2024-2025學年黑龍江省綏化市安達市第七中學高三下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題試卷含解析

2024-2025學年黑龍江省綏化市安達市第七中學高三下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中，含項的系數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知整數(shù)滿足，記點的坐標為，則點滿足的概率為（）A． B． C． D．3．一個陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.1474．在鈍角中，角所對的邊分別為，為鈍角，若，則的最大值為（）A． B． C．1 D．5．年部分省市將實行“”的新高考模式，即語文、數(shù)學、英語三科必選，物理、歷史二選一，化學、生物、政治、地理四選二，若甲同學選科沒有偏好，且不受其他因素影響，則甲同學同時選擇歷史和化學的概率為A． B．C． D．6．已知邊長為4的菱形，，為的中點，為平面內一點，若，則（）A．16 B．14 C．12 D．87．已知三棱錐的體積為2，是邊長為2的等邊三角形，且三棱錐的外接球的球心恰好是中點，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．“角谷猜想”的內容是：對于任意一個大于1的整數(shù)，如果為偶數(shù)就除以2，如果是奇數(shù)，就將其乘3再加1，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的（）A．6 B．7 C．8 D．99．記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內任取一點,則該點落在區(qū)域的概率為()A． B． C． D．10．設為非零實數(shù)，且，則（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線與雙曲線有相同的焦點.設為拋物線與雙曲線的一個交點，且，則雙曲線的離心率為（）A．或 B．或 C．或 D．或12．設a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體中，為棱的中點，是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為__________．14．已知數(shù)列的前項和公式為，則數(shù)列的通項公式為___．15．如圖,已知，，為的中點，為以為直徑的圓上一動點，則的最小值是_____．16．已知向量，，若，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，將曲線（為參數(shù)）通過伸縮變換，得到曲線，設直線（為參數(shù))與曲線相交于不同兩點，.（1）若，求線段的中點的坐標；（2）設點，若，求直線的斜率.18．（12分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.19．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若，，，求證：.20．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調函數(shù)，試求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，且，求的取值范圍.21．（12分）設函數(shù).（1）解不等式；（2）記的最大值為，若實數(shù)、、滿足，求證：.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）若在定義域內是增函數(shù)，且存在不相等的正實數(shù)，使得，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含項的系數(shù)．【詳解】的展開式通項為，令，得，可得含項的系數(shù)為.故選：B.本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．2．D【解析】

列出所有圓內的整數(shù)點共有37個，滿足條件的有7個，相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù)，所以所有滿足條件的點是位于圓（含邊界）內的整數(shù)點，滿足條件的整數(shù)點有共37個，滿足的整數(shù)點有7個，則所求概率為.故選：.本題考查了古典概率的計算，意在考查學生的應用能力.3．B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題4．B【解析】

首先由正弦定理將邊化角可得，即可得到，再求出，最后根據(jù)求出的最大值；【詳解】解：因為，所以因為所以，即，，時故選：本題考查正弦定理的應用，余弦函數(shù)的性質的應用，屬于中檔題.5．B【解析】

甲同學所有的選擇方案共有種，甲同學同時選擇歷史和化學后，只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可，共有種選擇方案，根據(jù)古典概型的概率計算公式，可得甲同學同時選擇歷史和化學的概率，故選B．6．B【解析】

取中點，可確定；根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的運算法則可求得，利用可求得結果.【詳解】取中點，連接，，，即.，，，則.故選：.本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題，涉及到平面向量的線性運算，關鍵是能夠將所求向量進行拆解，進而利用平面向量數(shù)量積的運算性質進行求解.7．A【解析】

根據(jù)是中點這一條件，將棱錐的高轉化為球心到平面的距離，即可用勾股定理求解.【詳解】解：設點到平面的距離為，因為是中點，所以到平面的距離為，三棱錐的體積，解得，作平面，垂足為的外心，所以，且，所以在中，，此為球的半徑，.故選：A.本題考查球的表面積，考查點到平面的距離，屬于中檔題．8．B【解析】

模擬程序運行，觀察變量值可得結論．【詳解】循環(huán)前，循環(huán)時：，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出．故選：B．本題考查程序框圖，考查循環(huán)結構，解題時可模擬程序運行，觀察變量值，從而得出結論．9．C【解析】

據(jù)題意可知，是與面積有關的幾何概率，要求落在區(qū)域內的概率，只要求、所表示區(qū)域的面積，然后代入概率公式，計算即可得答案．【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示：的圓及內部的平面區(qū)域，面積為，集合，，表示的平面區(qū)域即為圖中的，，根據(jù)幾何概率的計算公式可得，故選：C．本題主要考查了幾何概率的計算，本題是與面積有關的幾何概率模型．解決本題的關鍵是要準確求出兩區(qū)域的面積．10．C【解析】

取，計算知錯誤，根據(jù)不等式性質知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.本題考查了不等式性質，意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.11．D【解析】

設，，根據(jù)和拋物線性質得出，再根據(jù)雙曲線性質得出，，最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關系，從而可得出離心率．【詳解】過分別向軸和拋物線的準線作垂線，垂足分別為、，不妨設，，則，為雙曲線上的點，則，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故選：D.本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡單性質，考查運算求解能力，屬于中檔題．12．C【解析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質求解a,b的范圍，再利用充分必要條件的定義判斷即可．【詳解】由“”，得，得或或，即或或，由，得，故“”是“”的必要不充分條件，故選C．本題考查必要條件、充分條件及充分必要條件的判斷方法，考查指數(shù)，對數(shù)不等式的解法，是基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意畫出幾何題，建立空間直角坐標系，寫個各個點的坐標，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據(jù)題意畫出幾何圖形，以為原點建立空間直角坐標系：設正方體的棱長為1，則所以所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.14．【解析】

由題意，根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和之間的關系，即可求得數(shù)列的通項公式．【詳解】由題意，可知當時，；當時，.又因為不滿足，所以.本題主要考查了利用數(shù)列的通項與前n項和之間的關系求解數(shù)列的通項公式，其中解答中熟記數(shù)列的通項與前n項和之間的關系，合理準確推導是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．15．【解析】

建立合適的直角坐標系,求出相關點的坐標,進而可得的坐標表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出的表達式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標系如圖所示：則點,,,設點,所以,由平面向量數(shù)量積的坐標表示可得,,其中,因為,所以的最小值為.故答案為:本題考查平面向量數(shù)量積的坐標表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結合思想和轉化與化歸能力、運算求解能力;建立直角坐標系,把表示為關于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關鍵;屬于中檔題.16．1【解析】

根據(jù)向量加法和減法的坐標運算,先分別求得與,再結合向量的模長公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因為即,化簡可得解得故答案為:本題考查了向量坐標加法和減法的運算,向量模長的求法,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）由l參數(shù)方程與橢圓方程聯(lián)立可得A、B兩點參數(shù)和，再利用M點的參數(shù)為A、B兩點參數(shù)和的一半即可求M的坐標；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義得到，再利用計算即可，但要注意判別式還要大于0.【詳解】（1）由已知，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），其普通方程為，當時，將（為參數(shù)）代入得，設直線l上A、B兩點所對應的參數(shù)為，中點M所對應的參數(shù)為，則，所以的坐標為；（2）將代入得，則，因為即，所以，故，由得，所以.本題考查了伸縮變換、參數(shù)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，考查學生的計算能力，是一道中檔題.18．特征值為1，特征向量為．【解析】

設出矩陣M結合矩陣運算和矩陣相等的條件可求矩陣M，然后利用可求特征值的另一個特征向量.【詳解】設矩陣M＝，則AM＝，所以，解得，所以M＝，則矩陣M的特征方程為，解得，即特征值為1，設特征值的特征向量為，則，即，解得x＝0，所以屬于特征值的的一個特征向量為．本題主要考查矩陣的運算及特征量的求解，矩陣運算的關鍵是明確其運算規(guī)則，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).19．（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）分、、三種情況解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）利用分析法可知，要證，即證，只需證明即可，因式分解后，判斷差值符號即可，由此證明出所證不等式成立.【詳解】（1）.當時，由，解得，此時；當時，不成立；當時，由，解得，此時.綜上所述，不等式的解集為；（2）要證，即證，因為，，所以，，，.所以，.故所證不等式成立.本題考查絕對值不等式的求解，同時也考查了利用分析法和作差法證明不等式，考查分類討論思想以及推理能力，屬于中等題.20．（1）；（2）.【解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時，的取值范圍；（2）由已知，在區(qū)間內恰有一個零點，轉化為在區(qū)間內恰有兩個零點，由（1）的結論對分類討論，根據(jù)單調性，結合零點存在性定理，即可求出結論.【詳解】（1）由題意得，則，當函數(shù)在區(qū)間上單調遞增時，在區(qū)間上恒成立.∴（其中），解得.當函數(shù)在區(qū)間上單調遞減時，在區(qū)間上恒成立，∴（其中），解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）.由，知在區(qū)間內恰有一個零點，設該零點為，則在區(qū)間內不單調.∴在區(qū)間內存在零點，同理在區(qū)間內存在零點.∴在區(qū)間內恰有兩個零點.由（1）易知，當時，在區(qū)間上單調遞增，故在區(qū)間內至多有一個零點，不合題意.當時，在區(qū)間上單調遞減，故在區(qū)間內至多有一個零點，不合題意，∴.令，得，∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調遞增.記的兩個零點為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.本題考查導數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)的單調性、零點問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于較難題.21．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）采用零點分段法：、、，由此求解出不等式的解集；（2）先根據(jù)絕對值不等式的幾何意義求解出的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】（1）當時，不等式為，解得當時，不等式為，解得當時，不等式為，解得∴原不等式的解集為（2）當且僅當即時取等號，∴，∴∵，∴，∴（當且僅當時取“”）同理可得，∴∴（當且僅當時取“”）本題考查絕對值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式，難度一般.（1）常見的絕對值不等式解法：零點分段法、圖象法、幾何意義法；（2）利用基本不等式完成證明時，注意說明取等號的條件.22．（1）當時，在上遞增，在上遞減；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；當時，在上遞增；當時，在上遞增，在上遞減，在上遞增；（2）證明見解析【解析】

（1）對求導，分，，進行討論，可得的單調性；（2）在定義域內是是增函數(shù)，由（1