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文檔簡介
2024-2025學(xué)年上海師大附中高三下-第三次階段測試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.關(guān)于函數(shù),有下述三個結(jié)論:①函數(shù)的一個周期為;②函數(shù)在上單調(diào)遞增;③函數(shù)的值域為.其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①② B.② C.②③ D.③2.已知函數(shù),,且,則()A.3 B.3或7 C.5 D.5或83.已知直線:()與拋物線:交于(坐標(biāo)原點),兩點,直線:與拋物線交于,兩點.若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.4.設(shè)a=log73,,c=30.7,則a,b,c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.5.函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.6.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,27.已知平面向量,滿足,且,則與的夾角為()A. B. C. D.8.函數(shù)()的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C.2 D.10.設(shè)向量,滿足,,,則的取值范圍是A. B.C. D.11.設(shè),是雙曲線的左,右焦點,是坐標(biāo)原點,過點作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個不同實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在的二項展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則該二項展開式中的常數(shù)項等于_____.14.的展開式中含的系數(shù)為__________.(用數(shù)字填寫答案)15.已知向量,,若滿足,且方向相同,則__________.16.設(shè)實數(shù),若函數(shù)的最大值為,則實數(shù)的最大值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三個解,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)設(shè)直線與曲線交于,兩點,求;(Ⅱ)若點為曲線上任意一點,求的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))和曲線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)在極坐標(biāo)系中,已知點是射線與直線的公共點,點是與曲線的公共點,求的最大值.20.(12分)某保險公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險,現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計,該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費為元,如果參保,保險公司補(bǔ)貼治療費元.某老人年齡歲,若購買該項保險(取中的).針對此疾病所支付的費用為元;若沒有購買該項保險,針對此疾病所支付的費用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項保險是否劃算?21.(12分)在中,角,,的對邊分別為,,,已知.(1)若,,成等差數(shù)列,求的值;(2)是否存在滿足為直角?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.22.(10分)已知三棱柱中,,是的中點,,.(1)求證:;(2)若側(cè)面為正方形,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】
①用周期函數(shù)的定義驗證.②當(dāng)時,,,再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,而,當(dāng)時,再求值域.【詳解】因為,故①錯誤;當(dāng)時,,所以,所以在上單調(diào)遞增,故②正確;函數(shù)的值域等價于函數(shù)的值域,易知,故當(dāng)時,,故③正確.故選:C.本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.2.B【解析】
根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值,可得結(jié)果.【詳解】函數(shù),若,則的圖象關(guān)于對稱,又,所以或,所以的值是7或3.故選:B.本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題,屬基礎(chǔ)題3.D【解析】
設(shè),,聯(lián)立直線與拋物線方程,消去、列出韋達(dá)定理,再由直線與拋物線的交點求出點坐標(biāo),最后根據(jù),得到方程,即可求出參數(shù)的值;【詳解】解:設(shè),,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故選:D本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用,弦長公式的應(yīng)用,屬于中檔題.4.D【解析】
,,得解.【詳解】,,,所以,故選D比較不同數(shù)的大小,找中間量作比較是一種常見的方法.5.C【解析】
先根據(jù)是奇函數(shù),排除A,B,再取特殊值驗證求解.【詳解】因為,所以是奇函數(shù),故排除A,B,又,故選:C本題主要考查函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C.本題考查集合補(bǔ)集的運算,求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義,屬于簡單題.7.C【解析】
根據(jù),兩邊平方,化簡得,再利用數(shù)量積定義得到求解.【詳解】因為平面向量,滿足,且,所以,所以,所以,所以,所以與的夾角為.故選:C本題主要考查平面向量的模,向量的夾角和數(shù)量積運算,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
對x分類討論,去掉絕對值,即可作出圖象.【詳解】故選C.識圖常用的方法(1)定性分析法:通過對問題進(jìn)行定性的分析,從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢,利用這一特征分析解決問題;(2)定量計算法:通過定量的計算來分析解決問題;(3)函數(shù)模型法:由所提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這一函數(shù)模型來分析解決問題.9.D【解析】
把已知等式變形,然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復(fù)數(shù)模的公式計算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.10.B【解析】
由模長公式求解即可.【詳解】,當(dāng)時取等號,所以本題答案為B.本題考查向量的數(shù)量積,考查模長公式,準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.11.B【解析】
設(shè)過點作的垂線,其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應(yīng)方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設(shè)過點作的垂線,其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡得,所以離心率.故選:B.本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解、推理論證能力,屬于中檔題.12.D【解析】
原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根,換元處理令t,對g(t)進(jìn)行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當(dāng)t<2時,g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.此題考查方程的根與函數(shù)零點問題,關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.1【解析】
由題意可得,再利用二項展開式的通項公式,求得二項展開式常數(shù)項的值.【詳解】的二項展開式的中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,,通項公式為,令,求得,可得二項展開式常數(shù)項等于,故答案為1.本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】由題意得,二項式展開式的通項為,令,則,所以得系數(shù)為.15.【解析】
由向量平行坐標(biāo)表示計算.注意驗證兩向量方向是否相同.【詳解】∵,∴,解得或,時,滿足題意,時,,方向相反,不合題意,舍去.∴.故答案為:1.本題考查向量平行的坐標(biāo)運算,解題時要注意驗證方向相同這個條件,否則會出錯.16.【解析】
根據(jù),則當(dāng)時,,即.當(dāng)時,顯然成立;當(dāng)時,由,轉(zhuǎn)化為,令,用導(dǎo)數(shù)法求其最大值即可.【詳解】因為,又當(dāng)時,,即.當(dāng)時,顯然成立;當(dāng)時,由等價于,令,,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,,則,又,得,因此的最大值為.故答案為:本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)對分三種情況討論,分別去掉絕對值符號,然后求解不等式組,再求并集即可得結(jié)果;(2).作出函數(shù)的圖象,當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個公共點時,方程有三個解,由圖可得結(jié)果.【詳解】(1)不等式,即為.當(dāng)時,即化為,得,此時不等式的解集為,當(dāng)時,即化為,解得,此時不等式的解集為.綜上,不等式的解集為.(2)即.作出函數(shù)的圖象如圖所示,當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個公共點時,方程有三個解,所以.所以實數(shù)的取值范圍是.絕對值不等式的解法:法一:利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;法二:利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;法三:通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.18.(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)化簡得到直線的普通方程化為,,是以點為圓心,為半徑的圓,利用垂徑定理計算得到答案.(Ⅱ)設(shè),則,得到范圍.【詳解】(Ⅰ)由題意可知,直線的普通方程化為,曲線的極坐標(biāo)方程變形為,所以的普通方程分別為,是以點為圓心,為半徑的圓,設(shè)點到直線的距離為,則,所以.(Ⅱ)的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以參數(shù)方程為(為參數(shù)),設(shè),,因為,所以,所以.本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19.(1),;(2)【解析】
(1)先將直線l和圓C的參數(shù)方程化成普通方程,再分別求出極坐標(biāo)方程;(2)寫出點M和點N的極坐標(biāo),根據(jù)極徑的定義分別表示出和,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【詳解】解:(1),,即極坐標(biāo)方程為,,極坐標(biāo)方程.(2)由題可知,,當(dāng)時,.本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標(biāo)方程的互化問題,極徑的定義,以及三角函數(shù)的恒等變換,屬于中檔題.20.(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計算參保與不參保時的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險公司每年收取的保費為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購買了此項保險,則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項保險,則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項保險比較劃算.本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語言,為容易題.21.見解析【解析】
(1)因為,,成等差數(shù)列,所以,由余弦定理可得,因為,所以,即,所以.(2)若B為直角,則,,由及正弦定理可得,所以,即,上式兩邊同時平方,可得,所以(*).又,所以,,所以,與(*)矛盾,所以不存在滿足為直角.22.(1)證明見解析(2)【解析】
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