y=px+q應(yīng)與曲線y=lnx相切，從而可得到p，q的關(guān)系，消去一個(gè)參數(shù)．通過積分求出I(p)后再用微分方法求I(p)的極值點(diǎn)P0，然后再求出q的值．或?qū)，q都表示成另一個(gè)參數(shù)t的函數(shù)形式，求出I(t)的極值點(diǎn)后，再求出p，q的值．26、設(shè)xOy平面上有正方形區(qū)域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}及直線l：x+y=t(t≥0)．若S(t)表示正方形區(qū)域D位于直線l左下方部分的面積，試求標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)知所以當(dāng)0≤x≤1時(shí)，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，當(dāng)x＞2時(shí)，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，0＜a＜b，且收斂，其中常數(shù)A＞0．試證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗灾R(shí)點(diǎn)解析：積分對(duì)于A＞0收斂，由于對(duì)于B＞0，積分總是存在的，所以對(duì)任意B＞0，積分也收斂．按定義，便可計(jì)算．28、求曲線的一條切線l，使該曲線與切線l及直線x=0，x=2所圍成圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗蕴幍那芯€l方程為即所圍面積令得t=1．又S"(1)＞0，故t=1時(shí)，S取最小值，此時(shí)l的方程為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、如圖1．3—1所示，設(shè)曲線方程為梯形OABC的面積為D，曲邊梯形OABC的面積為D1，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，0)，a＞0，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可得故又所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，1)內(nèi)大于零，并且滿足又曲線y=f(x)與x=1，y=0所圍的圖形S的面積值為2．求函數(shù)y=f(x)，并問a為何值時(shí)，圖形S繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)，當(dāng)x≠0時(shí)，據(jù)此，并由f(x)在x=0處的連續(xù)性，得又由已知條件即C=4一以．因此，旋轉(zhuǎn)體的體積為令得a=一5．又故當(dāng)a=一5時(shí)，旋轉(zhuǎn)體體積最小．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)一元函數(shù)f(x)有下列四條性質(zhì)：①f(x)在[a，b]連續(xù)；②f(x)在[a，b]可積；③f(x)在[a，b]存在原函數(shù)；④f(x)在[a，b]可導(dǎo)。若用“P=>Q”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()A、①=>②=>③。B、①=>③=>④。C、④=>①=>②。D、④=>③=>①。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：這是討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的可導(dǎo)性、連續(xù)性及可積性與原函數(shù)存在性間的關(guān)系問題。由f(x)在[a，b]可導(dǎo)，則f(x)在[a，b]連續(xù)，那么f(x)在[a，b]可積且存在原函數(shù)。故選C。2、設(shè)則I，J，K的大小關(guān)系為()A、I＜J＜K。B、I＜K＜J。C、J＜I＜K。D、K＜J＜I。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此同時(shí)，又因?yàn)橐驗(yàn)樗跃C上可知，I，J，K，的大小關(guān)系是I＜K＜J。故選B。3、設(shè)g(x)=∫0xf(u)du，其中則g(x)在區(qū)間(0，2)內(nèi)()A、無界。B、遞減。C、不連續(xù)。D、連續(xù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，2]上只有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)(x=1為f(x)的跳躍間斷點(diǎn))，所以f(x)在該區(qū)間上可積，因而g(x)=∫0xf(u)du在該區(qū)間內(nèi)必連續(xù)。故選D。4、如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[一3，一2]，[2，3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間[一2，0]，[0，2]的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周。設(shè)F(x)=∫0xf(t)dt，則下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：結(jié)合定積分的幾何意義，可知F(一2)=∫0—2=f(x)dx=一∫0—2f(x)dx=∫02f(x)dx=所以故選C。5、曲線y=x(x一1)(2一x)與x軸所圍成的平面圖形的面積可表示為()A、一∫02x(x一1)(2一x)dx。B、∫01x(x一1)(2一x)dx一∫12(x一1)(2一x)dx。C、一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2—x)dx。D、∫02x(x一1)(2一x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于所求平面圖形在x軸上、下方各有一部分，其面積為這兩部分的面積之和，所以只要考查B、C選項(xiàng)中的每一部分是否均為正即可，顯然C正確。事實(shí)上，有S=∫02｜y｜dx=∫02｜x(x一1)(2一x)｜dx=∫01｜(x一1)(2一x)｜dx+∫12｜x(x一1)(2一x)｜dx=一∫01x(x一1)(2一x)dx+∫12x(x一1)(2一x)dx。故選C。6、曲線r=aebθ(a＞0，b＞0)從θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧長為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用極坐標(biāo)表示曲線的弧長公式，有故選A。二、填空題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)7、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)計(jì)算可得于是8、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：cos2x一2cosx+3ln(cosx+2)+C知識(shí)點(diǎn)解析：令t=cosx，則9、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：x一ln(1+e2x)+C知識(shí)點(diǎn)解析：10、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：一4π知識(shí)點(diǎn)解析：令，原式為=2∫0πt2costdt=2(t2sint｜0π一∫0πsintdt)=一4∫0πtsintdt=4(tcost｜0π一∫0πtcostdt)=一4π。11、設(shè)則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知函數(shù)可化為令，得。所以12、設(shè)則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x一1=t，則有13、=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為r=cos3θ，則L所圍平面圖形的面積是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：直接利用封閉曲線圖形的面積公式可得15、當(dāng)0≤θ≤π時(shí)，對(duì)數(shù)螺旋r=eθ的弧長為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：利用極坐標(biāo)的弧長公式16、設(shè)有擺線x=a(t—sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤2π)的第一拱L，則L繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面的面積S=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)面面積公式可得三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：令則故又因?yàn)樗灾R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、證明I=sinx2dx＞0。標(biāo)準(zhǔn)答案：令x2=t，則對(duì)于I2，令t=s+π，則于是I=I1+I2=上述積分中被積函數(shù)注意到，若補(bǔ)充定義f(0)=0，則f(t)在[0，π]上連續(xù)，且f(t)＞0。根據(jù)定積分的性質(zhì)可得I＞0。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)19、證明f(x)是以π為周期的周期函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件可得設(shè)t=u+π，則有因此f(x)是以π為周期的周期函數(shù)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求f(x)的值域。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋黶inx｜周期為π，故只需在[0，π]上討論值域。因?yàn)閒’(x)=｜sin(x+)｜—｜sinx｜=｜c(diǎn)osx｜—｜sinx｜，令f’(x)=0，得x1=，x2=，且又有因此可知f(x)的最小值是，最大值是，故f(x)的值域是。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(x)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足∫0f(x)f(—1)(t)dt=其中f—1是f的反函數(shù)，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：在∫0f(x)f—1(t)dt=的兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得也就是，即兩邊再分別積分得f(x)=ln｜sinx+cosx｜+C。(*)將x=0代入題中的已知方程可得∫0(0)f—1(t)d=由于f(x)是區(qū)間上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，則f—1(x)的值域?yàn)?，且為單調(diào)非負(fù)的，所以f(0)=0。代入(*)式可得C=0，故f(x)=ln｜sinx+cosx｜。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3，f(1)=1，求∫12f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：令2x一t=u，則原等式變?yōu)椤襵2x(2x一u)f(u)du=arctanx3，即2x∫x2xf(u)du—∫x2xuf(u)du=arctan(x3)，兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，可得2∫x2xf(u)du—xf(x)=令x=1，則上面的等式可化為2∫12f(u)du一f(1)=，由已知條件f(1)=1可知∫12f(x)dx=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、求標(biāo)準(zhǔn)答案：令arcsinx=t，有x=sint，t∈，則因此可得原式=。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[一π，π]上連續(xù)，且有f(x)=+∫—ππf(x)sinxdx，求f(x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于∫—ππf(x)sinxdx存在，且記為A，于是可得，則有從而有對(duì)等式右邊積分作積分變量變換：x=π—t。當(dāng)x=0時(shí)，t=π；當(dāng)x=π時(shí)，t=0。于是則有從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求其中標(biāo)準(zhǔn)答案：使用分部積分法和換元積分法。其中由題意，f(1)=0，因此上式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(x)=∫x—12e—y2，求I=∫13f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’(x)=一e—(x—1)2，由分部積分公式可得I=x·f(x)｜13—∫13x·f’(x)dx=3f(3)一f(1)+∫13xe—(x—1)2dx=∫13xe—(x—1)2dx一∫02e—y2dy(在第一個(gè)積分式中令x一1=y)=∫02(y+1)e—y2dy—∫02e—y2dy=∫02ye—y2dy知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f’(x)=arcsin(x一1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x一1)=(x一1)f(x)｜01—∫01(x一1)f’(x)dx=f(0)一∫01(x一1)f’(x)dx=一∫01(x一1)arcsin(x一1)2dx=一∫01arcsin(x一1)2d(x—1)2，令(x一1)2=t，則上式可化為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、已知f(2)=f’(2)=0及∫02f(x)dx=1，求∫01x2f’’(2x)dx。標(biāo)準(zhǔn)答案：原式知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)a＝，β＝，則當(dāng)χ→0時(shí)，兩個(gè)無窮小的關(guān)系是()．A、高階無窮小B、低階無窮小C、同階非等價(jià)無窮小D、等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椤?，所以兩無窮小同階但非等價(jià)，選C．2、設(shè)g(χ)＝∫0χf(u)du，其中f(χ)＝，則g(χ)在(0，2)內(nèi)()·A、單調(diào)減少B、無界C、連續(xù)D、有第一類間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ)在(0，2)內(nèi)只有第一類間斷點(diǎn)，所以g(χ)在(0，2)內(nèi)連續(xù)，選C．3、設(shè)f(χ)在R上是以T為周期的連續(xù)奇函數(shù)，則下列函數(shù)中不是周期函數(shù)的是()．A、∫aχf(t)dtB、∫－χaf(t)dtC、∫－χ0f(t)dt－∫χ0f(t)dtD、∫－χχtf(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)4、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、∫max{χ＋2，χ2}dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：max{χ＋2，χ2}＝，當(dāng)χ≤－1時(shí)，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝C1；當(dāng)－1＜χ＜2時(shí)，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝＋2χ＋C2；當(dāng)χ≥2時(shí)，∫max{χ＋2，χ2}dχ＝＋C3．取C2＝C9、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：12、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4－π知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)f(χ)滿足等式χf′(χ)－f(χ)＝，且f(1)＝4，則∫01f(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2－知識(shí)點(diǎn)解析：15、設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)(χ)滿足△y＝△χ＋o(△χ)，且y(1)＝1，則∫01y(χ)dχ＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)，則a＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)楣蔭＝ln2．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)17、設(shè)f(χ)在(－a，a)(a＞0)內(nèi)連續(xù)，且f′(0)＝2．(1)證明：對(duì)0＜χ＜a，存在0＜0＜1，使得∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt＝χ[f(θχ)－f(－θχ)]，(2)求標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令F(χ)＝∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt，顯然F(χ)在[0，χ]上可導(dǎo)，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜0＜1，使得F(χ)＝F(χ)－F(0)＝F′(θχ)χ，即∫0χf(t)dt＋∫0－χf(t)dt＝χ[f(θχ)－f(－θχ)]．(2)令＝A，由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)an＝tannχdχ(n≥2)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：an＋an+2＝同理an＋an-2＝因?yàn)閠annχ，tann+2χ在[0，]上連續(xù)，tannχ≥tann+2χ，且tannχ，tann+2χ不恒等，所以，即an＞an+2，于是＝an＋an+2＜2an，即an＞，同理可證an＜知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(χ)有界，且f′(χ)連續(xù)，對(duì)任意的χ∈(－∞，＋∞)有｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1．證明：｜f(χ)｜≤1．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(χ)＝eχf(χ)，則φ′(χ)＝eχ[f(χ)＋f′(χ)]，由｜f(χ)＋f′(χ)｜≤1得｜φ′(χ)｜≤eχ，又由f(χ)有界得φ(－∞)＝0，則φ(χ)＝φ(χ)－φ(－∞)＝∫－∞χφ′(χ)dχ，兩邊取絕對(duì)值得eχ｜f(χ)｜≤∫－∞χ｜φ′(χ)｜dχ≤∫－∞χeχdχ＝eχ，所以｜f(χ)｜≤1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(χ)在(－∞，＋∞)上有定義，且對(duì)任意的χ，y∈(－∞，＋∞)有｜f(χ)－f(y)｜≤｜χ－y｜．證明：｜∫abf(χ)dχ－(b－a)f(a)｜≤(b－a)2．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?b－a)f(a)＝∫abf(a)dχ，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)f(χ)在[0，1]上連續(xù)，且0＜m≤f(χ)≤M，對(duì)任意的χ∈[0，1]，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤0于是f(χ)＋≤M＋m，兩邊積分得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：∫abχf(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(χ)＝因?yàn)閒(χ)在[a，b]上單調(diào)增加，所以∫abφ(χ)dχ≥0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)f(χ)在(0，＋∞)內(nèi)連續(xù)且單調(diào)減少．證明：∫1n+1f(χ)dχ≤f(k)≤f(1)＋∫1nf(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫1n+1f(χ)dχ＝∫12f(χ)dχ＋∫23f(χ)dχ＋…＋∫nn+1f(χ)dχ，當(dāng)χ∈[1，2]時(shí)，f(χ)≤f(1)，兩邊積分得∫12f(χ)dχ≤f(1)，同理∫f(χ)dχ≤f(2)，…，∫f(χ)dχ≤f(n)，相加得；當(dāng)χ∈[1，2]時(shí)，f(2)≤f(χ)，兩邊積分得f(2)≤∫12f(χ)dχ，同理f(3)≤∫23f(χ)dχ，…，f(n)≤∫n-1nf(χ)dχ，相加得f(2)＋…＋f(n)≤∫1nf(χ)dχ，于是f(k)≤f(1)＋∫1nf(χ)dχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)減少．證明：當(dāng)0＜k＜1時(shí)，∫0kf(χ)dχ≥k∫01f(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫0kf(χ)dχ－k∫01f(χ)dχ＝∫0kf(χ)dχ－k[∫0kf(χ)dχ＋∫k1f(χ)dχ]＝(1－k)∫0kf(χ)dχ－k∫k1f(χ)dχ＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]其中ξ1∈[0，k]，ξ2∈[k，1]．因?yàn)?＜k＜1且f(χ)單調(diào)減少，所以∫0kf(χ)dχ－k∫01f(χ)dχ＝k(1－k)[f(ξ1)－f(ξ2)]≥0，故∫0kf(χ)dχ≥k∫01f(χ)dχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)f′(χ)在[0，1]上連續(xù)且｜f′(χ)｜≤M．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)f(χ)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)＝0，令｜f′(χ)｜＝M證明：｜∫0af(χ)｜dχ≤M．標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(χ)＝f(0)＝f′(ξ)χ，其中ξ介于0與χ之間，因?yàn)閒(0)＝0，所以｜f(χ)｜＝｜f′(ξ)χ｜≤Mχ，χ∈[0，a]，從而｜∫0af(χ)dχ｜≤∫0a｜f(χ)｜dχ≤∫0aMχdχ＝M．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)f′(χ)在[0，1]上連續(xù)，且f(1)＝f(0)＝1．證明：∫01f′2(χ)dχ≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由1＝f(1)－f(0)＝∫01f′(χ)dχ，得12＝1＝(∫01f′(χ)dχ)2≤∫0112dχ∫01f′2(χ)dχ＝∫01f′2(χ)dχ，即∫01f′2(χ)dχ≥1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)＝0．證明：∫abf2(χ)dχ≤∫ab[f′(χ)]2dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(a)＝0，得f(χ)－f(a)＝f(χ)＝∫aχf′(t)dt，由柯西不等式得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)f(χ)在[a，a]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)＝f(b)＝0．證明：｜f(χ)｜≤∫ab｜f′(χ)｜dχ(a＜χ＜b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍襢(a)＝f(b)＝0，所以兩式相加得｜f(χ)｜≤｜f′(χ)｜dχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，證明：｜f(χ)｜≤＋∫ab｜f′(χ)｜dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(χ)在[a，b]上連續(xù)，所以｜f(χ)｜在[a，b]上連續(xù)，令｜f(c)｜＝｜f(χ)｜．根據(jù)積分中值定理，f(χ)dχ＝f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由積分基本定理，f(c)＝f(ξ)＋∫ξcf′(χ)dχ，取絕對(duì)值得｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜＋｜∫ξcf′(χ)dχ｜≤｜f(ξ)｜＋∫ab｜f′(χ)｜dχ，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)f(χ)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f〞(χ)＜0．證明：∫01f(χ2)dχ≤f()．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，得f(t)＝，其中ξ介于與t之間，從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)f(χ)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)且f〞(χ)≥0．證明：(b－a)f()≤∫abf(χ)dχ≤[f(a)＋f(b)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式得f(χ)＝其中ξ介于χ與之間，因?yàn)閒〞(χ)≥0，所以有兩邊積分得∫abf(χ)dχ≥(b－a)令φ(χ)＝[f(χ)＋f(a)]－∫aχf(t)dt，且φ(a)＝0，其中a≤η≤χ，因?yàn)閒〞(χ)≥0，所以f′(χ)單調(diào)不減，于是φ′(χ)≥0(a≤χ≤b)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)f(χ)∈C[0，1]，f(χ)>0．證明積分不等式：ln∫01f(χ)dχ≥∫01lnf(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(t)＝lnt(t＞0)，g〞(t)＝－＜0，再令χ0＝∫01f(χ)dχ，則有g(shù)(t)≤g(χ0)＋g′(χ0)(t－χ0)g[f(χ0)]≤g′(χ0)＋g′(χ0)[f(χ)－χ0]，兩邊積分，得∫01lnf(χ)dχ≤ln∫01f(χ)dχ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（一元函數(shù)積分學(xué)）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、記P＝∫-11ln｜χ＋｜dχ，Q＝∫-11(χ3cosχ－e－χ)dχ，R＝，則()．A、P＜Q＜RB、Q＜R＜PC、Q＜P＜RD、R＜P＜Q標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析2、(1)下列廣義積分收斂的是()．A、∫1＋∞edχB、C、D、∫－∞-1e－χdχ標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析3、下列廣義積分發(fā)散的是()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)4、設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為r＝cos3θ()，則L所圍成的平面圖形的面積為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：曲線所圍成的平面圖形的面積為5、區(qū)域D：(χ2＋y2)2≤χ2－y2所圍成的面積為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共24題，每題1.0分，共24分。)6、計(jì)算積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、證明：∫01χm(1－χ)ndχ＝∫01χn(1－χ)mdχ，并用此式計(jì)算∫01(1－χ)50dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)f(χ)＝，求∫02πf(χ－π)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：∫02πf(χ－π)dχ＝∫02πf(χ－π)d(χ－π)＝∫-ππf(χ)dχ＝∫-π0f(χ)dχ＋∫0πf(χ)dχ＝∫-π0(－1)dχ＋∫0πχsinχdχ＝－π＋∫sinχdχ＝0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)f(χ)＝，求∫13f(χ－2)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f′(χ)＝arcsin(χ－1)2且f(0)＝0，求I＝∫01f(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(0)＝0得f(χ)＝∫0χarcsin(t－1)2dt，則∫01f(χ)dχ＝χf(χ)｜－∫χarcsin(χ－1)2dχ＝f(1)－∫01[(χ－1)＋1]arcsin(χ－1