山東省德州市武城縣禹城市聯(lián)考2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期第一次練兵考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024年九年級(jí)第一次練兵數(shù)學(xué)試題（滿分150分；時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請(qǐng)將選擇題答案用2B鉛筆填涂在答題卡指定題號(hào)里；將非選擇題的答案用0.5毫米黑色墨水簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無(wú)效．3．考生必須保持答題卡的整潔．一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來(lái)，每小題選對(duì)得4分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過(guò)一個(gè)均記零分．）1.﹣6的倒數(shù)是（）A.﹣ B. C.﹣6 D.6【答案】A【解析】【詳解】解：﹣6的倒數(shù)是﹣．故選A．2.下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查軸對(duì)稱及中心對(duì)稱的定義，掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，要注意：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合；中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)后與原圖重合，根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念逐一判斷即可．【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；故選：D．3.下列式子是二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次根式的定義，根據(jù)形如的式子叫做二次根式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，原式不是二次根式，不符合題意；B、是二次根式，符合題意；C、當(dāng)時(shí)不是二次根式，不符合題意；D、當(dāng)時(shí)，原式不是二次根式，不符合題意；故選：B．4.如圖所示的幾何體，它的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)幾何體確定出其左視圖即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：幾何體的左視圖為：故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，鍛煉了學(xué)生的思考能力和對(duì)幾何體三種視圖的空間想象能力．5.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方法則逐項(xiàng)計(jì)算即可．【詳解】解：A．與不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故不正確；B．，故不正確；C．，故不正確；D．，正確；故選D．6.關(guān)于x的方程x2+5x+m=0的一個(gè)根為-2，則另一個(gè)根是（）A.-6 B.-3 C.3 D.6【答案】B【解析】【詳解】分析：根據(jù)一元二次方程的兩根之和等于－5求解.詳解：設(shè)另一個(gè)根為a，則根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得－2＋a＝－5，解得a＝－3.故選B.點(diǎn)睛：已知一元二次方程的一個(gè)根，求所含的字母系數(shù)的方法有：①把已知的根代入到原方程中，求出字母系數(shù)，再把字母系數(shù)的值代回到原方程求出另一個(gè)根；②用兩根之和或者兩根之積求解.7.地球周?chē)拇髿鈱幼钃趿俗贤饩€和宇宙射線對(duì)地球生命的傷害，同時(shí)產(chǎn)生一定的大氣壓，海拔不同，大氣壓不同，觀察圖中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)，正確的是（）A.海拔越高，大氣壓越大B.圖中曲線是反比例函數(shù)的圖象C.海拔4千米時(shí)，大氣壓約為70千帕D.圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個(gè)量之間的變化關(guān)系【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)回答即可．【詳解】解：A．海拔越高，大氣壓越小，該選項(xiàng)不符合題意；B．∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，80)，(4，60)，∴2×80=160，4×60=240，而160≠240，∴圖中曲線不是反比例函數(shù)的圖象，該選項(xiàng)不符合題意；C．∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4，60)，∴海拔為4千米時(shí)，大氣壓約為60千帕，該選項(xiàng)不符合題意；D．圖中曲線表達(dá)了大氣壓和海拔兩個(gè)量之間的變化關(guān)系，該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能正確識(shí)圖．8.如圖，在中，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，若點(diǎn)剛好落在邊上，且，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些的性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，，，，，，，，故選：C．9.如圖，一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與正比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，直線都在直線的上方，當(dāng)時(shí)，直線在x軸上方，于是可得到不等式的解集．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴時(shí)，，∴不等式的解集為．故選D．10.為扎實(shí)推進(jìn)“五育”并舉工作，加強(qiáng)勞動(dòng)教育，某校投入2萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)了一批勞動(dòng)工具．開(kāi)展課后服務(wù)后，學(xué)生的勞動(dòng)實(shí)踐需求明顯增強(qiáng)，需再次采購(gòu)一批相同的勞動(dòng)工具，已知采購(gòu)數(shù)量與第一次相同，但采購(gòu)單價(jià)比第一次降低10元，總費(fèi)用降低了15%．設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則下列方程中正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則第一次采購(gòu)單價(jià)為(x+10)元，根據(jù)單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量，結(jié)合總費(fèi)用降低了15%，采購(gòu)數(shù)量與第一次相同，即可得出關(guān)于x的分式方程．【詳解】解：設(shè)第二次采購(gòu)單價(jià)為x元，則第一次采購(gòu)單價(jià)為(x+10)元，依題意得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．11.如圖，已知直線，與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查的是一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圓上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，勾股定理，求出圓上距離直線最近的點(diǎn)到直線的距離是解決此題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)一次函數(shù)求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用等面積即可求出的值，根據(jù)圓上距離直線最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，即可求得面積的最大值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

令，則，令，則，得，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，根據(jù)勾股定理可得：，則由三角形面積公式得：，，，，圓的半徑圓上點(diǎn)到直線的最大距離是，即，則面積的最大值為：，故選：C．12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)，的圖象上，軸，點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，線段AC與x軸正半軸交于點(diǎn)D．若的面積為8，，則k的值為（）A.2 B.4 C.－2 D.－4【答案】D【解析】【分析】由軸，可知△COD∽△CEA，△COF∽△CEB，設(shè)OC=3c，OF=3b，OD=3a，表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)B在的圖象上，可得bc=①，根據(jù)點(diǎn)的圖象上，可得ac=②，根據(jù)的面積為8，可得4ac+4bc=1③，把①、②代入③即可求出k的值．【詳解】解：設(shè)AB交y軸于點(diǎn)E，BC交x軸于點(diǎn)F，如圖，∵，∴，∵軸，∴△COD∽△CEA，△COF∽△CEB，∴，．設(shè)OC=3c，OF=3b，OD=3a，則CE=8c，OE=5c，BE=8b，AE=8a，AB=8a+8b，∴B(-8b，5c)，A(8a，5c)，∵點(diǎn)B在的圖象上，∴8b×5c=k，∴bc=．∵點(diǎn)的圖象上，∴8a×5c=6，∴ac=．∵的面積為8，∴，∴，∴4ac+4bc=1，∴4+4()=1，解得k=-4，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)參數(shù)表示出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（本題6小題，每題4分，共24分）13.因式分解：______．【答案】【解析】【分析】本題考查綜合運(yùn)用提公因式法和公式法因式分解．先提取公因式，再利用平方差公式因式分解．【詳解】解：原式，故答案為：．14.如圖，已知，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a，則_________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)勾股定理求出即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，∴，故答案為：．15.杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿時(shí)代活力的機(jī)器人，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩(shī)人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”．現(xiàn)有三張杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物卡片，正面圖案如圖所示，背面完全相同，把這三張卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，不放回，再抽取一張，則抽取的這兩張卡片的正面圖案恰好是“琮琮”和“蓮蓮”的概率是________．【答案】【解析】【分析】本題考查列表法與樹(shù)狀圖法．畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及抽取的這兩張卡片的正面圖案恰好是“琮琮”和“蓮蓮”的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【詳解】解：將“宸宸”、“琮琮”和“蓮蓮”分別記為，，，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中抽取的這兩張卡片的正面圖案恰好是“琮琮”和“蓮蓮”的結(jié)果有：，，共2種，抽取的這兩張卡片的正面圖案恰好是“琮琮”和“蓮蓮”的概率為．故答案為：．16.將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)、的度數(shù)分別為、，則的大小為_(kāi)__________【答案】【解析】【分析】設(shè)半圓圓心為O，連OA，OB，則∠AOB＝86°?30°＝56°，根據(jù)圓周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大?。驹斀狻吭O(shè)半圓圓心為O，連OA，OB，如圖，∵∠ACB＝∠AOB，而∠AOB＝86°?30°＝56°，∴∠ACB＝×56°＝28°．故答案為：28°．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．17.如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，則的最小值______．【答案】##【解析】【分析】先求出點(diǎn)，點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則點(diǎn)，連接交與軸于，交于，過(guò)點(diǎn)作軸于，連接，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小，最小值為線段的長(zhǎng)，然后可在中由勾股定理求出，進(jìn)而可得，據(jù)此可得出答案．【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則點(diǎn)，連接交與y軸于，交于，過(guò)點(diǎn)作軸于，連接，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小，最小值為線段的長(zhǎng)．理由如下：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合，點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：，，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：，即：，，，即：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最?。c(diǎn)，，，，，，在中，，，由勾股定理得：，．即為最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，利用軸對(duì)稱求最短路線，圓的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的求出二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，難點(diǎn)是確定當(dāng)為最小時(shí)，點(diǎn)，的位置．18.如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于，交對(duì)角線于，取的中點(diǎn)，連接，，．下列結(jié)論：①；②且；③；④≌；⑤若，則，其中哪些結(jié)論是正確的______．（填序號(hào)）【答案】②③④【解析】【分析】證明，不垂直于，可得與不平行．可得不正確；證明≌，可得，，證明，可得正確；證明，可得正確；證明≌，可得正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，求解，，可得不正確；【詳解】解：在正方形中，，，∵，，四邊形為矩形，在中，，，是中點(diǎn)，，正方形對(duì)角線互相垂直，過(guò)點(diǎn)只能有一條垂直于的直線，不垂直于，與不平行．不正確；四邊形是矩形，，，平分，，，．在中，是的中點(diǎn)，，，，，，而，≌，，，，即，．正確；≌，，，．正確；，，，≌，正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，，，，，，，不正確；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟記各幾何圖形的性質(zhì)與判定并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵.三、解答題（本題共7道題，共78分）19.（1）計(jì)算：（2）解不等式組【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】本題主要考查了求特殊角三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解一元一次不等式組：（1）先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可．（2）先求出每個(gè)不等式的解集，再根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無(wú)解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】解：（1）；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為．20.“賞中華詩(shī)詞，尋文化基因，品文學(xué)之美”，某校舉行了古詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽，了解七年級(jí)學(xué)生對(duì)“古詩(shī)詞”的掌握情況．現(xiàn)從七年級(jí)隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行古詩(shī)詞競(jìng)賽，并將他們的競(jìng)賽成績(jī)（百分制，單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．部分信息如下：【數(shù)據(jù)整理】50名學(xué)生成績(jī)的頻數(shù)分布直方圖如圖所示：（數(shù)據(jù)分成五組：，，，，）【數(shù)據(jù)分析】50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級(jí)m80其中成績(jī)?cè)谶@一組的具體得分是：77，79，76，75，76，73，76，70，77，71，79．根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）在這次測(cè)試中，50名學(xué)生的成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的；（2）成績(jī)?cè)谶@一組的11位學(xué)生得分的中位數(shù)是分，表中m的值為；（3）隨機(jī)抽取50名學(xué)生中，小星競(jìng)賽得分為76分，小紅說(shuō)：本次競(jìng)賽小星屬于中等偏上水平，你是否同意小紅的說(shuō)法？說(shuō)明理由．【答案】（1）46（2）76；78（3）不同意小紅的說(shuō)法，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】本題考查頻數(shù)（率）分布直方圖、中位數(shù)．（1）將頻數(shù)分布直方圖中和這兩組的人數(shù)相加即可得出答案．（2）根據(jù)中位數(shù)的定義可得答案．（3）根據(jù)中位數(shù)的意義判斷即可．【小問(wèn)1詳解】解：由頻數(shù)分布直方圖可知，50名學(xué)生的成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的有（人），∴在這次測(cè)試中，50名學(xué)生的成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的故答案為：46．【小問(wèn)2詳解】解：將成績(jī)?cè)谶@一組的得分按照從小到大排列，則排在第6位的為76分，∴成績(jī)?cè)谶@一組的11位學(xué)生得分的中位數(shù)是76分．∵50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是第25，26個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而把這些數(shù)據(jù)從小到大排列，第25，26個(gè)數(shù)據(jù)分別為77，79，∴，故答案為：76，78．【小問(wèn)3詳解】解：不同意小紅的說(shuō)法．理由：∵50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為78分，，∴本次競(jìng)賽小星屬于中等偏下水平．21.我國(guó)素有“基建狂魔”的稱號(hào)，設(shè)計(jì)并建造了大量的世紀(jì)工程，如三峽大壩及三峽水電工程；秦嶺隧道工程；珠港澳跨海大橋工程……每天的工程建設(shè)都在如火如荼地進(jìn)行著．如圖，某天一臺(tái)塔吊正對(duì)新建的大樓進(jìn)行封頂施工，現(xiàn)在我們將這個(gè)實(shí)際問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)建模抽象成以下數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果工人在樓頂A處測(cè)得吊鉤D處的俯角，測(cè)得塔吊B，C兩點(diǎn)的仰角分別為和，此時(shí)米，塔吊需向A處吊運(yùn)材料．（參考數(shù)值，，）（1）求樓頂A到平衡臂距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）吊鉤D需向右、向上分別移動(dòng)多少米才能將材料送達(dá)A處？（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】（1）米（2）吊鉤D需向右移動(dòng)7米、向上移動(dòng)米才能將材料送達(dá)A處【解析】【分析】本題考查了解直角三角形解決俯角、仰角的實(shí)際應(yīng)用，等腰三角形的判定．正確理解題意是關(guān)鍵．（1）設(shè)交于點(diǎn)F，由題意得米，在中由三角函數(shù)可求得，即樓頂A到平衡臂的距離；（2）由（1）的計(jì)算可求得，在中，由正切關(guān)系可求得，即可求得向上與向右平移的距離．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)交于點(diǎn)F，如圖；由題意知，，∴；∵，∴，∴，∴米；∵，∴在中，（米）；∵樓頂A到平衡臂的距離與的長(zhǎng)度相等，∴樓頂A到平衡臂的距離為米；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，米，，∴（米）；在中，米，∴吊鉤D需向右移動(dòng)7米、向上移動(dòng)米才能將材料送達(dá)A處．22.如圖，中，，以為直徑的圓交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作于于點(diǎn)F，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，要證明是的切線，只要證明即可；（2）連接，在中，求得，，在中，求得，證明，利用相似三角形的性質(zhì)，列式計(jì)算即可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：連接，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線；【小問(wèn)2詳解】解：連接，∵直徑，∴，在中，，，∴，，在中，，，∴，，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，解得，即．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理及其推論、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形等，注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．23.高臺(tái)躍下，凌空旋轉(zhuǎn)，天際中滑翔出優(yōu)美曲線；跳臺(tái)滑雪簡(jiǎn)稱“跳雪”，運(yùn)動(dòng)員沿著助滑道飛速下滑，在起跳點(diǎn)騰空，身體在空中沿拋物線飛行直至著陸坡，主要考核運(yùn)動(dòng)員的飛行距離和動(dòng)作姿勢(shì)．在這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)里，我們可以用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題．如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過(guò)起跳點(diǎn)A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)O正上方50米處的A點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線運(yùn)動(dòng)．飛行中某一時(shí)刻當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離A處的水平距離為60米時(shí)，高出水平線的高度為60米．（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．（2）若運(yùn)動(dòng)員在高出水平線10米的小山坡上著地，求此時(shí)運(yùn)動(dòng)員降落點(diǎn)到A點(diǎn)的水平距離．（3）在（2）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員滑行中與小山坡的豎直距離最大時(shí)，求運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離．【答案】（1）（2）到A點(diǎn)的水平距離120米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距地10米的小山坡上著地（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離50米【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．（1）將代入，求出即可；（2）由題意將代入，解方程即可解決；（3）把代入求出表達(dá)式，從而得出關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可解決．【小問(wèn)1詳解】解：把代入，，解得，∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；【小問(wèn)2詳解】解：由題意得：，解得（舍去），答：到A點(diǎn)的水平距離120米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距地10米的小山坡上著地．【小問(wèn)3詳解】把代入，解得，，，，時(shí)，值最大，答：當(dāng)運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)的水平距離50米．24.綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：四邊形是邊長(zhǎng)為5的菱形，連接．將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，．旋轉(zhuǎn)角為．（1）觀察思考：如圖1，連接，當(dāng)點(diǎn)第一次落在對(duì)角線上時(shí)，__________．（2）探究證明：如圖2，當(dāng)，且時(shí)，與交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．（3）拓展延伸：如圖3，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)與菱形的一邊平行時(shí)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）四邊形是菱形，理由見(jiàn)解析（3）的長(zhǎng)為或．【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，進(jìn)而可得是等邊三角形，即可求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，由旋轉(zhuǎn)可得，，則，進(jìn)而證明，即可得證（3）①當(dāng)時(shí)，如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，勾股定理即可求解；②當(dāng)時(shí)，證明三點(diǎn)共線，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，連接，∵四邊形是菱形，∴垂直平分，∴，∵將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，即，故答案為：．【小問(wèn)2詳解】四邊形是菱形，證明：∵四邊形是菱形，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可得，，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；【小問(wèn)3詳解】①當(dāng)時(shí)，如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，設(shè)，則，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，又，，∴，∴，∴，②如圖所示，當(dāng)時(shí)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴三點(diǎn)共線，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．25.二次函數(shù)交x軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．（1）求二次函