《高等代數(shù)》考試大綱

《高等代數(shù)》考試大綱（適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)）第一章

基本概念一.主要內(nèi)容1、集合

子集集的相等集合的交與并及其運(yùn)算律笛卡兒積2、映射

映射滿射單射雙射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要條件3、數(shù)學(xué)歸納法

自然數(shù)的最小數(shù)原理

第一數(shù)學(xué)歸納法

第二數(shù)學(xué)歸納法4、整數(shù)的一些整除性質(zhì)5、數(shù)環(huán)和數(shù)域二.

考試要求（一）掌握1、集合的交與并及其運(yùn)算律2、

映射滿射單射雙射映射的相等映射的合成3、數(shù)環(huán)和數(shù)域的定義及性質(zhì)4、數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用（二）理解1、集合的交與并及其運(yùn)算律

2、可逆映射映射可逆的充要條件3、數(shù)環(huán)和數(shù)域的判別（三）了解

自然數(shù)的最小數(shù)原理

第一數(shù)學(xué)歸納法、第二數(shù)學(xué)歸納法的證明整數(shù)的一些整除性質(zhì)第二章多項(xiàng)式一.

主要內(nèi)容1、一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算2、多項(xiàng)式的整除性

整除的基本性質(zhì)

帶余除法定理3、多項(xiàng)式的最大公因式

最大公因式概念、性質(zhì)輾轉(zhuǎn)相除法多項(xiàng)式互素概念、性質(zhì)4、多項(xiàng)式的唯一因式分解定理

不可約多項(xiàng)式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多項(xiàng)式的重因式

多項(xiàng)式的重因式概念多項(xiàng)式有重因式的充要條件6、多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根

多項(xiàng)式函數(shù)的概念余式定理綜合除法多項(xiàng)式的根的概念

根與一次因式的關(guān)系多項(xiàng)式根的

個數(shù)7、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解（代數(shù)基本定理不證明）8、有理數(shù)域上多項(xiàng)式的可約性及有理根

本原多項(xiàng)式的定義Gauss引理整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的可約性問題Eisenstein判別法

有理數(shù)域上多頂式的有理根9、多元多項(xiàng)式

多元多項(xiàng)式的概念字典排列法多元多項(xiàng)式的和與積的次數(shù)10、對稱多項(xiàng)式

對稱多項(xiàng)式的概念初等對稱多項(xiàng)式對稱多項(xiàng)式基本定理二.

考試要求（一）掌握1、一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算

2、整除的基本性質(zhì)

帶余除法定理

3、最大公因式概念、性質(zhì)輾轉(zhuǎn)相除法多項(xiàng)式互素概念、性質(zhì)

4、唯一因式分解定理典型分解式

5、多項(xiàng)式的重因式概念多項(xiàng)式有重因式的充要條件6、余式定理綜合除法多項(xiàng)式的根的概念

7、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解有理數(shù)域上多頂式的有理根

（二）理解1、不可約多項(xiàng)式概念2、多項(xiàng)式的重因式概念3、多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根4、多項(xiàng)式函數(shù)的概念5、本原多項(xiàng)式的定義

Gauss引理6、整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上的可約性問題Eisenstein判別法（三）了解1、對稱多項(xiàng)式的概念2、多元多項(xiàng)式的概念3、多元多項(xiàng)式的概念字典排列法初等對稱多項(xiàng)式對稱多項(xiàng)式基本定理三.

說明

本章主要介紹數(shù)域上一元多項(xiàng)式的概念及其運(yùn)算、整除性、因式分解和有理系數(shù)多項(xiàng)式有理根的求法，簡單介紹了多元多項(xiàng)式及對稱多項(xiàng)式。多項(xiàng)式理論是高等代數(shù)的重要內(nèi)容，是中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)知識的加深和擴(kuò)充，是學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)分支的必要基礎(chǔ)。第三章

行列式一.

主要內(nèi)容1、二階和三階行列式的結(jié)構(gòu)2、排列

排列的概念反序數(shù)及排列的奇偶性對換及其對排列奇偶性的影響3、n階行列式的定義和性質(zhì)4、行列式依行依列展開

余子式與代數(shù)余子式的概念行列式依行依列展開

Vandermonde行列式5、Cramer規(guī)則6、Laplace定理二.

考試要求（一）掌握1、排列的逆序數(shù)的求法2、用對角線法則計(jì)算

2階和3階行列式3、行列式依行依列展開公式，Vandermonde行列式4、運(yùn)用行列式的性質(zhì)以及降階和三角化的方法，熟練地計(jì)算行列式5、Cramer規(guī)則，用Cramer規(guī)則解線性方程組（二）理解1、排列、排列的逆序數(shù)及奇偶排列的概念2、n階行列式的定義和性質(zhì)3、余子式與代數(shù)余子式的概念及性質(zhì)4、用克拉默法則判定線性方程組解的存在性、唯一性（三）了解1、對換及其對排列奇偶性的影響2、Laplace定理三.說明

行列式是線性方程組理論的一個重要組成部分，是中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的提高和推廣，也是一種重要的數(shù)學(xué)工具。第四章

線性方程組一.主要內(nèi)容1、線線方程組的消元法

線性方程組的初等變換方程組的一般解和自由未知量系數(shù)矩陣和增廣矩陣2、矩陣的秩k階子式矩陣秩的定義初等變換不改變矩陣的秩用初等變換求矩陣的秩3、線性方程組有解的判別法

線性方程組有解判別定理及解的個數(shù)定理4、線性方程組的公式解

線性方程組的公式解

齊次線性方程組及其非零解的概念齊次線性方程組有非零解的充要條件5、結(jié)式和判別式

結(jié)式

判別式二元高次方程組的解法二.

考試要求（一）掌握1、線性方程組的初等變換方程組的一般解和自由未知量系數(shù)矩陣和增廣矩陣2、k階子式矩陣秩的定義初等變換不改變矩陣的秩用初等變換求矩陣的秩3、線性方程組有解判別定理及解的個數(shù)定理4、用矩陣的初等變換求解線性方程組（二）理解

線性方程組的公式解齊次線性方程組及其非零解的概念

齊次線性方程組有非零解的充要條件（三）了解

結(jié)式判別式二元高次方程組的解法三.

說明

本章在理論上解決了線性方程組有解的判定，解的個數(shù)及求法，對中學(xué)數(shù)學(xué)有直接的指導(dǎo)意義。此外，它在本課程及數(shù)學(xué)的其它分支、生產(chǎn)實(shí)踐及其它學(xué)科都有廣泛應(yīng)用。第五章矩陣一.

主要內(nèi)容1、矩陣的運(yùn)算

矩陣的加法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置單位矩陣2、逆矩陣

可逆矩陣及逆矩陣的概念可逆矩陣的性質(zhì)求逆矩陣的公式3、初等矩陣

初等矩陣與初等變換的關(guān)系可逆矩陣的判定用初等變換求逆矩陣4、矩陣乘積的行列式與秩5、矩陣的分塊矩陣的分塊分塊矩陣的加法、數(shù)乘及乘法對角線分塊矩陣二

.考試要求（一）掌握1、矩陣的加法乘法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其基本性質(zhì)熟練地對矩陣進(jìn)行運(yùn)算2、可逆矩陣及逆矩陣的概念與性質(zhì)可逆矩陣的判定求逆矩陣的公式；3、初等矩陣與初等變換的關(guān)系用初等變換求逆矩陣4、矩陣的秩的求法5、幾類特殊分塊矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)（二）理解1、矩陣的概念矩陣的秩的定義分塊矩陣的概念2、矩陣乘積的行列式與秩（三）了解1、了解一些特殊矩陣及其性質(zhì)2、了解分塊矩陣運(yùn)算的目的及方法三

.說明

矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對象，它是數(shù)學(xué)及其它學(xué)科的一個重要工具。本章主要介紹矩陣的運(yùn)算及其基本性質(zhì)。第六章

向量空間一.

主要內(nèi)容1、向量空間的定義、例子及簡單性質(zhì)。2、子空間

子空間的定義及充要條件子空間的交與和3、向量組的線性相關(guān)性

線性相關(guān)線性無關(guān)替換定理及其推論等價的向量組及其性質(zhì)，極大無關(guān)組及其性質(zhì)。4、基和維數(shù)

生成子空間基和維數(shù)的定義基的性質(zhì)維數(shù)公式5、子空間的直和

直和的定義及充要條件。6、坐標(biāo)

坐標(biāo)的定義過渡矩陣基變換公式坐標(biāo)變換公式7、向量空間的同構(gòu)

同構(gòu)映射的定義與性質(zhì)向量空間同構(gòu)的定義與充要條件8、齊次線性方程組的解空間

矩陣的行（列）空間齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系9、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。二.

考試要求（一）掌握1、向量空間的定義、例子及簡單性質(zhì)。2、線性相關(guān)線性無關(guān)

替換定理及其推論等價的向量組及其性質(zhì)，極大無關(guān)組及其性質(zhì)。3、生成子空間基和維數(shù)的定義基的性質(zhì)維數(shù)公式4、坐標(biāo)的定義過渡矩陣基變換公式坐標(biāo)變換公式5、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系6、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)。（二）理解1

、子空間的定義及充要條件子空間的交與和2、直和的定義及充要條件。3、同構(gòu)映射的定義與性質(zhì)向量空間同構(gòu)的定義與充要條件三.

說明

向量空間的理論是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，它在自然科學(xué)和工程技術(shù)的許多領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。本章主要介紹向量空間的概念與性質(zhì)。第七章線性變換一

.主要內(nèi)容1、線性變換的定義及其簡單性質(zhì)2、線性變換的象與核

線性變換的象與核的定義及其基與維數(shù)的求法3、線性變換的運(yùn)算

線性變換的加法、數(shù)乘與乘法，可逆線性變換及其逆變換4、線性變換和矩陣

線性變換的矩陣向量的象的坐標(biāo)公式線性變換與矩陣的同構(gòu)對應(yīng)5、矩陣的相似

定義同一線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系6、不變子空間7、特征根、特征向量、特征多項(xiàng)式

特征根、特征向量及特征子空間的定義、求法矩陣的跡和行列式同特征根的關(guān)系相似矩陣的特征

多項(xiàng)式8、可對角化的矩陣二

.考試要求（一）掌握1、線性變換的矩陣、向量的象的坐標(biāo)公式、線性變換的矩陣表示法的關(guān)系對應(yīng)2、同一線性變換關(guān)于不同基的矩陣之間的關(guān)系3、特征根、特征向量的定義、相似矩陣的特征多項(xiàng)式的定義及求法4、矩陣可對角化的條件及對角化的方法（二）理解1、線性變換的定義及其簡單性質(zhì)2、線性變換的加法、數(shù)乘與乘法，可逆線性變換及其逆變換3、線性變換的象與核的定義及其基與維數(shù)的求法4、不變子空間的概念（三）了解

屬于不同特征根的特征向量的線性無關(guān)性，特征子空間的維數(shù)與所屬特征根的重數(shù)之間的關(guān)系，線性變換對角化和矩陣可對角化的關(guān)系三

.說明

線性變換是向量空間中最簡單而又最基本的變換。它是線性代數(shù)的主要研究對象之一，對于研討向量空間中向量之間的內(nèi)在聯(lián)系及向量空間的結(jié)構(gòu)起著重要的作用。本章主要介紹線性變換的運(yùn)算、性質(zhì)、線性變換與矩陣的關(guān)系及矩陣的相似與化簡。第八章

歐氏空間一.

主要內(nèi)容1、歐氏空間的定義及基本性質(zhì)2、Cauchy—Schwarz不等式向量的長度及兩個向量的夾角3、正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交化方法4、向量與子空間的正交正交補(bǔ)向量到子空間的距離5、同構(gòu)的定義和同構(gòu)的充要條件6、正交變換與正交矩陣

正交變換與正交矩陣的關(guān)系一個線性變換是正交變換的充要條件7、對稱變換與實(shí)對稱矩陣

對稱變換的定義對稱變換與實(shí)對稱矩陣的關(guān)系對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形8、酉空間9、酉變換和對稱變換二.

考試要求（一）掌握1、正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交化方法2、正交變換與正交矩陣的關(guān)系、一個線性變換是正交變換的充要條件3、對稱變換的定義對稱變換與實(shí)對稱矩陣的關(guān)系4、求實(shí)對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形的方法（二）理解1、歐氏空間的定義及基本性質(zhì)2、Cauchy—Schwarz不等式向量的長度及兩個向量的夾角3、向量與子空間的正交正交補(bǔ)向量到子空間的距離4、同構(gòu)的定義和同構(gòu)的充要條件（三）了解1、酉空間的定義2、酉變換和對稱變換三.

說明

歐氏空間是實(shí)數(shù)域上帶有一個內(nèi)積的向量空間，是通常幾何空間的推廣。本章主要介紹歐氏空間的概念，標(biāo)準(zhǔn)正交基和正交變換。第九章二次型一.

主要內(nèi)容1、二次型的矩陣表示

二次型的定義變量的非退化線性變換二次型的秩二次型的化簡與對稱矩陣的合同2、標(biāo)準(zhǔn)形3、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的唯一性慣性定理