《近世代數(shù)》第二章 群論目錄 2.6.置換群

§6.置換群

6.1置換群6.2置換的表示方法:2-行法6.3循環(huán)6.4補(bǔ)充結(jié)論變換群的一種特例,叫做置換群,在代數(shù)里占一個(gè)很重要的地位.比方說,在解決方程能不能用根號(hào)解這個(gè)問題時(shí)就要用到這種群．這種群還有一個(gè)特點(diǎn)，就是它們的元可以用一種很具體的符號(hào)來表示，使得這種群里的計(jì)算比較簡單．現(xiàn)在我們把這種群討論一下．6.1置換群定義1一個(gè)有限集合的一個(gè)一一變換叫做一個(gè)置換．一個(gè)有限集合的若干個(gè)置換作成的一個(gè)群叫做一個(gè)置換群．

我們看一個(gè)有限集合，有個(gè)元．由Ⅱ，５，的全體置換作成一個(gè)群．定義2一個(gè)包含個(gè)元的集合的全體置換作成的群叫做次對(duì)稱群．這個(gè)群用來表示．定理１次對(duì)稱群的階是?。?.2置換的表示方法:2-行法現(xiàn)在我們要看一看表示一個(gè)置換的符號(hào)．這種符號(hào)普通有兩種，我們先說明第一種．我們看一個(gè)置換這樣一個(gè)置換所發(fā)生的作用完全可以由，，…，這對(duì)整數(shù)來決定．表示置換的第一個(gè)方法就是把以上這個(gè)置換寫成形式不唯一.在這種表示方法里，第一行的個(gè)數(shù)字的次序顯然沒有什么關(guān)系，比方說以上的我們也可用例１．假如那么

不過我們普通用來表示這個(gè)．例２有６個(gè)元．這６個(gè)元可以寫成，，，，，●如何計(jì)算乘法?(注意我們規(guī)定的順序)(從右向左)●如何求逆?

=??無限非交換群我們已經(jīng)看到過，這是我們的第一個(gè)有限非交換群的例子．可以說是一個(gè)最小的有限非交換群，因?yàn)橐院笪覀儠?huì)知道，一個(gè)有限非交換群至少要有六個(gè)元．●所以不是交換群．6.3循環(huán)為了說明置換的第二種表示方法，我們先證明一個(gè)公式．看兩個(gè)特殊的置換：,那么以下公式成立：●先看一個(gè)例子●證明這個(gè)公式.我們只須注意，因?yàn)槭?，，?這個(gè)元的一一變換，而在之下，，…,已經(jīng)各是，…,的象,所以它們不能再是的象,這就是說,這樣，將變成.顯然，將變成定義的一個(gè)把變成變到，變到，…，變到，而使得其余的元，假如還有的話，不變的置換，叫做一個(gè)循環(huán)置換．這樣的一個(gè)置換我們用符號(hào)，，…或來表示．2-循環(huán)稱為對(duì)換.例３我們看，這里一個(gè)任意的置換當(dāng)然不一定是一個(gè)循環(huán)置換．例４的就不是一個(gè)循環(huán)置換．定理２每一個(gè)個(gè)元的置換都可以寫成若干個(gè)互相沒有共同數(shù)字的（不相連的）循環(huán)置換的乘積．一般來說，我們有但是,我們?cè)儆脷w納法．

證明先看一個(gè)例子.

在中，

I.當(dāng)不使任何元變動(dòng)的時(shí)候，就是當(dāng)是恒等置換的時(shí)候，定理是對(duì)的．II.假定對(duì)于最多變動(dòng)個(gè)元的定理是對(duì)的．現(xiàn)在我們看一個(gè)變動(dòng)個(gè)元的．我們?nèi)我馊∫粋€(gè)被變動(dòng)的元，從出發(fā)我們找的象，的象，這樣找下去，直到我們第一次找到一個(gè)為止，這個(gè)的象不再是一個(gè)新的元，而是我們已經(jīng)得到過的一個(gè)元:因?yàn)槲覀円还仓挥袀€(gè)元，這樣的是一定存在的．我們說．因?yàn)橐呀?jīng)是的象，不能再是的象．這樣，我們得到因?yàn)橹皇箓€(gè)元變動(dòng)，，假如

，本身已經(jīng)是一個(gè)循環(huán)置換，我們用不著再證明什么．假如

，由公式（1），但只使得個(gè)元變動(dòng)，照歸納法的假定，可以寫成不相連的循環(huán)置換的乘積：在這些里不會(huì)出現(xiàn).不然的話,那么同不會(huì)再在其余的中出現(xiàn),也必使但我們知道,使得不動(dòng),這是一個(gè)矛盾.這樣,是不相連的循環(huán)置換的乘積:證完

例５

的全體元用循環(huán)置換的方法寫出來是，，，，，；定理３每一個(gè)有限群都與一個(gè)置換群同構(gòu)．這就是說，每一個(gè)有限群都可以在置換群里找到例子．現(xiàn)在置換群又是一種比較容易計(jì)算的群，所以用置換群來舉有限群的例是最合理的事．6.4補(bǔ)充結(jié)論

1.每一個(gè)循環(huán)可以寫出對(duì)換的乘積.進(jìn)一步,對(duì)換個(gè)數(shù)的奇偶性是固定的.提示:

2.每一個(gè)對(duì)換可以寫出形如:(12),(13),…(1n)的乘積.提示:(ij)=(1i)(1j)(1i)3.每一個(gè)