高等代數(shù)試題

孝由前比大葬

教案

2004年3月10日

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第?章基本概念授課類型理論課

1.1集合1?2映射授課時間第一周第1-2節(jié)

教學(xué)目的、要求:

加深對集合和映射概念抽象性的理解，使學(xué)生認(rèn)識到這兩個概念對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要性

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1集合的概念、集合的運算、文氏圖、笛卡爾集

2映射、單映射、滿映射、雙射的概念及例子

3雙射的一個等價條件的定理

通過本講的學(xué)習(xí)，掌握基本概念，了解第一（第二）數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)，會用第一（第

二）數(shù)學(xué)歸納法。

重點：基本概念

難點：雙射的一個等價條件的定理

教學(xué)過程設(shè)計：講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

作業(yè)：P15：5,6,8,9

參考資料：1張禾瑞，郝輛新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。0。年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第一章基本概念授課類型理論課

1?3數(shù)學(xué)歸納法授課時間第一周第3-4節(jié)

教學(xué)目的、要求：

了解以最小數(shù)原理給出第一（第二）數(shù)學(xué)歸納法

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1最小數(shù)原理

2第一（第二）數(shù)學(xué)歸納法

3補充第二數(shù)學(xué)歸納法的例子

通過本講的學(xué)習(xí)，了解第一（第二）數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)，會用第一（第二）數(shù)學(xué)歸納法。

重點：基本概念；第二數(shù)學(xué)歸納法。

難點：第一（第二）數(shù)學(xué)歸納法的理論依據(jù)。

教學(xué)過程設(shè)計：講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

討論和思考：區(qū)分完全歸納法和不完全歸納法

作業(yè)：P18:2,3,5

參考資料：1張禾瑞，郝初新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，200。年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第一章基本概念授課類型理論課

1.4整數(shù)的一些整除性質(zhì)1.5數(shù)環(huán)和數(shù)域授課時間第一周第5-6節(jié)

教學(xué)目的、要求：

理解整數(shù)的整除、最大公因數(shù)、整數(shù)的互素、素數(shù)的概念；掌握七條整除性質(zhì)，五條定理的證明

及應(yīng)用；了解數(shù)環(huán)與數(shù)域的概念。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1整數(shù)的整除、最大公因數(shù)、整數(shù)的互素、素數(shù)的定義及例子

2七條整除性質(zhì)

3帶余除法

4四條定理

5數(shù)環(huán)與數(shù)域的概念

通過本講的學(xué)習(xí)，理解整數(shù)的整除、最大公因數(shù)、整數(shù)的互素、素數(shù)的概念；掌握七條整除

性質(zhì)，五條定理的證明及應(yīng)用。

重點：整數(shù)的整除相關(guān)概念；帶余除法。

難點：1帶余除法定理的證明

2任何數(shù)域都包含有理數(shù)域

教學(xué)過程設(shè)計：講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

討論和思考：如何定義最小公倍數(shù)？如何求最小公倍數(shù)？

作業(yè)：P23：1,2,4P25:1,2,3

參考資料：1張禾瑞，郝綱新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。。。年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2-1-元多項式的定義和運算授課時間第二周第1-2節(jié)

教學(xué)目的、要求：

理解一元多項式的定義和運算的概念；掌握一元多項式次數(shù)定理及兩條推論的證明及應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1一元多項式的定義和運算的概念及例子

2多項式的加法和乘法的運算律

3一元多項式次數(shù)定理及兩條推論

4多項式的乘法消去律

5一元多項式環(huán)

通過木講的學(xué)習(xí)，理解一元多項式的定義和運算的概念；掌握一元多項式次數(shù)定理及應(yīng)用。

重點：理解基本概念；掌握一元多項式次數(shù)定理

難點：多項式的乘法消去律

教學(xué)過程設(shè)計：講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè):

作業(yè)：P31:1,2,3

參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。。0年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?2多項式的整除性授課時間第二周第3-4節(jié)

教學(xué)目的、要求：

理解多項式的整除性的概念，會用多項式的整除性的定義證明七條性質(zhì)；掌握帶余除法定理

證明及應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：1多項式的整除性的概念

2用多項式的整除性的定義證明七條性質(zhì)

3帶余除法定理證明及應(yīng)用

4多項式的系數(shù)域的擴大對整除性的影響

通過本講的學(xué)習(xí)，理解以整數(shù)的整除性為樣本研究多項式的整除性；理解多項式的整除性的

概念，會用多項式的整除性的定義證明七條性質(zhì)；掌握帶余除法定理證明及應(yīng)用。

重點：理解基本概念；帶余除法定理證明及應(yīng)用。

難點：帶余除法定理證明

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

討論和思考：分析帶余除法定理的地位作用

作業(yè):P38:1,2,3,4,6,7

參考資料：1張禾瑞，郝初新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。。。年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?3多項式的最大公因式授課時間第二周第5-6節(jié)

教學(xué)目的、要求:

與整數(shù)類比講清楚最大公因式定義中的兩要素

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：1多項式的最大公因式的概念

2多項式的最大公因式的存在性與唯一性定理

3輾轉(zhuǎn)相余除法及例子

4Bezout定理2?3?2及Bazout等式的求法；定理2?3?2的逆命題不成立及例子

5多項式的互素的概念

4Bezout定理2?3?3及推論甲乙丙

通過本講的學(xué)習(xí)，理解以整數(shù)的整除性為樣本研究多項式的最大公因式及互素；掌握輾轉(zhuǎn)相

除法算法及應(yīng)用。

重點：理解基本概念：多項式公因式的存在性與唯一性定理及Bezout定理。

難點：定理2?3?2的逆命題不成立

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè):

討論和思考：分析輾轉(zhuǎn)相除法的地位作用

作業(yè)：P45:1,2,3,4,6,7,10

參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。。0年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?4多項式的分解授課時間第三周第1-2節(jié)

教學(xué)目的、要求：

理解不可約多項式、可約多項式的概念；掌握不可約多項式的三條性質(zhì)、兩條主要定理（唯

一因式分解定理）的證明及應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：1不可約多項式、可約多項式的概念及例子

2不可約多項式的三條性質(zhì)

3因式分解的存在性與惟一性定理

4多項式的典型分解式及最大公因式、最小公倍式的求法

通過本講的學(xué)習(xí)，理解不可約多項式、可約多項式的概念；掌握不可約多項式的三條性質(zhì)、

兩條主要定理（唯?因式分解定理）的證明及應(yīng)用。

重點：兩條主要定理（唯一因式分解定理）的證明及應(yīng)用。

難點：多項式的可約性與系數(shù)域有關(guān)

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

作業(yè)：P56:1,2,3,4,6

參考資料：1張禾瑞，郝輛新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2000年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2-4多項式的分解（續(xù)）授課時間第三周第3-4節(jié)

教學(xué)目的、要求:

補充多項式標(biāo)準(zhǔn)分解式的應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：1用多項式標(biāo)準(zhǔn)分解式的兩多項式整除的充分必要條件

2用多項式標(biāo)準(zhǔn)分解式求兩多項式最大公因式

3用多項式標(biāo)準(zhǔn)分解式求兩多項式最小公倍式

4用多項式標(biāo)準(zhǔn)分解式的兩多項式互素的充分必要條件

通過本講的學(xué)習(xí)，解決2?3的部分習(xí)題

重點：唯一因式分解定理應(yīng)用。

難點：唯一因式分解定理有廣泛應(yīng)用

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè):

作業(yè)：P56:3,5P48:6,8,12』3

參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。。0年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?5重因式授課時間第三周第5-6節(jié)

教學(xué)目的、要求：

理解重因式、多項式的導(dǎo)數(shù)的概念；掌握多項式有無重因式的兩條定理。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1重因式、多項式的導(dǎo)數(shù)、多項式的根的概念及例子

2多項式有無重因式的兩條定理、

重點：理解基本概念；多項式?jīng)]有重因式的充分必要條件

難點：多項式的系數(shù)域的擴大對是否有重因式?jīng)]有影響

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

作業(yè)：P59:2,3,4,5

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?6多項式函數(shù)多項式的根授課時間第四周第1-2節(jié)

教學(xué)目的、要求：

理解多項式的根的概念；掌握余式定理、綜合除法、多項式的根與?次因式的關(guān)系、多項式

的根個數(shù)不超過次數(shù)、兩多項式恒等的一個條件、Lagrange插值公式的證明及應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1多項式的根的概念及例子

2余數(shù)定理、綜合除法

3多項式的根與一次因式的關(guān)系

4多項式的根個數(shù)不超過次數(shù)、兩多項式恒等的一個條件

5Lagrange插值公式

重點：理解基本概念；余數(shù)定理、多項式的根個數(shù)不超過次數(shù)定理的證明。

難點：綜合除法及應(yīng)用

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

作業(yè):P65:1,2,3,5,4,7

參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2000年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?7復(fù)數(shù)和實數(shù)域上多項式授課時間第四周第3-4節(jié)

教學(xué)目的、要求:

掌握代數(shù)基本定理的應(yīng)用、復(fù)數(shù)（實數(shù)）系數(shù)多項式的性質(zhì)、復(fù)數(shù)系數(shù)多項式的根與系數(shù)的

關(guān)系、實數(shù)系數(shù)一元多項式的因式分解定理。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：1代數(shù)基本定理的應(yīng)用

2復(fù)數(shù)（實數(shù)）系數(shù)多項式的性質(zhì)

3復(fù)數(shù)系數(shù)多項式的根與系數(shù)的關(guān)系

4實數(shù)系數(shù)一元多項式的因式分解定理

重點：代數(shù)基本定理的應(yīng)用、復(fù)數(shù)系數(shù)多項式的根與系數(shù)的關(guān)系、實數(shù)系數(shù)?元多項式的

因式分解定理。

難點：復(fù)數(shù)系數(shù)多項式的根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

作業(yè)：P71:l,2,3,4

參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。。。年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?7復(fù)數(shù)和實數(shù)域上多項式（續(xù)）授課時間第四周第5-6節(jié)

教學(xué)目的、要求：

補充復(fù)數(shù)系數(shù)多項式的根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用、實數(shù)系數(shù)一元多項式的因式分解

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：1已知三次、四次方程根的部分信息利用根與系數(shù)的關(guān)系解方程

2實系數(shù)二次多項式的不可約性的一個充分必要條件

3實數(shù)系數(shù)一元多項式的因式分解：先求復(fù)根再回到實系數(shù)的一次多項式或二次因式的

乘積

重點：主要定理的應(yīng)用

難點：綜合應(yīng)用

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè):

作業(yè)：若干補充題

參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。0。年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?6有理數(shù)域上多項式授課時間第五周第1-2節(jié)

教學(xué)目的、要求:

掌握有理數(shù)域上多項式的性質(zhì)、Eisenstein判別法、有有理數(shù)根的必要條件。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1本原多項式的概念

2有理數(shù)域上多項式的性質(zhì)

3Eisenstein判別法

4有有理數(shù)根的必要條件

重點：Eisenstein判別法、有有理數(shù)根的必要條件。

難點：Eisenstein判別法、有有理數(shù)根的必要條件

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè):

作業(yè)：P80：1,2,3,4

參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，200。年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?6有理數(shù)域上多項式（續(xù)）授課時間第五周第3-4節(jié)

教學(xué)目的、要求:

掌握有理數(shù)域上多項式的因式分解、Eisenstein判別法、求有理數(shù)根及綜合除法。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1證明一類數(shù)為無理數(shù)

2有理根問題

3Eisenstein判別法

重點：Eisenstein判別法、有有理數(shù)根的必要條件。

難點：Eisenstein判別法、有有理數(shù)根的必要條件

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè):

作業(yè)：P80：1,2,3,4

參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，200。年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2-9多元多項式授課時間第五周第5-6節(jié)

教學(xué)目的、要求：

了解多元多項式的概念，多元多項式的字典排列法，多元多項式乘法的首項定理，多元多項式乘

法的次數(shù)定理。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）:

基本內(nèi)容：

1多元多項式的概念

2多元多項式的字典排列法

3多元多項式乘法的首項定理

4多元多項式乘法的次數(shù)定理

5多元多項式看作函數(shù)

重點：多元多項式的字典排列法

難點：多元多項式看作函數(shù)

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

討論和思考：多元多項式的帶余除法是否成立？

作業(yè)：P92:2,3,4,5

1.參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。。0年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?10對稱多項式授課時間第六周第1-2節(jié)

教學(xué)目的、要求：

理解對稱多項式的概念；掌握對稱多項式的基本定理及應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1置換、對稱多項式、初等對稱多項式

2對稱多項式的基本定理及應(yīng)用

3用初等對稱多項式表示對稱多項式的兩種算法

重點：對稱多項式的基本定理及應(yīng)用

難點：初等對稱多項式表示對稱多項式的兩種算法

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

作業(yè)：P102:1,2,3,4

參考資料：1張禾瑞，郝挹新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2。。。年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：第二章多項式授課類型理論課

2?10對稱多項式（續(xù)）授課時間第六周第3-4節(jié)

教學(xué)目的、要求：

理解對稱多項式的概念；掌握對稱多項式的基本定理及應(yīng)用。

教學(xué)內(nèi)容（包括基本內(nèi)容、重點、難點）：

基本內(nèi)容：

1補充根與系數(shù)的關(guān)系和對稱多項式的一個應(yīng)用

重點：對稱多項式的基本定理及應(yīng)用

難點：初等對稱多項式表示對稱多項式的兩種算法

教學(xué)過程設(shè)計：

講授、練習(xí)

思考題、討論題、作業(yè)：

作業(yè)：P102:1,2,3,4

參考資料：1張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001.

2張賢科，許甫華，清華大學(xué)出版社，2000年1月

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）:授課類型理論課

第三章行列式3.1線性方程組和行列式第7周第1?2節(jié)

授課時間

3.2排列

教學(xué)目的、要求：

了解二元（三元）一次方程組的解與二階（三階）行列式的關(guān)系；掌握排列、對換的定

義與基本性質(zhì)。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

[a..x+a.y=b.nn

基本內(nèi)容：1.二元一次方程組112?的解可以寫成x==的形式;

[a2lx+a22y=b2DD

2.三元一次方程組的解也可以類似的寫出來；

3.N元排列、反序及奇偶性的定義；

4.對換的定義及對換的兩個基本性質(zhì)：

a）任一個N元排列可以通過對換得出自然排列12……N；

b）每一次對換都改變排列的奇偶性；

5.N元排列中的奇排列和偶排列的個數(shù)都是N!/2o

重點：排列的奇偶性與對換的關(guān)系，排列的反序數(shù)。

難點：理解二元（三元）一次方程組的解與二階（三階）行列式的關(guān)系。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P110：1,2,3

參考資料：

[1]張禾瑞，郝綱新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）:授課類型理論課

第三章行列式

第7周第3?4節(jié)

3.3n階行列式授課時間

教學(xué)目的、要求：

理解和掌握n階行列式的定義和性質(zhì)；能應(yīng)用行列式的定義和性質(zhì)來計算或證明有關(guān)的

行列式。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.從三階行列式的展開式開始引出n階行列式的定義；

2.比較n階行列式的三種定義：行排列定義、列排列定義以及全排列定義；

3.根據(jù)定義計算出簡單的行列式的值：如上三角、下三角及對角形行列式等；

4.講解行列式的第一個性質(zhì)：行列互換，行列式的值不變。

5.講解行列式的第二個性質(zhì)：交換行列式的兩行或兩列，行列式改變符號。

重點：掌握行列式的基本性質(zhì)及簡單的計算方法。

難點：掌握行列式的三種定義的區(qū)別與聯(lián)系。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P121：1,2,3,4

參考資料：

[1]張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：授課類型理論課

第三章行列式第7周第5~6節(jié)

授課時間

3.3n階行列式

教學(xué)目的、要求：

理解和掌握n階行列式的定義和性質(zhì)；能應(yīng)用行列式的定義和性質(zhì)來計算或證明有關(guān)的

行列式。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.講解行列式的第三個性質(zhì)：若一個行列式有兩行（列）完全相同，則這個行

列式等于零；

2.第四個性質(zhì)是：把行列式的某一行（列）所有元素同乘以某個數(shù)k,等于以

k乘這個行列式；

3.第五個性質(zhì)是：一個行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列

式的外面；

4.第六個性質(zhì)是：如果一個行列式中有一行（列）的元素全為零，則這個行列

式等于零；

5.第七個性質(zhì)是：如果一個行列式中有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，則這個

行列式等于零。

6.第八個性質(zhì)是：把行列式的某一行（列）的元素同乘以一個數(shù)后加到另一行

（列）的對應(yīng)元素上，行列式不變；

7.舉例運用行列式的基本性質(zhì)來計算或證明。

重點：掌握行列式的眾多基本性質(zhì)并學(xué)會靈活應(yīng)用。

難點：理解行列式的基本性質(zhì)并運用它來解題。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P122：5,6,7,8

參考資料：

[1]張禾瑞，郝綱新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：授課類型理論課

第三章行列式第8周第1?2節(jié)

授課時間

3.4子式和代數(shù)余子式行列式的依行依列展開

教學(xué)目的、要求：

掌握行列式的k階子式、k階子式的余子式和代數(shù)余子式的概念：了解拉普拉斯定理;

掌握行列式的依行依列展開。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.舉例說明三階行列式的計算可以化為二階行列式的計算：

a\\a\2a\3

aaaaa

2223\2。13\2\3

a2\a22〃23=?ll~a2i+〃31

aa

32〃33以32。3322。23

aa

3\32。33

2.引出行列式的k階子式的定義和一些簡單例子；

3.行列式的k階子式的余子式的定義和一些簡單例子；

4.行列式的k階子式的代數(shù)余子式的定義和?些簡單例子；

5.行列式的依行依列展開定理（乘對定理）：行列式的值等于它的任一行（列）

的所有元素與它們的相應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。

重點：行列式的依行依列展開定理的理解和運用。

難點：理解行列式的k階子式和其代數(shù)余子式。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P134：1,2

參考資料：

[1]張禾瑞，郝綱新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：授課類型理論課

第三章行列式第8周第3?4節(jié)

授課時間

3.4子式和代數(shù)余子式行列式的依行依列展開

教學(xué)目的、要求：

掌握行列式的k階子式、k階子式的余子式和代數(shù)余子式的概念：了解拉普拉斯定理；

掌握行列式的依行依列展開。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.仔細講解行列式的乘錯定理：在行列式中，某一行（列）的元素與另外一行

（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零：

+ai2Aj2+---+ainAjn=0,i^j

+。2八，+...+%/“，=°，s=t

2.分析行列式的乘對乘錯定理的區(qū)別與聯(lián)系；

3.引出拉普拉斯定理，僅供同學(xué)們了解：

4.根據(jù)行列式的依行依列展開定理，計算或證明行列式的值：常用的方法是把

某一行（列）的元素化為只含一個非零元素，再按照這一行（列）展開，從而

把n階降為n-1階；

5.計算著名的范德蒙行列式并把它當(dāng)成公式記住。

重點：行列式的乘對乘錯定理的理解和靈活應(yīng)用。

難點：范德蒙行列式的計算。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P134：2,3

參考資料：

[1]張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：授課類型理論課

第三章行列式第8周第5~6節(jié)

授課時間

附加：行列式的基本計算方法

教學(xué)目的、要求：

介紹行列式的三種變換；通過一些比較典型的例題分析和習(xí)題講解，掌握行列式計算中

的一些技巧；培養(yǎng)分析問題和解決問題的綜合能力。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.介紹行列式的三種變換：（1）交換兩行（列）；（2）倍法變換；（3）消法變

換；

2.在掌握好行列式的基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，針對行列式的結(jié)構(gòu)特點，選取適當(dāng)?shù)?/p>

解題方法，能較快地求出行列式的值。常用的方法有：

（1）化成已經(jīng)熟悉的行列式來計算；

（2）降階法；

（3）拆項法；

（4）加邊法；

（5）遞推法；

（6）數(shù)學(xué)歸納法；

3.選取典型例題，講解主要方法及思路。

重點：使用行列式的基本性質(zhì)來計算或證明行列式的值。

難點：加邊法與遞推法的掌握。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

參考文獻【2】中的所有習(xí)題和思考題。

參考資料：

[1]張禾瑞，郝劍新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：授課類型理論課

第三章行列式第9周第1?2節(jié)

授課時間

3.5克拉默規(guī)則

教學(xué)目的、要求：

掌握克拉默規(guī)則的基本內(nèi)容并能運用；學(xué)會用線性方程組的系數(shù)行列式的值來判定該方

程組的解的情況。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.講解克拉默規(guī)則：在一個含n個未知數(shù)和n個方程的線性方程組

a\\Xl+/2》2+…+=仇

+ax+---+ax?=%

2222n中，若它的行列式DH0,則方程組有唯

內(nèi)+%2々+…+&3"=2

????,乙=卷，其中是把D的第j列

一解為：x,=x2=d,

元素?fù)Q成方程組的常數(shù)列而得到的n階行列式。

2.舉例說明克拉默規(guī)則的用途與注意事項；

3.說明克拉默規(guī)則的應(yīng)用范圍。

重點：怎么更好的應(yīng)用克拉默規(guī)則。

難點：求所有行列式D、D：D?、…、D,,的值且代入公式計算。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P140：1,2,3

參考資料：

[1]張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：授課類型理論課

第三章行列式

第9周第3?4節(jié)

本早小結(jié)授課時間

教學(xué)目的、要求：

回顧本章主要內(nèi)容：n階行列式的定義與基本性質(zhì)、n階行列式的計算與證明、克拉默

規(guī)則；通過一些典型例題分析和習(xí)題訓(xùn)練，培養(yǎng)分析問題和解決問題的綜合能力。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.重點說明n階行列式的定義，并比較三種定義的異同；

2.全面復(fù)習(xí)行列式的基本性質(zhì)，記住一些基本特殊行列式的計算值；

3.提出子式、余子式與代數(shù)余子式的概念，并引出行列式的依行依列展開定理,

了解拉普拉斯定理；

4.掌握行列式的基本計算和證明方法，并加強訓(xùn)練；

5.掌握克拉默規(guī)則及其運用。

重點：掌握行列式的基本性質(zhì)、基本計算與證明方法。

難點：行列式的定義，依行依列展開定理的理解。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

本章的所有習(xí)題。

參考資料：

[1]張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：授課類型理論課

第四章線性方程組

第9周第5?6節(jié)

4.1消元法授課時間

教學(xué)目的、要求：

掌握線性方程組的初等變換、矩陣的初等變換概念：理解線性方程組的初等變換是同解

變換，以及線性方程組的初等變換可用增廣矩陣的相應(yīng)的行初等變換代替；熟練的掌握用消

元法解線性方程組，以及判定線性方程組有沒有解與解的個數(shù)問題。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.在討論一般的含n個未知數(shù)和m個方程的線性方程組時，通常采用消元法;

2.先舉一個簡單的含3個未知數(shù)和3個方程的例題，用消元法來解；

3.引出線性方程組的三種初等變換：（1）換位變換；（2）倍法變換；（3）消法

變換；

4.講解定理1：初等變換把一個線性方程組變?yōu)橐粋€與它同解的線性方程組。

并解釋消元法的本質(zhì)；

5.介紹矩陣、系數(shù)矩陣、增廣矩陣的定義，并比較矩陣與行列式的異同；

6.引出矩陣的三種初等變換的定義。

重點：線性方程組和矩陣的三種初等變換。

難點：掌握消元法的本質(zhì)。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P152：1,2

參考資料:

[1]張禾瑞，郝輛新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：|授課類型|理論課

第四章線性方程組

第10周第1?2節(jié)

4.1消元法授課時間

教學(xué)目的、要求：

掌握線性方程組的初等變換、矩陣的初等變換概念；理解線性方程組的初等變換是同解

變換，以及線性方程組的初等變換可用增廣矩陣的相應(yīng)的行初等變換代替；熟練的掌握用消

元法解線性方程組，以及判定線性方程組有沒有解與解的個數(shù)問題。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.介紹階梯型矩陣的定義，并舉例說明；

2.事實：任一個非零矩陣總可以通過行初等變換化成一個階梯型矩陣；

3.講解定理2：任一個矩陣A總可以通過行初等變換和第一種列初等變換把A

化成主對角線上元素為1的階梯型矩陣；

4.講解定理3：線性方程組的解的判定定理；

5.線性方程組的一般解可以由自由未知量表示出來；

6.舉例說明定理3的應(yīng)用：判定線性方程組的解的情況，并在有解時求出?般

解的表示式。

重點：掌握行列式的基本性質(zhì)及簡單的計算方法。

難點：掌握行列式的三種定義的區(qū)別與聯(lián)系。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P152：3,4

參考資料：

[1]張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：I授課類型I理論課

第四章線性方程組

第10周第3?4節(jié)

4.2矩陣的秩線性方程組可解的判別法授課時間

教學(xué)目的、要求：

能熟練地用初等變換化簡矩陣，求出它的秩；能用矩陣的秩判定線性方程組是否有解以

及有多少個解，并能用矩陣的初等變換或克拉默規(guī)則，熟練地求出線性方程組的解。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.介紹矩陣的秩的定義，并舉例說明；

2.事實：若對矩陣A施行某一種初等變換后得到矩陣B,則可以對B施行同一

種初等變換得到A；

3.講解定理1：初等變換不改變矩陣的秩；

4.講解定理2：線性方程組有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有

相同的秩，這是線性方程組可解的判別法；

5.根據(jù)以上定理，很快得到線性方程組的解的個數(shù)的判別法，就是定理3：若

線性方程組有解，則（1）當(dāng)系數(shù)矩陣的秩＜n時，該方程組有無窮多解；（2）

當(dāng)系數(shù)矩陣的秩等于n時，該方程組有唯一解；

6.舉例說明怎樣求矩陣的秩。

重點：線性方程組有解的充分必要條件與有解時解的個數(shù)判別。

難點：帶參數(shù)的線性方程組的解的判定。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P159：2,3,4,5,6

參考資料：

[1]張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：I授課類型I理論課

第四章線性方程組

第10周第5?6節(jié)

4.3線性方程組的公式解授課時間

教學(xué)目的、要求：

理解線性方程組的公式解的推理、演算過程；掌握齊次線性方程組和非齊次線性方程組

的區(qū)別與聯(lián)系；掌握對含有參數(shù)的線性方程組有解、無解的討論的一般方法。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.了解簡化?個線性方程組的過程，并理解線性方程組和簡化后的線性方程組

同解的原因；

2.講解定理1：若線性方程組有解，且其系數(shù)矩陣的秩等于r,則可以在原m

個方程里選出r個方程，使得它們同解；

3.在定理1中，若出現(xiàn)r=n的情況時，該線性方程組便可以用克拉默規(guī)則來解，

其解的公式就是克拉默規(guī)則中的解；

4.舉例說明怎么判斷和求出線性方程組的公式解；

重點：線性方程組的同解簡化。

難點：線性方程組的公式解的求法。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P168：1,2

參考資料：

[1]張禾瑞，郝綱新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年。

《高等代數(shù)》課程教案

授課題目（教學(xué)章、節(jié)或主題）：I授課類型I理論課

第四章線性方程組

第11周第1?2節(jié)

4.3線性方程組的公式解授課時間

教學(xué)目的、要求：

理解線性方程組的公式解的推理、演算過程；掌握齊次線性方程組和非齊次線性方程組

的區(qū)別與聯(lián)系；掌握對含有參數(shù)的線性方程組有解、無解的討論的一般方法。

教學(xué)內(nèi)容：（包括基本內(nèi)容、重點、難點）

基本內(nèi)容：1.一般來說，求線性方程組的公式解總是比較麻煩的，因而在實際問題中，經(jīng)

常使用矩陣消元法；

2.了解齊次線性方程組的定義和例子；

3.齊次線性方程組一定有解一一零解；

4.講解定理2（齊次線性方程組有非零解的判定定理1）：齊次線性方程組有非

零解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣的秩小于它的未知量的個數(shù)；

5.齊次線性方程組有非零解的判定定理2：齊次線性方程組有非零解的充分必

要條件是其系數(shù)行列式等于零；

6.齊次線性方程組有非零解的判定定理3：在齊次線性方程組中，若方程的個

數(shù)小于未知量的個數(shù)，則該方程組一定有非零解。

重點：掌握齊次線性方程組解的判定定理。

難點：掌握帶參數(shù)的線性方程組的解的討論。

教學(xué)手段與方法：

講授，練習(xí)

思考題、作業(yè)：

P168：3,4,5

參考資料：

[1]張禾瑞，郝^新編，《高等代數(shù)（第四版）》，高等教育出版社，2001年。

[2]李師正等編，《高等代數(shù)解題方法與技巧》，高等教育出版社，2004年。

[3]華南師大數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》，華南理工大學(xué)出版社，1994年。

[4]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等代數(shù)》（第二版），高等教育出版社，1995年